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2021年2月27日发(作者：向前进歌词)

五

巧算求和

德国有一位世界著名的数学家叫高 斯（公元

1977

年～

1855

年）

．他上小学时，老师出

了一道数学题：< /p>

1+2+3+

…

+100=

？小高斯看了看题目，

想了一下，

很快说出了结果是

5050

．

他

的同学无不为之惊奇，甚至还有的同学以为他在瞎说．但小高斯得出的结果被确定是正确

的．

同学们，

你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真 审题的基础上，

根据题的特

点，发现了这样的有趣现象：

1+100=101

，

2+99=101

，

3+98=101

，…，

50+51=101

．一共有

多少个

< br>101

呢？

100

个数，每两个 数是一对，共有

50

对，即共有

50< /p>

个

101

，所以

1+2+3+

…

+100

=10 1

×

50

，

也就是：

（

1+100

）×（

100

< p>
÷

2

）

=101

×

50=5050

．

高斯的老师所出的题目，实际上是 数列的求和问题．那么什么是数列呢？

按照一定次序排列的一列数叫做数列．

数列中的数叫做数列的项，

第一个数叫做第一项，

又叫做首项 ；第二个数叫做第二项；……；最后一个数叫做末项．

高斯的老师所出的题目，实际上是求数列：

< br>1

，

2

，

3

，

4

，…，

99

，

100

的和．这个数列

有什么特点呢？可以发现：

2-1=3-2=4-3=

…

=100-99=l

，

即从 第二项起，

每一项与它前一项的

差都相等，像这样的数列叫做等 差数列，这个相等的差叫做这个等差数列的公差．如：

1

，

2

，

3

，

4

，…是等差数列，公差为

1

；

< br>

1

，

3

，

5

，

7

，…是等差数列，公差为

2

；

2

，

5

，

< br>8

，

11

，…是等差数列，公差 为

3

．

由高斯的巧算可以得到：

1+2+3+

…

+98+99+100=

（

1+ 10O

）×（

100

÷

2

）

，

即（

1+ 100

）×

100

÷

< br>2

．由此可以得出等差数列的求和公式：

总和

=< /p>

（首项

+

末项）×项数÷

2

．

我们利用这个公式，可以很迅速地求出等差数列的前

n

项的和．

问题

5.1

计算下列各题：

（

1

）

1+3+5+

…

+99

；

（

2

）

1+4+7+

…

+100

；

< p>

（

3

）

1949+1959+1969+1979+19 89+1999+2009

．

分析（

1

） 这是一个公差为

2

的等差数列，首项是

1

，末项是

99

，项数是

50

，所以

1+3+5+

…

+97+99=

（

1+99

）×< /p>

50

÷

2

=100

×

25=2500

．

（

2

）这是 一个公差为

3

、首项是

1

、末项是

100

、项数是

3 4

的等差数列，所以

1+4+7+

…

+97+100=

（

1+100

） ×

34

÷

2

=101

×

17=1717

．

（

3

）这是 一个公差是

10

、首项是

1949

、末项是

2009

、项数是

7

的等差数列，所以

1949+1959+1969+1979+1989+1999+2009

=

（

1949+2009

）×

7

÷

2=1979

×

7=138 53

．

在上面的解题过程中，

怎样根据等差数列的首项、

末项及公差来确定项数呢？同学们经

过分析完全可以得出下面的计算公式：< /p>

项数

=

（末项

-

首项） ÷公差

+1

．

另外，当这个等差数列是奇数个项 时，总和

=

中间项×项数．

同学们想一想这是为什么？

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