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2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案
本试卷分第I卷(选择题 )和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9
页．共150分．考试时间120 分钟．

第Ⅰ卷
(选择题共60分)

一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有 一项是符合题目要求的．
1．直线
(1a)xy10
与圆
xy 2x0
相切，则
a
的值为
A．
1,1
B．
2.2
C．1 D．
1

22
2 ．复数
(
1
2
3
3
i)
的值是
2
B．
i
C．
1
D．1 A．
i

3．不等式
(1x)(1|x|)0
的解集是
A．
{x|0x1}

C．
{x|1x1}

x
B．
{x|x0
且
x1}

D．
{x|x1
且
x1}

4．函数
ya
在
[0,1]
上的最大值与最小值这和为3，则
a
＝
A．
1

2
B．2 C．4 D．
1

4
5．在
(0,2

)
内，使
sinxcosx
成立的
x
的取值范围是
5


B．
(,

)

,)(

,)

4244

5
< br>
5

3

C．
(,
D．
(,

)()

,)

44442
k1k1
6．设集合
M{x|x,kZ}
，
N{x|x,k Z}
，则
2442
A．
MN
B．
MN
C．
MN
D．
MN

A．
(


7．椭圆
5xky5
的一 个焦点是
(0,2)
，那么
k

A．
1
B．1 C．
5
D．
5

22
8．一 个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆
锥轴截面顶角的余弦 值是
A．
3

4
B．
4

5
C．
3

5
D．

3

5
9．
0xya1
，则有
A．
log
a
(xy)0
B．
0log
a
(xy)1

D．
log
a
(xy)2
C．
1log
a
(xy)2

2
10．函数
yxbxc
（
[0,)
）是单调函数的充要条件是
A．
b0

11．设

(0,
B．
b0
C．
b0
D．
b0


4
)
，则二次曲线
x
2
ctg

y
2
tg

1
的离心率取值范围
B．
(,
A．
(0,)

1
2
1
2
2
)

2
C．
(
2
,2)

2
D．
(2,)

12．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
第II卷
(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．
13．据新华 社2002年3月12日电，1985年到2000年间．我国农村人均居住面积如图所示，
其中，从 年2000年的五年间增长最快．
14．函数
y
2
2x
（
x(1,)
）图象与其反函数图象的交点为
1x
7
1 5．
(x1)(x2)
展开式中
x
3
的系数是
16．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在
y
轴上；②焦点 在
x
轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛
物线的通径的长为5 ；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为
(2,1)
．
能使这抛物线方程为
y10x
的条件是第 （要求填写合适条件的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 ．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似
满足函数
yAsin(
x

)b

2

（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段时间的函数解析式；
18．甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动 ．甲第1分钟走2米，以后每分钟比
前1分钟多走1米，乙每分钟走5米．
（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每 分钟比前1分钟多走1米，乙继续每
分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？
19．四 棱锥
PABCD
的底面是边长为
a
的正方形，
PB
平面
ABCD
．
（1）若面
PAD
与面
ABCD
所成 的二面角为
60
，求这个四棱锥的
体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样 变化．面
PAD
与面
PCD
所成的二
面角恒大于
90
20．设函数
f(x)x|x2|1
，
xR

（1）讨论
f(x)
的奇偶性；
（2）求
f(x)
的最小值．
21．已知点
P
到两定点< br>M(1,0)
、
N(1,0)
距离的比为
2
，点
N
到直线
PM
的距离为1，
求直线
PN
的方程．
22．（本小题满分12分，附加题满分4分）
（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1 ，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模
型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都 与原三角形的面积相等，请设计一
种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；
（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
如果给 出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积
与给出的三角形的面 积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．

2

参考答案
一、选择题
题号
答案
1
D
2
C
3
C
4
B
5
C
6
B
7
B
8
C
9
D
10
A
11
D
12
B
二、填空题
（13）1995 （14）
(0,0),(1,1)
（15）1008 （16）②⑤
三、解答题
（17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是
301020
℃
（ 2）图中从6时到14时的图象是函数
yAsin(

x

) b
的半个周期
12


146
，解得



2

8
11
由图示，
A(3010)10

b(1030)20

22
∴
这时，
y10sin (

8
x

)20

3


4

3

综上，所求的解析式为
y10sin(x) 20
（
x[6,14]
）
84
（18）解：（1）设
n
分钟后第1次相遇，依题意，有
n( n1)
2n5n70
，整理得
n
2
13n1400< br>，解得
n7
，
n20
（舍）
2
将
x 6,y10
代入上式，可取


第1次相遇是在开始后7分钟．
（2）设
n
分钟后第2次相遇，依题意，有
2n
n(n1)< br>5n370
，整理得
n
2
13n4200
，解得
n15
，
n28
（舍）
2
第2次相遇是在开始后15分钟．
（19）解（1）∵
PB
平 面
ABCD
，∴
BA
是
PA
在面
ABCD
上的射影，∴
PADA

∴
PAB
是面
PAD
与面
ABCD
所成二面角的平面角，
PAB60

而
PB
是四棱锥
PABCD
的高，
PAABtg603a

∴
V
PABCD

13
3
3aa
2
a

33
（2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面
PAD与
PCD
恒为全等
三角形．
作
AEDP
，垂足为< br>E
，连结
EC
，则
ADECDE
．
∴
AEEC
，
CED90
，故
CFA
是面
PAD
与面
PCD
所成的二面角的平面角．
设
AC
与
D B
相交于点
O
，连结
EO
，则
EOAC
．
2
aOAAEADa

2

AE
2
EC
2
(2OA)
2
(AE2OA)(AE2OA)
 0
在△
AEC
中，
cosAEC
2
2AEECAE
所以，面
PAD
与面
PCD
所成的二面角恒大于
9 0

（20）解：（I）
f(2)3
,
f(2)7
，由于
f(2)f(2)
，
f(2)f(2)

故
f(x)
既不是奇函数，也不是偶函数．
2


xx3 x2
（2）
f(x)


2


xx1 x2
由于
f(x)
在
[2,)
上的最小值为
f(2)3
，在
(,2)内的最小值为
f()
故函数
f(x)
在
(,)
内的最小值为
1
2
3

4
3

4
|PM|
2
，即
|PN|
（21）解：设
P
的坐标为
(x,y)
，由题意有
(x1)
2
y
2
2(x1)
2
y
2
，整理得
x
2
y
2
6x10

因为点
N
到
PM
的距离为1，
|MN|2
所以
PMN30
，直线
PM
的斜率为

3

3
直线
PM
的方程为
y
3
(x1)

3
将
y
3
(x1)
代入
x
2
y
2
6x10
整理得
x
2
4x10

3
解得
x23
，
x23

则点
P
坐标为
(23,13)
或
(23,13)

(23,13)
或
(23,13)

直线
PN
的方程为
yx1
或
yx1
．
（22）解（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．
如图2，正 三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的
1
，有一组对角 为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三
4
个相同的四边形恰好 拼成这个正三棱锥的上底．

（II）依上面剪拼方法，有
V
柱
V
锥
．
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1 的正三角
形，其面积为
3
．现在计算它们的高：
4
13
2 3
2
6
，
h
柱
tg30
．
h锥
1()
26
323
13363322
V
柱
V
锥
(h
柱
－h
锥
)()0
3469424
所以
V
柱
V
锥
．
（III）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶
点作三 角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂
线，沿六条垂线剪下 三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一
个缺上底的直三棱柱，即可得到直 三棱柱．