最新初中数学几个常用模型
劳动模范事迹-四川青城山
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初
中
数
学
几
个
数
学
模
型
模型１、
l:r=360
:n
①
圆锥母线长
5cm
，底面半径长
3cm
，那么它的侧面展开图的圆心角是
216
。
②
劳技课上，
王芳制作了一个圆锥形纸帽，
其尺寸如图．
则将这个纸帽展开
成扇形时的圆心
角等于（
C
）
A
．
45
°
Ｂ．
60
°
C
．
90
°
Ｄ．
120
°
0
0
③
要制作一个圆锥形的模型，
要求底面半径为２
cm
，
母线长为４
cm
，
在一个边长为
8cm
的正
方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）
（
C
）
（Ａ）一个也不能做
（Ｂ）能做一个
（Ｃ）可做二个
（Ｄ）可做二个以上
4
、
（
2004
河北
T7
）
在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形
,
使之恰好围成如图所示的圆锥模型
.
设圆的半径
为
r,
扇
形的半径为
R,
则圆半径与扇形半径之间的关系是
（
D
）
A
、
2r=R
B
、
r
R
C
、
3
r
R
D
< br>、
4
r
R
模型
2
、
角平分线
+
平行
=
等腰三角形
如图，
ABC
中
BD
、
CD
平分∠
ABC
、∠
ACB
，
过
D
作直线平行于
BC
，
交
AB
、
< br>AC
于
E
、
F
，当∠
A
的位置及大小变化时，
线段
EF
和
BE+CF
的
大小关系（
B
）
.
（
A<
/p>
）
EF>BE+CF
< br>（
B
）
EF=BE+CF
（
C
）
在△
EF
（
D
）不能确定
模型
3
、
一副三角板
0
①
ABC
中，
a=1,b=
3
,
∠
A=30<
/p>
，则∠
B=___60___
度。
9
4
②
两个全等的含
30
,
6
0
角的三角板
ADE
和三角板
ABC
如图所示放置，
E,A,C
三点在一条
直线上，
连结
B
D
，
取
BD
的
中点
M
，
连结
ME
，
MC
．
试判断△
EMC
的形状，
并说明理由．
（等
腰直角三角形）
0
0
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③（
2006
邵阳
T8.
）
将一副三角板按图（一）叠放，则
△
AOB
与△
DOC
< br>的面积之比等于
（
1
：
3
）
④（
2005
年浙江绍兴
< br>T18
．
）
（以下两小题选做一
题，第（
1
）小题满分
5
分，第（
2
）小题
满分为<
/p>
3
分。若两小题都做，以第（
1
）小题计分）
选做第
________
小题，答案为
________
（
1
）
将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积
S
1
:
S
2
之比等于
________
（
2
）
将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积
A
< br>1
:
A
2
之比等于
________
⑤（
2
006
年武汉市
T24
．
10
分）
已知：将一副三角板
(
Rt
△
ABC
和
Rt
△
DEF
< br>)
如图①摆放，
点
E
、
A
、
D
、
B
在一条直线上，且
D
是
AB
的中点。将
Rt
△
DEF
绕点
D
顺时针方向旋
转角
α
(0
°＜
α
＜
90
°
)
，在旋转过程中
，直线
DE
、
AC
相交于点
M
，直线
DF
、
BC
相
交于点
N
，分别过点
M
、
N
作直线
AB
的垂
线，垂足为
G
、
H
。
（
1
）当
α
＝
30
°时
(
如图②
)
，求证：
AG
=
DH
；
（
2
）当
α
＝
60
°时
(
如图③
)
< br>，
(1)
中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理
由；
（
3
）
当
0
°＜
α
＜
90
°时，
(1)
中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。
F
F
45
°
C
C
(
N
)
E
M
60
°
E
A
B
D
A
G
D
H
B
图①
图②
第
24
题图
E
C
C
E
F
F
N
M
M
N
A
G
D
H
B
A
G
D
H
B
图④
图③
第
24
题图
0
⑥
一副三
角板由一个等腰直角三角形和一个含
30
的直角三角形组成
,
利用这副三角板构成
0
< br>一个含有
15
角的方法较多
,<
/p>
请你画出其中两种不同构成的示意图
,
并
在图上标出必要的标注
,
不写作法
.
