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第二章 力系的简化

2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5 ）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在
z轴上投影为 ，对z轴的矩的大小为 。
答：F
2
；6
2
F5。
2-2．已知力F 的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的
投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩
M
x
(
F
)= 。
答：Fz=F
·
sin
φ；
Fy=
－
F
·
cos
φ·
cos
φ；
Mx
（
F
）
=F
（
b
·
sin
φ
+c
·
cosφ·
cos
θ）

图2－40 图2－41
2-3．力
F
通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位 为米），若F=100N，则该力
在x轴上的投影为 ，对x轴的矩为 。
答：－60N；
2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面A BED内有沿对角线AE的一
个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为：
M
x
（F）= ；M
Y
（F）= ；M
z
（F）= 。
答：M
x
（F）=0 ，M
y
（F）=－Fa2；M
z
（F）=
6
Fa4
2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为 ；对z轴的矩为 。
答：M
x
（F）=160 N·cm；M
z
（F）=100 N·cm

图2－42 图2－43

2-6．试求图示中力F对O点的矩。

解：a: M
O
(F)=Flsinα
b: M
O
(F)=Flsinα
c: M
O
(F)=F(l
1
+l
3
)sinα+ Fl
2
cosα
d:
2

M
o
< br>F

Fsin

l
1
2
l
2< br>2-7．图示力F=1000N，求对于z轴的力矩M
z
。
题2－7图 题2－8图
2-8．在图示平面力系中，已知：F
1
=10N，F
2
=40N，F
3
=40N，M=30N·m。试求其
合力，并画在图上（图中长度单 位为米）。
解：将力系向O点简化
R
X
=F
2
－F
1
=30N
R
V
=－F
3
=－40N
∴R=50N
主矩： Mo=（F
1
+F
2
+F
3
）·3+M=300N·m
合力的作用线至O点的矩离 d=MoR=6m
合力的方向：cos（
R，
i
）=，cos（
R
，
i
）=－

（
R
，
i
）=－53°08’
（
R
，
i
）=143°08’

2-9．在图示 正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M=50KN·m，转向如图；又沿GA，
BH作用两力R
、
R
,R=R=50
2
KN；α=1m。试求该力系向C点简 化结果。
解：主矢：
R
=Σ
F
i
=0
主矩：
M
c=
M
+
m
（
R
，
R
）
又由M
cx
=－m（
R
，
R
）·cos45° =－50KN·m
M
cY
=0
M
cz
=M－m（
R
，
R
）·sin45°=0
∴
M
c的大小为
Mc=（M
cx
2
+M
cY
2
+M
cz
2
）
12

=50KN·m
'
M
c方向：
Cos（
M
c，
i
）=cosα=M
cx
Mc=－1， α=180°
Cos（
M
c，
j
）=cosβ=M
cY
Mc=0， β=90°
Cos（
M
c，
k
）=cosγ=M
cZMc=0， γ=90°
即
M
c
沿X轴负向

题2－9图 题2－10图

2-10．一个 力系如图示，已知：F
1
=F
2
=F
3
，M=F·a，OA =OD=OE=a，OB=OC=2a。试求此力
系的简化结果。
解：向O点简化，主矢
R
投影
Rx=－F·
1
2

R
Y
=－F·
1
2

R
Z
=F·
2

11
j
+F·
2
j

i
－F·
R
=－F·
22
主矩
M
o的投影：
1
M
o x
=3Fa，M
oY
=0，M
oz
=0
2
1
3Fa
i

M
o
=
2
1
R
·
M
o
=－3aF
2
≠0，
R不垂直
M
o

2
所以简化后的结果为力螺旋。
2-11．沿长方体的不相交且不平行的棱边作用三个大小相等的力，问边长a，b，c满足什
么条 件，这力系才能简化为一个力。

解：向O点简化
R
投影：Rx=P，R
Y
=P，Rz=P
R
=P
i
+P
j
+P
j

主矩< br>M
o投影：M
ox
=bP－cP，M
oY
=－aP，M
oz
=0
M
o=（bP－cP）
i
－aP
j

仅当
R
·
M
o=0时才合成为力。
（P
i
+P
j
+P
k
）[（bP－cP）
i
－ap
j< br>=0
应有 P（bP－cP）=0，PaP=0，
所以 b=c，a=0

2-12．曲杆OABCD的OB段与Y轴重合，BC段与X轴平行，CD 段与Z轴平行，已知：P
1
=50N，
P
2
=50N；P
3
=100N，P
4
=100N，L
1
=100mm，L
2< br>=75mm。试求以B点为简化中心将此四个力
简化成最简单的形式，并确定其位置。

图2－49
解：向B简化
Rx=50N R
Y
=0 R
Z
=50N
R=50
2

R方向： cosα=
1
2
cosβ=0 cosγ=
1
2

主矩
M
B
M
xB
=·m M
YB
=m
zB
=0 M
B
=·m
主矩方向 cosα=1 cosβ=0 cosγ=0
M
B
不垂直
R

Mn
B
=·m M
iB
=·m
d=M
B
R=0.025m


2-13．结构如图所示，求支座B的约束力。

题2－13图
(a)
F
B

32
(c)
3
(b)
F
B
1.82P

F
B
P
P
2
2

2-14．图示曲柄摇 杆机构，在摇杆的B端作用一水平阻力
R
，已知：OC=r，AB=L，各部
分自重及 摩擦均忽略不计，欲使机构在图示位置（OC水平）保持平衡，试求在曲柄OC
上所施加的力偶的力偶矩 M。


图2－51
解：一）取OC ΣMo（F）=0
Nsin45°·r－M=0，N=M（r sin45°）
取AB Σm
A
（F）=0
11
2
RL RLr M=
24
1
2
LRr 二）取OC ΣX=0 Xo－Ncos45°=0，Xo=
4
1
2
LRr ΣY=0 Yo+Ns in45°=0，Yo=－
4
RLsin45°－N2rsin45°=0，N=
取A B ΣX=0 X
A
+N’cos45°－R=0，
X
A
=（1－
1
4
2
Lr）R
ΣY=0 Y
A
－N’sin45°=0，Y
A
=

1
4
2
RLr