第12讲四年级数学等差数列求和教案
-
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：
年
级：小四
课
时
数：
学员姓名：
辅导科目：
学科教师：
授课类型
授课日期及时段
C-
等差数列基础
C
-
等差数列求和
1
< br>C-
等差数列求和
2
教学内容
解决逻辑推理问题有什么方法，请你回顾一下，并说一说。
课堂导入
小时，爸爸妈妈常用数数的方法教我们学习数学。“
1
、
2
、
3
、
4
、
< br>5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
”；“
1
、
3
、
5<
/p>
、
7
、
9
”
“
2
、
4
、
6
、
8
、
10
”……那这些是数学
中的哪些知识点呢？这就是等差数列，我们来学习一下吧。
知识点梳理
知识点
< br>1
：
数列基础知识
按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做
项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中
共有的项的个数叫做项数。
知识点
2
：
等差数列与公差
一个数
列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列。
其中相邻两项的差叫做公差。
譬如：
2
、
5
、
8
、
11
、
14
、
17
、
20
、
L
从第二项起，每一项比前一项大
3
，递增数列
100
< br>、
95
、
90
< br>、
85
、
80
< br>、
L
从第二项起，每一项比前一项小
5
，递减数列
知识点
< br>3
：
常用公式
项数<
/p>
=
（末项
-
首项
）
公差
+1
公差
=
（末
项
-
首项）
（项数
-1
）
末项
=
首项
+
公差
（项数
-1
）
首项<
/p>
=
末项
-
公差<
/p>
（项数
-1
）
等差数列的总和
=
（首项
< br>+
末项）
项数
2
等差数列（奇数个数）的总和
=
中间项
项数
1
一、专题精讲
题型
1
：
找等差数列
例：
下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指
明公差，若不是，则说明理由。
①
6
，
10
，
14
，
18
，
22
，…，
98
；
②
1
，
2
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
< br>；
③
1
，
2
，
4
，
8
，
16
，
32
，
64
；
④
9
，<
/p>
8
，
7
，
6
，
5
，
4
，
3
，
2
；
⑤
3
，
3
，
3
，
3
，
3<
/p>
，
3
，
3
，
3
；
⑥
1
，
0
，
1
，
0
，
l
，
0
，
1
，
0
；<
/p>
分析：此题考查我们对等差数列的认识，根据等差数列每相邻
两个数等差的特点就可以判断。
【答案】①是，公差
d
=4.
②不是，因为数列的第
3
项减去第
2
项不等于数列的第
2
项
减去第
1
项
.
③不是，因为
4-2
≠
2-1. <
/p>
④是，公差
d
=
l
.
⑤是，公差
d
=0.
⑥不是，因为第
1
项减去第
2
项不等于第
2
项减去第
3
项。
< br>题型
2
：
找项数
例：聪明的小
，你知道每一行数列各有多少个数字吗
？
（
1
）
3
、
4
、
5
、
6
、……、<
/p>
76
、
77
、<
/p>
78
（
2
）<
/p>
2
、
4
、
6
、
8
、……、
96
、
98
、
100
（
3
）<
/p>
1
、
3
、
5
、
7
、……、
87
、
89
、
91
（
4
）
4
、
7
、
10
、
13
、……、<
/p>
40
、
43
、<
/p>
46
分析：⑴
连续的自然数列，
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
……
，对应的是这个数列的第
1<
/p>
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、……
，发现它的项数比对应数字小
2
，所以
78
是第
76
项，那么这个数列就有
76
项．对于
连续的自然数列，它们的项数是：末项－首项
+1
．<
/p>
⑵
如果添上
此数列所缺的一些奇数，就变成了
1
、
2
、
3
、
4<
/p>
、
5
、
6
、
7
、
8
、……、
95
、
96
、
97
、
98
、
99
、
100<
/p>
，可知这个数列是
100
项．让它们两两
结合有：
（
1
、
2
）
、
（
3
、
4
）
、
（
5
、
6
）
、
（
7
、
8
）
、……、
（
95
、
96
）
、
（
97
、
98
）
、
（
99
、
100
）
，奇数在每一组的第
1
位
，偶数在第
2
位，而且每组里偶数比奇数大，同学们一
看就知道，
共有
100
÷
2=50
组，
每组把偶数找出来，<
/p>
那么原数列就有
50
项了．
这样的方法我们称为
“添
数配组法”
．
⑶
利用“添数配组法”得：
（
1
、<
/p>
2
）
、
（
3
、
4
）
、
（
5
、
6
）
、
（
7
、
8
）
、……、
（
87
、
88
）
、
（
89
、
90
）
、
（
91
、
92
）
，
1
～
92
有
92
项
，每组
2
项，那么可以得到
92
÷
2=46
组，所以原数列有
46
项．
⑷
利用“添数配组法”得：
（
4
、
5
、
6
）
、
< br>（
7
、
8
、
9
）
、
（
10
、
11
、
12
）
、
（<
/p>
13
、
14
、<
/p>
15
）
、……、
（
46
、
47
、
48
）
，
注
意每两项的差是
3
，那么每组有
3<
/p>
个数，数列中的数都在每组的第
1
位，所
以
46
应在最后一组第
1
位，
4
到
48
有
48-4+1=45
项，每组
3
个数，所以共
45
÷
3=14
组，原数列有
15
项．当然，我们还可以有
其他的配组方法．
【答案】⑴
76
⑵
50
⑶
46
⑷
15
<
/p>
题型
3
：
求首项
例：
一个数列共有
< br>13
项，每一项都比它的前一项多
7
，并且末项为
125
，求首项是多少？
分析：根据题意，把数列反推。
解：把数列列出来：
125
，
118
，
111
，<
/p>
104
，
97
，
90
，
83
，
76
，
69
，
62
，
55
，
48
，
41
。
答：首项是
41.
