初中几何习题集(绝对经典不做后悔)
-
初中几何经典习题集（不做后悔）
1.
如图
3
，
在
Rt
△
ABC
中，∠
B=90
°，它的内切圆分别与边
BC
、
CA
、
AB
相切于点
D
、
E
、
F
，连接
AD
与内切圆相交于另一点
P
，连接
PC
、
PE
、
PF
、
FD
，且
PC
⊥
PF
< br>．
求证：
(1)
△
PFD
∽△
PDC
；
（
2
）
2.
如图，
AB
是
⊙
O
的直径，
AC
是弦，点
D
是
AC
上一点，
弦
DE
⊥
AB
交
AC
于
F
，交
AB
于
H
，交⊙
O
于
E
，
P
是
ED
延长线上一点，连
PC
.
（
1
）若
PC
＝
PF
，
判断
PC
与⊙
O
的位置关系，并说明理由；
EP
PD
DE
DC
P
1
（
2
）若<
/p>
DA
CD
，<
/p>
sin
BAC
，求
sin
ADE
的值
.
3
C
F
B
O
H
D
A
E
3
< br>．如图，
BC
是半圆
O
的直径，
EC
是切线，
C
是切点，割线
EDB
交半圆
O
于
D
，
A
是半圆
O
上一点，
AD=DC
，
EC=3
，
BD=2.5
E
（
1
）求
tan
∠
DCE
的值；
（
2
）求
AB
的长．
D
A
B
C
O
4
．如图，
P
是⊙
O
外一点，割线
PA
、
PB
分别与⊙
O
相
交
于
A
、
C
、
B
、
< br>D
四点，
PT•
切⊙
O
于点
T
，点
E
、
F
分别在
PB
、
PA
上，且
PE=PT
，∠
PFE=
∠
ABP
．
（
1
）求证：
PD
·
PF=PC
·
PE
；
T
（
2
）若
PD=4
，
PC=5
，
AF=
21
，求
PT
的长．
20
B
E
O
F
A
D
P
C
5.
已知
AB
是⊙
O
的直径，弦
CD
⊥
AB
于
E
，
F
是
DC
延长线
上的一点，
FA
、
FB
与⊙
O
分别交于
M
、
G
，
GE
与⊙
O
交于点
N
。
(1
）求证：
AB
平分∠
MAN
；
（
2
）
若⊙
O
的半径为
5
，
FE=2CE=6
，求线段
AN
的长。
N
A
O
E
D
M
F
C
G
B
6.
已知：如图，∠
ACB
=60°
，
CE
为∠
ACB
的角平分线，
O
为射线
CE
上的一点，⊙
O
切
AC
于点
D
．
（
1
）求证：
BC
与⊙
O
相切；
（
2
）若⊙
O
的半径
为
6
，
P
为⊙
O
上一点，且使得∠
DPC
=90°
，求
DP
的长<
/p>
D
E
O
P
C
B
7.<
/p>
如图，
点
P
为△
ABC
的内心，
延长
< br>AP
交△
ABC
的外接圆于
D
，
在
AC
延长线上有一点
E
，
满足
AD
＝
AB
·
AE
，求证：
DE
是⊙
O
的切线
.
1.
已知
：如图，点
O
为等腰直角三角形
ABC
的重心，
CAB
90
，直线
< br>m
过点
O
,
过
2
A
A
、
B
、
C
三点
分别作直线
m
的垂线，垂足分别为点
D
、
E
、
F
.
(1)
当直线
m
与
BC
平行时（如图
1
）
，请你猜想线段
BE
、
CF
和
AD
三者之间的数量
关系并证明；
(2)
当直线
m
绕点
O
旋转到与
BC
不平行时，
分别探究在图
2
、
图
3
这两种情况下，
上
述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若
不成立，线段
AD
、
BE
、
CF
三者之间
又有怎样的
数量关系？请写出你的结论，不需证明．
E
B
A
F
m
O
(D)
C
A
F
E
B
O
D
C
E
A
F
m
< br>
m
B
O
D
C
．
在△
ABC
中，
AC
< br>＝
BC
，∠
ACB
＝90°，点
D
为
AC
的中点．
图
1
图
2
图
3
2.
