x
2
y
2
所以
a4
，
b2，所以椭圆的标准方程为：
1
．

164
故选：
A
【点睛】

本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．

222
5
．圆
O:xy

内的曲线
y|sinx|< br>与
x
轴围成的区域记为
M
（图中阴影部分），
随机往圆
O
内投一个点
A
，则点
A
落在区域
M
内的概率是 （

）
.


A
．
4

2
B
．
4

3
C
．
2

2
D
．
2

3

【答案】
B
【解析】先求 构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线
y|sinx|
与< br>x
轴围成的区域记为
M
的面积为
S2

sinxd x
，代入几何概率的计算公
0

式可求．

【详解】

解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为

3
，


曲线
y|sinx|
与
x
轴围成的区域记为
M
的 面积为
S2sinxdx2cosx
0


0
4< br>，

由几何概率的计算公式可得，随机往圆
O
内投一个点
A< br>，则点
A
落在区域
M
内的概率
p
4
3
，

故选：
B
．

【点睛】


本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题．6
．已知
a(ln2)
3
，
b(ln3)
3
，
clog
2
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（

）
.

3
A
．
abc

【答案】
B
【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．

第 3 页 共 21 页
B
．
cab
C
．
bac
D
．
cba

11
1

【详解】

解：
∵
0ln21
，
∴
0a1
，

∵
ln31
，
∴
b1
，

∵
log
2
1
log
2
31
，
∴
c 0
，

3
∴
cab
，

故选：
B
．

【点睛】

本题考查三个数的大小的 求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性
质的合理运用，属于基础题
.
7
．函数
f(x)
sinx
2x
2
|x|
的大致图象为（

）
.

x
A
．
B
．
C
．
D
．

【答案】
B
【解析】由
f

1

0
及函数在特殊点处的导数的符号 可得出正确选项．

【详解】

解：由
f

1
sin110
，可排除
A
、
D
；
< br>当
x0
时，
f


x


xcosxsinx
4x1
，

2
x
1

11

1

f


16cos

tan

，

4

44

4

当
x

0,




2


时，令
g

x

x tanx
，
g


x

1
1
0
，

cos
2
x
故
g

x

为减函数，则
g

x

g

0

0
，故
xtanx
，

所以
11

1

tan
即
f


0
，故排除
C
，选
B
．

44

4

故选：
B
．

第 4 页 共 21 页

【点睛】

本题考查利用函数的性质确定函数图象，属于基础题．

uuur
1
uuur
uuuruuur
BEEC
8
．已知在边长为
3
的菱形
ABCD
中，，点满足，则
E
BAD60
AEBD2

的值（

）
.

A
．
1

【答案】
C
【解析】将
AE BD
用
AB
，
AD
向量表示，利用向量的数量积的运算律计算即可 ；

【详解】

解：如图：

B
．
0 C
．
3
D
．
6

uuuruuur
uuur
uuur
；

uuur
1
uuur
∵
边长为
3
的菱形
ABCD
中，
BAD60
，点
E
满足
BEEC
，

2< br>
uuuruuur

uuur
1
uuur

uuuruuur
∴
AEgBD

ABBC

gBA AD

3


r
1
uuur
uuuruuur

uuu


ABAD

gABAD

3


uuur
2
2
uuuruuur
1
uuur
2
ABABgADAD
< br>33
21
3
2
33cos60

3
2

33
3
．

故选：
C
．

【点睛】

本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．

9
．若
sin




5


< br>，则
sin

2



（

）
.






6


6

5
B
．
25

5
A
．
2

5
C
．

5

5
D
．
3

5
【答案】
D
【解析】由已知结合诱导公式及二倍角的余弦公式进行化简即可求解．

【详解】

第 5 页 共 21 页

解：若
si n

5



，






6

5
则
sin

1< br>


1



1

1

2


sin





2



cos


2


12sin
2







6

3



3

6


2
13
12
．

55
故选：
D
．

【点睛】

本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．

10
．设所有棱长都为
2
的正三棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（

）
.

