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8．6.3 平面与平面垂直

考点

二面角

学习目标

理解二面角的有关概念，会求简
单的二面角的大小

理解两平面垂直的定义，掌握两
平面垂直的判定定理

理解平面和平面垂直的性质定
理，并能用文字、符号
平面与平面垂直的性质定理

和图形语言描述定理，能应用面
面垂直的性质定理
解决有关的垂直问题



问题导学
预习教材P155－P161的内容，思考以下问题：
1．二面角的定义是什么？
2．如何表示二面角？
3．二面角的平面角的定义是什么？
4．二面角的范围是什么？
5．面面垂直是怎样定义的？
6．面面垂直的判定定理的内容是什么？
7．面面垂直的性质定理的内容是什么？

1．二面角
(1)定义：从一 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角
的棱，这两个半平面叫做二面角 的面．
(2)图形和记法
图形：

记作：二面角α­
AB­β或二面角α­
l
­β或二面角
P
­
AB
­
Q
或二面角
P
­
l
­
Q
．
2．二面角的平面角
(1)定义：在二面角α­
l
­β的棱
l上任取一点
O
，以点
O
为垂足，在半平面α和β内

- 1 -
核心素养
直观想象、数学运算
平面与平面垂直的判定定理

直观想象、逻辑推理
直观想象、逻辑推理

分别作垂直于棱
l
的射线
OA
和
OB
，则射线
OA
和
OB
构成的∠
AOB
叫做二面角的平面角．
(2)图形、符号及范围
图形：

符号：

α∩β＝
l
，
O∈
l


OA
⊂α，
OB
⊂β
⇒∠
AOB
是二面角的平面角．
OA
⊥
l
，
OB
⊥
l


范围：0°≤∠
AOB
≤180°．
(3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个
二面 角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
■名师点拨
(1)二面角的大小与垂足
O
在
l
上的位置无关．一个二面角的平面 角有无数个，它们的大
小是相等的．
(2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内” “垂直”．即二面角的平面角的顶
点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与 棱垂直，这三个条件
缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱 垂直．

3．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角 ，就说这两个平面
互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．
(2)判定定理
文字语言

如果一个平面过另一个平面的垂
线，那么这两个平面垂直

图形语言

符号语言



l
⊥β



⇒α⊥β
l
⊂α


■名师点拨
定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的
垂线．


4．平面与平面垂直的性质定理
文字语言

两个平面垂直，如果一个平面内 有一直线垂直于这两个平面的交
线，那么这条直线与另一个平面垂直


- 2 -

符号语言


α⊥β

α∩β＝
l
a
⊂α
a
⊥
l




⇒
a
⊥β


图形语言

作用

①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
■名师点拨
对面面垂直的性质定理的理解
（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.


判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.（ ）
（2）二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.（ ）
（3）如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）
（4）如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.（ ）
（5）如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.（ ）
答案：（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）×
在二面角α­
l
­β的棱
l
上任选一点
O
，若∠
AOB
是二面角α­l
­β的平面角，则必须具
有的条件是（ ）
A.
AO
⊥< br>BO
，
AO
⊂α，
BO
⊂β
B.
AO
⊥
l
，
BO
⊥
l
C.
AB
⊥
l
，
AO
⊂α，
BO
⊂β
D.
AO
⊥
l
，
BO
⊥
l
，且< br>AO
⊂α，
BO
⊂β
答案：D
已知直线
l
⊥平面α，则经过
l
且和α垂直的平面（ ）
A.有1个
C.有无数个
答案：C
若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A.α∥γ
C.α与γ相交但不垂直


B.有2个
D.不存在
B.α⊥γ
D.以上都有可能
- 3 -

解析：选D. 由题意知，α与γ可能平行，也可能相交.如图，α与δ平行，α与γ相
交.

如图 ，
P
是二面角α­
l
­β内的一点，
PA
⊥α，
P B
⊥β，垂足分别为
A
，
B
.若∠
APB
＝80° ，
则二面角α­
l
­β的大小为 Ｗ.

