户外活动注意事项-广州58同城网招聘

复合函数含义：
函数y=log
2
x是对数函数，那么函数y =log
2
(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设
y=log
2
u，u=2x-1，因此函数y=log
2
(2x-1)是由对数函数y=log2
u和一次函数u=2x-1经过复
合而成的。一般地：
若
yf(u )
，又
ug(x)
，且
g(x)
值域与
f(u)
定义域的交集不空，则函数
yf[g(x)]
叫
x
的复合函数，其中
yf(u)
叫外层函数，
ug(x)
叫内层函数，简而言之，所谓复合
函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x
2
+1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x),
f(g(x)) = 3g(x)+5 = 3(x
2
+1)+5 = 3x
2
+8.

对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型：
（一）求复合函数表达式；
（二）求复合函数相关定义域；
（三）复合函数的单调性；
（四）函数性质等与复合函数结合。
新课程中复合函数相关题：
7，如果
f(t)
t
1t
,g(t)
t
1t
，证明：
f(t)g(t)2g(t)
。
2
8、已知函数
f(x)
与
g(x)
分别由下表给出，那么
f(f(1))__________
g(f(3))__________
__ ________
__________
_f(g(2))__________
_ g(g(4))__________
__________
__________
_

_

x

f(x)

1
2
2
3
3
4
4
1
x

g(x)

1
2
2
1
3
4
4
3
9、设函数
f(x)2x3
，函数
g(x) 3x5
，求
f(g(x)),g(f(x))
。
7、已知
f(x )
是一个定义在R上的函数，求证：（1）
g(x)f(x)f(x)
是偶函数 ；（2）
h(x)f(x)f(x)
是奇函数。
20、求满足下列条件的函数
f(x)
的解析式：
2
（1）
f(1x)3x2
；（2）
f(2x)3x1
。

（nN）
22、如果
f(x)x1
，试求
f(f(f(x)))的表达式，并猜一猜
f(f(f(

f(x))))
n个f

的表达式。
23、（1）函数
yf(x)
与
yf(x)
的图象之间有什么关系？
（2）已知函数
f(x)x
2
2x1
的图象如图所示，画出下列函数的图象：
①
yf(x)；②
yf(x)
；③
yf(x)1
；④
yf(x2 )
。（必修1 p94 ）

x
2
，x0
⑴已知
f(x)

2，x0
，则
f(4)___，f[f (3)]___
．

0，x0

⑵已知
f(x)< br>与
g(x)
分别由下表给出，

1 2 3 4 1 2 3
x

x


f(x)

2
g(x)

2 3 4 1 1 4

那么
f(f(1) )___，f(g(2))___,g(f(3))___,g(g(4))___
．
⑶已知函数
f(x)x1
，
①求
f(a)，f(a1)，f(x1)
； ②若函数
g(x)x1，
求
f(g(x))
．
变题：已知函数
f(x)x
，
g(x)x1
，求：
2
2
4
3
①
f(a)
；②
f(g(x ))
；③
f(g(x))
的定义域；④
g(f(x))
．
2
2]
，
g(x)3x2x，x[2，
⑷已知函数
f(x) 2x1，x[1，
5]
，求
f[g(x)]
.

（一）求复合函数表达式；
例1.已知f(x)=x+，g(x)=x-2，求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式。

2
例2、（1）设 f(x)=2x3 g(x)=x+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
（2）已知：f(x)=xx+3 求：f(
2
2
1
x
) f(x+1)
（二）求复合函数相关定义域；
一、已知
f(x)
的定义域，求复合函数< br>f[g

x

]
的定义域
由复合函数的定 义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数
的定义域之中，因此可得其方法为 ：若
f(x)
的定义域为
x

a,b

，求出< br>f[g(x)]
中
ag(x)b
的解
x
的范围，即为f[g(x)]
的定义域。
3]
，求
f(x2x)
定义域。 例1 已知
f(x)
的定义域为
(0，
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
2


x 2，或x0

x2x0



0x2x3


2
3x1


x2x3
即
3x2
或
0x1
2
2
故
f(x2x)
的定义域为

3,2



0,1


【评注】所谓定义域是指函数中自变量
x
的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中
2

x2x< br>看成一个整体
x
，即由
0x3
可得
0x2x3，解出
x
的范围即可。
22

x

2
，则
f

f

的定义域为 （B）
2x

2

x

A.

4,0



0,4

B.

4,1



1,4


（2006年湖北卷）设
f

x

lg
2x< br>C.

2,1



1,2

D.

