将军饮马问题的11个模型及例题
中国民间传说-什么动物天天熬夜
.
..
将军饮马问题
问题概述
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题
方法原理
1.
两点之间，线段最短；
2.
三角形
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.
中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4.
垂线
段最短
.
基本模型
1.
已知：如图，定点
A
、
B
分布在定直线<
/p>
l
两侧；
要求
：在直线
l
上找一点
P
，使
PA+PB
的值最小
<
/p>
解：连接
AB
交直线
l
于点
P
，点
P
即为所求
,
PA+PB
的最小
值即为线段
AB
的长度
理由：在
l
上任取异于点
P
的一点
P
´
，连接
AP
´
、
BP
´
，
在△
ABP
’中，
AP
´
+BP<
/p>
´
>AB
，即
A
P
´
+BP
´
>AP+BP
∴
P
为直线
AB
与直线
l
的交点时，
PA+PB
最小
.
2.
已知：
如图，定点
A
和定点
B
在定直线
l
的同侧
要求：在直线
l
上找一点
P
，使得
PA+PB
值最小
（或△
ABP
的周长
最小）
解：
作点
A
关于直线
l
的对称点
A
´
，
连接
A
´
B
交
< br>l
于
P
，
点
P
即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线
l
为线段
AA
´
的中垂线，
由中垂线的性质得：
PA=PA
´
，要使
PA+
PB
最小，则
需
PA
´
+PB
值最小，从而转化为
模型
1.
.
s
..
.
..
3.
已知：
如图，定点
A
、
B
分布在定直线
l
的同侧（
A
、
B
两
点到
l
的距离不相等）
要求：在直线
l
上找一点
P
，使
︱
PA-
PB
︱的值最大
解：连接
BA
并延长，交直线
l
于点
P
，点
P
即为所求；
理由：
此时︱
PA-PB
︱
=AB
，
在
l
上任取异于点
P
的一点<
/p>
P
´
，
连接
AP
´
、
BP
´
，由三角形的三边关系知︱
P
´
A-P
´
B
︱
分布在定直线 <
br> <
br>如图，直线 的中点， <
br>OA
PC+PD ′交 <
br>，此时 <
br>0 <
br>y=0 6
为
，
即︱
P
´
A-P
´
B
︱
<
︱
PA-
PB
︱
4.
已知：
如图，定点
A
、
B
l
的两侧（
A
、
B
两
点到
l
的距离不相等）
要求：在直线
l
上找一点
P
，使
︱
PA
-PB
︱的值最大
解：
作点
B
关于直线
l
的对称点
B
´
，
连接
B
´
A
并延长交
于点
P
，点
P
即为所求；
理由：根据对称的性质知
l
为线段
BB
´
的中垂线，由中垂
线的性质得：
PB=PB
´<
/p>
，要使︱
PA-
PB
︱最大，则需
︱
PA-
PB
´︱值最大
，从而转化为模型
3.
典型例题
1-1
y=
x+4
与
x
轴、
y
轴分别交于
点
A
和点
B
，
点
C
、
D
分别
为线段
AB
、
OB
点
P
为
上一动点，
当
PC+PD<
/p>
最小
时，点
P
的
坐标为
_________
，此时
PC
+PD
的最小值为
_________.
【
分析
】符
合基本模型
2
的特征，作点
D
关于
x
轴的对称点
D'
，连
接
CD'
交
x
轴于点
P
，此时
PC+PD
值最小，由条件知
C
D
为
△
BAO
的中位线，
OP
为
△
CDD'
的中位线，易求
O
P
长，从
.
s
..
.
..