如图
1
，在
R
t
△
ABC
中，∠
ABC=90
°，
∠
B=30
°，
AD
为
BC
边上的中线，
E
为
AD
上一动
点，设
DE=nEA
，连结
CE
并延
长交
AB
于点
F
，过点
F
作
FG
∥
AC
交
AD
（或延长线）于点
G
。
FB
EC
=
，
=
。
FA
EF
1
2
5
（
2
）如图
2
，当
n=
时，求证：
< br>FG
=
FE
·
< br>FC
；
4
2
FB
1
（
3
）如图
3
，当
n=
时，
。
FA
2
（
1
）当
n=1
时，则
C
D
G
F
图
1
C
G
D
E
A
C
D
E
A
B
F
图
3
4x
A
E
B
B
F
图
2
（
2
）过点
D
作
DH
∥
CF
交
AB
于点
H
，设
AF=x
，则
BH=HF=n
x
。∵∠
B=30
°，∴
AC=
1
AB=
2
1
(2n+1)x
（
4
分）
，
过
点
C
作
CM
⊥
AB
于点
M
，
∵∠
ACM=
∠
B=30
°，∴
MC=ACcos
∠
2
ACM=ACcos30
°
3
(2n
1)
3
1
1
1
1
2n
1
(2n+1)x
·
=
x<
/p>
，
AM=
AC=
×
(2n+1)x=
x
，
∴
2
4
2
< br>2
2
2
4
2n
1
MF=AF-
AM=x-
x
4
3
< br>
2n
3
2n
3
4n
2
(2n
1)
< br>3
2
2
2
2
2
=
x
，
∴
FC
=MF
+MC
=(
x)
+(
< br>x)
=
x
，
∵
4
4
4
4
1
1
F
E<
/p>
A
F
x
1
1
1
2
HD=
FC
，
FC
，∴
FE
·
FC=<
/p>
，∴
FE=
2
2n<
/p>
1
n
2
H
D
A
H
x
n
x
1
n
1
n
FE
1
FE
1
，∴
，即
FC
FE
2
2n
1
FC
2
2n
1
1
FE
1
2
3<
/p>
4n
2
2
2
2
2
（
6
分）
，∴当
n=
时，
FC
=
x
=x
，
FE
·
FC=
FC
=
x<
/p>
，∴
4
5
4
2
2n
EC
2n
1
1
FG
FE
1
1
2n
1
2
5
x
=
FE
·
FC
。
∵
FG
∥
AC
，
∴
，
< br>∴
FG=
AC=
x=x
，
2
2n
1
AC
EC
2n
1
2n
1
2
2
2
5
∴
FC
=x
=
FE
·
FC
。
（
8
分）
2
=
（
3
）过点
D
作
DH
∥
CF
交
AB
于点
H
，设
BH=x
，则
HF=x
，
FA=4x
，∴
1
DE
HF
x
1
。
，∴
n=
（
10
分）
4
EA
FA
4
x
4
3.
在△
ABC<
/p>
中，
AC
＝
BC
，∠
ACB
＝90°，点
D
为
AC
的中点．
(1)
如图
1
，
E
为线段
DC
上任意一点，将线段
DE
绕点
D
逆时针旋转
90°得到线段
DF
，
连结
CF
，过点
F
作
FH
< br>⊥
FC
，交直线
AB
于点
H
．判断
FH
与
FC
的数量关系并加以证
< br>明．
(2)
如图
2
，若
E
为线段
DC
的延长线上任意一点，
(1)
中的其他条件不变，你在
(1)
中得
出的结论是否发生改变，直接写
出你的结论，不必证明．
A
A
F
F
D
D
H
E
C
C
B
B
E
H
图
1
图
2
1<
/p>
．如图已知：
C
是以
AB
为直径的半圆
O
上一点，
CH
⊥
AB
于点<
/p>
H
，直线
AC
与
过
B
点的
切线相交于点
D
，
E
为
CH
中点，连接
AE
并延长交
BD
于点
F
，直线
CF
交直线
AB
于点
G.
（
1
）求证：点
F
是
BD
中点；
（
2
）若<
/p>
FB=FE=2
，求⊙
O
的半径．
2.<
/p>
如图，
△
ABC
内接于⊙
O
，
AB
是⊙
O
的直径，
CD
平分∠
ACB
交⊙
O
于点
D
，
交
AB
于点
F
，
弦
AE
⊥
CD
于点
H
，连接
CE
、
OH
．
（
1
）求证：△
AC
E
∽△
CFB
；
（
2
）
若
AC
＝
6
，
BC
＝
4
，求
OH
的长．
C
A
O
F
H<
/p>
D
B
E
3.
如图
，已知
AD
是△
ABC
外角∠
EAC
的平分线，交
B
C
的延长线于点
D
，延长
DA
交△
ABC
的外接圆于
点
F
，连结
FB
、
FC
。
（
1
）
FB
FA
FD
；
2
（
2
）若
AB
是△
AB
C
的外接圆的直径，∠
EAC
＝
120
0
，
BC
＝
6cm
，求
AD
的长。
F
A
O
E
G
C
D
B
第
14
题图
4.