4,2



2,4

< br>二、已知复合函数
f[g

x

]
的定义域，求f(x)
的定义域
方法是：若
f[g

x

]
的定义域为
x

a,b

，则由
axb< br>确定
g(x)
的范围即为
f(x)
的定义域。
例2 若函数
f

32x

的定义域为

1,2

，求函数
f

x

的定义域
解
1x2
，
132x5
，
故函数
f< br>
x

的定义域为

1,5


【评注】由
f

32x

的定义域为

1,2

得
1x2
，有的同学会误将此
x
的范围
当 作
f

x

的定义域，为了更易分清此
x
非彼x
，我们可将
32x
令成一个整体
t
，即
t32 x
，先解出
f

t

的定义域，即为
f

x

的定义域。
三、已知复合函数
f[g
< br>x

]
的定义域，求
f[h

x

]
的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由
f[g

x

]
定义
域求得
f

x

的定义域，再由
f

x

的定义域求 得
f[h

x

]
的定义域。
3)
，求
f

x2

的定义域。 例3 已知
f(x1)
的定义域为
[2，
3)
得
2x3，故
1x14
解 由
f(x1)
的定义域为
[2，
4)
，从而得到
1x24
，所以
1x6 即得
f

x

定义域为
[1，
故得函数< br>f

x2

的定义域为

1,6


四、已知
f

x

的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交
集，即先求出各个 函数的定义域，再求交集。
例4 已知函数
f

x
定义域为是
[a,b]
，且
ab0

求函数
h
x

f

xm

f

xm

m0

的定义域
解


amxbm
，
m0,amam



axmbamxbm

bmbm
，又
ambm

ba
2

axmb
要使函数
h

x

的定义域为非空集合，必须且只需
ambm
，即
0m
，
这时函数
h

x

的定义域为
[am,bm]

【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母，所 以既要分别判
断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点
和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定义
域不 能是空集。
（三）复合函数的单调性；
函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考 中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单
调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y= f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，
则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同 增异减” .

定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在[a，b ]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间[g(a)，
g(b)](或[g(b)，g(a)]上 是单调增(减)函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上一定是单
调函数，并有以下结论 ：

u=g(x)
y=f(u)
y=f[g(x)]
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
判断复合函数的单调性的步骤如下：
(1)求复合函数定义域；
(2)将复 合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函
数的单调性；
(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
(5)求出复合函数的单调性。
一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：
例1 (95·全国·理)已知函数y= log
a
(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).
[
2，+∞)
解：设y= log
a
u，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，
∵ 函数y=log
a
u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，
∴ y= log
a
u是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，
g(0)=2-a·0>0
令g(x)= 2-ax，由
{
，解得a<2，∴1g(1)=2-a·1>0
二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：
例2 (84·全国·理)函数y=log
0.5
(x
2
+4x+4 )在什么区间上是增函数？
解：令y= log
0.5
u，u= x
2
+4x+4，由x
2
+4x+4>0知函数的定义域为x≠0，
因y= log
0.5
u在u∈(0,+∞)上是减函数，而u= x
2
+4x+4在x∈(-∞，-2)上是减函
数，
在(-2，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，
函数y=log
0.5
(x
2
+4x+4) 在x∈(-∞，-2)上是增函数.
x2-4x+3
例3.讨论函数y=0.8的单调性。
解：函数定义域为R。
2u
令u=x-4x+3，y=0.8。
u
指数函数y=0.8在(-∞，+∞)上是减函数，
2
u=x-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，
x2-4x+3
∴ 函数y=0.8在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。
三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：
π
例5 (96·全国·理)在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )
4
ππππ
(A).[，π] (B).[0，] (C).[-π，0] (D). [，]
2442
πππ
解：令y=sinu，u=x+，∵y=sinu在u ∈[2kπ- ，2kπ+ ](k∈Z)上单调递增，
422
π3ππ
在u ∈[2kπ+ ，2kπ+ ](k∈Z)上单调递增，而u=x+在R上是增函数，
224
πππ
根据函数单调性的复合规律，由2kπ- ≤x+≤2kπ+ 得
242
3ππ3πππ3ππ
2kπ- ≤x≤2kπ+，当k=0时，- ≤x≤，而[0，]∈[- ，]
4444444

故选(B) .
2
例6.讨论函数y=(log
2
x)+log
2
x的单调性。
解：显然函数定义域为(0，+∞)。
2
令 u=log
2
x，y=u+u
∵ u=log
2
x在(0，+∞)上是增函数，
y=u+u在(-∞，< br>
[