2
题型
4<
/p>
：
求通（某）项
例：
把比
100
大的奇数从小到大排
成一列，其中第
21
个是多少？
分析：该数列为等差数列，首项为
101
，
公差为
2
，第
21
个数的项数为
21.
则
101+<
/p>
（
21-1
）×
2=141
答案：
141
题型
5
：
求末项
例：
已知一个等差数列第
9
项等于
131<
/p>
，第
10
项等于
137
，这个数列的第
1
项是多少？第
19
项是多少？
分析：找到等差，可以把数列列出来。
解：
83
，
89
，
95
，
101
，
107
，
113
，
119
，
125
，
131
，
137
，
143
，
149
，
155
，<
/p>
161
，
167
，
173
，
179
，
185
，
191.
答：第一项是
83
，第
1
9
项是
191
。
二、专题过关
检测题：
1
、有一列数是按
2
，
5
，
8
，
11
，
14
……规律排列的一串数
，第
21
项是多少？
解：第
21
项看做末项。末项
=2+
（
21-1<
/p>
）×
3=62
2
、在下面
12
个方框中各填入一个数，使这
12
个数从左到右构成等差数列，其中
10
、
16
已经填好，这
12
个数的和
为
。
16
<
/p>
10
<
/p>
解：
（
4+
26
）
×
12÷
2=
180
< br>3
、从
1
开始的奇数：
1
，
3
，
5
，
7
，……其中第
100
个奇数是
。
解：这是奇数列，相当于
200
以内的所有奇数，所以是
199.
4
、观察右面的五个数：
19
、
37
、
55
、
（
）
、
91
排列的规律，推知（）里填
______
_
。
解：
19+18=37
，
37+18=55
，所以（）
=55+18=73
5
、在等差数列
6
，
13
，
20
，
27
，…中，从左向右数，第
_______
个数是
1994
。
解：
（
1994
-6
）÷
7=284
，
284+1=285
即第
285
个数是
1994
．
6
、在
5
、
8
、
< br>11
、
14
、
< br>17
、
20
、
< br>L
，这个数列有多少项？它的第
201
< br>项是多少？
65
是其中的第几项？
解：它是一个无限数列，所以项数有无限多项．第
n
项
=
首项
+
公差×（
n-1
）
，所
以，
第
201
项
=5+3
×（
201-1
）
=605
，
3
对于数列
5
，
8
，
11
，
L
，
65
，一
共有：
n=(65-5)
÷
3+1=2
1
，即
65
是第
21
项．
【答案】无限多项；第<
/p>
201
项是
605
；
65
是第
21
项
.
7
、已知数列
0
、
< br>4
、
8
、
12
、
16
、
20
、……
，它的第
43
项是多少？
解：第
43
项：
0+4
×（
43-1
）
=168
8
⑴如果一个等差数列的第
4
项为
21
，第
6
项为
33
，求它的第
8
项<
/p>
.
⑵如果一个等差数列的第
3
项为
16
，第
11
项为
72
，求它
的第
6
项
.
解：⑴要求第
8
项，必须知道首项和公差．第
6
项
-
第
4
项（
6-4
）×公差公差
，所以
，
公差
=6
；第
4
项
<
/p>
首项
+3
×公差
，
21=
首项
+3
×
6
，所以，首项
=3
；
第
8
项
+
首项
< br>+7
×公差
=45
．
⑵公差
=7
，首项
=2
，第
6
项
=37
．
答案：⑴
45
⑵
37
9
、已知一个等差数列第
8
项等于
50
，第
15
项等于
71.