如图
，
PA
为⊙
O
的切线，
A
为切点，
PBC
是过点
O
的割线，
PA<
/p>
＝
10
，
PB<
/p>
＝
5
，∠
BAC
的
平分线与
BC
和⊙
O
分别交于点
D
和
E
，求
AD
AE
的值。
A
C
O
D
B
P
E
例
2
图
5.
如图，
P
是⊙
O
直径
AB
延长线上一点，割线
PCD
交⊙<
/p>
O
于
C
、
D
两点，弦
DF
⊥<
/p>
AB
于点
H
，<
/p>
CF
交
AB
于点
E
。
（
1
）求证：
PA
PB
PO
PE
；
（<
/p>
2
）若
DE
⊥<
/p>
CF
，∠
P
＝<
/p>
15
0
，⊙
O<
/p>
的半径为
2
，求弦
CF
的长。
D
C
A
H
O
E
B
P
F<
/p>
第
3
题图
6.
如图，
BD
是⊙
O
的直径，
< br>OA
⊥
OB
，
< br>M
是劣弧
⌒
AB
上一点，过点
M
点作⊙
O
的切线
MP
交
OA
的
延长线于
P
点，
MD
与
OA
交于
N
点．
（
1
）求证：
PM
< br>＝
PN
；
3
（
2
）若
BD
＝
4
，
PA
＝
A
O
，过点
B
作
BC
∥
MP
交⊙
O
于
C
点，求
BC
的长．
2
7.
如图，
AB
是⊙
O
是直径，过
A
作⊙
O
的切线，在切线上截
取
AC=AB
，连结
< br>OC
交⊙
O
于
< br>D
，连结
BD
并延长交
AC
于
E
，
⊙
F
是△
ADE
的外接圆，⊙
F
在
AE
上
.
求证：
（
1
）
CD
是
⊙
F
的切线；
（
2
）
CD=AE.
8.<
/p>
已知：在三角形ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＣ上一点，且ＡＤ＝ＤＣ＋ＣＢ．
过Ｄ点作ＡＣ的垂线
交外接圆于点Ｍ．
求证：Ｍ为优弧ＡＢ中点．
9.
在圆
O
中，
有一个内接
△
ABC
，
过点
< br>A
和
B
作切线
< br>PA
和
PB
相交于点
P
，
过点
P
作
PQ
平
行于
BC
交
AC
于
Q
，连接
QO
并延长交
BC
于
H
，求证：
BH
＝
CH
10.
△
ABC
内接于圆
O
，
AB
为圆直径，
PA
是过点
A
的直线
∠
PAC=
∠
B
，
（
1
）
求证：
PA
是
圆
O
切线
（
2
）
如果弦
C
D
交
AB
于
E
,CD
的延长线交
PA
于
F
，
AC=8
，
CE
：
ED=6
：
5
，
AE
：
EB=2
：
3<
/p>
，求
AB
长和∠
ECB
的正切值
11.
A
B
是半圆的直径，
D
为
AB
上一点，
CD
垂直
AB
，
CD
交半圆于
E
，
CT
是半
圆
的切线，切点为
T
求证：
BE
CT
2
2
BC
2
已知<
/p>
PAB
是圆的割线，交圆于
A
、
B
两点，
PC
切圆于
C
，∠
CPB
的平分线交
AC
于
E
，交
CE
AC
< br>
BC
于
F
求证：
（
1
）
（
2
）
BF
BC
CE
BF
2
2
PA<
/p>
PB
P
是圆外
一点，
过
P
作
PA
切圆于
A
点，
连
PO
交圆于
B
< br>点，
AC
为弦，
若∠
P=
∠
BAC,
PA=
15
PB=5,
求
BC
的长
1.
在△
ABC
中，
AB
=
AC
，以
AB
为直径的⊙
O
交
AC
与
E
，交
BC
与
D
．求证：
（
1
）
D
是
BC
的中点；
（
2
）
BC
2
2
AB
CE
2.<
/p>
正三角形内接于圆
O
，
< br>P
是劣弧
BC
上任意点，
PA
交
BC
于
E
，求证：
（
1
）
PA=PB+PC
（
2
）
3.
已知：如图，在
Rt
△
ABC
中，
ACB
90
，
AC
4
，
BC
4
3
，以
AC
为直径的
O
交
1
1
1
PB
PC
PE
AB
于点
D
，点
E
是
BC
的中点，
OB
，
DE
相交于点
F
．
（
1
）求证：
DE
是
⊙
O
的切线；
（
2
）求
EF
：
FD
的值．
B
A
D
F
E
O
C
4.