A
．
8


【答案】
B
【解析】连接上下底面的中心
M
，
N
，则
MN
得中点即为外接球球心，容易求得半径，
面积．

【详解】

解：如图，
M
，
N
分别是上下底面正三角形的中心，

O
为
MN
的中点，

易知
O
为外接球的球心，

AN

B
．
28


3
C
．
4

D
．
20


2
2323
23
AD

AB

；


2

3
3 2332
在直角三角形
ONA
中，可得半径
OA
AN
2< br>ON
2
(
23
2
2
2
21
，< br>
)()
323

21

28

∴S
球
＝
4π



，

< br>
3

3

故选：
B
．

2
第 6 页 共 21 页

【点睛】

本题主要考查了三棱柱外接球，属于中档题．

11
．已知直线
l< br>1
，
l
2
经过抛物线
C:y
2
x
的焦点
F
，
l
1
，
l
2
互相垂直，直线< br>l
1
与
C
交
于
D
，
E
两点 ，直线
l
2
与
C
交于
A
，
B
两点 ，则
|AB||DE|
的最小值为（

）
.

A
．
2
【答案】
B
【解析】由题意可知直线
l
1
的斜率存在，设直线
l
1
的方程为：
y
＝
k
（
x

l
2
的斜率为

B
．
4 C
．
8 D
．
16

1
），所以直线
4
1
，联立直线
l
1
与抛物线方程，利用韦达定理以及抛物 线的定义得到，
k
111
2
|DE|
x
1
x< br>2

1

2
，
|AB|
x
3< br>x
4
1k
，所以
2k2
|AB|•|DE|
1k
值．

【详解】


2

1
1

2

k
1

2
< br>k
2
，再利用基本不等式即可求出
|AB|•|DE|
的最小
2
k

1

1

解：由题意可知， 焦点
F

,0

，准线方程为：
x
，

4

4

显然直线
l
1
的斜率存在且不为 零，设直线
l
1
的方程为：
yk

x
∵
直线
l
1
，
l
2
互相垂直，
∴
直线l
2
的斜率为



1


，

4

1
，

k

1

k
2

yk

x


1
2

22
0
，

4

，消去< br>y
得：
kx

k1

x
联立方程

16

2


y
2
x

设
D
（
x
1
，
y
1
） ，
E
（
x
2
，
y
2
），
A
（
x
3
，
y
3
），
B
（
x4
，
y
4
），

第 7 页 共 21 页

1
2
k1
11
，
∴
2
x
1
x
2

22
k2k
1
2
同理可得：
x
3
x
4
k
，

2< br>由抛物线的定义可知，
|DE|
x
1
x
2
∴|AB|•|DE|
1k
111

1

2
，
|AB|
x
3
x
4
1k
2
，

2k2

2

1

1
< br>2

k
1

11
2
22


2
k
2
22k
2

4
，当且 仅当
k
2
，
k

kk
即
k1
时，等号成立，

∴|AB|•|DE|
的最小值为
4
，

故选：
B
．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的 定义，直线与抛物线的位置关系，以及基本不等式的应用，属
于中档题．

x
2
12
．设
f(x)
，
g(x)ax32a(a0)，若对于任意
x
1
[0,1]
，总存在
x1
x0
[0,1]
，使得
g

x
0

 f

x
1

成立，则
a
的取值范围是（

）
.