答案：100°


二面角的概念及其大小的计算
（1）在正方体ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
中，截面
A
1
BD
与底面
ABCD
所成锐二面角
A
1
­
BD
­
A
的正切值
为（ ）
A.
3

2
B.
2

2
C.2 D.3
（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二 面角的两个半平面，则这两个二面角
的大小关系为（ ）
A.相等
C.相等或互补
B.互补
D.不确定
【解析】 （1）如图所示， 连接
AC
交
BD
于点
O
，连接
A
1
O
，
O
为
BD
的中点，因为
A
1
D＝
A
1
B
，所以在△
A
1
BD
中，< br>A
1
O
⊥
BD
.

又因为在正方形
ABCD
中，
AC
⊥
BD
，所以∠
A
1
OA
为二面角
A
1
­
BD
­
A
的平面角.
设
AA
1
＝1，则
AO
＝
21
.所以ta n∠
A
1
OA
＝＝2.
2
2
2
（2）反 例：如图，在正方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
分别是
CD
，
C
1
D
1
的中点，二面角
D
­
AA1
­
E
与二面角
B
1
­
AB
­
C
的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不
互补.
【答案】 （1）C （2）D

（1）求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求”.

- 4 -

（2）作出二面角的平面角的方法
方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内
分别作垂直于棱的射线.
如图所示，∠
AOB
为二面角α­
a
­β的平面角.
方法 二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，
过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利 用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示，∠
AFE
为二面角
A
­
BC
­
D
的平面角.
方法三：（垂面法）过棱上一点 作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，
这两条交线所成的角即为二面角的平面角.
如图所示，∠
AOB
为二面角α­
l
­β的平面角.
[提醒] 二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点
作平面角的顶点.
若
P
是△
ABC
所在平面外一点，而△
PBC
和 △
ABC
都是边长为2的正三角形，
PA
＝6，
那么二面角
P
­
BC
­
A
的大小为 Ｗ.

解析： 如图，取
BC
的中点
O
，连接
OA
，
OP
，则∠
POA
为二面角
P
­
BC
­
A
的平 面角，
OP
＝
OA
＝3，
PA
＝6，所以△
POA
为直角三角形，∠
POA
＝90°.
答案：90°

平面与平面垂直的判定
角度一 利用定义证明平面与平面垂直
如图，在四面体
A BCD
中，
BD
＝2
a
，
AB
＝
AD＝
CB
＝
CD
＝
AC
＝
a
.求证：平 面
ABD
⊥平面
BCD
.
【证明】 因为△
ABD
与△
BCD
是全等的等腰三角形，
所以取
B D
的中点
E
，连接
AE
，
CE
，则
AE< br>⊥
BD
，
BD
⊥
CE
.
在△
ABD
中，
AB
＝
a
，
BE
＝
BD
＝
1
2
2
a
，
2
22
所以
AE
＝
AB
－
BE
＝
同理
CE
＝
2
a
.
2
2
a
，在△
AEC
中，
2
2
a
，
AC
＝
a
.
2
AE
＝
CE
＝

- 5 -

由于
AC
＝
AE
＋
CE
，
所以
AE
⊥
CE
，∠
AEC
是二面角
A
­
BD
­
C
的平面角，又因为∠
AEC
＝90°，
所以二面角
A
­
BD
­
C
为直二面角，
所以平面
ABD
⊥平面
BCD
.
角度二 利用判定定理证明平面与平面垂直
如图，在四棱锥
P
­
ABCD
中，若
PA
⊥平面
ABCD
且四边形
ABCD
是菱形.求证 ：平面
PAC
⊥
平面
PBD
.
【证明】 因为
PA
⊥平面
ABCD
，
222
BD
⊂平面
ABCD
，
所以
BD
⊥
PA
.
因为四边形
ABCD
是菱形，
所以
BD
⊥
AC
.
又
PA
∩
AC
＝
A
，
所以
BD
⊥平面
PAC
.
又因为
BD
⊂平面
PBD
，
所以平面
PAC
⊥平面
PBD
.


