国防科技大学录取分数线-假期实践报告

2016
年福建省龙岩市中考数学试卷

一、选择题：本大题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分

1
．（﹣
2
）
3
=
（ ）

A
．﹣
6 B
．
6 C
．﹣
8 D
．
8
2
．下列四个实数中最小的是（ ）

A
．
3
．与
A
．
B
．
2 C
．
D
．
1.4
是同类二次根式的是（ ）

B
．
C
．
D
．

4
．下列命题是假命题的是（ ）

A
．若
|a|=|b|
，则
a=b
B
．两直线平行，同位角相等

C
．对顶角相等

D
．若
b
2
﹣
4ac
＞
0
，则方程
ax
2
+bx+c=0
（
a
≠
0
）有两个不等的 实数根

5
．如图所示正三棱柱的主视图是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

6< br>．
158
，在
2016
年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校
5
位同学一分钟跳绳的次数分别为：
160
，
154
，
1 58
，
170
，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）

A
．平均数为
160 B
．中位数为
158 C
．众数为
158 D
．方差为
20.3
7
．反比例 函数
y=
﹣的图象上有
P
1
（
x
1
，﹣< br>2
），
P
2
（
x
2
，﹣
3
）两点，则
x
1
与
x
2
的大小关
系是（ ）

A
．
x
1
＞
x
2
B
．
x
1
=x
2
C
．
x
1
＜
x
2
D
．不确定

8
．如图，在周长为
12
的菱形
AB CD
中，
AE=1
，
AF=2
，若
P
为对角线BD
上一动点，则
EP+FP
的最小值为（ ）


第1页（共24页）

A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
9
． 在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入
8
个黑球，
搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球
400
次，其中88
次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（ ）

A
．
18
个
B
．
28
个
C
．
36
个
D
．
42
个

10
．已知抛物线
y=ax
2
+bx+c
的图象如图所示，则
|a
﹣
b+c|+|2a+b|=
（ ）


A
．
a+b B
．
a
﹣
2b C
．
a
﹣
b D
．
3a


二、填空题：本大题共
6
小题，每小题
3
分，共
18
分< br>
11
．因式分解：
a
2
﹣
6a+9=
．

12
．截止
2016
年
4
月
28日，电影《美人鱼》的累计票房达到大约
3390000000
元，数据
3390 000000
用科学记数法表示为 ．

13
．如图，若点
A
的坐标为，则
sin
∠
1=
．


14
．将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠
1=40
°
，则∠
2=

°
．


15
．
BD
平分∠
ABC
，
△
ABC
是等边三角形，
∠
E=30
°
，如图，点
E
在
BC
的延长线上，且
CE=1
，
则
BC=
．

第2页（共24页）

16
．如图
1
～
4
， 在直角边分别为
3
和
4
的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图
10
中有
10
个直角三角形的内切圆， 它们的面积分别记为
S
1
，
S
2
，
S
3< br>，
…
，
S
10
，则
S
1
+S
2
+S
3
+
…
+S
10
=
．




三．解答题（本大题共
9
小题，共
92
题）

17
．计算：





18
．先化简再求值：




19
．解不等式组：




第3页（共24页）

．


，其中
x=2+
．

，并把解集在数轴上表示出来．

20
．如图，
AB
是⊙
O
的直径，
C
是⊙
O
上一点，∠
AC D=
∠
B
，
AD
⊥
CD
．

（
1
）求证：
CD
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
AD=1
，
OA=2
，求
AC
的值．






21
．某中学需在 短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动
会．根据平时成绩，把各项目 进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：


（
1
）参加复选的学生总人数为 人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度
数为
°
；

（
2
）补全条形统计图，并标明数据；

（
3
）求在跳高项目中男生被选中的概率．







第4页（共24页）

22
．图
1
是某公交公司
1
路车从起点站
A
站途经
B
站和
C
站，最终到达终点站
D
站的格点
站路线图．（
8
×
8
的格点图是由边长为
1
的小正方形组成）