⑦
将一副三角尺如图摆放一起
,
连接
AD,
则∠
A
DB
的余切值为
.
⑧如图，
ABC
中，
ACB
< br>
90
，
B
30
，
AC
1
，过点
C
作
CD
1
AB
于
D
1
，
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文档
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D
D
AB
D
3
过
D
1
作
D
1
D
2
BC
于
D
2
，过
D
2
作
2
3
于
，这样继续作下去，……，线段
D
n
D
n
1
能等于（
n
为正整数）
n
n
1
3
3
2
(A)
(B)
2
3
3
2
2
(D)
(C)<
/p>
n
n
1
C
D
2
D
4
D
6
A
D
1
D
3
D
5
C
⑨已知∠
AOB=90
°，
OM
是∠
AOB
的平分线，按
以下要求解答问题：
（第⑧题图）
（
1
）将三角板的直角顶点
P
在射线
OM
上移动
,
两直角边分别与边
OA
< br>，
OB
交于点
C
，
D..
①在图甲中，证明：
PC=PD
；
B
3
②在图
乙中，点
G
是
CD
与
OP
的交点，且
PG=
2
PD
，求△
POD<
/p>
与△
PDG
的面积之比
< br>.
（
2
）将三角板的直角顶点
P
在射线
OM
上移动，一直角边与边
OB
交于点
D<
/p>
，
OD=1
，另一直
角边与直线
OA
，直线
OB
分别交于点
C
，
E<
/p>
，使以
P
，
D<
/p>
，
E
为顶点的三角形与△
OCD
相似，在
图丙中作出图形，试求
OP
的长
.
A
A
A
M
M
M
P
P
C
C
O
D
B
O
O
B
D
B
图甲
图乙
图丙
⑩如
图，客轮沿折线
A
－
B
－
C
从
A
出发经
B
再到
C
< br>匀速航行，货轮从
AC
的中点
D
出发沿某
一方向匀速直线航行，
将一批
物品送达客轮。
两船同时起航，
并同时到达折线
A
－
B
－
C
的某
点
E
处，已知
AB
＝
BC
＝
200
海里，∠
ABC
＝
90
°，客轮速度是货轮速度的
2
倍。
（
1
）选择：两船相遇之处
E
点（
）
。
A
、在线段
AB
上
B
、在线段
BC
上
C
、可以在线段
AB
上，
也可以在线段
BC
上
（
2
）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里
?