而求出
P
点坐标；
的最小值即
CD'
长，
可用勾股定理（或两点之间的距离公
式，实质相同）计算
. <
/p>
【
解答
】
连接<
/p>
CD
，
作点
D<
/p>
关于
x
轴的对称点
D
′，
连接
CD
x
轴于点
P
PC+PD
值最
小．令<
/p>
y=
x+4
中
x
=0
，则
y=4
，
∴点
B
坐标（
，
4
）
；令
y=
x+4
中
，则
x+4=0
，解得：
x=
﹣
6
，∴
点
A
的坐标为（﹣
，
0
）
．∵点
C
、
D
分别为线段
AB
、
OB
的中点，∴
CD
为△
BAO<
/p>
的
中位线，
∴
CD
∥
x
轴，且
CD=
1
2
AO=3
，
∵点
D
′和点
D
关
于
x
轴对称，∴
O
DD
′的中点，
3
D
′（
0
，
-1
）
，∴
OP
为△
CDD
′的中位线，
∴
OP=
1
2
CD=
2
，
∴点
P
的坐标为（﹣
，
0
）
．在
Rt
△
CDD
′中，
CD
′
=
CD
2
D
D
2
=
3
2
4
2
=5
，即
PC+PD
的最小值为
5.
【
小结
】还可
用中点坐标公式先后求出点
C
、点
P<
/p>
坐标；若题型变
化，
C
、
D
不是
< br>AB
和
OB
中点时，则先求直线
CD
′的解析
式，再求其与
x
轴的交点
P
的坐标
.
典型例题
1-2
如图，在平面直角坐
标系中，已知点
A
的坐标为（
0
，
1
）
，点
B
的坐标为（
PB|
最
，﹣
2
）
，点
P
在直线
y=
﹣
x
上运动，当
|PA
﹣
大时点
P
的坐标为
_________
，
|PA
﹣
PB|
的最大值是<
/p>
_________.
【
分析
】符合基本模型
4
的特征，作
< br>A
关于直线
y=
﹣
x
对称点
C
，
连接
BC
，可得直线<
/p>
BC
的方程；求得
BC
< br>与直线
y=
﹣
x
的
.
s
..
.
..
交点
P
的坐标；此时
< br>|PA
﹣
PB|=|PC
﹣
PB|=BC
取得最大值，
再用两点之间的距离公式求此最大值
.
【
解答
】作
A
关于直线
y=
﹣
x
< br>对称点
C
，易得
C
的坐标为（﹣
1
，
0
）
；连接
BC
，可得
直线
BC
4
4
的方程为
y=
﹣
5
x
﹣
5
，与直线
< br>y=
﹣
x
联立解得交点坐标
P
为（
4
，﹣
4
）
；此时
|PA
﹣
PB|=|PC
﹣
< br>PB|=BC
取得最大值，最大值
BC=
(
3
2
1
)
(
2
)
=
2<
/p>
2
41
2
；
【
小结
】
“两点一线”大多考查基本模型
2
和
4
，需作一次对称点，连线得交点
.
变式训练
1-1
< br>已知菱形
OABC
在平面直角坐标系的位置如图所示，顶
点
A
（
5
，<
/p>
0
）
，
OB=4
短
时，点
P
的坐标为（
）
，点<
/p>
P
是对角线
OB
上的一个动点，
D
（
0
，
1
）
，当
< br>CP+DP
最
A
．
（
0
，
0
< br>）
B
．
（
1
，
）
< br>
C
．
（
< br>，
）
D
．
（
，
）
变式训练
1-2
如图，菱形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于点
O
，
AC=2
，
BD=2
,E
为
AB
的中点，
P
为对角线
A
C
上一动点，则
PE+PB
的
最小值为
__________.
变式训练
1-3
如图，已知直线
y=
x+1
与
y<
/p>
轴交于点
A
，与
x
轴交于点
D
，抛物线
y=
x
+bx+c
2
与直线交于
A
、
E
两点，与
x
轴交于
B
、
C
两点，且
B
点坐标为（
1
，
< br>0
）
．
（
1
）求该抛物线的解析式；
.
s
..
.
..
（
2
）在抛物线的对称轴上找一点
M
，使<
/p>
|AM
﹣
MC|
的值最大，求出点
M
的坐标
.