如图，在△
A
BC
中，∠
ACB=90
°，半径为<
/p>
1
的⊙
A
与边<
/p>
AB
、
AC
分别
交于点
D
、
E
，
DE
、
BC
的延长线相交于点
P.
（
1
）当∠
B=30
°时，联结
AP
，若△
AEP
与△
BDP
相似，求
CE
的长
；
（
2
）若
CE=2
，
BD=BC
，求∠
BPD
的正切值
.
D
A
E
B
C
P
<
/p>
5.
如图，⊙O
中弦
AC
，
BD
交于
< br>F
，过
F
点作
< br>EF∥AB，交
DC
延
长线于
E
，过
E
点作⊙O
切线
EG
，
G
为切点
求证：
EF=EG
6.
已知：△
ABC
中，
H
为垂心（各边高线的交
点）
，
O
为外心，且
< br>OM
A
⊥
BC
于
M
．
（
1
）求证
：
AH
＝
2OM
；
（
2
）若∠
BAC
＝
60
0
，求证：
AH
＝
AO
．
O
AF
，
C
E
．取
AF
、
1.
点
A
、
B
、
C
在同一直线上，在直线
AC
的同侧作
ABE<
/p>
和
BCF
，连
接
·
H
E
CE
的中点
M
、
N
，连接
BM
，
BN
，
MN
．
B
90
0
(<
/p>
如图
C
M
B<
/p>
N
是
(1)
若<
/p>
ABE
和
<
/p>
FBC
是等腰直角三角形，
且
ABE
FBC
1)
，
则
M
D
三角形．
(2)
在
ABE
和
BCF
中，
< br>若
BA
=
BE
< br>,
BC
=
BF
< br>,
且
ABE
< br>
FBC
< br>
，
(
如图
2)
，
则
M
B
N
是
三角形，且
MBN
< br>
.
(3)
若将
(2)
中的
ABE
绕点
B
旋转一定角度
,(
如同
3)
，其他
条件不变，那么
(2)
中的结论是否
成
立？
若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给
出证明
.
F
F
F
E
M
E
M
E
A
M
N
N
N
C
B
A
B
（如图
3
）
C
A
B
（如图
2
）
（如图
1)
2
．如图所示，在△
ABC
< br>中，
D
、
E
分别是
AB
、
AC
上的点，
DE
∥
BC
，如图①，然后将△
ADE
绕
< br>A
点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将
BD
、
CE
分别延长至
M
、
N
，使
DM
＝
＝
1
CE<
/p>
，得到图③，请解答下列问题：
2
1
BD
，
EN
2
C
(1)
若
AB
＝
AC
，请探
究下列数量关系：
①在图②中，
BD
与
CE
的数量关系是
< br>________________
；
②在图③中，猜想
AM
与
AN
的数量关系、∠
MAN
与∠
BAC
的数量关系，并证明你的猜想；
(2)
若
AB
＝k·A
C(k＞
1)
，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：
AM
与
AN
的数量
关系、
∠
MAN
与∠
< br>BAC
的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
3.
以
ABC
的
两
边
AB
、<
/p>
AC
为
腰
分
别
向
外
作
等
腰
Rt
ABD
和
等
腰
Rt
ACE
，
BAD
CAE
90
,
连接
DE
，
M
、
N
分别是
BC
、
DE
的中点．
探究：
AM
与
DE
的位置
及数量关系．
(1)
如图①
当
ABC
为直角三角形时，
AM
与
DE
的位置关
系是
，
线段
AM
与
DE
的数量关系是
< br>
；
(2)
将图①中的等腰
Rt
ABD
绕点
A
沿逆时针方向旋
转
(0<
<90)
后，如图②所示，
(1)<
/p>
问
中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
如图，
抛
物线
y
ax
5
ax
4
经过
△
ABC
的三个顶点，
已知
BC
∥
x
轴，点
A
在
x
轴上，点
C
在
y
轴上，且
AC
BC
．
（
1
）求抛物线的对称轴；
（
2
）写出
A
，
B
，
C
三点的坐标并求抛物线的解
析式；
（
3
）探究：若点
P
是抛物线对称轴上且在
x
轴下方的动点，是否存在
△
PAB<
/p>
是等腰三角
形．若存在，求出所有符合条件的点
< br>P
坐标；不存在，请说明理由．
如图，
在平面直角坐标系中，
开口向下的抛
物线与
x
轴交于
A
、
B
两点，
D
是抛物线的顶点，
O
为坐标原点
.
A
、
B
两点的横坐标分别是方程
x
4
x
12
0
2
2
y
C
A
B
0
x
的
两根，且
cos
∠
DAB
＝
2
.
