一元二次方程经典测试题(含答案)
-
一元二次方程测试题
考试范围：
一元二次方程
；考试时间：
120
分钟；命题人：瀚博教育
题号
得分
一
二
三
总分
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得
分
一．选
择题（共
12
小题，每题
3
分，共
36
分）
1
．方程
x
（
x
﹣
2
）
=3x
的解为（
）
A
．
x=5
B
．
x
1
=0
，
x
2
=5
C
．
x
1
=2
，
x
2
=0
D
．
x
1
=0
，
x
2
=
﹣
5
2
．下列方程是一元二次方程的是（
）
A
．
ax
2
+
bx
+
c=0
B<
/p>
．
3x
2
﹣
2x=3
（
x
2<
/p>
﹣
2
）
C
．
x
3
﹣
2x
﹣
4=0 D
．
（
x
﹣
1
）
2
+
1=0
3
．关于
x
的一元二次方程
x
2
+
a
2
﹣
1=0
的一个根是
0
，则
a
的值为（
）
A
．﹣
1
B
．
1
C<
/p>
．
1
或﹣
1
D
．
3
4
．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，
2015
年约为
12
万人
次，若
2017
年约
为
17
万人次，设游客人数年平均增长率为
x
，则下列方程中正确的是（
）
A
．
12
（
1
+
x
）
=17
B
．
17
（
1
﹣
x
）
=12
C
．
12
（
1
+
x
）
2
=17
D
．
12
+
12
（
1
+
x
）
+
12
（
< br>1
+
x
）
2
=17
5
．
如图，
在△
ABC
中，∠
ABC=90°
，
AB
=8cm
，
BC=6cm
．
动点
P
，
Q
分别从点
A
，
B
同时开始移动，点
P
的速度为
1cm/
秒，点
Q
的速度为
2cm/
秒，点
Q
移
动到
点
C
后停止，
点
P
也随之停止运动．
下列时间瞬
间中，
能使△
PBQ
的面积为
15cm
2
的是
（
）
A
．
2
秒钟
B
．
3
秒钟
C
．
< br>4
秒钟
D
．
5
秒钟
6
．某幼儿园要准备修建一个面积为
210
< br>平方米的矩形活动场地，它的长比宽多
12
米，
设场地
的长为
x
米，可
列方程为（
）
A
．
x
（
x
+
12
）
=210
B
．
x
（
x
﹣
12
）
=210
C
．
2x<
/p>
+
2
（
x
+
12
）
=210
D
．
2x
+
2
（
x
﹣
12
）
=210
7
．一元二次方程
x
2
+
bx
﹣
2=0
中，若
b
＜
0
，则这个方程根的情况是（
）
A
．有两个正根
B
．有一正根一负根且正根的绝对值大
C
．有两个负根
D
．有一正根一负根且负根的绝对值大
8
．
x
1
，
x
2
是方程
x
2
+
x
+
k=0
的两个实根，若恰
x
1
2
+
x
1
x
2
+<
/p>
x
2
2
=2k<
/p>
2
成立，
k
的值
为（
）
1
A
．﹣
1
B
．
或﹣
1
C
．
D
．﹣
或
1
9
．一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c=0
中，若
a
＞
0
，
b
＜
0
，
c
＜
0<
/p>
，则这个方程根的情况是（
）
A
．有两个正根
B
．有两个负根
C
．有一正根一负根且正根绝对值大
D
．有一正根一负根且负根绝对值大
10
．有两个一元二次方程：
M
：
ax
2
+
bx
+
c=0
；
N
：
cx
2
+
bx
+
a=0
，其中
a
﹣
c
≠
0
，以下列四个结论
中，错误的是（
）
A
．如果
方程
M
有两个不相等的实数根，那么方程
N
也有两个不相等的实数根
B
．如果方程
M
有两根符号相同，那么方程<
/p>
N
的两根符号也相同
< br>C
．如果
5
是方程
M
的一个根，那么
是方程
N
的一个根
D
．如果方程
M
和方程
N
有一个相同的根，那么这个根必是
x=1
11
．已知
m
，
n
是关于
x
的一元二次
方程
x
2
﹣
2
tx
+
t
2
﹣
2t
+
4=0
的两实数根，则（
m
+
2
）
（
n
+
< br>2
）的
最小值是（
）
A
．
7
B
．
11
C
．
12
D
．
16
<
/p>
12
．设关于
x
的方程
ax
2
+
（
a
+
2
）
x
+
9a=0
，有两个不相等的实数根