A
．

0,


2


3


B
．

,


22

35


C
．
< br>,4


2

5



D
．
[4,)

【答案】
B
【解析】先对函数
f

x

分
x0
和
x0
，运用二次函 数的值域求法，可得
f

x

的值
域，运用一次函数的单调 性求出函数
g

x

的值域，由题意可得
f
x

的值域包含在
g

x

的值域内，可得< br>a
的不等式组，解不等式可得
a
的取值范围．

【详解】

x
2
解：
∵
f

x< br>

，

x1
当
x0
时，
f< br>
x

0
，

当
x0
时，f

x


1
11

2
xx

1
111
，

()
2

x2 4
2
1

11

1
由
0x1
，即
1
，



2
，

x

x2

4
第 8 页 共 21 页

1

2
1
故
0f

x< br>

，

2
∴
0f

x


又因为
g

x

ax32a

a0

，且
g

0

32a
，
g

1

3a
．

由
g

x

递增，可得
32ag

x
< br>3a
，

对于任意
x
1


0 ,1

，总存在
x
0


0,1

，使得
g

x
0

f

x
1

成立，

可得

0,


< br>32a,3a

，

2

1



32a0

可得

1

3a 

2

∴
a

,

．

22
故选：
B
．

【点睛】

本题主 要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想和集合的关系，
是对知识点的综合考查， 属于中档题．



二、填空题
13
．设等比数列

a
n

满足
a
1
a
3
 5
，
a
1
a
3
3
，则
a
4< br>
________.

【答案】
8

【解析】利 用等比数列

a
n

满足
a
1
a
3
5
，
a
1
a
3
3
，列出方程 组，求出
a
1
，
q
，
进而求出
a
4
．

【详解】

解：
∵
等比数列

a< br>n

满足
a
1
a
3
5
，a
1
a
3
3
，


35



a
1
a
1
q
2
5
∴

，解得
a
1
1
，
q2
，

2

a
1
a
1
q3
3
∴
a
4
a
1
q8
．

故答案为：
8
.
【点睛】

第 9 页 共 21 页

本题考查等比数列的第
4
项的求法，考查等比数列的性质等基础知识， 考查运算求解能
力，属于基础题．

14
．若函数
f(x)tan xln(xax
2
)
为偶函数，则
a
________.
【答案】
1
【解析】根据题意，求出
f(x)
的表达式， 结合函数奇偶性的定义可得
tan

x

lnxa

x

【详解】


2

tanxl nxax
2
，变形分析可得答案．




， 则
f

x

tan

x

ln

xa

x


tanxln< br>
xax

，

若函数
f

x

tanxln

xax

为偶函数，则
f

x

f

x

，
即
tanxln

xax

tanxln

xax

，

解：根据题意，函数
f

x

tanxlnxax
2

2
2
222
变形可得
lna0
，解可得
a1
；

故答案为：
1
．

【点睛】

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的奇偶性的定义，属于基础题．

15
．随机变量

服从正态分布
N


,
< br>
，若
P(

2



)0 .234
，则
2
P(



2)
__ ______.

【答案】
0.734


【解析】根据正 态分布的密度函数图象关于直线
x
＝
μ
轴对称，即可求得
P(



2)
．
【详解】

解：根据题意，正态 分布
N

,


2

的密度函数图象关于 直线
x

轴对称，

∵
P(

2< br>


)0.234
，
∴
P(



2)0.50.2340.734
．

故答案为：
0.734
．

【点睛】

本题主要考 查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及运用函数图象对称性解
决概率问题，属于基础题．< br>
16
．胶囊酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤 维
制成的细小空间，仅够睡眠使用
.
空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手 间
第 10 页 共 21 页

及淋浴设施需要共享，其特点是使捷、价格便 宜，多适用于旅客
.
如图为一胶囊模型，
它由一个边长为
2
的等边圆 柱（其轴截面为正方形）和一个半球组成，则它的内接正四
棱锥的表面积为
________.


【答案】
2192

【解析】画出图形，利用求出正四棱锥的表面积即可．

【详解】

解：由题意可知几何体的直观图如图：


2

38
正四棱锥的底面边长为：
2
，棱锥的高为：
3
．斜高为：
3
2


，




2

2

底面面积为：
222
，侧面积为：
4
所以正 四棱锥的表面积为：
2192
．

故答案为：
2192
．

2
138
2219
．

22

【点睛】


本题考查几何体的内接体，正四棱锥的表面积的求法，是基本知识的考查，属于中档题．

三、解答题
17
．等差数列

a
n

的 前
n
项和为
S
n
，
a
3
3
，< br>S
4
10
.