2
（
1
）求抛物线的函数解析式；
（
2
）作
AC
⊥
AD
，
AC
交抛物线于点
C
，求点
C
的坐标及直线
AC
的函
数解析式；
（
3
）在（
2
）的条件下，在
x
轴上方的抛物线上是否存在一点
P
，使△
APC
的面积最大？如
果存在，请求出点<
/p>
P
的坐标和△
APC
的最大面积；如果不存在，请说明理由
.
（
3
）存在点
P
（
4
，
3
）
，使
S
△
APC
最大
＝
54.
………………………………………………
1
分
理由如下：
作
CG
⊥
x
轴于
G
，
PF
∥
y
轴交
x
轴
于
Q
，交
AC
于
F.
设点
P
的横坐标是
h
，
则
G
（
10
，
0
1
1
1
2
，
P
（
h
，
(
h
2
)
4
）
，
(
h<
/p>
2
)
2
4
(
h
2
)
h
2
2
h
5
）
4
4<
/p>
4
F
（
h
，－
h
－
2
）
∴
PF
＝
………………………………
1
分
△
PCF
的高等于
QG .
S
△
APC
＝
S
△
APF
＋
S
△
PCF
1
1
PF<
/p>
·
AQ
＋
PF<
/p>
·
QG
2
2<
/p>
1
1
＝
PF
（
AQ
＋
QG
）＝
PF
·<
/p>
AG
……………………………………
………
1
分
2
2
1
1
2<
/p>
＝
(
h
2
h
5
)
12
2
4
3
2
＝
(
h
4
)
54
2
＝
∴当<
/p>
h
＝
4
时，
S
△
APC
最大<
/p>
＝
54.
点
P
的坐标为（
4
，
3
）
.
……………………………
1
分
1.
在△
ABC
中，
AB
＝<
/p>
AC
，以
AB
为
直径的半圆
O
交
BC
< br>于点
D
，
DE
< br>⊥
AC
，垂足为
E
．
（
1
< br>）求证：点
D
是
BC
的中点；
（
2
）判断
DE
与⊙
O
的位置关系，并证明你的结论；
1
（
3
）如果⊙
O
的直径为
9
，
co
s
B
＝
，求
DE
的长．
3
D
C
E
B
·
O
A
2.
如
图
<
/p>
ABC
内
接
于<
/p>
圆
O
，
AB
AC
，
直
线
MN
切
圆
O
于
点
C
，
弦
BD
//
MN
,
AC
与
BD
相交于点
E
。
A
D
E
N
B
C
（
1
）求证
ABE
≌
ACD
；
（
2
）若
AB
6
,
BC
4
,
求
AE
M
3.
已知
C
点在⊙
O
直径
BE
的延长线上，
CA
切⊙
O
于
A
点，
CD
是∠
ACB
的平分线交
AE
于点
F
，交
AB
于点
D
。
（
1
）求∠
ADF
的度数；
（
2
）若
AB=AC
，求
AC
的值。
BC
是⊙
O
的直径，
A
C
是弦，∠
BAC
的平分线
AD
交⊙
O
于点
D
，
DE
⊥
AC
，交
AC
的延长线
于点
E
，
OE
交
AD
于点
F
．
<
/p>
（
I
）求证：
D
E
是⊙
O
的切线；
（
II
）若
AC
2
AF
,
求
的值
.
AB
5
DF
5.
如图
：
AB
是⊙
O
的直径，
C
、
F
为⊙
O
上的点，
CA
是
BAF
的角平分线，过点
C
作
CD
⊥
AF
，交
AF
的延长线于
D
点，
CM
⊥
AB
，垂足为
M
，求证：
（
I
）
DC
是⊙
O
的切线
；
<
/p>
（
II
）
MB=
DF
。
6.<
/p>
如右图梯形
ABCD
内接于圆
O
，
AD//BC
，过<
/p>
B
引圆
O
切线分
别交
DA
、
CA
延长线于
E
、
F
< br>求证：
（
1
）
< br>AB
2
AE
< br>
BC
（
2
）已知
BC=8
，
CD=5
，
AF=6
，求
EF
长
1.<
/p>
如图①，
将边长为
4cm
的正方形纸片
ABCD
沿
EF
折叠
(
点
E<
/p>
、
F
分别在边
A
B
、
CD
上
)
，使点
B
落在
AD
边上的点
M
处，点
C
落在点
N
处，
MN
与
CD
交于点
P
，
连接
EP
．
(1)
如图②，若
M
为
AD
边的中点，
①,△AEM
的周长
=_____cm
；
②求证：
EP=AE+DP
；
(2)
随着落点
M
在
AD
边上取遍所有的位置
(
点
M
不与
A
、
D
重合
)
，△
PDM
的周长是否发
生
变化
?