证明平面与平面垂直的两种常用方法
（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义，这两个相交平面互相垂直.
（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只 要证线面垂直.即在其中一个平面内
寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其 基本步骤是：

1
如图所示，四边形
ABCD
为正方形，< br>PD
⊥平面
ABCD
，
PD
∥
QA
，
QA
＝
AB
＝
PD
.证明：平面
2
PQC
⊥平面
DCQ
.
证明：由四边形
ABCD
为正方形，可得
CD
⊥
AD
，
又
PD
⊥平面
ABCD
，
所以
PD
⊥
CD
，
PD
⊥
AD
，
故
CD
⊥平面
AQPD
，从而
CD
⊥
PQ
.
1
如图所示，取
PD
的中点
E
，连接
QE
.因为
PD
∥
QA
，
QA
＝
PD，则
DE
∥
AQ
，且
DE
＝
AQ
，
2
从而四边形
AQED
是平行四边形，

- 6 - < /p>

则
QE
∥
AD
，所以
QE
⊥
PD
，
所以
DQ
＝
QP
.
设
QA
＝1，则
AB
＝1，
PD
＝2.
在△
DQP
中，
有
DQ
＝
QP
＝2，
PD
＝2.
所以
DQ
＋
QP
＝
PD
，
故∠
PQD
＝90°，即
DQ
⊥
PQ
.
又
CD
∩
DQ
＝
D
，
所以
PQ
⊥平面
DCQ
.
又
PQ
⊂平面
PQC
，
所以平面
PQC
⊥平面
DCQ
.

面面垂直的性质定理的应用
已知
P
是△
ABC
所在平面外的一点 ，且
PA
⊥平面
ABC
，平面
PAC
⊥平面
222
PBC
，求证：
BC
⊥
AC
.
【证明】 如图， 在平面
PAC
内作
AD
⊥
PC
于点
D
，

因为平面
PAC
⊥平面
PBC
，平面
PAC∩平面
PBC
＝
PC
，
AD
⊂平面
PAC，且
AD
⊥
PC
，
所以
AD
⊥平面
PBC
，
又
BC
⊂平面
PBC
，所以
AD
⊥
BC
.
因为
PA< br>⊥平面
ABC
，
BC
⊂平面
ABC
，
所以
PA
⊥
BC
，
因为
AD
∩
PA
＝
A
，
所以
BC
⊥平面
PAC
，
又
AC
⊂平面
PAC
，所以
BC
⊥
AC
.


利用面面垂直的性质定理应注意的问题
若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直 的性质定理将其转化为线面垂直、
线线垂直.应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是 前提条件；②直线必须
在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.
如图，△< br>ABC
是正三角形，若
AE
⊥平面
ABC
，平面
BC D
⊥平面
ABC
，
BD
＝
CD
，求证：
A E
∥
平面
BCD
.
证明：如图，取
BC
的中点
M
，
连接
DM
，
AM
，

- 7 -

因为
BD
＝
CD
，
所以
DM
⊥
BC
.
又因为平面
BCD
⊥平面
ABC
，
DM
⊂平面
BCD
，两平面交线为
BC
，
所以
DM
⊥平面
ABC
，
又
AE
⊥平面
ABC
，
所以
AE
∥
DM
.
又因为
AE
⊄平面< br>BCD
，
DM
⊂平面
BCD
，
所以
AE
∥平面
BCD
.

垂直关系的综合问题

如图，△
ABC
为正三角形，
EC
⊥平面
ABC
，
BD
∥
CE
，且
CE
＝
CA
＝2
BD
，
M
是
EA
的中点，
求证：
（1）
DE
＝
DA
；
（2）平面
BDM
⊥平面
ECA
；
（3）平面
DEA
⊥平面
ECA
.
【证明】 （1）如图，取
EC
的中点
F
，连接
DF
.
因为
EC
⊥平面
ABC
，
BC
⊂平面
ABC
，
所以
EC
⊥
BC
.
同理可得
BD
⊥
AB
，
易知
DF
∥BC
，所以
DF
⊥
EC
.
在Rt△
EFD
和Rt△
DBA
中，
1
因为EF
＝
EC
，
EC
＝2
BD
，
2
所以
EF
＝
BD
.
又
FD
＝
BC
＝
AB
，
所以Rt△EFD
≌Rt△
DBA
，故
DE
＝
DA
. < br>（2）取
CA
的中点
N
，连接
MN
，
BN< br>，
1
则
MN
∥
EC
，且
MN
＝< br>EC
.
2
1
因为
EC
∥
BD
，< br>BD
＝
EC
，
2
所以
MN
綊
BD
，
所以
N
点在平面
BDM
内.

