直线与方程基础练习题
-
第三章：直线与方程的知识点
倾斜角与斜率
1.
当直线
l
与
x
轴相交时，我们把
x
轴正方向与直线
l
向上方
向之间所成的角叫做直线
l
的倾斜角
.
当直线
l
与
x
轴平行或重合时
,
我们规定它的倾斜
角为
0
°
.
则直线
l
的倾斜角
< br>的范围是
0
.
2.
倾
斜
角
不
< br>是
90
°
的
直
线
的
斜
率
，
等
于
直<
/p>
线
的
倾
斜
角
的
正
切
值
，
即
k
tan
.
如
果
知
道
< br>直
线
上
两
点
y
y
1
P
(
x
1
,
y
1
),
P
(
x
2
,
y
2
)
，则有斜率公式
k
2
.
特别地是，当
x
1
x
2
，<
/p>
y
1
y
2
时，直线与
x
轴垂
直，斜率
k
不存在；
x
2
x
1
当
x
1
x
2
，
y
1<
/p>
y
2
时，直线
与
y
轴垂直，斜率
k
< br>=0.
注意：
直线的倾斜角α
=90
°时，
斜率不存在，
即直线与<
/p>
y
轴平行或者重合
.
< br>当α
=0
°时，
斜率
k
=0
；
当
0
< br>
9
0
时，斜率
k
0
，随着α的增大，斜率
k
也增大；当
90
180
时，斜率
< br>k
0
，随着α的增大，斜率<
/p>
k
也增大
.
这
样，可以求解倾斜角α的范围与斜率
k
取值范围的一些对应问题
.
两条直线平行与垂直的判定
1.
对于两条不重合的直线
l
1
、
l
2
，其斜率分别为
k
1
、
k
2
，有：
（
1
）
l
1
//
l
2
k
1
k
2
；
（
2
）
l
1
l
2<
/p>
k
1
k
2
1
.
2.
特例：
两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于
x
轴；…
.
直线的点斜式方程
1.
点斜式：直线
< br>l
过点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
,
且斜
率为
k
，其方程为
y
< br>
y
0
k
(
x
x
0
)
.
2.
斜截式：直线
< br>l
的斜率为
k
，在
y
轴上截距为
b
，其方程为
y
kx
<
/p>
b
.
3.
<
/p>
点斜式和斜截式不能表示垂直
x
轴直线<
/p>
.
若直线
l
过
点
P
0
(
x<
/p>
0
,
y
0
)
且与
x
轴垂直
,
此时它的倾斜角为
90
< br>°，
斜率不存
在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直
线方程为
x
x
0
0
，或
x
x
0
.
y
y
0
k
与
y
y
0
k
(
x
< br>x
0
)
是不同的方程，前者表示
的直线上缺少一点
P
0
(
x
0
,
y
< br>0
)
，后者才是整条直线
.
4.
注意：
x
x
0
直线
的两点式方程
y
< br>y
1
x
x
1
，
y
2
y
1
x
2
x
1
x
y
2.
截距式：直线
l
在
x
、
y
轴上的截距分别为
a
、
b
，其方程为
1
.
a
b
3.
<
/p>
两点式不能表示垂直
x
、
y
轴直线；截距式不能表示垂直
x
、
y
轴及过原点的直线
.
x
1
x
2
y
1
y
2
4.
< br>线段
P
,
)
.
1
P
2
中点坐标公式
(
2
2
1.
两点式：直线
l
经过两点
P
1
(
x
1
,
y
1
),
P
2
(
x
2
,
y
2
)
，其方程为
直线的一般式方程
1.
一般式：
Ax
By
C
0
，注意
A
、
B
不同时为
0.
直线一般式方程
Ax
By
C
0
(
B
0)
化为斜截式方
程
A
C
A
C<
/p>
y
x
，表示斜率为
，
y
轴上截距为
的直线
.
B
B
B
B
2.
与直线
l
:
Ax
< br>By
C
0
平行的直线，可设所求方程为
Ax
By
C
1
0
；与直线
Ax
By
C
0
垂直的直线，可设
所求方程为
Bx
Ay<
/p>
C
1
0
.
C
0
（
A
2
,
B
2
不同时为
0
）
3.