拓展模型
1.
已知：如图，
A
为锐角∠
MON
外一定点；
要求：在射线
OM
< br>上找一点
P
，在射线
ON
上找一点
Q
，使
AP+PQ
的值最小
.
解：过点
A
作
AQ
⊥
ON
于点
Q
，
AQ
与
OM
相交于点
P
，此
时，
AP+PQ
最小；
理由
：
AP+PQ
≧
AQ
< br>，当且仅当
A
、
P
、
Q
三点共线时，
AP+PQ
取得最小值
AQ
，根据垂线段最短，当
AQ
⊥
ON
时，
AQ
最小
.
2.
已知：如图，
A
为锐角∠
MON
内一定点；
要求：在射线
OM
< br>上找一点
P
，在射线
ON
上找一点
Q
，使
AP+PQ
的值最小
.
解：作点
A
关于
OM
的对称点
A
′，过点
A
′作
AQ
⊥
ON
于点
Q<
/p>
，
A
′
Q
交
OM
于点
<
/p>
理
由
：
由
轴
对
称
的
性
质
知
只需
A
′
P+PQ
最小，从
3.
已知：
如图，
A
为锐角∠
MON
内一定点；
要求：在射线
OM
上找一点
P
，在射线
ON
上找一点
Q
，使
△
APQ
的
周长最小
.
s
..
P
，此时
AP+PQ
< br>最小；
AP=A
′
P
，要使
AP+PQ
最小
，
而转化为拓展模型
1
.
..
解：分别作
A
点关于直线
OM
的对称点
A
1
,
关于
ON
的对
称点
A
2
，连接
A
1
A
2
交
OM
于点
P
，交
ON
于点
Q
，点
P
和点
Q
即为所求，
此时△
APQ
周长最小，最小值
即为线段
A
1
A<
/p>
2
的长度；
理
由：由轴对称的性质知
AP=A
1
P<
/p>
，
AQ=A
2
Q
，△
APQ
的周
长
AP+PQ+AQ=A
1
P+PQ+A
2
Q
，
当
A
1
、
P<
/p>
、
Q
、
A
2
四点共线
时，其值最小
.
4.
已知：
如图，
A
、
B
为锐角∠
MON
内两个定点；
要求：在
OM
上找一点
P
，在
ON
上找一点
Q
，使
四边形
APQB
的周长最小
解：作点
A
关于直线
OM
的对称点
A
´
，作
点
B
关于直线
ON
的对称点
B
´
< br>，连接
A
´
B
< br>´
交
OM
于
P
，交
ON
于
Q
，
则点
P
、点
Q
即为所求，此时四边形
APQB
周长的
< br>最小值即为线段
AB
和
A
´
B
´
的长度之和；
理由：
AB
长为定值，由基本模型将
PA
转化为
P
A
´
,
将
<
/p>
QB
转化为
QB
´
，当
A
´
、
P
、
Q
、
B
´
四点共线时，
PA
´
+
PQ
+
QB
´
的
值最小，即
PA
+
PQ
+
QB
的值最小
.
5.
搭桥模型
已知：
如图，
直线
m
∥
n,A
、
B
分别为
m
上方和
n
下方的定
点，
（直线
AB
不与
m
垂直）
要求：在
m
、
n
之间求作垂线段
PQ
，使得
AP+PQ+BQ
最小
.
分析：
PQ
为定值，只需
AP+BQ
最小，可通过平移
，使
P
、
Q
“接头”
，转化为基本模型
解：如图，将点
A
沿着平行于
< br>PQ
的方向，向下平移至
点<
/p>
A
′，使得
AA
′
=PQ
，连接
A
′
B
交直线
n
于点
.
s
..
.
..
Q
，过点
Q
作
PQ
⊥
n
，交
直线
m
于点
P
，线段
PQ
即
为所求，此时
AP+PQ+BQ
最小
.