（结果保留根号）
。
A
D
C
B
⒒将一把三角尺放在边长为
1
的正方形
ABCD
上，
并使它的直角顶点
P
在对角线
AC
上滑动，
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直角的另一边始终经过点<
/p>
B
，另一边与射线
DC
< br>相交于点
Q
。设
A
、
P
两点间的距离为
x
，
（
1
）当点
Q
在
CD
上时，线段
PQ
、
P
B
之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论。
（
2
）
当点
Q
在
CD
上时，
求四边形
PBCQ
的面积
y
与
x
的函数解析式，
并求出
X
的取值范围；
<
/p>
（
3
）
当点
P
在线段
AC
上滑
动时，
三角形
PCQ
是否能为等腰三角
形？如果可能，
指出所有可
能使三角形
PCQ
成为等腰三角形的点
Q
的位置，
并求出相应
D
的
X
的值；如果不能说明理由（以下三个图的形状，大小相
A
P
1
同，以供操与解题时备用）
3
Q
4
O
解：
（
1
）
PQ=PB
证明：连接
BD
交
AC
于点
O
，连接
PD
，如图（
1
）
四边形
ABCD
是正方形
B
AC<
/p>
垂直平分
BD
，
ODC
OCD
45
PB=PD
，
4
90
1
2
图
(1)
0
0
C
PB
PD
3
4
90
0
1
3
2
3
PDQ
2
ODC
2
45
0
PQD
3
O
CD
3
45
0
<
/p>
PDQ
PQ
D
PD
P
Q
PB
P
Q
（
2
）连
接
BD
交
AC
于点
O
，作
QE
AC
于点
E
（如图
2
）
A
P
O
E
C
Q
D
……………………………..4
分
<
/p>
PB
PQ<
/p>
,
PBO
<
/p>
QPE
,
<
/p>
POB
QE
P
90
0
POB
QEP
2
Q
E
OP
O
A
AP
x
B
2
1
1
S
PBCQ<
/p>
S
PBC<
/p>
S
PCQ<
/p>
PC
(
BO<
/p>
QE
)
(
2
x
)(
2
x
)
2
2
1
y
x
2
1
(
1
x
<
/p>
2
)
2
………………………………………………4
分
< br>
（
3
）可能
当
P
与
A
重合时，
Q
与
D<
/p>
重合，有
PQ=QC
，
< br>X=0
当
PC=CQ
时，且<
/p>
Q
在
DC
的延长
线上时，
（图形
3
）
< br>，连接
BD
交
AC
于点
O
，连接
BQ
，则
2
2
2
2
2
x
,
BQ
BC
CQ
1
< br>
(
2
x
)
CQ=PC=
由（
1
）证得，
PB=PQ
，<
/p>
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PB
2
(
2
1
BQ
)
2<
/p>
1
(
2
x
)
2
2
2
A
O
P
B
C
D
PB
2
BO
2
OP
2
1
2
2
2
1
(
2
x
)
2
(
)
2
< br>(
x
)
2
2
2
由
x
1
…………….3
分
12.
如图，操作：将一把三角尺放在边长为
< br>1
的正方形
ABCD
上，并使<
/p>
它的直角顶点
P
在对角线
AC
上滑动，直角的一边始终经过点
B
，另一
边与边
DC
或射线
DC
相交于点
Q
。
当点
Q
在边
CD
上时，
线段
PQ
与线段
PB
之间有怎样的大小关
系？试证
明你观察得到的结论；
②
当点
Q<
/p>
在边
CD
运动上时，
设四边形
PBCQ
的面积为
S
时，
试用含有
x
的
代数式表示
S
：
③
当点
P<
/p>
在线段
AC
上滑动时，△
PCQ
是否可能成为等腰三角形？如果
可能，指出所有
能使△
PCQ
成为等腰三角形的点
Q<
/p>
的位置，并求出相应
的
x
的值；如果不可能，试说明理由。
Q<
/p>
①过点
P
作
PE
AB
交
AB
于
E,
过点
P
作
PF
CD
交
BC
于
F
-----1
分
PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE
∴
BE=PF
------2
分
0
0
EPB
FPQ
90
EPB
EBP
90
∴
EBP
FPQ
------3
分
∴
<
/p>
PEB
PF
Q
------4
分
∴
PB=PQ
--------5
分
设
PM=x,BM=1-x, QC=1-x-x=1-2x
S
S
PBC
S
PCQ
1
1
BC
PM
CQ
PF
2
2
1
1
1
x
(2
x
1)
x
2
2
< br>
x
2
-----------
8
分
③有可能成为等腰三角形，求出
x
值
-------11
分
13
．
（
12
分）用两个全等的等
边三角形△
ABC
和△
ACD
拼成菱形
ABCD.
把一个含
< br>60
°角的三
角尺与这个菱形叠合，使三角尺的
60
°角的顶点与点
A
重合，两边分别与
AB
，
AC
重合
.
将
三角尺绕点<
/p>
A
按逆时针方向旋转
.