（
1
）求
1
路车从
A
站到
D< br>站所走的路程（精确到
0.1
）；

（
2
）在图2
、图
3
和图
4
的网格中各画出一种从
A
站到
D
站的路线图．（要求：
①
与图
1
路线不同、路程相同；< br>②
途中必须经过两个格点站；
③
所画路线图不重复）







23
．某网店尝试用单价随天数而变化 的销售模式销售一种商品，利用
30
天的时间销售一种
成本为
10
元

件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第
x
天（
x
为正 整数）销售的相关
信息，如表所示：

销售量
n
（件）
n=50
﹣
x
当
1
≤
x
≤
20
时，
m=20+x
销售单价
m
（元

件）

当
21
≤
x
≤
30
时，
m=10+
（
1
）请计算第 几天该商品单价为
25
元

件？

（
2
）求 网店销售该商品
30
天里所获利润
y
（元）关于
x
（天）的 函数关系式；

（
3
）这
30
天中第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？






第5页（共24页）

24
．已知
△< br>ABC
是等腰三角形，
AB=AC
．

（
1
）特殊情形：如图
1
，当
DE
∥
BC
时，有
DB< br>
EC
．（填
“
＞
”
，
“
＜
”
或
“
=
”
）

（
2
）发现探究：若将图
1
中的
△
ADE
绕点
A
顺时 针旋转
α
（
0
°
＜
α
＜
180
°
）到图
2
位置，
则（
1
）中的结论还成立吗？若成立，请给 予证明；若不成立，请说明理由．

（
3
）拓展运用：如图
3
，
P
是等腰直角三角形
ABC
内一点，∠
ACB=90
°
，且
PB=1
，
PC=2
，
PA=3
，求∠
BPC
的度数．





















第6页（共24页）

25
．已知抛物线
y=
﹣
B
（
1
，
0）．

+bx+c
与
y
轴交于点
C
，与
x
轴的两个交点分别为
A
（﹣
4
，
0
），
（
1
）求抛物线的解析式；

（
2
）已知点
P< br>在抛物线上，连接
PC
，
PB
，若
△
PBC
是以
BC
为直角边的直角三角形，求
点
P
的坐标；

（
4
）已知点
E
在
x
轴上，点
F
在抛物 线上，是否存在以
A
，
C
，
E
，
F
为顶点 的四边形是平
行四边形？若存在，请直接写出点
E
的坐标；若不存在，请说明理由．< br>



第7页（共24页）

2016
年福建省龙岩市中考数学试卷

参考答案与试题解析


一、选择题：本大题共
10
小题， 每小题
4
分，共
40
分

1
．（﹣
2
）
3
=
（ ）

A
．﹣
6B
．
6C
．﹣
8D
．
8
【考点】有理数的乘方．

【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．

【解答】解：原式
=
﹣
8
，

故选
C


2
．下列四个实数中最小的是（ ）

A
．
B
．
2C
．
D
．
1.4
【考点】实数大小比较．

【分析】正实数都大于
0
，负实数都小于
0
，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大
的反而小，据此判断即可．

【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得

1.4
＜＜＜
2
，

∴四个实数中最小的是
1.4
．

故选：
D
．



3
．与是同类二次根式的是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】同类二次根式．

【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．

【解答】解：
A
、与﹣的被开方数不同，故
A
错误；

B
、与﹣的被开方数不同，故
B
错误；

C
、与﹣的被开方数相同，故
C
正确；

D
、与﹣的被开方数不同，故
D
错误；

故选：
C


4
．下列命题是假命题的是（ ）

A
．若
|a|=|b|
，则
a=b
B
．两直线平行，同位角相等

C
．对顶角相等

D
．若
b
2
﹣
4ac
＞
0
，则方程
ax
2
+bx+c=0
（
a
≠
0
）有两个不等的 实数根

【考点】命题与定理．

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析 各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答
案．