（
1
）求

a
n

的通项公式；

（
2
）设
b
n

1
，求数列
b< br>n
的前
n
项和
T
n
.

S
n
【答案】（
1
）
a
n
n
（
2
）
T
n

n

n1
第 11 页 共 21 页

【解析】（
1
）先设等差数列

a
n

的公差为
d
，然后结合题干根据等差数列的通项公式
和求和公式列出关于 首项
a
1
与公差
d
的方程组，解出
a
1
与
d
的值，即可得到数列

a
n

的
通项公 式；（
2
）由第（
1
）题的结果计算出数列

b
n

的通项公式，然后利用裂项相消法
计算出前
n
项和
Tn
．

【详解】


a
3
a
1
2d3

解：（
1
）由题意，设等差数列

a
n

的公差为
d
，则

，

43
S4ad10
41

2


a
1
2d3
整理，得

，


2a
1
3d5
解得


a
1
1
.
d1

∴
a
n
1

n1
1n
．

（
2
）由（
1
）知，

S
n

n

n1

，

2
∴
b
n

121

1
2



，

S
n
n

n1< br>

nn1

1

1

11

11

1
∴
T
n
2
< br>1

2



2



L2




22334nn1
 
11

111
2

1L


223nn1

1

2

1



n1


2n

n1
【点睛】

本题主要考查等差数列的基础知识，以及运用裂项相消法求 前
n
项和．考查了转化与化
归思想，方程思想，逻辑思维能力和数学运算能力．属于中 档题．

18
．为研究家庭收入和食品支出的关系，随机抽取了个家庭的样本，得到数 据如下表所
示
.

10
个家庭的月收入额与食品支出额数据（单位：百元）

第 12 页 共 21 页

家庭

收入（
x
）

支出（
y
）


参考数据：
1

20

7

2

30

9

3

33

8

4

40

11

5

15

5

6

13

4

7

26

8

8

38

10

9

35

9

10

43

10


x
i1
10
i
293
，

y
i
81
，

x9577
，

y701
，

x
i
y
i
2574
.

2
i
2< br>i
i1
i1
i1
i1
10101010
ˆ< br>a
ˆ
bx
ˆ
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考 公式：回归方程
y
ˆ
b


xx

yy

ii
i1
n


x
i
x

i1
n
2
ˆ
.

ˆ
y bx
，
a
（
1
）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的 比重
.
一个家庭或个人收入越
少，用于购买生存性的食物的支出在家庭或个人收入中所 占的比重就越大对一个国家而
言，一个国家越穷，每个国民的平均支出中用来购买食物的费用所占比例就 越大
.
恩格
50~59%
为温饱，
40~50%
为小康，< br>30~40%
为富裕，尔系数达
59%
以上为贫困，低于
30%
为最富裕
.
根据上述样本数据，请估计这个国家达到最富裕（恩格尔系数

30%
）的家
庭比例；

ˆ
及
a
ˆ
的（< br>2
）建立
y
（支出）关于
x
（收入）的回归方程（系数精确到
0.01
），并解释
b
现实生活意义
.