（
1
）当三角尺的两边分别与菱形的两边
BC
，
CD
相交于点
E
，
F
时，
（如图
13
—
1
）
，通过观
察或测量
BE
，
CF
的长度，你能得出什么结论
？并证明你的结论；
（
2
）当三角尺的两边分别与菱形的两边
BC
，
CD
的延长线相交于点
E
，
F
时（如图
13
—
2
）
，
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你在（
1
）中得到的结论还成立吗？简要说明理由
.
（
1
）
BE=CF
.
……
2
分
证明：在△
ABE
和△
ACF
中，
∵∠
BAE+
∠
EAC=
∠<
/p>
CAF+
∠
EAC=60
°，
∴∠
BAE=
∠
CAF.
∵
AB=
AC
，∠
B=
∠
ACF=60
°，∴△
ABE
≌△<
/p>
ACF
（
ASA
）
.
……
4
分∴
BE=CF.
……
6
分
<
/p>
（
2
）
BE=C
F
仍然成立
.
根据三角形全等的判定
公理，同样可以证明△
ABE
和△
AC
F
全等，
BE
和
CF
是它们的对应边
.
所以
BE=CF
仍然成立
.
………………………………
10
分
<
/p>
27
．
（
8
分）
等腰△
ABC
，
AB=AC=
８，
∠
BAC=12
0
°，
P
为
BC
的中点，
小慧
拿着含
30
°
角的透明三角板，使
30
°角的顶点落在点<
/p>
P
，三角板绕
P
点旋转．
（
1
）如图
1
，当三角板的两边分别交
A
B
、
AC
于点
E
、
F
时．问△
BP
E
与△
CFP
< br>是否相似；
（
2
）
操作：
将三角板绕点
P<
/p>
旋转到图
2
情形时，
三角板的两边分别交
BA
的延长线、
边
AC
于点
E
、
F
．
①
探究１：△
BP
E
与△
CFP
< br>还相似吗？（只需写出结论）
②
探究２：连结
EF
，△
BP
E
< br>与△
PFE
是否相似？请说明理由；
③
设
EF=m
，△
EPF
的面积为
S
，试用
m
的代数式表
示
S
．
E
A
A
E
F
F
C
B
P
C
B
P
(2)
(1)
（
1
）如图
，由题意得∠
FPC+
∠
BPE=15
0,
∠
BEP+
∠
< br>BPE=150
∴∠
BEP=
∠
FPC
又∵∠
B=
∠
C=30
∴△
BP<
/p>
E
～△
CFP
…
………………
2
分
（
2
）①△
BP
E
与△
CFP
还相似
……………………………………
3
分
②△
BP
E
与△
PFE
相似，
……………………………………
4
分
由△
BP
E
与△
CFP
相似，得
即
BE
P
E
BE
PE
，又∵
BP=CP
∴
,
CP
FP
BP
FP
BE
BP
，又∵∠
B=
∠
EPF=30
∴△
BP
E
～△
PFE
……………
6
分
PE
FP
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< br>
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③如图，∵△
BP
E
～△
PFE
，∴∠
PEB=
∠
PEF
作
PH
⊥
BE
于点
H,PG
⊥
EG
于点
G,
则
PH=PG
………
7
分
在
Rt
△
BPH
中
,
PH
BP
sin
PBH
=
2
3
∴
S=
3
m
………………
8
分
模型
4<
/p>
知二求四
H
B
A
E
F
G
(2)
P
C
在上图中隐含有以下重要性质：
⑴两对相等的锐角；∠
A=
∠
BCD
,
∠
B=
∠
ACD
2
2
2
⑵三对相似三角形
:
⊿
ACD
∽⊿
CBD
∽⊿
ABC,
AC
=AD
·
AB
BC
=BD
·
AB
CD
=BD
·
AD
⑶边之比的推广
< br>⑷面积
:AC
·
BC=AB
·
CD
⑸勾股定理
⑹
AB
是
Δ
ABC
外接圆的直径
①
②③④⑤
∽
模型
5
增长率
①②③④⑤⑧增长率与百分数问题
i
ii
某商品降价
20%
后出售，一段时间后恢复原价，则应在售价的基础上提高的百分数是
（
）
A
、
20%
B
、
25%
C
、
30%
D
、
35%
某商品经过两次降价，由
每件
100
元降至
81
元，则平均每次降价的百分率为（
）
A
、
8.5%
B
、
9%
C
、
9.5%
D
、
10%
iii
模型
6
垂径
定理
①
如图：一个残破的圆钢轮，为
了再铸做一个同样大小的圆轮，请用圆规、
直尺作出它的圆
心（
不用写作法，保留作图痕迹）
。
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②
③
在直径为
10m
的圆柱形油槽内装入一些油
后，
截面如图所示，如果油面宽
AB=8m
，那么油的最
大深度是
______m.
模型
7
配方法
2
用配方法解关于
x
< br>+px+q=0
时，此方程可变为（
A
< br>）
p
2
p
2
4
q
p
4
q
p
2
p
2
p
2
4
q
p
2
4
< br>q
p
2
(
x
)
(
x
)
2
(
x
)
(
x
)
< br>2
4
2
4
2
4
2
4
A
．
B
．
C
．
D
．
模型
8
三个非负量
初中阶段学过三个非负量：平方数
，绝对值
，算术平方根
。它们具有
以下性质：
①非负性；
②
n
个非负量之和仍
为非负量；③若
n
个非负量之和为
0<
/p>
，
则每个非
负量必须同时为
0
；
④当
a=0
时，
有最大值。
①
如图所示，化简
< br>、
、
都有最小值，
相反
都
(
a
b
)
2
< br>a
b
（
）
A
、
2
a
B
、
2
b
C
、－
2
b
D
、－
2
a
a
0
b
②
③
④
⑤
模型
9<
/p>
全等三角形模型
①
i
（
2006
年安徽
T 13
，
3
分）
如图，直线
L
过正方形
ABCD
的顶点
B ,
点
A
、
C
到直线
L
的距离分别是
1
和
2 ,
则正方形的边长是
S
1
1
2
S
2
3
S
3
S
4
l
ii
（
2005
年温州
T
18
，
3
分）
在直线
l
上依次摆放着七个正方形
(
如图所示
)
。已知斜放置的
三个正方形的面积分别是
1
、
2
、
3
，正放置的四个正方形的面积依次是
S
1
、
S
2
、
S
3
、
S
4
，则
S
1
＋
S
2
＋
S
3
＋
S
4
＝
__
_____
。
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②（
2004
年临沂
T
21
，
7
分）
如图△
ABC
中，∠
B=2
∠<
/p>
A, AB=2BC
。求证：∠
C=90
°
B
模型
10
方程模型
①（
2004
年河北
T 20
，
4
分．
）
、扑克牌游戏
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步
分
发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步
从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步
从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步
左
边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入
左边一堆。
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中
间一堆的张
数是
。
②（
20
0
年山东枣庄
T
，分．
）
如图所示，若将正方形分成
k
个全等的矩形，
其中上、下各横排两个，中间竖排若干个
，则
k
的值为
；
③
i
（
2006
年山东枣庄
T
18
，
4
分．
）
．右图是由
9
个等边三角形拼成的六
边
形
，
若
已
知
中<
/p>
间
的
小
等
边
三
角
形
的
边
长
是
a
，
则
六
边
形
的
周
长
是
.
ii
（
200
年
T
，
分．
）<
/p>
如图，一个长方形被划分成大小不等的
6
个
正方形，
已知中间的最小的正方形的面积为
< br>1
平方厘米，
则这个长方形的
面
积为
.
友情提醒：北师大版
年级
册
P
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右边给出的是
2004
年
3
月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思
想来研究
，发现这三个数的和不可能是（）
(A) 69
(B) 54
(C) 27
(D)40
A
C
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