【解答】解：
A
、若
|a|=|b|
，则
a
﹣
b=0
或
a+b= 0
，故
A
错误；

B
、两直线平行，同位角相等，故
B
正确；

C
、对顶角相等，故
C
正确；

D
、若
b
2
﹣
4ac
＞
0
，则方程
ax
2
+bx+c=0
（
a
≠
0
）有两个不等的实数根，故
D正确；

第8页（共24页）

故选：
A
．



5
．如图所示正三棱柱的主视图是（ ）


A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可．

【解答】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选
B
．



6
．
158
，在
2016
年龙岩市初 中体育中考中，随意抽取某校
5
位同学一分钟跳绳的次数分别为：
160
，< br>154
，
158
，
170
，则由这组数据得到的结论错误的是 （ ）

A
．平均数为
160B
．中位数为
158C．众数为
158D
．方差为
20.3
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．

【分析】分别利用平均数、中位数、众数及方差的定义求解后即可判断正误．

【解答 】解：
A
、平均数为
÷
5=160
，正确，故本选项不符合题意；< br>
B
、按照从小到大的顺序排列为
154
，
158
，
158
，
160
，
170
，位于中间位置的数为
1 58
，故
中位数为
158
，正确，故本选项不符合题意；

C
、数据
158
出现了
2
次，次数最多，故众数为
158< br>，正确，故本选项不符合题意；

D
、这组数据的方差是
S
2
= [
2
+2
×
2
+
2
+
2
]
=28.8
，错误，故本 选项符合题意．

故选
D
．



7．反比例函数
y=
﹣的图象上有
P
1
（
x
1< br>，﹣
2
），
P
2
（
x
2
，﹣
3
）两点，则
x
1
与
x
2
的大小关
系是 （ ）

A
．
x
1
＞
x
2
B< br>．
x
1
=x
2
C
．
x
1
＜
x
2
D
．不确定

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．

【解答】解：∵反比例函 数
y=
﹣的图象上有
P
1
（
x
1
，﹣2
），
P
2
（
x
2
，﹣
3
） 两点，

∴每个分支上
y
随
x
的增大而增大，

∵﹣
2
＞﹣
3
，

∴
x
1
＞
x
2
，

故选：
A
．



8
．如图，在周长为< br>12
的菱形
ABCD
中，
AE=1
，
AF=2
，若
P
为对角线
BD
上一动点，则
EP+FP
的最小值为 （ ）

第9页（共24页）

A
．
1B
．
2C
．
3D
．
4
【考点】菱形的性质；轴对称
-
最短路线问题．

【分析】作
F
点关于
BD
的对称点
F
′
，则
PF=PF′
，由两点之间线段最短可知当
E
、
P
、
F
′
在
一条直线上时，
EP+FP
有最小值，然后求得
EF
′< br>的长度即可．

【解答】解：作
F
点关于
BD
的对称 点
F
′
，则
PF=PF
′
，连接
EF
′< br>交
BD
于点
P
．

∴
EP+FP=EP+F
′
P
．

由两点之间线段 最短可知：当
E
、
P
、
F
′
在一条直线上时，EP+FP
的值最小，此时
EP+FP=EP+F
′
P=EF
′
．

∵四边形
ABCD
为菱形，周长为
12
，

∴AB=BC=CD=DA=3
，
AB
∥
CD
，

∵
AF=2
，
AE=1
，

∴
DF=AE=1
，

∴四边形
AEF
′
D
是平行四边形，

∴
EF
′
=AD=3
．

∴
EP+FP
的最小值为
3
．

故选：
C
．




9
．在一个 密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入
8
个黑球，
搅拌 均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球
400
次，其中
8 8
次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（ ）

