浙教版 初中数学培优讲义 九年级 弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础)学生版
-
青蓝数学培优
陈老师
弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索
n<
/p>
°的圆心角所对的弧长
和扇形面积
的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2.
了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，
会应用公式解决问
题；
3.
能准确计算组合图形的面积
.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
半径为
R
的
圆中
3
60
°的圆心角所对的弧长
(
圆的周长
)
公式：
n
°的圆心角所对的圆的弧长公式：
要点诠释：
(1)
对于弧长公式，
关键是要理解
1
°的圆心角所对的弧长是圆周长的<
/p>
，
即
；
(
弧是圆的一部分
)
(2)
公
式中的ｎ表示
1
°圆心角的倍数，故ｎ和
180
都不带单位，
R
为弧所在圆的
半径；
(3)
弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个
量就可以求
出第三个量
.
要点二、扇形面积公式
1.
扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角
所对的弧所围成的图形叫做扇形
.
2.
扇形面积公式
半径为
R
的圆中
360
°的圆心角所对的扇形面积<
/p>
(
圆面积
)
公式
：
n<
/p>
°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)
对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是
1
°的扇形面积是
圆面积的
，
即
；
(2)
在扇形面积公式中，涉及三个
量：扇形面积
S
、扇形半径
R
、扇形的圆心角，知道其中的两个量
就可以求出第三个量
.
(3)
扇形面积公式
类似，可类比记忆；
，
可根据题目条件灵活选择使用，
它与三角形面积公式
有点
(4)
扇形两个面积公式之间的联系：
.
1
青蓝数学培优
陈老师
要点三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线
.
圆锥的母线长为
< br>，底面半径为
r
，侧面展开图中的扇形圆心角为
n
°，则
n
l
2
rl
，
圆锥的侧面积
S
扇
=
360
圆锥的全面积
.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形
的弧长就是圆锥底面圆的周长
.
因此，要求圆锥的侧面积就是求
展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的
.
【典型例题】
类型一、弧长和扇形的有关计算
1<
/p>
．如图（
1
）
，
AB
切⊙O
于点
B
，
OA=
2
3
，
AB=3
，弦
< br>BC∥OA，则劣弧
BC
的弧长为（
）
．
A
．
3
3
B
．
3
2
C
O
B
C
．
D
．
3
2
A
图（
1
）
举一反三：
【
变式
】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，
< br>•
试计算如图所示的管道的展直
长度，即
的长
(
结果精确到
0.1mm
)
【
高清
ID
号：<
/p>
359387
高清课程名称：
弧长
扇形
圆柱
圆锥
关联的位置名称（播放点名称）
：
经典
例题
1-2
】
2
．如图，⊙
O
的半径等于
1
，弦
AB
和半径
OC
互相平分于点
M.
求扇形
OACB
的面积（结果保留π）
2
青蓝数学培优
陈老师
举一反三：
【
高清
ID
号：
359387
高清课程名称：
弧长
扇形
圆柱
圆锥
关联的位置名称（播放点名称）
：
经典例题
1-2
】
【
变式
】如图（
1
）
，在△
ABC
中，
BC=4
，以点<
/p>
A
为圆心，
2
为
半径的⊙
A
与
BC
相切于点
D
，交
AB
于
E
，
交
< br>AC
于
F
，点
< br>P
是⊙
A
上的一点，且∠
EPF=40
°，则图中阴影部分的面积是（
）
．
A
．
4
4
8
4
8
C
．
8
D
．
8
B
．
4
9
9
9
9
A
P
F
E
C
B
D
图（
1
）
类型二、圆锥面积的计算
3
．如图，一个圆锥的高为
cm
，侧面展开图是半
圆，求：
（
1
）圆锥的底面半径
r
与母线
R
之比；
（
2
）圆锥的全面积．
类型三、组合图形面积的计算
4
．
（宁波）
如图，
半圆
O
的直径
AB=2
，
弦
CD
∥
< br>AB
，
∠
COD=90°
，
则图中阴影部分的面积为
．
3