已知直线
l
1
,
l
2
的方程分别是：
l
1
:
A
1<
/p>
x
B
1
y
C
1
0
（
A
1
,
B
1
不同时为
0
）
，
< br>l
2
:
A
，
2
x
2
B
y
2
则两条
直线的位置关系可以如下判别：
（
1
）
l
1
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
< br>
0
；
< br>（
2
）
l
1
//
l
2
A
1
B
2<
/p>
A
2
B
1
0,
AC
1
2
A
2
B
1
0
；
（
3
）
l
1
与
l
2
重合
A
1
B
2
A
2
B
1
0,
AC
1
B
2
A
2
B
1
< br>
0
.
1
2
A
2
B
1
0
；<
/p>
（
4
）
l
1
与
l
2
相交
A
A
B
C
A
< br>B
C
A
B
如果
A
2
B
2
C
2
0<
/p>
时，则
l
1
//
l
2
1
1
1
；
l
1
与
l
2
重合
1
1
1
；
l
1
与
l
2
相交
1
1
.
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
< br>两条直线的交点坐标
1.
<
/p>
一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组
A
1
x
B
1
y
< br>
C
1
0
.
若方程组有惟一解，则
A
x
B
y
C
0
2
2
2
< br>两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若
方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合
.
2.
方
程
(
A
1
x
B
为
直
线
系
，
所
有
的
直
线
< br>恒
过
一
个
定
点
，
其
定
点
就
是
C
)
(
A
2
B
y
2
)
< br>C
0
1
y
1
2
x
A
1
x
B
1
y
C
1
0
与
A
2
x
< br>B
2
y
C
2
0
的
交点
.
第
1
页
两点间的距离
2
2
1.
<
/p>
平面内两点
P
1
(
x
1
,
y<
/p>
1
)
，
P
2
(
x
2
,
y
2
)
，则两点间的距离为：
|
PP
1
2
|
(<
/p>
x
1
x
2
)
(
y
1
y
2
)
.
特别地，
当
P
1
,
P
2
所在直线与
x
轴平行时，
当
P
1
,
P
2
所在直线与<
/p>
y
轴平行时，
|
PP
|
PP
1
2
|
|<
/p>
x
1
x
2
|
；
1
2
|
|
y
1
y
2
|
；
点到直线的距离及两平行线
距离
1.
点
P
(
x
0<
/p>
,
y
0
)
到直线
l
:
Ax
By
C
0
的距离公式为
d
|
Ax
0<
/p>
By
0
C
|
A
B
2
2
.
2.
利用点到直线的距离公式，
可以
推导出两条平行直线
l
1
:
Ax
By
C
1
0
，
l
2
:
Ax
By
C
2
0
之间的距
离公式
d
< br>|
C
1
C
2
|
A
B
2
2
，
推导过程为：
在直线
l
2
上任取一点
P
(
x
0
,
y
0
)
，
则
A
x
0
B<
/p>
y
0
C
2
0
，
即
A
x
0
B
y
0
C
|
Ax
0
By
0
C
1
|
A
B
2
2
2
.
这时点
P<
/p>
(
x
0
,
y
0
)
到直线
l
1
:
Ax
By
C
1
0
的距离为
d
|
C
1
C
< br>2
|
A
B
2
2
常用知识点：
一．斜率存在时两直线
的平行：
l
1
//
l
2
k
1
=
k
2
且<
/p>
b
1
b
2
.
l
1
：
A
1
x
B
1
y
< br>
C
1
0
，
l
2
：
A
2
x
B
2
y
C
2
0
，
l
1
∥
< br>l
2
的充要条件是
A
1
二．斜率存在时两直线的垂直：
l
1
l
2
< br>
k
1
k
2
1
．
A
2<
/p>
B
1
C
1
B
2
C
2
l
1
：
A
1
x
B
1
y
C
1<
/p>
0
，
l
2
：
A
2
x
B
2
y
C
2
0
，
l
1
l
2<
/p>
A
1
A
2
B
1
B
2
0
．
巧妙假设直线方程：
<
/p>
（
1
）与
Ax<
/p>
By
C
1
0
平行的直线
可以假设成：
Ax
By
C
2
< br>0
（
C
1
和
C
2
不相等）
（
2
）与
Ax
By
C
0
垂直的直线可以假设成：
Bx
-
Ay+m=0
第
2
页