- 8 -

因为
EC
⊥平面
ABC
，
所以
EC
⊥
BN
.
又
CA
⊥
B N
，
EC
∩
CA
＝
C
，所以
BN
⊥平面
ECA
.
因为
BN
在平面
MNBD
内，
所以平面
MNBD
⊥平面
ECA
，
即平面
BDM
⊥平面
ECA
.
（3）由（2）易知
DM
∥
BN
，
BN
⊥平面
ECA
，
所以
DM
⊥平面
ECA
.
又
DM
⊂平面
DEA
，
所以平面
DEA
⊥平面
ECA
.


垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化. 每一种垂直
的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

如图，在四棱锥
P
­
ABCD
中，
AB
∥
CD
，
AB
⊥
AD
，
CD
＝2
AB，平面
PAD
⊥底面
ABCD
，
PA
⊥
AD< br>，
E
和
F
分别是
CD
和
PC
的中点 .求证：
（1）
PA
⊥底面
ABCD
；
（2）
BE
∥平面
PAD
；
（3）平面
BEF
⊥平面
PCD
.
证明：（1）因为平 面
PAD
⊥底面
ABCD
，且
PA
垂直于这两个平面的交线
AD
，
所以
PA
⊥底面
ABCD
.
（ 2）因为
AB
∥
CD
，
CD
＝2
AB
，< br>E
为
CD
的中点，
所以
AB
∥
DE
，且
AB
＝
DE
.
所以四边形
ABED
为平行 四边形.所以
BE
∥
AD
.
又因为
BE
⊄平面< br>PAD
，
AD
⊂平面
PAD
，
所以
BE
∥平面
PAD
.
（3）因为
AB
⊥
AD
，而且四边形
ABED
为平行四边形，
所以
BE
⊥
CD
，
AD
⊥
CD
.
由（1）知
PA
⊥底面
ABCD
，
所以
PA
⊥
CD
.
又
PA
∩
A D
＝
A
，所以
CD
⊥平面
PAD
.
所以
CD
⊥
PD
.
因为
E
和
F
分别是
CD
和
PC
的中点，

- 9 -

所以
PD
∥
EF
.所以
CD
⊥
EF
.
又因为
CD
⊥
BE
，
EF
∩BE
＝
E
，
所以
CD
⊥平面
BEF
.
因为
CD
⊂平面
PCD
，
所以平面
BEF
⊥平面
PCD
.

1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（ ）
①如果一条直线和一个平面平行，经过 这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
A.4
C.2
B.3
D.1
解析：选B.①②④正确.①线面平行的性质 定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线
可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理.
2.在下列关于直线
m
，
l
和平面α，β的说法中， 正确的是（ ）
A.若
l
⊂β，且α⊥β，则
l
⊥α
B.若
l
⊥β，且α∥β，则
l
⊥α
C.若
l
⊥β，且α⊥β，则
l
∥α
D.若α∩β＝m
，且
l
∥
m
，则
l
∥α
解析：选B.A项中
l
与α可以平行或斜交，A项错.
B项中，
l
⊥β且α∥β，所以
l
⊥α正确.
C项中，
l
可在α内，C项错.
D项中，
l
可在α内，D项错.
3.在三棱锥
P
­
ABC
中，
PA
＝
PB
＝
AC
＝
BC< br>＝2，
PC
＝1，
AB
＝23，则二面角
P
­
AB
­
C
的大小
为 Ｗ.