理由：易知四边形
QPAA
′为平
行四边形，则
QA
′
=PA
，
当
B
、
Q
、
A
′三点共线时，
QA
′
+BQ
最小，即
AP+BQ
最小，
PQ
长为定值，此时
AP+
PQ+BQ
最小
.
6.
已知：如图，定点
A
、
B
分布于直线
l
两侧，长度为
a
(a
为定值
)
的线段
PQ
在
l
上移动（
P
在<
/p>
Q
左边）
要求：确定
PQ
的位置，使得
AP+PQ+QB
最小
分析：
PQ
为定值，只需
AP+QB
的值最小，可通过平移，
使
P
、
Q
“接头”
，转化为基本模型
解：将点
A
沿着平行于
l
的方向，向右
移至
A
´
，使
AA
´
=
PQ
=a,
连接
A
´
B
交直线
l
于点
Q
，在
l
上截取
< br>
PQ=a
（
P
在
Q
左边）
，则线段
PQ
即为所求，此时
AP+PQ+QB
的最小值为
A
´
B+PQ
，即
A
´
B+a
理由：易知四边形
APQA<
/p>
´
为平行四边形，则
PA=QA
´
，
当
A
´
、
Q
< br>、
B
三点共线时，
QA
´
+QB
最小，即
PA
+QB
最小，又
PQ
长为定值此时<
/p>
PA+PQ+QB
值最小
.
7.
已知：如图，定点
A
、
B
分布于直线
l
的同侧，长度
a
(a
为定值
)
的线段
PQ
在
l
上移动（
P
在
< br>Q
左边）
要求：确定
PQ
的位置，使得
四边形
APQB
周长最小
分析：
AB
长度确定，只需
AP+PQ+QB
最小，通过作
A
点
<
/p>
关于
l
的对称点，转化为上述模型
3
解：作
A
点关于
l
的对称点
A
´
，将点
A
´
沿着平行于
l
的方向，向右移至
A<
/p>
´
´
，使
A
´
A
´´
=PQ=
a
，连接
A
´
´
B
交
l
于
Q
，在
l
上截
取
QP=a
（
P
在
Q
左边）
，线段
< br>
PQ
即为所求，此时四边形
A
PQB
周长的最小值为
A
´
´
B+AB+PQ
，即
A
´
´
B+A
B+a
.
s
..
.
..
典型例题
2-1
< br>如图，在矩形
ABCD
中，
AB
=10
，
BC=5
，若点
M
、
N
分别是线段
AC
、
AB
上的两个动
点，则
BM+MN
的最小值为
．
【
分析<
/p>
】
符合拓展模型
2
的特征，
作点
B
关于
AC
的对称点
E
，
再过
点
E
作
AB
的垂线段，该垂线段的长即
BM+MN
的最小值，借
助等面积法和相似可求其长度
.<
/p>
【
解答
】作点
B
关于
AC
的
对称点
E
，再过点
E
< br>作
EN
⊥
AB
< br>于
N
，则
BM+MN=EM+M
N
，
其最小值即
EN
长；∵
AB=10
，
BC=5
，
∴
AC=
AB
2
BC
2
=5
5
，
等面积法求得
AC
边上的高为
10
5
=2
5
，∴
BE=4
5
，
5
5
，代入数据解得
EN=
8
．
易知△
ABC
∽△
ENB
，∴
即
BM+MN
的最小值为
8<
/p>
．
【
小结
】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作
定点或动点关于定直线的对称点，
有些题作定点的对称点易解，
有些题则作动点的
对称点易解
.
典型例题
2-2
如图，∠
AOB=60
°，点
P
是
∠
AOB
内的定点且
OP=
，点
M
、
N
分别
是射线
OA
、
OB
上异于点
O
的动点
，
则△
PMN
周长的最小值是
（
）
A
．
B
．
C
．
6 D
．
3
【
分析
】<
/p>
符合拓展模型
3
的特征；
作
P
点分别关于
OA
、
OB
的对称点
C
、
D
，连接
CD<
/p>
分别交
OA
、
O
B
于
M
、
N<
/p>
，此时△
PMN
周长最小，其值为
CD
长；根据对
称性连接
OC
、
OD
，分析条件知△
OCD
是顶角为
120
°的等腰三角形，作底边上高，
易求底边
CD.