x
1
、
x
2
，且
x
1
＜
1
＜
x
2
，那么
实数
a
的取值范围是（
）
A
．
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得
分
B
．
C
．
D
．
二．填
空题（共
8
小题，每题
3
分，共
24
分）
13
．若
x
1
，
x
2
是关于
x
的方程
x
2
﹣
2x
﹣
5=0
的两根，则代数式
x
1
2
﹣
3x
1
﹣
x
2
﹣
6<
/p>
的值是
．
14
．已知
x
1<
/p>
，
x
2
是关于<
/p>
x
的方程
x
2<
/p>
+
ax
﹣
2b=
0
的两实数根，且
x
1
+
x
2
=
﹣
2
，
x
1
•x
2
=1
，则
b
a
的值
是
．
15<
/p>
．已知
2x
|
m
|
﹣
2
+
3=9
是关于
x
的
一元二次方程，则
m=
．
16
．已
知
x
2
+
6x
=
﹣
1
可以配成（
x
+
p
）
2
=q
的形式，则
q=
．
17<
/p>
．已知关于
x
的一元二次方程（
m
﹣
1
）
x
2
﹣
3x
+
1=0
有两个不相等的实数根，且关于
x
的不等
式组
的解集是
x
＜﹣
1
，则所有
符合条件的整数
m
的个数是
．
18
．关
于
x
的方程（
m
﹣
2
）
x
2
+
2x
+
1=
0
有实数根，则偶数
m
的最大值为
．
19<
/p>
．如图，某小区有一块长为
18
米，宽为
6
米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形
2
绿地，
它们面积之和
为
60
米
2
，
两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，
则人行道的宽<
/p>
度为
米．
<
/p>
20
．如图是一次函数
y=kx
+
b
的图象的大致位置，试判断关于
x
的一元二次方程
x
2<
/p>
﹣
2x
+
kb<
/p>
+
1=0
的根的判别式△
0
（填：
“
＞
”
或
“=”
或
“
＜
”
）
．
评卷人
得
分
三．解
答题（共
8
小题）
< br>21
．
（
6
分）解下列方程．
（
1
）
x
2
﹣
14x=8
（配方法）
（
2
）
x
2
﹣
7x
﹣
18=0
（公式法）
（
3
）
（
2x<
/p>
+
3
）
2
=4
（
2x
+
3
）
（因式分解法）
22
．<
/p>
（
6
分）关于
x
的一元二次方程（
m
﹣
1
）
x
2
﹣
x
﹣
2=0
（
1
）若
x=
﹣
1
是方程的一个根，求
m
的值及另一个根．
（
2
）当
m
为何值时方程有两个不同的实数根．
3
23
．
（
6
分）关
于
x
的一元二次方程（
a
﹣
6
）
x
< br>2
﹣
8x
+
9=0
有实根．
（
1
）求
a
的最大整数值；<
/p>
（
2
）当
a
取最大整数值时，①求出该方程的根；②求
2x
2
﹣
24
．
（<
/p>
6
分）关于
x
的
方程
x
2
﹣（
2k
﹣
3
）
x
+
k
2
+
1=0
有两个不相等的实数根
x
1
、
x
2
．
（
1
）求
k
的取值范围；
（
2
）若
x
1
x
2
+|
x
1
|+|
x
2
|
=7
，求
k
的值．
25<
/p>
．
（
8
分）某茶
叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本
80
元，据销售人员调
查发现，每月
的销售量
y
（千克）与销
售单价
x
（元
/
千克）之间存在如图所示的变化规律．
（
< br>1
）求每月销售量
y
与销售单价
x
之间的函数关系式．
（
2
）若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润
1350
元，试求该月茶叶的销售单价
x
为多少元．
的值．
4
26
．
（
8<
/p>
分）如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为
< br>1500
平方米
的长方形草坪，
并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，
已知长方形空地的长为
< br>60
米，
宽为
40
米．
（
1
）求通道的宽度；
（
2
）
晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，
计划种植
“
四季青
”
和
“
黑麦草
”
两种绿草，
该
公司种植
“<
/p>
四季青
”
的单价是
30
元
/
平方米，
< br>超过
50
平方米后，
每多出
5
平方米，
所有
“
四季青
”
的种植单价可降低
1
元，
但单价不低于
20
元
/
平方米，
已知小区种植
“
四季青
”
的面积超过了
50
平方米，支付晨光园艺公司种植<
/p>
“
四季青
”
的费
用为
2000
元，求种植
“
四季青
”
的面积．
27
．
（<
/p>
10
分）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息
1
：甲、乙两种商
品的进货单价之和是
3
元；
信息
2
：甲商品零售单价比进货单价多
1
元，乙商品零售单价比进货单价的
2
倍少
1
元；
信息
3
：按零售单价购买甲商品
3
件和乙商品
2
件，共付了<
/p>
12
元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（
1
）求甲、乙两种商品的零售单价；
（
2
）该商店平均每天卖出甲乙两种商
品各
500
件，经调查发现，甲种商品零售单价每降
0.1
元，甲种商品每天可多销售
100
件，商店决定把甲种商品的零售单价下降
m
（<
/p>
m
＞
0
）元．在
不考虑其他因素的条件下，
当
m
为多少时，
商店每天销售甲、
乙两种商品获取
的总利润为
1000
元？
5
28
．
（
10
分）
已知关于
x
的一元二次方程
x
2
﹣（
m
+
6
）
x
+
3m
+
9=0
的两个实数根分
别为
x
1
，
x
2
．
（
1
）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（
2
）若
n=4
（
x
1
+
x
2
）﹣
x
1
x
2
，判断
动点
P
（
m
，
n
）所形成的函数图象是否经过点
A<
/p>
（
1
，
16
）
，
并说明理由．
6
一元二次方程测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共
12
小题）
1
．方程
x
（
x
﹣
2
）
=3x
的解为（
）
A
．
x=5
B
．
x
1
=0
，
x
2
=5
C
．
x
1
=2
，
x
2
=0
D
．
x
1
=0
，
x
2
=
﹣
5
【解答】
解：
x
（
x
﹣
2
）
=3x
，
x
（
x
﹣
< br>2
）﹣
3x=0
，
x
（
x
< br>﹣
2
﹣
3
）
=0
，
x=0
，
x
﹣
2
﹣
3=0
，
x
1
=0
，<
/p>
x
2
=5
，
故选
B
．
2
．下列方程是一元二次方程的是（
）
A
．
ax
2
+
bx
+
c=0
B<
/p>
．
3x
2
﹣
2x=3
（
x
2<
/p>
﹣
2
）
C
．
x
3
﹣
2x
﹣
4=0 D
．
（
x
﹣
1
）
2
+
1=0
【解答】
解：
A
、当
a=0
时，
该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
B
、由原方程得到
2x
﹣
6=0
，未知数的最高次数是
1
，不是一元二
次方程，故本选项错误；
C
、未知数
最高次数是
3
，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
D
、符合一元二次方程的定义，故本选项
正确；
故选
D
．
3
．关于
x
的一元二次方程
x
< br>2
+
a
2
﹣
1=0
的一个根是
0
，则
a
的值为（
）
A
．﹣
1
B
．
1
C<
/p>
．
1
或﹣
1
D
．
3
【解答】
解：∵关于
x
的一元二次方程
x
2
+
a
2
﹣
1=0
的一个根是
0
，
∴
0
2
+
a
2
﹣
1=0
，
解得，
a=
±
1
，
故选
C
．
4
．某旅
游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，
2015
年约为
12
万人次，若
2017
年约
为
17
万人次，设游客
人数年平均增长率为
x
，则下列方程中正确的是（
）
7
A
．
12
（
1
+
x
）
=17
B
．<
/p>
17
（
1
﹣
x
）
=12