解析：取
AB
的中点
M
，连接
PM
，
MC
，则
PM⊥
AB
，
CM
⊥
AB
，
所以∠
PM C
就是二面角
P
­
AB
­
C
的平面角.在△
PAB
中，
PM
＝2－（3）＝1，同理
MC
＝
22PC
＝1，则△
PMC
是等边三角形，所以∠
PMC
＝60°.
答案：60°
4.已知平面α，β和直线
m
，
l
，则下列说法：

- 10 -

①若α⊥β，α∩β＝
m
，
l
⊥
m
，则
l
⊥β；
②若α∩β＝
m
，
l
⊂α，
l
⊥
m
，则
l
⊥β；
③若α⊥β，
l
⊂α，则
l
⊥β；
④若α⊥β，α∩β＝
m
，
l
⊂α，
l
⊥
m
，则
l⊥β.
其中正确的说法序号为 Ｗ.
解析：对于说法①缺少了条件：
l
⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：
α∩β＝
m
，l
⊥
m
；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件.
答案：④ < br>5.如图，四边形
ABCD
，
BD
＝23，
AB
＝2 ，
AD
＝4，将△
CBD
沿
BD
折起到△
EBD< br>的位置，
使平面
EDB
⊥平面
ABD
.求证：
AB< br>⊥
DE
.

证明：在△
ABD
中，因为
A B
＝2，
AD
＝4，
BD
＝23，
所以
AB＋
BD
＝
AD
，所以
AB
⊥
BD
.
又因为平面
EBD
⊥平面
ABD
，
平面
EBD< br>∩平面
ABD
＝
BD
，
AB
⊂平面
ABD< br>，
所以
AB
⊥平面
EBD
.
因为
DE< br>⊂平面
EBD
，所以
AB
⊥
DE
.

[A 基础达标]
1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ）
A.0个
C.无数个
B.1个
D.1个或无数个
222
解析：选D.当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.
2.从空间一点
P
向二面角α­
l
­β的两个面α，β分别作垂线
PE
，
PF
，
E
，
F
为垂足，若
∠
EPF
＝60°，则二面角α­
l
­β的平面角的大小是（ ）
A.60°
C.60°或120°
B.120°
D.不确定
解析：选C.若点
P
在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点
P在二面角外，则二
面角的平面角为60°.
3.已知直线
a
，
b
与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是（ ）
A.α⊥γ，β⊥γ
C.
a
∥β，
a
∥α
B.α∩β＝
a
，
b
⊥
a
，
b
⊂β
D.
a
∥α，
a
⊥β
解析：选D.由
a
∥α，知α内必有直线
l
与
a
平行.而
a
⊥β，所以
l
⊥β，所以α⊥β.

- 11 -

4.在四棱柱< br>ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知平面
AA
1
C
1
C
⊥平面
A BCD
，且
AB
＝
BC
，
AD
＝
CD，则
BD
与
CC
1
（ ）
A.平行
C.垂直
B.共面
D.不垂直
解析：选C.如图所示，在四边形< br>ABCD
中，因为
AB
＝
BC
，
AD
＝CD
.
所以
BD
⊥
AC
.
因为平面
AA
1
C
1
C
⊥平面
ABCD
，平面
A A
1
C
1
C
∩平面
ABCD
＝
AC
，
BD
⊂平面
ABCD
，
所以
BD
⊥平面
AA
1
C
1
C
.
又
CC
1
⊂平面
AA
1
C
1
C< br>，
所以
BD
⊥
CC
1
，故选C.
5.如 图，正四面体
ABCD
中，
E
，
F
分别是线段
AC
的三等分点，
P
是线段
AB
的中点，
G
是
直线
BD
上的动点，则（ ）