A
．
18
个
B
．
28
个
C
．
36
个
D．
42
个

【考点】用样本估计总体．

【分析】根据 摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减
去黑球个数，即可得到白球 的个数．

【解答】解：由题意可得，

白球的个数大约为：
8÷
﹣
8
≈
28
，

故选
B
．



10
．已知抛物线
y=ax
2
+bx+c
的图象如图所示，则
|a
﹣
b+c |+|2a+b|=
（ ）

第10页（共24页）

A
．
a+bB
．
a
﹣
2 bC
．
a
﹣
bD
．
3a
【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】观察函数图象找出
“
a
＞
0
，
c=0
，﹣
2a
＜
b
＜
0
”
，由此即可得出
|a
﹣
b+c|=a
﹣b
，
|2a+b|=2a+b
，根据整式的加减法运算即可得出结论．

【解答】解：观察函数图象，发现：

图象过原点，
c=0
；

抛物线开口向上，
a
＞
0
；

抛物线的对称轴0
＜﹣＜
1
，﹣
2a
＜
b
＜
0
．

∴
|a
﹣
b+c|=a
﹣
b
，|2a+b|=2a+b
，

∴
|a
﹣
b+c|+|2 a+b|=a
﹣
b+2a+b=3a
．

故选
D
．



二、填空题：本大题共
6
小题，每小题
3
分，共
18
分

11
．因式分解：
a
2
﹣
6a+9=
（
a
﹣
3
）
2
．

【考点】因式分解
-
运用公式法．

【分析】本题是一个二次三项式 ，且
a
2
和
9
分别是
a
和
3
的平 方，
6a
是它们二者积的两倍，
符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式 进行因式分解．

【解答】解：
a
2
﹣
6a+9=
（
a
﹣
3
）
2
．



12
．截止
2016
年
4
月
28
日，电影《美人鱼 》的累计票房达到大约
3390000000
元，数据
3390000000
用科学记数法表示为
3.39
×
109
．

【考点】科学记数法
—
表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示 形式为
a
×
10
n
的形式，其中
1
≤
|a |
＜
10
，
n
为整数．确定
n
的值时，
要 看把原数变成
a
时，小数点移动了多少位，
n
的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数
绝对值＞
1
时，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n
是负数．

【解答】解：
3390000000=3 .39
×
10
9
，

故答案为：
3.39
×
10
9


13
．如图，若点
A
的坐标为，则
sin
∠
1=

frac{{sqrt{3}}}{2}
．


【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．

第11页（共24页）

【分析】根据勾股定理，可得
OA
的长，根据正弦是对边比斜边，可得 答案．

【解答】解：如图，，

由勾股定理，得

OA=
sin
∠
1==
=2
．

，

．

故答案为：


14
． 将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠
1=40
°
，则∠
2=

110

°
．


【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质得到∠
3=
∠
1=40
°
，∠
2+
∠
4=180
°
，由 折叠的性质得到∠
4=
∠
5
，
即可得到结论．

【解答】解：∵
AB
∥
CD
，

∴∠
3=
∠
1=40
°
，∠
2+
∠
4=180
°< br>，

∵∠
4=
∠
5
，

∴∠
4=
∠
5==70
°
，

∴∠
2=110
°
，

故答案为：
110
°
．




15
．
BD
平分∠
ABC
，
△
ABC
是等 边三角形，
∠
E=30
°
，如图，点
E
在
BC的延长线上，且
CE=1
，
则
BC=

2
．

第12页（共24页）

【考点】等边三角形的性质．

【分析】先证明
BC=2CD
，证明
△
CDE
是等腰三角形即可解决问题．

【解答】解：∵△
ABC
是等边三角形，

∴∠
ABC=< br>∠
ACB=60
°
，
BA=BC
，

∵
BD
平分∠
ABC
，

∴∠
DBC=< br>∠
E=30
°
，
BD
⊥
AC
，

∴∠
BDC=90
°
，

∴
BC=2DC
，

∵∠
ACB=
∠
E+
∠
CDE
，

∴∠
CDE=
∠
E=30
°
，

∴
CD=CE=1
，

∴
BC=2CD=2
，

故答案为
2



16
．如图
1
～
4
，在直角边分别为
3
和
4
的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一
个三角形的内切圆，依 此类推，图
10
中有
10
个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为
S
1
，
S
2
，
S
3
，
…
，
S
10
，则
S
1
+S
2
+S
3
+
…
+S
10
=