1
2
2
1
2
]上是减函数， 在[

1
2
，+∞)上是增函数(注意(-∞，

1
2
]及
，+∞)是u的取值范围)
1
2
2
因为u≤< br>
log
2
x≤

1
2
，0＜x≤
2
2
2
2
，(u≥

1
2

2
2
log
2
x≥

1
2
x≥
2
2
)
所以y=(log
2
x)+log
2
x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。
四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：
例7、(89·全国·理)已知函数f(x )=8+2x-x
2
，如果g(x)=f(2-x
2
)，那么g(x) ( )
(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；
(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.
解：令g(x)=f(u)=-(u-1)
2
+9，u=2-x
2
，则
(1) g(x) =-(u-1)
2
+9在u∈-∞，1上是增函数，与u=2-x
2
具有相同的增减性，
由2-x
2
≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈-∞，-1上是增函数，
u在x∈1,+∞上是减函数，
∴g(x)在区间-∞，-1上是增函数, 在区间1，+∞上是减函数.
(2) g(x) =-(u-1)
2
+9在u∈1,+∞上是减函数，与u=2-x
2
具有相反的增减性，
由2-x
2
≥1得 -1≤x≤1，而u=2-x
2
在x∈ [-1,0] 上是增函数，
在x∈(0， 1)上是减函数，
∴g(x) =-(u-1)
2
+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1)上是增函数.
故选(A)
五、利用复合函数求参数取值范围。
求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须
将已知的所有条件加以转化。
例8.已知函数f(x)=
围是_______。
分析如下：
令u=x-ax+3a，y=
因为y=
2
(x-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a的取值范
2
u。
u在(0，+∞)上是减函数
2
∴ f(x)=(x-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数
2
u=x-ax+3a在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u＞0。
对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)＞0。 


-4＜a≤4
例9.若f(x)=log
a
(3-ax)在[0，1]上是 减函数，则a的取值范围是_______。

令u=-ax+3＞0，y=lo g
a
u，由于a作对数的底数，所以a＞0且a≠1，由u=-ax+3＞0得x
＜。
在[0，1]上，且u是减函数。
∴ f(x)=log
a
(3-ax)在[0，1]上是减函数。
 y=log
a
u是增函数，且[0，1](-∞，
3
a
]
  1＜a＜3
所以a的取值范围是(1，3)。
（四）函数性质等与复合函数结合。

|x1|2,|x|1,
1

1 设f(x)＝

1
，则f[f()]＝ ( B )
2
, |x|1

2

1x

135
41
( x0),

tanx

2．若函数f（x＋2）＝

则f（＋2）· f（－98）的值为_____2___．
(x0),
4
lg(x)

A．
1
2
B．
4
C．－
9
D．
25


x1

1
3、已知函数
f(x )



2x3x1
5
{x1x2或x}< br>
2
，则方程
f[f(x)]1
的解集为
4．已知函数< br>yf
1
，则
yf(
(x)
的图象过（1，0）
1
2
x1)
的图象一定过点（ B ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（0，2） D．（2，0）

5、已知函数y = f(|x|)的图象如下左图所示，则函数y = f(x)的图象不可能是 ( )
．．．
y









y y y y
O
x
O
A
x
O
B
x
O
C
x
O
D
x
函数y = f(｜x｜)的图象


2
x

6.若函数
f(x)

logx
1


2x≤1,
x1,
则y=f(1－x)的图象可以是 （ C ）
A B C D
7.定义在R上的增函数f(x)满足f[f(x)]=x,则｜f(x)|-|f(x)-1|的 范围是( B )
A.

,1

B.[-1,1] C.

1,2

D.

2,


（A） （B） （C） （D）
8． (2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数 f(x)满足f(x+2)=
－
f(x),则,f(6)的值为 (B)
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
复合函数习题

1、函数lg[f(x)g(x)]的定义域为M，lgf(x)的 定义域为N，lgg(x)的定义域为P，则M、N、P
间的关系是 （ ）
A、M（NP） B、MNP C、M=（NP） D、M（NP） 2、若g(x)是奇函数，且F(x)=ag(x)+bx
3
+5在（0，+）内有最大 值12，则F(x)在（—，0）
内有 （ ）
A、最小值—12 B、最大值12 C、最小值—2 D、最小值—2
3、设log
2
[log
1
,
(log
2
x)]=log
3
[log
1

(log
3
y)]=log
5
[log
1

(log
5
z)]=0，则x、y、z有大小关系是（ ）
235
A、z——
4、设有函数f(x)=x—1, g(x)=—x , h(x)=3
x
，则函数h{g
1
[f(x)]}的值域是（ ）
A、［0，+） B、（1，+） C、（0，+） D、［1，+）
5、设函数f(x)的定义域是［—1，1］那么函数f[log
1