A.存在点
G
，使
PG
⊥
EF
成立
B.存在点
G
，使
FG
⊥
EP
成立
C.不存在点
G
，使平面
EFG
⊥平面
ACD
成立
D.不存在点
G
，使平面
EFG
⊥平面
ABD
成立
解析：选C.正四面体
ABCD
中，
E
，
F
分别是 线段
AC
的三等分点，
P
是线段
AB
的中点，
G
是直线
BD
上的动点，
在A中，不存在点
G
，使
PG
⊥
EF
成立，故A错误；
在B中，不存在点
G
，使< br>FG
⊥
EP
成立，故B错误；
在C中，不存在点
G
，使平面
EFG
⊥平面
ACD
成立，故C正确；
在D中，存在点< br>G
，使平面
EFG
⊥平面
ABD
成立，故D错误.故选C.
6.已知
PA
⊥矩形
ABCD
所在的平面（如图），则图中互相垂直 的平面有 对.

解析：因为
DA
⊥
AB
，
DA
⊥
PA
，所以
DA
⊥平面
PAB
，同理BC
⊥平面
PAB
，又
AB
⊥平面
PAD
，< br>所以
DC
⊥平面
PAD
，所以平面
PAD
⊥平面AC
，平面
PAB
⊥平面
AC
，平面
PBC
⊥ 平面
PAB
，平面
PAB
⊥平面
PAD
，平面
PD C
⊥平面
PAD
，共5对.
答案：5
7.如图，在三棱锥
P
­
ABC
内，侧面
PAC
⊥底面
ABC
，且∠
PAC
＝90°，
PA
＝1，
AB
＝2，则
PB< br>＝ Ｗ.
解析：因为侧面
PAC
⊥底面
ABC
，交线 为
AC
，∠
PAC
＝90°（即
PA
⊥
AC
），
PA
⊂平面
PAC
，

- 12 -

所以
PA
⊥平面
ABC
，
所以
P A
⊥
AB
，所以
PB
＝
PA
＋
AB
＝1＋4＝5.
答案：5
8.如图，直二面角α­
l
­β，点
A
∈α，
AC
⊥
l
，
C
为垂足，
B
∈β，
BD
⊥
l
，
D
为垂足，若
22
A B
＝2，
AC
＝
BD
＝1，则
CD
的长为 Ｗ.
解析：如图，连接
BC
，
因为二面角α­
l
­β为 直二面角，
AC
⊂α，且
AC
⊥
l
，
所以
AC
⊥β.
又
BC
⊂β，所以
AC
⊥
BC
，
所以
BC
＝
AB
－
AC
＝3，
又
BD
⊥
CD
，
所以
CD
＝
BC
－
BD
＝2.
答案：2
9.如图，过
S
点引三条长度相等但不共面的线段
SA
、
S B
、
SC
，且∠
ASB
＝∠
ASC
＝60°，∠
BSC
＝90°.求证：平面
ABC
⊥平面
BSC
.
证明：取
BC
的中点
D
，连接
SD
、
AD
（图略），由
SA
＝
SB
＝
SC
，∠
AS B
＝∠
ASC
＝60°，得
22
222
AB
＝AC
＝
SA
.
所以
AD
⊥
BC
，
SD
⊥
BC
，
所以∠
ADS
是二面角
A
­
BC
­
S的平面角.
又∠
BSC
＝90°，令
SA
＝1，
则
SD
＝
22
222
，
AD
＝，所以
SD< br>＋
AD
＝
SA
.
22
所以∠
ADS
＝90°，所以平面
ABC
⊥平面
BSC
.
10.如图，三棱台
DEF
­
ABC
中，
AB
＝ 2
DE
，
G
，
H
分别为
AC
，
B C
的中点.
（1）求证：
BD
∥平面
FGH
；
（2）若
CF
⊥
BC
，
AB
⊥
BC
，求证 ：平面
BCD
⊥平面
EGH
.
证明：
（1）如图所示， 连接
DG
，设
CD
∩
GF
＝
M
，连接MH
.
在三棱台
DEF
­
ABC
中，
AB< br>＝2
DE
，所以
AC
＝2
DF
.
因为
G
是
AC
的中点，
所以
DF
∥GC
，且
DF
＝
GC
，
所以四边形
CFDG
是平行四边形，所以
DM
＝
MC
.因为
BH
＝HC
，所以
MH
∥
BD
.
又
BD
⊄ 平面
FGH
，
MH
⊂平面
FGH
，
所以
BD
∥平面
FGH
.