【答案】 （
1
）
20%
（
2
）
$$
y0.2x2 .24
，解释见解析

【解析】（
1
）根据恩格尔系数的定义算出< br>10
个家庭的恩格尔系数，其中系数低于
30%
的家庭有
5
个 ，从而算出最富裕家庭的比例；

$$
、
b
$$
的公式计算出回归方程的系数即可得解．

（
2
）结合表格中数据和
a
【详解】

解：（
1
）由题意可知，

10
个家庭的恩格尔系数如下表所示：


家
庭

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
第 13 页 共 21 页

恩

格
35
尔
%
系
数



所以样本中达到最富裕的家庭有
5
个，

估计这个国家达到最富裕的家庭比例为
% % % % % % % % %
3024.2427.533.3330.7730.7726.3225.7123.26

51

.
102
（
2
）
y
i

，，
29381
i1i1
x29.3y8.1
10101010i

x
1010
$$

所以
b


xx

yy


xy10xy
iii i
i1
1010


xx

i
i1
10

2
i1
10


x
i 1
2
i
10x
2
25741029.38.1
0 .20
，

95771029.3
2
$$
ybx$$
8.10.2029.32.24

故
a
所以
y
关于
x
的回归方程为
$$
y0.20x2.24
.
$$
的现实意义为收入每增加
1
百元，估计支出增加的值；
a
$$
的现实意义为用于购买生存
b
性的食物的最少支出．

【点睛】


本题考查概率和回归方程的求法，考查学生数据分析的能力和运 算能力，属于中档题．
19
．如图，在棱长为
a
的正方体
AC
1
中，
M
，
N
，
E
，
F
分别是
A
1
B
1
，
A
1
D
1
，
B
1
C
1
，
C
1
D
1
的 中点
.


（
1
）求证：平面
AMN
平面
BEFD
；

第 14 页 共 21 页

（
2
）求直线
AF< br>与平面
BEFD
所成角的正弦值
.

【答案】（
1
）证明见解析（
2
）
4

9
【解析】（
1
）设正方体的棱长为
4
，如图建立空间直角坐标系，利 用向量法，可证得：
MN

平面
EFBD
，
AK
平面
EFBD
，进而得到平面
AMN

平面
EFBD．

（
2
）求出平面平面
EFBD
的法向量，根据两个 法向量夹角公式，可得直线
AF
与平面
BEFD
所成角的正弦值．

【详解】

解：（
1
）证明：如图
1
，连接
B
1
D
1
，
EN
，

∵M
、< br>N
分别是
A
1
B
1
，
A
1
D
1
的中点，
∴MN

D
1
B
1
，

又
∵DD
1

BB
1
且
DD1
＝
BB
1
，

∴DBB
1
D
1
为平行四边形，得
D
1
B
1

DB
，< br>∴MN

DB
，

∵MN⊄
平面
BDEF，
BD⊂
平面
BDEF
，

∴MN

平面
BDEF
，

∵
在正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M< br>，
F
分别是棱
A
1
B
1
，
D
1
C
1
的中点，

∴MF

A
1
D
1
且
MF
＝
A
1
D
1
，

又
∵A
1
D
1

AD
且
A< br>1
D
1
＝
AD
，
∴MF

AD
且
MF
＝
AD
，

∴
四边形
ABEN
是平行四边形，
∴AM

DF
，

又
∵AM ⊄
平面
BDEF
，
DF⊂
平面
BDEF
，
∴AM

平面
BDEF
，

∵AM⊂
平面
A MN
，
MN⊂
平面
AMN
，且
AM∩MN
＝
M
，

∴
平面
AMN

平面
DBEF
．

（
2
）如图，以
B
为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为
4
，

则
B
（
0
，
0
，
0
），
E
（
0
，
2
，
4
），
D
（
4
，
4
，
0
），
A
（4
，
0
，
0
），
F
（
2
，< br>4
，
4
）

uuuruuuruuur
AF

2，4，4

，
BE

0，2，4
，
BD

4，4，0

.
ur
设平面BDFE
的法向量为
m

x，y，z


v
v
uuu
r

mBE2y4z0
u
v21，
所以

v
uuu
，
m

2 ，

，


mBD4x4y0
uruuur
uruuur
mgAF4844
cosm，AF
uuu
< br>
rur

369
AFm
∴
直线
AF< br>与平面
BEFD
所成角的正弦值为
4
．

9
第 15 页 共 21 页

【点睛】

本题考查空间向量知识的运用，考查线面角、面面平行，考查学生分析解决 问题的能力，
属于中档题．

1
x
2
y
2
20
．已知椭圆
C:
2

2
1(ab0)
， 椭圆的长轴长为
4
，离心率为，若直线
2
ab
l:ykxm与椭圆
C
相交于
A
，
B
两点，且
k
O A
k
OB
（
1
）求椭圆的标准方程；