请说明理由．
2.
在<
/p>
□
ABCD
中，
BC
＝
2AB
，
M
为
AD
的中点，设∠
ABC
＝
α
，过点
C
作直线
AB
的垂线，
垂足为点
E
，连
ME
。
（
1
）如图①，当
α
＝
< br>90
0
，
ME
< br>与
MC
的数量关系是
；∠
AE
M
与∠
DME
的
关系
是
。
（
2
）如图②，当
60
0
＜
α
＜
90
0
时，
请问：
（
1
）
中的两个结论是否仍然成立？若成立，
< br>请证明；
若不成立，请说明理由。
（
3
）如图③，当
0
0
＜
α
＜
< br>60
0
时，请在图中画出图形，
ME
与
MC
的数量关系是
；
∠
AEM
与∠
DM
E
的关系是
。
（证明）
图①
图②
图③
．
如图
1
，
Rt
△<
/p>
ABC
≌
Rt
△
EDF
，∠
ACB
=
∠
F
=90°
< br>，∠
A
=
∠
E
=30°
．△
EDF
绕着边
AB
的中
点
D
旋转，
DE
，
DF
分别交线段
．．
AC
于点
M
，
K
．
（
1
）观察：
①如图
2
、图
3
，当∠
CDF
=0°
或
60°
时，
AM
+
CK
_______
MK
(
填“
>
”
，
“
<
”
或“
=
”
)
．
②如图
4
，当∠
CDF
=3
0°
时，
AM
+
CK
___
MK
< br>(
只填“
>
”或“
<
”
)
．
< br>
（
2
）猜想：如图
1
，当
0°
＜∠
CDF
＜
60°
时，<
/p>
AM
+
CK
__
_____
MK
，证明你所得到的结论．
（
3
）如果
MK
2
CK
2
AM
2
，请写出∠
CDF
的度数和
MK
的值．
AM
E
E
E
F
C
K
M
A
D
图
1
M
L
A
D
C
(
F
,
K
)
B
图
2
B
F
K
A
(
M
)
D
图
3
C
E
F
K
C
B
（第
23
题）
M
A
D
图
4
B
如图
,
已
知抛物线
y
1
2
x
bx
c
与
y
轴相
交于
C
，与
x
轴相交于
A
、
B
，点
A
的坐标为
2
< br>1
2
1
x
x
1
2
2
（
2
，
0
）
，点
C
的坐标为（
0
，<
/p>
-1
）
.
（<
/p>
1
）求抛物线的解析式；
y
（
2
）点
E
是线段
AC
上一动点，过点
E
作
DE
⊥<
/p>
x
轴于点
D
，连
结
DC
，当△
DCE
< br>的面
积最大时，求点
D
的坐标；
点
D
的坐标为（
1
，
0
）
（
3
）在直线
BC
上是否存在一点
P
，使△
ACP<
/p>
为等腰三角形，若存在，求点
P
的坐标，
P
1
（
1.
已知
：如图，
AB
为⊙
O
< br>的弦，过点
O
作
AB
的平行线，交
⊙
O
于点
C
，直线
OC
上一点
D
满足∠
D
=
∠
ACB
.
（
1
）
判断直线
BD
与⊙
O
< br>的位置关系，并证明你的结论；
（
2
）若⊙
O
的半径等于
4
，
tan
ACB
2.
在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
，
BC
=9
，
CA
=12
，∠
ABC
的平分线
BD
交
10
10
10
10
5
7
1
）
P
2
（
-
1
< br>）
P
3
(1,
－
2)
P
4
(
,
－
)
，－
，
2
2
2
2
2
2
y
B
o
C
D
E
A
x
26
题图
4
，求
CD
的长
.
3
A
E
AC
于点
D
，
DE
⊥
DB
交
AB
于点
E
，⊙
O
是△
BDE
的外接圆，交
BC
于点
F
（
1
）求证
:
AC
是⊙
O
的切线
;
EF
（
2
）联结
E
F
，
求
的值
.
AC
<
/p>
3.
ABC
内
接于
B
O
D
F
C
（第
19
题）
O
，
AB
为直
径，
弦
CE
AB
于
F
，
C
是
AD
的
<
/p>
中点，连结
BD
并延长交
EC
的延长线于点
G
，连结<
/p>
AD
，分别交
CE
、
BC
于点
P
、
Q
．
（
1
）求证：
P
是
ACQ
的外心；
< br>（
2
）若
tan
ABC
（
3
）求证：
(
FP
PQ
)
FP
FG
．
2
3
,
CF
8
,
求
CQ
的长；
4
4.