- 13 -

（2）因为
G
，
H
分别为
AC
，
BC
的中点，所以
GH
∥
AB
.
因为
AB⊥
BC
，所以
GH
⊥
BC
.
又
H
为
BC
的中点，
所以
EF
∥
HC
，
EF
＝
HC
，
所以四边形
EFCH
是平行四边形，所以
CF
∥
HE
.
因为
CF
⊥
BC
，所以
HE
⊥
BC
.
又
HE
，
GH
⊂平面
EGH
，
HE
∩
GH
＝
H
，
所以
BC
⊥平面< br>EGH
.又
BC
⊂平面
BCD
，
所以平面
BCD
⊥平面
EGH
.
[B 能力提升] 11.将锐角
A
为60°，边长为
a
的菱形沿
BD
折成 60°的二面角，则折叠后
A
与
C
之间的
距离为（ ）
A.
a

C.
3
a

2
1
B.
a

2
D.3
a
解析：选C.设折叠后点
A
到
A
1
的位置，取
BD的中点
E
，连接
A
1
E
，
CE
. < br>则
BD
⊥
CE
，
BD
⊥
A
1
E
.
于是∠
A
1
EC
为二面角
A
1< br>­
BD
­
C
的平面角.
故∠
A
1
EC
＝60°.
因为
A
1E
＝
CE
，所以△
A
1
EC
是等边三角形.
所以
A
1
E
＝
CE
＝
A
1
C
＝
3
a
.
2
12.如图，在四面体
PABC
中，
AB
＝
AC
，
PB
＝
PC
，
D
，
E
，
F
分别是棱
AB
，
BC
，
CA
的中点，
则下列结论中不一定成立的是（ ）
A.
BC
∥平面
PDF

B.
DF
⊥平面
PAE

C.平面
PDF
⊥平面
PAE

D.平面
PDF
⊥平面
ABC

解析：选D.因为
D
，
F
分别为
AB
，
AC
的中点，则
DF
为△
ABC
的中位线，则
BC
∥
DF
，依据
线面平行的判定定理，可知
BC
∥平面
PDF
，A成立.又
E为
BC
的中点，且
PB
＝
PC
，
AB
＝
AC
，
则
BC
⊥
PE
，
BC
⊥
AE
，依据线面垂直的判定定理，可知
BC
⊥平面
PAE
. 因为
BC
∥
DF
，所以
DF
⊥
平面
PAE
，B成立.又
DF
⊂平面
PDF
，则平面
PDF
⊥ 平面
PAE
，C成立.要使平面
PDF
⊥平面
ABC
，已知
AE
⊥
DF
，则必须有
AE
⊥
PD
或
AE
⊥
PF
，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.
13 .如图所示，平面四边形
ABCD
，
AB
＝
AD
＝
CD
＝1，
BD
＝2，
BD
⊥
CD
，将其沿对角线
BD