请问这个数列的第
1
项是多少？
解：<
/p>
71-50=21
。
21
÷（
15-8
）
=3
（公差）
。
50=
首项
+
（
8-1
）
×
3
。所以首项
=29
【答案】
29
10
、如果一等差数列的第
4
项为
21
，第
10
项为
57
，求它
的第
16
项．
解：要求第
16
项，必须知道首项和公差
+3
×
6
．第
10
项－第
4
项
=
（
1
0-4
）×公差，所以，公差
=6
；
第
4
项
=
首项
+3
×公差
，
21=
首项，所以，首项
=3
；第
16
项
=
首项
+15
×公差
=93
．
【答案】
93
11
、挑战一下吧．
⑴
3
、
5
< br>、
7
、
9
、
11
、
13
、
15
、……
，这个数列有多少项？它的第
102
项是多少？
⑵
0
、
4
、
8
、
12
、
16
、
20
、……
，它的第
43
项是多少？
⑶已知
等差数列
2
、
5
、
8
、
11
、
14
……
，问
47
是其中第几项？
⑷已知等差数列
9
、
1
3
、
17
、
2
1
、
25
、
……
，问
9
3
是其中第几项？
解：⑴它是一个无限数列，所以项数有无限多项．
第
n
项
=
首项
+
公差×（
n-1
）
，所以，第
102
项
=3+2
×（
102-1
）
=205
；
⑵第
43
项
=0+4<
/p>
×（
43-1
）
=168
．
⑶首项
< br>=2
，公差
=3
，我们可以这样
看：
2
、
5
、
8
、
11
、<
/p>
14
…
、
47
，那么这个数列有：
n=(47-2)
÷
3+1=16
，
即
47
是第
16
项
．其实求项数公式，也就是求第几项的公式．
⑷
n=(93-9)
÷
4+1
=22
．
【答案】⑴无限多项；
205
⑵
168
⑶
16
⑷
22
三、学法提炼
1
、专题特点：
等差数列是数列中的基础，在初高中的数学科占有很重
要的地位。等差数列中涉及到等差、项、项数等较抽象的
数学名词，这需要学生理解其中
的术语并逐渐运用到解题中。
4
2
、解题方法
（
1
）相邻相减找公差；
（
2
）运用相应公式进行计算：求末项，用通项
公式；求和，用求和公式。
（
3
）列举计算。
3
、注意事项
（
1
）要先
判断题目是否符合等差数列的特点；
（
2
）项数的运算要注意＋
1.
课堂导入
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
99
＋
100
＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头
计算，小高斯却很快算出答案等于
5050
。高斯为什么算得又
快又准呢？原来
小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99
＝
3
＋
98
＝…＝
49
＋<
/p>
52
＝
50
＋<
/p>
51
。
1
～
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数
的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050<
/p>
。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和
问题。
知识点梳理
知识点
1
：
等差数列求和公式
等差数列的总和
=
< br>（首项
+
末项）
项数
2
等差数列（奇数个数）的总和
=
中间项
项数
<
/p>
n
n
1
1
2
3
L
n
2
1
< br>
3
5
(
2
n
1
)
n
知识点
2
：
等差中项定理
对于任意一个项数为奇
数的等差数列，
中间一项的值等于所有项的平均数，
也等于首项
与末项和的一半；
或者换
句话说，各项和等于中间项乘以项数．
2
一、专题精讲
题型
1
：
自然数列求和
例：
求
1+2+3+4
+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14
的和是
。
分析：根据数列的求和公式即可算。
5
解：等差数列的总和
=
（首项
+
末项）
项数
2
（
1+14
）×（
14
÷
2
）可以去括号得
=
（
1+1
4
）×
14
÷
2
=105
题型
2
：
偶数数列、奇数数列
求和
例
1
：
一个等差数列
2
，
4
，
6
，
8
，
10
，
1
2
，
14
，这个数列各项的和是多少？
分析：根据中项定理，这个数列一
共有
7
项，比较一下，我们选用求和公式中的：各项的和等于中
间项乘以项数。
解：
8
×
7=56
答：这个数列的各项的和是
56.
例
2
：
1+
3+5+7+
…
1995+1997+1999
分析：这一串加数可以组成首项为
1
、末项为
1999
，公差为
2
的等差数列，
项数
< br>
（
1999
1
）
2
1
1000
< br>，
解：原式
=
（
1+1999
）×
1000
÷
2
=2000<
/p>
×
1000
÷
2
=1000000
二、专题过关
检测题：
一、求出下列各数列的和。
1
、用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？
⑴
3+4+5+6+
…
+76+77+78
⑵
1+3+5+7+
…
+97+99
解：
=
（
3+78
）×
76
÷
2
解：
=
（<
/p>
1+99
）×
50
÷
2
=3078
=2500
⑶
4+7+10+13+
……
40+43+46
解：
=
（
4+46
）×
15
÷
2
=375
二、解决问题。
（
< br>1
）
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
L
是个连续偶数列，如果其中五个连
续偶数的和是
320
，求它们中最小的一个．
< br>
解：利用等差数列的“中项定理”
，对于奇数个连续
自然数，最中间的数是所有这些自然数
的平均值，五个连续偶
数的中间一个数应为
320
÷
5=64
，因相邻偶数相差
2
，故这五个偶数依
次是
60
、
62
、
64
、
66
、
68
，其中最小的是
60
．
6