已知
ABC
中，
AB=AC,
D
是
ABC
外接圆劣弧
AC
上的点（不与点
A,C
重合）
，<
/p>
延长
BD
至
E<
/p>
。
（
1
）
求证：
AD
的延长线平分
< br>
CDE
；
（
2
）
若
BAC=30
，
ABC
中
BC
边上的高为
2+
3
，
求
ABC
外接圆的面积。
w.w.w.
.s.5.
u.c.o.m
5.<
/p>
已知：如图，
AB
是⊙
< br>O
的直径，
E
是
AB
延长线上的一点，
D
是⊙
O
上的一点，且
AD
< br>平
分∠
F
AE
< br>，
ED
⊥
AF
< br>交
AF
的延长线于点
C
．
（
1
）判断直线
CE
与⊙
O
的位置关系，并证明你的结论；
（
2
）若
AF
∶
FC
=
5
∶
3
，
AE
=16
，求⊙
O
的直径
AB
长
6.<
/p>
⊙
O
是△
ABC
的外接圆
，
FH
是⊙
O
的切线，切点为
F
，
FH
∥
BC
，连结
AF
交
BC
于
E
，∠
ABC
的平分线
BD
交
AF
于
D<
/p>
，连结
BF
．
（
1
）证明：
AF
平分∠
BAC
；
< br>
（
2
）证明：
BF
＝
FD
；
（
3
）若
< br>EF
＝
4
，
DE
＝
3
，求
AD
的长．
F
A
O
C
D<
/p>
B
E
A
O
D
C
B
E
H
F
<
/p>
1.
如图
1
，<
/p>
点
C
位线段
BG
上一点，
分别以
BC
< br>、
CG
为边向外作正方形
BCD
A
和正方形
CGEF
，
使点
D
落在线段
FC
上，连结
AE,
点
M<
/p>
位
AE
中点
<
/p>
（
1
）求证：
M
D=MF
，
MD
⊥
MF
（
2
）如图
2,
将正方形
CGEF
绕点<
/p>
C
顺时针旋转
45
°，其他条件不变，探究：线段
MD
、
MF
的关系，并加以证明；
（
3
）如图
3
，将正
方形
AGEF
绕点
C
< br>旋转任意角度后，其他条件
不
同，探究：线段
MD
、
MF
的关系，并加
以证明。
2.
已知：在△
ABC
中
AB
＝
AC
，点
D
为
BC
边的中点，点
F
是
AB
边上一点，点
E
在线段
DF
的延长线上，∠
BAE
＝∠<
/p>
BDF
，点
M
在
线段
DF
上，∠
ABE
＝∠
DBM
．
（
1
）如图
1
，当∠
ABC
＝
45
°时，求证：
AE
＝
2
MD
；
（
2
）
如图
2
，
当∠
ABC
＝
60<
/p>
°时，
则线段
AE
、
MD
之间的数量关系为：
。
（
3
）在（
2
）的条件下延长
< br>BM
到
P
，使
< br>MP
＝
BM
，连接
CP
，若
AB
＝
7
，
AE
＝
2
7
，
< br>求
tan
∠
ACP
的值．
3.
已知：
在
ABC
中
ACB
90
，
CD
AB
于点
D
，
点
E
在
AC
上
，
BE
交
CD
于点
G
，
EF
BE
交
AB
于点
F
。
如
图甲，当
AC
BC
< br>时，且
CE
EA
时，则有
EF
EG
；
（
1
）如图乙①，当
AC
2
BC
时，且
CE
EA
时，则线段
EF
与
EG
的数量关系是：
EF
_____
EG
；
（
2
）如图乙②，当
AC
2
BC
时，且
CE
2
EA
时，请探究线段
EF
与
EG
的数量关
系，并证明你的结论
；
（
3
）当
AC
mBC
时且
CE
n
EA
时，则线段
EF
与
EG
的数量关系，并直接写出你
的结论（不论证明）<
/p>
；
4.
如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y
x
bx<
/p>
c
的图象与
x
轴交于
A
、
B
两点，
A
点
在原点的左侧，
B
点的坐标为（
3
，
0
）
，与
y
轴交于
C
（
0
，
-3
）点，点<
/p>
P
是直线
BC
下
方
的抛物线上一动点
.
2
（
1
）求这个二次函数的
表达式．
(
y
< br>x
2
x
3
)
（
2
）连结
PO
、
PC
，
并把△
POC
沿
CO
翻折，
得到四边形<
/p>
POP
C
，
<
/p>
那么是否存在点
P
，
使四边形
POP
C
为菱形？若存在
，
请求出此时点
P
的坐标
（
3
）
< br>当点
P
运动到什么位置时，
四边
形
ABPC
的面积最大并求出此时<
/p>
P
点的坐标和四边形
ABPC
的最大面积
.