C
．
12
（
1
+
x
）
2
=17
D
．
12
+
12
（
1
+
x
）
+
12
（
1
+
x
）
2
=17
【解答】
解：设游客人数
的年平均增长率为
x
，
则
2016
的游客人数为：
12
×（
1
+
x
）
，
20
17
的游客人数为：
12
×（
1
+
x
）
2
．
那么可得方程：
12
（
1
+
x
）
2
=17
．
故选：
C
．
5
．如图
，在△
ABC
中，∠
ABC=90°<
/p>
，
AB=8cm
，
BC=6cm
．动点
P
，
Q
分别从点
A
，
B
同时开始移
动，点
P
的速度为
1cm/
秒，点
Q
的速度为
2cm/
秒，点
Q
移动到点
C
后停止，点
P
也随之停止
运动．下列时
间瞬间中，能使△
PBQ
的面积为
15
cm
2
的是（
）
A
．
2
秒钟
B
．
3
秒钟
C
．
4
秒钟
D
．
5
秒钟
< br>【解答】
解：设动点
P
，
Q
运动
t
秒后，能使
△
PBQ
的面积为
15cm
2
，
则
BP
为（
8
﹣
t
）
cm
，
< br>BQ
为
2tcm
，由三角形的面
积计算公式列方程得，
×（
8
﹣
t
）×
2t=15
，
解得
t<
/p>
1
=3
，
t
2
=5
（当
t=5
时，
BQ=10
，不合题意，舍去）<
/p>
．
答：动点
P
，
Q
运动
3<
/p>
秒时，能使△
PBQ
的面积为
15cm
2
．
6
．某幼
儿园要准备修建一个面积为
210
平方米的矩形活动场地，它的
长比宽多
12
米，设场地
的长为
x
米，可列方程为（
）
A
．
x
（
x
+
12
）
=210 <
/p>
B
．
x
（
x
﹣
12
）
=210 C
．
2x
+
2
（
x
+
12
）
=210
D
．
2x
+
2
（
x
﹣
12<
/p>
）
=210
【
解答】
解：设场地的长为
x
米，则宽为
（
x
﹣
12
）
米，
根据题意得：
x
（
x
﹣
12
< br>）
=210
，
故选：
B
．
7
．一元
二次方程
x
2
+
bx
﹣
2=0
中，若
b
＜
0
，则这个方程根的情况
是（
）
A
．有两个正根
B
．有一正根一负根且正根的绝对值大
8
C
．有两个负根
D
．有一正根一负根且负根的绝对值大
【解答】
解：
x
2
+
bx
﹣
2=0
，
△
=b
2
﹣
4
×
1
×（﹣
2
）
=b
2
+
8<
/p>
，
即方程有两个不相等的实数根，
设方
程
x
2
+
bx
﹣
2=0
的两个根为
< br>c
、
d
，
则
c
+
d
=
﹣
b
，
cd
=
﹣
2
，
<
/p>
由
cd=
﹣
2<
/p>
得出方程的两个根一正一负，
由
c
+
d=
﹣
b
和
b
＜
0
得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，
< br>
故选
B
．
8
．
x
1
，
x
2
是方程
x
2
+
x
+
k=0
的两个实根，若恰
x
1
2
+
x
1
x<
/p>
2
+
x
2
2
=2k
2
成立，<
/p>
k
的值为（
）
A
．﹣
1
B
．
或﹣
1
C
．
D
．﹣
或
1
【解答】
解：根据根与系数的关系，得
x
1
+
x
2
=
﹣
1
，
x
1
x
2
< br>=k
．
又
x
1
2
+
x
1
x
2
+<
/p>
x
2
2
=2k<
/p>
2
，
则（
x
1
+
x
2
）
2
﹣
x
1
x
2
< br>=2k
2
，
< br>即
1
﹣
k=2k
2
，
解得
< br>k=
﹣
1
或
．
当
k=
时，△
=1
﹣
2
＜
0
，方程没有实数根，应舍去．
∴取
k=
﹣
1
．
故本题选
A
．
9
．一元
二次方程
ax
2
+
bx
+
c=0
中，若
a
＞
0
，
< br>b
＜
0
，
c
＜
0
，则这个方程根的情况是（<
/p>
）
A
．有两个正根
B
．有两个负根
C
．有一正根一负根且正根绝对值大
D
．有一正根一负根且负根绝对值大
【解答】
解：∵
a
＞
0
，
b
＜
0
，
c
＜<
/p>
0
，
∴△
=b
2
﹣
4ac<
/p>
＞
0
，
＜
0
，﹣
＞
0
，
∴一元二次方程
a
x
2
+
bx
+
c=0
有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大
．
9