(x
2
—1)]的定义域是________
2
6、已知函数f( x)的最小正周期是8，且对等式f(4+x)=f(4—x)恒成立，则f(x)的奇函偶性是
___ _____（填“奇、偶、非奇、非偶”）
7、函数y=sinx +1—sinx 的值域是________
8、已知函数y=log
2
(x
2
—2 )的值域为[1,log
2
14
]，则函数的定义域是_______
3< br>9、已知log
a
y=—(log
a
x)
2
+log
a
x
3
— （其中a>1 ），当y最大值为8 时求实数a、x之值
2
1
10、已知函数f(x)满足：(1)f( )=1,(2)值域为［—1，1］(3)严格递减(4)f(xy)=f(x)+f(y)
2
11
1
11
)
。 （1）、求证 不在f(x) 定义域内；（2）、求解不等式
f(x)f(
4
1x2
11、 若y = f ( x ) 的定义域是[0，1]，则 f ( x + a ) + f (2 x + a) (
0a1
)的定义域为（ A）
A．[
a
2
，
1a
2
] B．[
a
2
，1a] C．[a，1a] D．[a，
1a
2
]

12、关于x的函数ylog
1
(axa2a)
在［1，+∞
)
上为减函数 ，则实数a的取值范围
2
2
是 ( D ）
A．（－∞,0） B．(－1,0) C．(0,2
]
D．(－∞,－1)
13、已知单调函数y=f(x )的定义域是[0,2],且
f(
域是_____________________
[1,
14. 已知函数
f(x)2
x
,则
f
1
1
10
)1
,那么函数
g(x)
f(x)1f(x1)
2
的定义
9
10
2
)(
9
10
,1].

(4x)
的单调减区间是______________________.
15 、已知f(x)=x
2
+c,且f［f(x)］=f(x
2
+1)
(1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；
(2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问 是否存在实数λ,使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，
0)内是增函数
2
点拨与提示：由f［f(x)］=f(x+1)求出c，进而得到函数的解析式，利用导数研究函< br>数的单调性
16、设
n
为正整数，规定：
f
n
(x )f{f[

f(x)

]}

n个f
2(1x)
(0x1)
f(x)

，已知．

x1
(1x2)
（1）解不等式：
f(x)x
；
（2）设集合
A

0 ,1,2

，对任意
xA
，证明：
f
3
(x) x
；
8
f()
的值； （3）求
2007
9
（4 ）若集合
B

xf
12
(x)x,x[0,2]
< br>，证明：
B
中至少包含有
8
个元素．
解：（1）①当0≤< br>x
≤1时，由
2(1x)
≤
x
得，
x
≥． ∴≤
x
≤1．
33
22
②当1＜
x
≤2时，因
x1
≤
x
恒成立．∴1＜
x
≤2 ．
由①，②得，
（2）∵
f(0)2< br>f(x)
≤
x
的解集为{
x
|≤
x
≤2}．
3
2
，
f(1)0
，
f(2)1
，
； ∴当
x0
时，
当
x1
时，
当x2
时，
f
3
(0)f(f(f(0)))f(f(2))f (1)0
f
3
(1)f(f(f(1)))f(f(0))f(2)1；
f
3
(2)f(f(f(2)))f(f(1))f(0)2
．
f
3
(x)x
8
即对任意
xA
，恒有
（3）
f
1
(

8
9
) 2(1
8
9
)
2
9
．
，
f
3
(
8814145
)f(f
2
())f()1
99999
，
f
2
(
8214
)f(f())f()
9999
，
88558
f
4
()f(f
3())f()2(1)
99999
，
885
()f
3
()

999
*
f
02
一般地，
f4kr
()f
r
()
（
k，r
N
）．< br>
70
88
99
（4）由（1）知，
22f()
33
，∴
22
f
n
()
33
．则
22
f
12
()
33
．∴
2
3< br>B
．
．则0，1，2
B
． 由（2）知，对
x0
，或1，或2，恒有
f
3
(x)x
，∴
f
12
(x)f
43
(x)x

由（3）知，对
x
2
3
8
9
，，
9
214
9< br>， ，恒有
9
5
f
12
(x)f
43
( x)x
5
9
，∴，，
99
8214
9
，
5
9
B
．
综上所述，，0，1，2，，，
99
82 14
9
，
B
．∴
B
中至少含有8个元素．