π
．


【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：图形的变化类．

【分析】（< br>1
）图
1
，作辅助线构建正方形
OECF
，设圆
O< br>的半径为
r
，根据切线长定理表示
出
AD
和
BD的长，利用
AD+BD=5
列方程求出半径
r=
运用圆面积公式
=
π
r
2
求出面积
=
π
；

（< br>2
）图
2
，先求斜边上的高
CD
的长，再由勾股定理求出AD
和
BD
，利用半径
r=
（
a
、
b
是直角边，
c
为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和
=
π
；

b
是直角边，
c
为斜边）（
a
、，< br>第13页（共24页）

（
3
）图
3
，继续求高
DM
和
CM
、
BM
，利用半径
r=< br>（
a
、
b
是直角边，
c
为斜边）
求三个圆的 半径，从而求出三个圆的面积和
=
π
；

综上所述：发现
S
1
+S
2
+S
3
+
…
+S
10< br>=
π
．

【解答】解：（
1
）图
1
，过点
O
做
OE
⊥
AC
，
OF
⊥
BC
，垂足为
E
、
F
，则∠
OEC=
∠
O FC=90
°

∵∠
C=90
°

∴四边形
OECF
为矩形

∵
OE=OF
∴矩形
OECF
为正方形

设圆
O
的半径为
r
，则
OE=OF=r
，
AD=AE=3
﹣
r
，
BD=4
﹣
r
∴
3
﹣
r+4+r=5
，
r=
∴
S
1
=
π×
1
2
=
π

（
2
）图
2
，由
S
△
AB C
=
×
3
×
4=
×
5
×
CD
∴
CD=
=
，
BD=5
﹣
=
=1 < br>由勾股定理得：
AD=
由（
1
）得：⊙
O
的半径==
，⊙
E
的半径
==
∴
S
1
+S
2
=
π×
+
π×
=
π

×
=
×
4
×
MD
（
3
）图3
，由
S
△
CDB
=
×
∴
MD=
由勾股定理得：
CM==
，
MB=4
﹣
=
⊙O
的半径
=
，
⊙
E
的半径
=
由（1
）得：：
=
⊙
F
的半径
=
，：
=
+
π×
+
π×
=
π

∴
S
1
+S
2
+S
3
=
π×
∴图
4
中的
S
1
+S
2
+S
3
+S
4
=
π

则
S
1
+S
2
+S
3
+
…
+S
10
=
π

故答案为：
π
．

第14页（共24页）

三．解答题（本大题共
9
小题，共
92
题）

17
．计算：．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】原式利用二次根式 性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及平方根定义计算
即可得到结果．

【解答】解：原式
=2+3
﹣﹣﹣
3+1=1
．



18
．先化简再求值：

，其中
x=2+
．

【考点】分式的化简求值．

【分析】直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式乘法运算法则求出答案．

【解答】解：原式
=
=
=x+2
，

当
原式
=2+


时，

+2=4+
．


19
．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．

第15页（共24页）

【解答】解：由
①
得x
≥
4
，

由
②
得
x
＜
1
，

∴原不等式组无解，




20
．如图，
AB
是⊙
O
的直径，
C
是⊙
O
上一点，∠
ACD=
∠
B
，
AD
⊥
CD
．

（
1
）求证：
CD
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
AD=1
，
OA=2
，求
AC
的值．


【考点】切线的判定．

【分析】（
1
）连接
OC
，由圆周角定理得出∠
ACB=90
°
，由等腰三角形 的性质得出∠
B=
∠
BCO
，
证出∠
OCD=
∠< br>OCA+
∠
BCO=
∠
ACB=90
°
，即可得出结 论；

