小学数学奥数基础教程(五年级)高斯求和
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肖老师讲奥数
(
五年
级
基础教程
)-
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，
上学时，
有一天老师出了一道题让同学们
计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
99
＋
100
＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答
案等于
5050
。高斯
为什么算得又快
又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99<
/p>
＝
3
＋
98
＝…＝
49
＋
52
＝
50
＋
51
。
1
～
100
正好可
以分成这样的
50
对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这
道题
巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050
。
小高斯使用的这种求和方法，真是
聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差
数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为
数列
，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为
首项
，
最后一项称为
末项
。
后项与前项之差都相等的数列称为
等差数
列
，
后项与前项之差称为
公差
。例如：
（
1
）
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，…，
100
；
（
2
）
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，…，
99
；
（
3
）
8
，
15
，
22
，
29
，
36
，…，
71
。
其中（
1
）是首项为
1
，末项为
100
，公差为
1
的等差数列
；（
2
）是首项为
1
< br>，末
项为
99
，公差为
2
的等差数列；（
3
）
是首项为
8
，末项为
71
，公差为
7
的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到
等差数列的求和公式
：
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
。
例
1.
1
＋
2
＋
3
＋…＋
1999
＝？
分析与解
：这串加数
1
，
2
，
3
，…，
1999
是等差数列，首项是
1
< br>，末项是
1999
，共有
199
9
个数。由等差数列求和公式可得
原式
=
（<
/p>
1
＋
1999
）
×
1999
÷
2
＝
1999000
。
注意：
利
用等差数列求和公式之前，
一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数
列。
例
2.
11
＋
12
＋
13
＋…＋
31
＝？
分析与解
：这串加数
11
，
12
，
13
，…，
31
是等差数列，首项是
11
，末项是
31
，共有
31-11
＋
1
＝
21
（项）。
原式
=<
/p>
（
11+31
）×
21
÷
2=441
。
在利用等差数列求和公
式时，
有时项数并不是一目了然的，
这时就需要先求出项数。<
/p>
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数
=
（末项
-
首项）÷公差
+1
，
末项
=
首项
+
公差×（项数
-1
）
。<
/p>
例
3.
3<
/p>
＋
7
＋
11
＋…＋
99
＝？
分析与解
：
3
，
7
，
11
，
…，
99
是公差为
4
< br>的等差数列，
项数
=
（
99
－
3
）÷
4
＋
1
＝
25
，
原式
=
（
3
＋
99
）×
25
÷
2
＝
1275
< br>。
例
4.
< br>求首项是
25
，公差是
3
的等差数列的前
40
项的和。
解
：末项
=25
＋
3
×（
40-1
）＝
142
，
和
=
（
25
＋
142<
/p>
）×
40
÷
2<
/p>
＝
3340
。
利用等差数列求和公式及求项数和
末项的公式，
可以解决各种与等差数列求和有关
的问题。
例
5.
在下图中
，每个最小的等边三角形的面积是
12
厘米
2
，边长是
1
根火柴棍。问：
（
1
）最大三角形的面积是多少平方厘米？
（
2
）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：
最大三角形共有
8
层，从上往下摆时，
每层的小三角形数目及所用火柴数目
如下表：
由上表
看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
< br>解
：（
1
）最大三角形面积为<
/p>
（
1
＋
3
＋
5
＋…＋
15
）×
12
＝［（<
/p>
1
＋
15
）×<
/p>
8
÷
2
］×
12
＝
768
（厘米
2
）
。
（<
/p>
2
）火柴棍的数目为
3
＋
6
＋
9+
…
+24
＝（<
/p>
3
＋
24
）×<
/p>
8
÷
2=108
（根）。
答：最大三角形的面积是
768
厘米
2
，整个图形由
108
根火柴摆成。<
/p>
例
6.
盒子
里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成
3
只
球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成
3
只球后放回盒子
里……第十次从盒子里拿出十只
球，
将每只球各变成
3
只球后放回到盒
子里。
这时盒子
里共有多少只乒乓球？
分析与解
：一只球变成
3
只球，实际上多了
2
只球。第一次多了
2
只球，第二次多了
2
×<
/p>
2
只球……第十次多了
2
×
10
只球。因此拿了十次后，多了
< br>
2
×
1
＋
2
×
2
＋…＋
2
×
10
＝
2
×（
1
＋<
/p>
2
＋…＋
10
）
＝
2
×
55
＝
110
（只）。
加上原有的
3
只球，盒子里共有球
110
＋
3
＝
113
（只）。
综合列式为：（
< br>3-1
）×（
1
＋
2
＋…＋
10
）＋
3
＝
2
×［（
1
＋
10
）×
10
÷
2
］＋
3
＝
113
（只）。
举一反三★巩固练习