(2)
P
点的坐标为（
/
/
< br>2
2
10
3
15
，
3
）
(3)
P
点的坐标为
,
，
75/8
< br>
2
2
2
4
,CD
是圆的两条平行弦，
BE//AC<
/p>
并交
CD
于
E<
/p>
，交圆于
F
，过
A
点的切线交
CD
延长
线于
P
，
PC
＝
ED
＝１，
PA=2
（
1
）求
AC
长
（
2
）求证
EF=BE
2.
已知
PA
与圆
相切，
A
为切点，
PBC
为割线，弦
CD//AP
，
AD
、
BC
相交于
E
，
F
为
CE
上
一点且
DE
EF
EC
求证：
(1)
P
DEF
，
(2)
CE
EB
EF
EP
3.
梯形
ABCD
内接于圆，
AD//BC
，
过点
< br>C
作圆的切线，交
BD
的延长线
于
P
，交
AD
延长线于
E
（
1
）求证
AB
DE
BC
(2)
若
BD=9
，
AB=6
，<
/p>
BC=9
，求切线
PC
长
4.
⊙<
/p>
O
的直径
AB
是
4
，过
B
点的
直线
MN
是⊙
O
的切线，
D
、
C
是⊙
O
上的两点，连结
AD
、
BD
、
CD
和
BC
．
(1)
求证：∠
CBN
＝∠
CDB
；
(2)
若
DC
是∠
ADB
的平分线，且∠
DAB
＝
15
°，求
DC
的长．
2
2
5.
如图，直角三角形
ABC
，∠
ABC=90
，
以
AB
为直径的圆交
AC
于
E
，点
D
是
BC
中点，连
OD
交圆于
M
（
1
）求证：
O
、
B
、
D
、
E
四点共圆（
2
）求证：
2
DE
DM
AC
DM
AB
6.<
/p>
如图，过圆
O
外一点
M
作它的一条切线，切点为
A
，过
A
点作直线
AP
垂直直线
OM
，
垂足为
P
.
（Ⅰ）证明：
OM
OP
OA
2
2
；
（Ⅱ）
N
为线段
AP
上一
点，直
B
A
K
线
NB
垂直直线
ON
< br>，且交圆
O
于
B
点．过
B
点的切线交直线
ON
于
K
．证
明：
∠
OKM
9
0
．
N
O<
/p>
P
M
7.
已知：如图所示，△
ABC
内接于⊙
O
，过点
A
的切线交
BC
的延长线于点
P
，
D
为
AB
的中点，
DP
交
AC
于
M
.
求证：
1.
△
ABC
和△<
/p>
DEF
是两个等腰直角三角形，∠
A=<
/p>
∠
D=90
°，△
DEF
的顶点
E
位于边
BC
的中点
上．
（
1
）如图
1
，设
DE
与
AB
交于点
M
，
EF<
/p>
与
AC
交于点
N
，求证：△
BEM
∽△
CNE
；
（
2
）如图
2
，将△
DEF
绕点
E
旋转，使得
DE
与
BA
的
延长线交
于点
M
，
EF
与
AC
交于点
N
，于是，除（
1
）中的一对
相似三角形
外，能否再找出一对相似三角形？并证明你的结论
2.
在菱
形
ABCD
和菱形
BEFG
中，点
A
，
B
，
E
在同一条直线
上
，
P
是
线
段
DF
的
中
点
，
连
结
PG
，
PC
．
若
F
D
D
A
M
B
E
图
1
PA
2
P
C
2
=
AM
M
C
.
M
A
N
N
C
B
E
图
2
F
C
ABC
BEF
60
，探究
PG
与
PC
的位置关系及
PG
的值．
PC
PG
的值；
PC
（
2
）将图
1
中的菱形
BEFG
绕点
B
顺时针旋转，使菱形
BEFG
的对角线
BF
恰好与菱形
．你在（
1
）中得到
ABCD
的边
AB
在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图
2
）
（
1
）写
出上面问题中线段
PG
与
PC
的位置关系及
的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（
3
）若图
1
中
ABC
BEF
2
(0
90
)
，将菱形
BEFG
绕点
B
顺时针旋转任
意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写
出
PG
的值（用含
< br>的式子表示）
．
PC
C
D
C
D
P
G
P
F
G
F
B
A
E
A
B
E
图
1
图
2
3.
在直角梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC,
∠
B=
90
0