（
2
）证明
△
ACB
∽△
ADC< br>，得出
AC
2
=AD
•
AB
，即可得出结果．

【解答】（
1
）证明：连接
OC
，如图所示：

∵
AB
是⊙
O
直径，

∴∠
ACB=90
°
，

∵
OB=OC
，

∴∠
B=
∠
BCO
，

又∵∠
ACD=
∠
B
，

∴∠
OCD=< br>∠
OCA+
∠
ACD=
∠
OCA+
∠
BCO =
∠
ACB=90
°
，

即
OC
⊥
CD
，

∴
CD
是⊙
O
的切线；

（
2
）解：∵
AD
⊥
CD
，

∴∠
ADC=
∠
ACB=90
°
，

又∵∠
ACD=
∠
B
，

∴△
ACB
∽△
ADC
，

∴
AC
2
=AD
•
AB=1
×
4=4
，

∴
AC=2
．




21
．某 中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动
会．根据平时成绩， 把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：

第16页（共24页）

（
1
）参加复选的学生总人数为
25
人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为
72

°
；

（
2
）补全条形统计图，并标明数据；

（
3
）求在跳高项目中男生被选中的概率．

【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图．

【分析】（
1
）利 用条形统计图以及扇形统计图得出跳远项目的人数和所占比例，即可得出参
加复选的学生总人数；用短跑 项目的人数除以总人数得到短跑项目所占百分比，再乘以
360
°
即可求出短跑项目所 对应圆心角的度数；

（
2
）先求出长跑项目的人数，减去女生人数，得出长 跑项目的男生人数，根据总人数为
25
求出跳高项目的女生人数，进而补全条形统计图；

（
3
）用跳高项目中的男生人数除以跳高总人数即可．

【解答】解：（
1
）由扇形统计图和条形统计图可得：

参加复选的 学生总人数为：（
5+3
）
÷
32%=25
（人）；
扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为：
×
360
°
=72
°
．

故答案为：
25
，
72
；


（
2
）长跑项目的男生人数为：
25
×
12%< br>﹣
2=1
，

跳高项目的女生人数为：
25
﹣
3
﹣
2
﹣
1
﹣
2
﹣
5
﹣
3
﹣
4=5
．

如下图：



（
3
）∵复选中的跳高总人数为
9
人，

跳高项目中的男生共有
4
人，

∴跳高项目中男生被选中的概率
=
．



第17页（共24页）

22
．图
1
是某 公交公司
1
路车从起点站
A
站途经
B
站和
C
站，最终到达终点站
D
站的格点
站路线图．（
8
×
8的格点图是由边长为
1
的小正方形组成）


（
1）求
1
路车从
A
站到
D
站所走的路程（精确到
0.1
）；

（
2
）在图
2
、图
3
和图
4
的网格中各画出一种从
A
站到
D
站的路线图．（要 求：
①
与图
1
路线不同、路程相同；
②
途中必须经过两个格 点站；
③
所画路线图不重复）

【考点】作图
—
应用与设计作图；勾股定理的应用．

【分析】（< br>1
）先根据网格求得
AB
、
BC
、
CD
三条 线段的长，再相加求得所走的路程的近似
值；

（
2
）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．

【解答】解：（
1
）根据图
1
可得：
∴
A
站到B
站的路程
=

（
2
）从
A
站到
D
站的路线图如下：

，
≈
9.7
；

，
CD=3



23
．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用
30
天的时间销售一种
成本为
10
元

件的商品售后，经过统计得 到此商品单价在第
x
天（
x
为正整数）销售的相关
信息，如表所示：

n=50
﹣
x
销售量
n
（件）

当
1
≤
x
≤
20
时，
m=20+x
销售单价
m
（元

件）

当
21
≤
x
≤
30
时，
m=10+ （
1
）请计算第几天该商品单价为
25
元

件？

（
2
）求网店销售该商品
30
天里所获利润
y
（元 ）关于
x
（天）的函数关系式；

（
3
）这
30< br>天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（
1
）分两种情形分别代入解方程即可．