- 14 -

折成四面体
ABCD
，使平面
ABD
⊥平面
BCD
，则下列说法中正确的是（ ）

①平面
ACD
⊥平面
ABD
；②
AB
⊥
C D
；③平面
ABC
⊥平面
ACD
.
A.①②
C.①③
B.②③
D.①②③
解析：选D.因为
BD⊥
CD
，平面
ABD
⊥平面
BCD
，
所以< br>CD
⊥平面
ABD
，因为
CD
⊂平面
ACD
，
所以平面
ACD
⊥平面
ABD
，故①正确；
因为平面四边形
ABCD
中，
AB
＝
AD
＝
CD
＝1，
BD
＝2，
所以
AB
⊥
AD
，
又
CD
⊥平面
ABD
，所以
AB
⊥
CD
，
又
AD
∩
CD
＝
D
，
所以
AB
⊥平面
ACD
，
又因为
AB
⊂平面
ABC
，
所以平面
ABC
⊥平面
ACD
，故②③正确.
14.如图 ，在四棱锥
P
­
ABCD
中，底面
ABCD
是直角梯形，∠
BAD
＝90°，
AD
∥
BC
，
AB
＝< br>BC
＝1，
AD
＝2，
PA
⊥底面
ABCD
，
PD
与底面成45°角，点
E
是
PD
的中点.
（1）求证：
BE
⊥
PD
；
（2）求二面角
P
­
CD
­
A
的余弦值.
解：（1）证明：连接
AE
.
因为
PA
⊥底面
A BCD
，所以∠
PDA
是
PD
与底面
ABCD
所成 的角，
所以∠
PDA
＝45°.所以
PA
＝
DA
. 又因为点
E
是
PD
的中点，所以
AE
⊥
PD< br>.
因为
PA
⊥底面
ABCD
，
AB
⊂底面
ABCD
，
所以
PA
⊥
AB
.因为∠
B AD
＝90°，所以
BA
⊥
DA
.
又因为
PA
∩
AD
＝
A
，
所以
BA
⊥平面
PDA
.又因为
PD
⊂平面
PDA
，所 以
BA
⊥
PD
.
又因为
BA
∩
AE
＝
A
，
所以
PD
⊥平面
ABE
.
因为
BE
⊂平面
ABE
，
所以
BE
⊥
PD
.
（2）连接
AC
.在直角梯形
ABCD
中，

- 15 -

因为
AB
＝
BC
＝1，
AD
＝2，
所以
AC
＝
CD
＝2.因为
AC
＋
CD< br>＝
AD
，
所以
AC
⊥
CD
，
又 因为
PA
⊥底面
ABCD
，
CD
⊂底面
ABCD< br>，所以
PA
⊥
CD
.
因为
AC
∩
PA
＝
A
，所以
CD
⊥平面
PAC
.
又 因为
PC
⊂平面
PAC
，所以
PC
⊥
CD
，
所以∠
PCA
为二面角
P
­
CD
­
A
的平面角.
在Rt△
PCA
中，
PC
＝
PA＋
AC
＝2＋（2）＝6.
所以cos∠
PCA
＝＝
2222
222
AC
PC
2
6
＝
3
.
3
3
.
3
[C 拓展探究]
所以所求二面角的余弦值为
15.已知三棱锥
A
­
BCD
中，∠
BCD
＝90 °，
BC
＝
CD
＝1，
AB
⊥平面
BCD
，∠
ADB
＝60°，
E
，
F
分别是
AC
，
AD
上的动点，且
AEAF
＝＝λ（0<λ<1）.
ACAD< br>（1）求证：不论λ为何值，总有平面
BEF
⊥平面
ABC
；
（2）当λ为何值时，平面
BEF
⊥平面
ACD
？
解：（ 1）证明：因为∠
BCD
＝90°，所以
BC
⊥
CD
. < br>因为
AB
⊥平面
BCD
，所以
AB
⊥
CD< br>.
又因为
AB
∩
BC
＝
B
，所以
CD
⊥平面
ABC
.
因为＝
AEAF
，所以
EF
∥
CD
，
ACAD
所以
EF
⊥平面
ABC
.
又因为
EF
⊂平面
BEF
，
所以平面
BEF
⊥平面
ABC
.
故不论λ为何值，总有平面
BEF
⊥平面
ABC
.
（2） 由（1）得
EF
⊥平面
ABC
，
BE
⊂平面
ABC
，
所以
EF
⊥
BE
.
要使平面
BEF
⊥平面
ACD
，只需
BE
⊥
AC
.
因为 ∠
BCD
＝90°，
BC
＝
CD
＝1，所以
BD< br>＝2.
又因为
AB
⊥平面
BCD
，∠
ADB
＝60°，
所以
AB
＝6，
AC
＝7，
所以
BE
＝

AB
·
BC
42
＝，
AC
7
- 16 -

67
所以
AE
＝，
7
AE
6
所以λ＝＝.
AC
7
6
故当λ ＝时，平面
BEF
⊥平面
ACD
.
7





- 17 -