（
2
）求证：
VAOB
的面积为定值，并求此定值
.

b
2

2
（
O
为坐标原点）
.

a
x
2
y
2
【答案】（
1
）
 1
（
2
）证明见解析；定值为
3

43
【解析】（
1
）由长轴长及离心率和
a
，
b
，
c
之间 的关系求出椭圆的标准方程；

（
2
）将直线与椭圆的方程联立求出两根之和 及两根之积，由（
1
）可得
k
OA
k
OB
b2

2
a
的值，进而可得
k
，
m
的 关系，求出弦长
AB
，及
O
到直线的距离，代入面积公式可证
得面积 为定值．

【详解】

解：（
1
）由题意可得
2a 4
，
c1

，
b
2
a
2
c
2
，解得：
a
2
4
，
b
2
3
，

a2
x
2
y
2
所以椭圆的标准方程为 ：
1
.
43
第 16 页 共 21 页

（
2
）由（
1
）得：设
A

x
1
, y
1

，
A

x
2
,y
2

，因为
k
OA
k
OB
b
2
3

2

，

a4
即
y
1
y
2
3


x
1
x
2
4

ykxm
联立直线与由的方程 ：

2
，整理可得：
2
3x4y120

8 km
4m
2
12


34k

x8 kmx4m120
，


，
x
1
x2

34k
2
，
x
1
x
2

34k
2
，
222
k
2
(4m
2
12)8k
2
m
2
3m
2
12k
2< br>2
∴
y
1
y
2
kx
1
x
2
km

x
1
x
2

m
，

m
34k
2
34k
2
34k2
22
3m
2
12k
2
3
由可得：可得2m
2
34k
2
，


2
4m 124
所以弦长
AB1k
2
(x
1
x
2< br>)4x
1
x
2
1k
22
64m
2k
2
16m
2
48


222
(3 4k)34k
4
1k
2
3
34k
2

，

2
34k
2
O
到直线
l
的 距离
d
m
1k
2

34k
2
，
2
1k
2
所以
S
ABC
334k2
2
4

34k

，

1113< br>2
2
ABd1k
2
43
2234k2
24
1k
2
所以可证：
AOB
的面积为定值，且 此定值为
3
．

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．

21
．已知函数
f(x)kxlnx
.

（
1
）若函数
f(x)
在区间
(1,)
上单调递增，求
k< br>的取值范围；

2
（
2
）若函数
f(x)
有 两个不同的零点
x
1
，
x
2
，求证：
x
1
x
2
e
.

【答案】（
1
）
k³1
（
2
）证明见解析

【解析】（
1
）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；

（
2
）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．

第 17 页 共 21 页

【详解】

解：（
1
）
∵
f(x)kxlnx
，函数
f(x)
在区间

1,

上单调递增

∴
f

(x )k
∴
k
1
0
在

1,
< br>恒成立，

x
1
，

x
∴
k³1
；

（
2
）证明：不妨设x
1
x
2
0
，

∵
f

x
1

f

x
2

0
，
∴
kx
1
lnx
1
0
，

kx
2
lnx
2
0
，

可得
k

x
1
x
2

lnx
2
 lnx
1
，

k

x
1
x
2< br>
lnx
1
lnx
2
，

2
要 证明
x
1
x
2
e
，即证明
lnx
2lnx
1
2
，也就是证
k

x
1
x
2

2
，

∵
k
lnx
1
lnx
2
lnx
1
lnx
2
2
＞< br>，
∴
即证明：，

x
1
x
2
x< br>1
x
2
x
1
x
2

x

2

1
1

x
2

x
即
ln
1
＞

，

x
x
21
1
x
2
x
1
2t1

t，则
t1
，于是
lnt

令．

x
2
t1
(t1)
2
2

t1


令
g

t

lnt
，
t1
，则
g


t


2
，
t(t 1)
t1
故函数
g

t

在

1,

上是增函数，
∴
g

t

g

1

0
，

即
lnt
2< br>
t1

t1
成立．

∴
原不等式成立．

【点睛】

本题考查函数的单调性的应 用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，转化思
想的应用，属于较难题．

22
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知直线
l
的方程为
3 x3y30
，椭圆
C
的参数

xcos

方程为

，（

为参数）
.

y2sin


第 18 页 共 21 页

（
1
）求直线
l
的参数方程和椭圆
C
的标准方程；

（
2
）设直线
l
与椭圆
C
相交于
A
，
B
两点，求线段
AB
的长
.