（
2< br>）分两种情形写出所获利润
y
（元）关于
x
（天）的函数关系式即可．

（
3
）分两种情形根据函数的性质解决问题即可．

【解答】解：（
1
）分两种情况

第18页（共24页）

①
当
1
≤
x
≤
20
时，将
m=25
代入
m=20+x
，解得
x=10
②
当
21
≤
x
≤
30
时，
25=10+
，解得
x=28
经检验
x=28
是方程的解

∴
x=28
答：第
10
天或第
28
天时该商品为
25
元

件．

（
2
）分两种情况

①
当
1
≤
x
≤
20
时，
y=（
m
﹣
10
）
n=
（
20+x
﹣10
）（
50
﹣
x
）
=
﹣
x
2
+15x+500
，

②
当
21
≤
x< br>≤
30
时，
y=
（
10+
﹣
10
） （
50
﹣
x
）
=
综上所述：

（
3
）
①
当
1
≤
x
≤
20
时
由
y=
﹣
x
2
+15x+500=
﹣（x
﹣
15
）
2
+
∵
a=
﹣＜
0
，

∴当
x=15
时，
y
最大值
=②
当
21
≤
x
≤
30
时

由
y=
﹣
420
，可知
y
随
x
的增大而减小

﹣
420=580
元

，

，

∴当
x=21
时，
y
最大值
=
∵

∴第
15
天时获得利润最大，最大利润为
612.5
元．



24
．已知
△
ABC
是等腰三角形，
AB=AC
．

（
1
）特殊情形：如图
1
，当DE
∥
BC
时，有
DB

=

EC< br>．（填
“
＞
”
，
“
＜
”
或
“
=
”
）

（
2
）发现探究：若将图
1< br>中的
△
ADE
绕点
A
顺时针旋转
α
（
0
°
＜
α
＜
180
°
）到图
2
位置，
则（
1
）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．< br>
（
3
）拓展运用：如图
3
，
P
是等腰直角 三角形
ABC
内一点，∠
ACB=90
°
，且
PB=1，
PC=2
，
PA=3
，求∠
BPC
的度数．

第19页（共24页）

【考点】几何变换综合题．

【分析】（
1
）由
DE
∥
BC
，得到，结合
AB=AC
，得到
DB=EC
；
（
2
）由旋转得到的结论判断出
△
DAB
≌△
EAC
，得到
DB=CE
；

（
3
）由旋转构造 出
△
CPB
≌△
CEA
，再用勾股定理计算出
PE
，然后用勾股定理逆定理判断
出
△
PEA
是直角三角形，在简单计算即可．< br>
【解答】解：（
1
）∵
DE
∥
BC
，

∴
，

∵
AB=AC
，

∴
DB=EC
，

故答案为
=
，

（
2
）成立．

证明：由
①
易知
AD=AE
，

∴由旋转性质可知∠
DAB=
∠
EAC
，

在
△
DAB
和
△
EAC
中

得

∴△
DAB
≌△
EAC
，

∴
DB=CE
，

（
3
）如图，


将
△
CPB
绕点
C
旋转
90
°
得
△
CEA
，连接
PE
，

∴△
CPB
≌△
CEA
，

∴
CE=CP =2
，
AE=BP=1
，∠
PCE=90
°
，

∴∠
CEP=
∠
CPE=45
°
，

在< br>Rt
△
PCE
中，由勾股定理可得，
PE=2
，
< br>在
△
PEA
中，
PE
2
=
（
2）
2
=8
，
AE
2
=1
2
=1
，
PA
2
=3
2
=9
，