【
解答
】作
P
点分别关于
OA
、
OB<
/p>
的对称点
C
、
D
，连接
CD
分别交
OA
、
OB
于
M
、
N
，如图，
< br>
则
MP=MC
，
NP=ND
，
OP=OD=OC=
< br>，∠
BOP=
∠
BOD
，∠
AOP=
∠
AOC
，
∴
PN+
PM+MN=ND+MN+NC=DC
，∠
COD=
∠
BOP+
∠
BOD+<
/p>
∠
AOP+
∠
A
OC=2
∠
AOB=120
°，
∴此时△
PMN
周
长最小，作
OH
⊥
CD
于
H
，
.
s
..
.
..
则
C
H=DH
，∵∠
OCH=30
°，∴<
/p>
OH=
OC=
CH=
OH=
，∴
CD=2CH=3
．<
/p>
，
即△<
/p>
PMN
周长的最小值是
3
；
故选：
D
．
【
小结
】根据对称的性质，发现△
OCD
是顶角为
120
°的
等腰三角形，是解题的关键，也是难点
.
典型例题
2-3
如图，已知平行四边
形
ABCO
，以点
O
< br>为原点，
OC
所在的直
线为
x
轴，
建立直角坐标系，
< br>AB
交
y
轴于点
D
，
AD=2
，
OC=6
，
∠
A=60
°，
线段
EF
所在
的直线为
OD
的垂直平分线，
点
P
为
线段
EF
上的动点，
PM
⊥
x
轴于点
M
点，
点
E
与
E
′关
于
x
轴
对称，连接
BP
、
E
′
M
．
（
1
）请直接写出点
A
坐标为
，点
B
坐标为
；
（
2
）当
BP+PM+ME
′的长度最小时，请求出点
P
的坐标
.
【
分析
】
（
1
）解直角三角形求出
O
D
，
BD
的长即可解决；
（
2
）
< br>符合
“搭桥模型”
的特征；
首先
证明四边形
OPME
′是平行四边形，
可得
OP=EM
，
PM
是定值，
PB+ME
′
=OP
+PB
的值最小时，
BP+PM+ME
′的长度最小，此时
P
点为
直线
OB
与
EF
的交点，
结合
OB
的解析式可得
P
点坐标；
【
解答
】
（
1
）在
Rt
△
ADO
中，∵∠<
/p>
A=60
°，
AD=2
< br>，
∴
OD=2
•
tan60
°
=2
，∴
A
（﹣
2
，
2
）
，
∵四边形
ABCO
是平行
四边形，∴
AB=OC=6
，
∴
DB=6
﹣
2=4
，∴
B
（
4<
/p>
，
2
）
（
2
）如图，连接
O
P
．∵
EF
垂直平分线段
OD
，
PM
⊥
OC
，
∴∠
PEO=
∠
EOM=
∠
PMO=90
°，∴四边形
OMPE
是矩形，
∴
PM=
OE=
，∵
OE=OE
′，∴
PM=OE
′，
PM
∥
OE
′，
∴
四边形
OPME
′是平行四边形
, <
/p>
∴
OP=EM
，∵
PM
是定值，∴
PB+ME
′
=OP+PB
的值最小时，
BP+PM+ME
′的长度最小，
∴当
O
、
P
、
B
共线时，
BP+PM+ME
′的
长度最小，∵直线
OB
的解析式为
y=
∴
P
（
2
，
）
．
x
，
【
小结
】
求没有公共端点的两条线段之和的最
小值，
一般通过作对称和平移
（构造平行四边
< br>形）的方法，转化为基本模型
.
.
s
..