1
< br>x1t

2

y
2
2
【答案】（
1
）直线
l
的参数方程

；椭圆
C
的标准方程是
x1
（
2
）
4

y
3
t< br>
2
AB
16

7
【解析】（
1
）根据题意，将直线的方程变形可得
y3

x1

，写出参数 方程的形式

y

即可，将椭圆的方程变形可得
x
< br>1
，整理即可得答案；


2

2
2（
2
）根据题意，设
A
，
B
对应的参数分别为
t
1
，
t
2
，将直线的方程与椭圆的方程联立可
3

t

得
t
2
4

1
40
，求出
t
1
，
t
2
的值，又由
ABt
1
t
2
，即可得答案．

4

2

【详解】

解：（
1
） 根据题意，已知直线
l
的方程为
3x3y30
，即
y3
x1

，

2
1

x1t< br>
2

其参数方程为

，（
t
为参数），< br>

y
3
t

2

2

xcos

y

椭圆
C
的参数方程为

（
θ
为参数），则有
x
2


1< br>，


y2sin


2

y< br>2
y
2
2
变形可得
x1
，即椭圆
C的标准方程为
x1
；

44
2
（
2
）直线
l
与椭圆
C
相交于
A
，
B
两点， 设
A
，
B
对应的参数分别为
t
1
，
t2
，

y
2
椭圆
C
的标准方程为
x 1
，变形可得
y
2
4x
2
40
，

4
2
1

x1t
2

2
< br>3
2
t

又由直线
l
的参数方程为
，则有
t4

1

40
，变形可得
3
4

2


yt

2

7t
2
16t0
，

第 19 页 共 21 页

16
，

7
16
则
ABt
1
t
2

．

7
则
t
10
，
t
2

【点睛】


本题考 查参数方程的应用，涉及直线、椭圆的参数方程与普通方程的互化，属于中档题．
23
．已知函 数
f(x)
（
1
）求
m
的值；

（2
）若
a
2
b
2
c
2
m
，求
【答案】（
1
）
12
（
2
）
3
【解析】（
1
）对
f(x)
化简，对绝对值号进行分类讨论， 求出
f(x)
的最小值
f


求出
m
；< br>
（
2
）由
m11
，利用柯西不等式求出即可．

【详解】

解：（
1
）
f(x)
当
x

,
4x
2
4x1|xm|
的最小值为23
（其中
m0
）
.

2
491

的最小值
.

a
2
b
2
c
2
1

1

23
，


2

2
4x
2
4x1| xm|2x1xm
的最小值为
23
（其中
m0
）
2


1


时，
f(x)3xm1，

2


1

x,m

时，
f(x)xm1
，

当


2

当
x

m,

时，
f(x)3xm 1
，

图象如下：

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1
11

1

f


m
，
f

m

 2m1
，
m

2m1

m0
< br>2
22

2

故
f(x)
min
 f


123

1

m
，故
m11
；


22

2

（
2
）由
a
2
b
2
c
2
11
，

由柯西不等式得，

1

2
2
49
22
abc123136
，当且仅当



222

abc1

2
ab

49
故
44
c


2
1
1
时，即
a2,b6,c1
时取等号，

491

的最小值为
3
．

a
2
b
2
c
2
1
【点睛】
< br>本题考查绝对值不等式的求法，柯西不等式求最值问题，考查运算能力和变换技巧，属
于中档题．


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