∵
PE
2
+AE
2
=AP
2
，

∴△
PEA
是直角三角形

∴∠
PEA=90
°
，

第20页（共24页）

∴∠
CEA=135
°
，

又∵△
CPB
≌△
CEA
∴∠
BPC=
∠
CEA=135
°
．



25
．已知抛物线
y=
﹣
+bx+c
与
y
轴交于点
C
，与
x
轴的两个交点分别为
A
（﹣< br>4
，
0
），
B
（
1
，
0
） ．

（
1
）求抛物线的解析式；

（
2
） 已知点
P
在抛物线上，连接
PC
，
PB
，若
△PBC
是以
BC
为直角边的直角三角形，求
点
P
的坐标 ；

（
4
）已知点
E
在
x
轴上，点
F
在抛物线上，是否存在以
A
，
C
，
E
，
F
为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请直接写出点
E
的坐标；若不存 在，请说明理由．


【考点】二次函数综合题．

【分析】（1
）因为抛物线经过点
A
（﹣
4
，
0
），B
（
1
，
0
），所以可以设抛物线为
y=
﹣（
x+4
）
（
x
﹣
1
），展开即可解决问题．

（
2
）先证明∠
ACB=90
°
，点
A
就是所求的点
P
，求出直线
AC
解析式，再求出过点
B
平 行
AC
的直线的解析式，利用方程组即可解决问题．

（
3
）分
AC
为平行四边形的边，
AC
为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解 决问题．

【解答】解：（
1
）抛物线的解析式为
y=
﹣（
x+4
）（
x
﹣
1
），即
y=
﹣
x
2
﹣
x+2
；

（
2
）存在．

当
x=0
，
y
═﹣
x
2
﹣
x+2 =2
，则
C
（
0
，
2
），

∴
OC=2
，

∵
A
（﹣
4
，< br>0
），
B
（
1
，
0
），

∴
OA=4
，
OB=1
，
AB=5
，

当∠
PCB=90
°
时，

∵
AC
2=4
2
+2
2
=20
，
BC
2
=2< br>2
+1
2
=5
，
AB
2
=5
2=25
∴
AC
2
+BC
2
=AB
2

∴△
ACB
是直角三角形，∠
ACB=90
°
，

∴当点
P
与点
A
重合时，
△
PBC
是以< br>BC
为直角边的直角三角形，此时
P
点坐标为（﹣
4
，
0
）；

当∠
PBC=90
°
时，
PB
∥
AC
，如图
1
，

设直线
AC
的解析式为
y=mx+n
，

把
A
（﹣
4
，
0
），
C
（
0
，< br>2
）代入得，解得，

第21页（共24页）

∴直线
AC
的解析式为
y=x+2
，

∵
BP
∥
AC
，

∴直线
BP
的解析式为
y=x+p
，

把
B
（
1
，
0
）代入得
+p=0
，解得
p=
﹣，

∴直线
BP
的解析式为
y=x
﹣，

解方程组得或，此时
P
点坐标为（﹣
5
，﹣
3
）；

综上所述，满足条件的
P
点坐标为（﹣
4
，
0< br>），
P
2
（﹣
5
，﹣
3
）；
（
3
）存在点
E
，设点
E
坐标为（
m
，
0
），
F
（
n
，﹣
n
2
﹣n+2
）

①
当
AC
为边，
CF
1< br>∥
AE
1
，易知
CF
1
=3
，此时
E
1
坐标（﹣
7
，
0
），

②
当
AC
为边时，
AC
∥
EF
，易知点
F
纵坐 标为﹣
2
，

∴﹣
n
2
﹣
n+2=
﹣
2
，解得
n=
﹣
2
），

根据中点坐标公式得到：
=
或
=
，

，得到F
2
（，﹣
2
），
F
3
（，
解得m=
此时
E
2
（
或，

，
0
），

，
0
），
E
3
（
③
当
AC
为对角线时，
AE
4
=CF
1
=3
，此时
E
4
（﹣
1
，
0
） ，

综上所述满足条件的点
E
为（﹣
7
，
0
）或（﹣
1
，
0
）或（
﹣
2
）．

，﹣
2
）或（，

第22页（共24页）

第23页（共24页）

2016
年
7
月
13
日


第24页（共24页）