激励语言-易筋经心法

1．△
ABC
中，
AB
＝2，
AC
＝3，
B
＝60°，则cos
C
＝( )
A．
3

3
6

3
B．±
6

3
C．－D．
6

3
答案 D
解析 由正弦定理得＝，∴sin
C
＝
sin
B
sin
C
2
ACABAB
·sin
B
2 ×sin60°3
＝＝，又
AB
<
AC
，∴
AC
3 3
0<
C
<
B
＝60°，∴cos
C
＝1－sin
C
＝
6
.
3
2
2．已知
a
，< br>b
，
c
分别为△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边，sin
B
＝2sin
A
sin
C
，且
a
>
c
，cos
B
1
a
＝，则＝( )
4
c
A．2
C．3
答案 A
1
B．
2
1
D．
3
a
2
＋< br>c
2
－
b
2
a
2
＋
c
2< br>－2
ac
1
解析 由正弦定理可得
b
＝2
ac
，故cos
B
＝＝＝，化简得(2
a
－
2
ac
2
ac
4
2
a
c
)(
a
－2
c)＝0，又
a
>
c
，故
a
＝2
c
，＝ 2，故选A.
c

3．在△
ABC
中，若sin
A
≤sin
B
＋sin
C
－sin
B
sin
C，则
A
的取值范围是( )
222

π

A．

0，

< br>6


π

C．

0，


3

答案 C

π

B．

，π



6


π

D．

，π

< br>
3

b
2
＋
c
2
－
a< br>2
1
解析 由正弦定理角化边，得
a
≤
b
＋
c
－
bc
.∴
b
＋
c
－
a
≥bc
，∴cos
A
＝≥，
2
bc
2
22222 2
π
∴0<
A
≤.
3
4．在△
ABC
中 ，cos＝
2
A
1＋cos
B
，则△
ABC
一定是 ( )
2

A．等腰三角形
C．等腰直角三角形
答案 A
解析 由cos＝
2
B．直角三角形
D．无法确定
A
1＋cos
B
2
A
得2cos－1＝cos
A
＝cos< br>B
，∴
A
＝
B
，故选A.
22
π
5．在△
ABC
中，∠
ABC
＝，
AB
＝2，
BC
＝3，则sin∠
BAC
＝( )
4
A．
10

10
B．
10

5
5

5
310
C．
10
答案 C
D．
π
222
解析 因为∠
ABC
＝，
AB
＝2，
BC
＝3，根据余弦定理
AC
＝
AB
＋
B C
－2
AB
·
BC
·cos
4
∠
ABC< br>，得
AC
＝(2)＋3－2×2×3×
222
22
＝5，解得
AC
＝5.结合
BC
＝3，sin∠
ABC
＝，
2 2
ACBC
53310
根据正弦定理＝，得＝，解得sin∠
BAC
＝.
sin∠
ABC
sin∠
BAC
10
2
si n∠
BAC
2
6．△
ABC
中，
B
＝120°，< br>AC
＝7，
AB
＝5，则△
ABC
的面积为________ ．
答案
153

4
解析 因为
AC
＝7，
AB
＝5，
B
＝120°，
由余 弦定理得
AC
＝
BC
＋
AB
－2
BC
·< br>AB
·cos
B
，
即49＝
BC
＋25－2×5×
BC
·cos120°.
整理得
BC
＋5
BC
－24＝0，
解得
BC
＝3或
BC
＝－8(舍去)．
11153
∴
S
△
ABC
＝
BC
·
AB
·sin1 20°＝×3×5×sin120°＝.
224
7．设△
ABC
的内角A
，
B
，
C
所对边的长分别为
a
，
b
，
c
.若
b
＋
c
＝2
a,
3si n
A
＝5sin
B
，
则角
C
＝________.
2
答案 π
3
解析 因为3sin
A
＝5sin
B
，
结合正弦定理的变形
a< br>∶
b
∶
c
＝sin
A
∶sin
B
∶ sin
C
，
5
得3
a
＝5
b
，所以a
＝
b
.
3
2
2
222

7
又
b
＋
c
＝2
a
，所以
c
＝
b
.
3
a
2
＋
b
2
－
c
2
根据余弦定理的推论cos
C
＝，
2
ab
5712
把
a
＝
b
，
c
＝
b
代入 ，化简得cos
C
＝－，所以
C
＝π.
3323
8．在△
ABC
中，
B
＝120°，
AB
＝2，
A
的角平分线
AD
＝3，则
AC
＝________.
答案 6

ADAB
32
解析 如图所示，在△
ABD
中，由正弦定 理得＝，即＝，
sin
B
sin∠
ADB
sin120°sin∠< br>ADB
所以sin∠
ADB
＝
2
，从而∠
ADB＝45°，
2
则∠
BAD
＝∠
DAC
＝15°，所以 ∠
ACB
＝30°，∠
BAC
＝30°，所以△
BAC
是等 腰三角形，
BC
＝
AB
＝2.
由余弦定理得
AC
＝
AB
＋
BC
－2·
AB
·
BC
·cos 120°
＝ 2
2
22
＋2
2

1
< br>－2×2×2·

－

＝6.

2
9．已知在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C所对的边分别为
a
，
b
，
c
，其中
c
为最长边．
(1)若sin
A
＋ sin
B
＝1，试判断△
ABC
的形状；
(2)若
a－
c
＝2
b
，且sin
B
＝4cos
A
sin
C
，求
b
的值．
解 (1)由已知，sin
A
＋sin
B
＝1，
∴sin
A
＝1－sin
B
＝cos
B
.
由于
c
为最长边，
∴
A
，
B
均为锐角， 则sin
A
＝cos
B
，
222
22
22
22

π

∴sin
A
＝sin

－< br>B

，

2

ππ
∴
A
＝－
B
，即
A
＋
B
＝.
22
故△
ABC
为直角三角形．

(2)由已知si n
B
＝4cos
A
sin
C
，
4
结合正 弦定理和余弦定理得
b
＝
22222
b
2
＋
c2
－
a
2
×
c
，
2
bc
2
即
b
＝2(
a
－
c
)，又
a
－< br>c
＝2
b
，∴
b
＝4
b
，又
b≠0，∴
b
＝4.
2
10．在△
ABC
中，内角A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b，
c
.已知cos
A
＝，sin
B
＝5cos
C
.
3
(1)求tan
C
的值；
(2)若
a
＝2，求△
ABC
的面积．
25
2
解 (1)因为0<
A
<π，cos
A
＝， 得sin
A
＝1－cos
A
＝，又5cos
C
＝sinB
＝sin(
A
33
＋
C
)＝sin
A
cos
C
＋cos
A
sin
C
＝
52
c os
C
＋sin
C
，所以tan
C
＝5.
33
5
6
，cos
C
＝
1
6
. (2)由tan
C
＝5，得sin
C
＝
5
于是sin
B
＝5cos
C
＝，由
a
＝2及正弦定理＝，得
c
＝3.
sin
A
sin
C
6
ac
15
设△
ABC
的面积为
S
，则
S
＝
ac
si n
B
＝.
22
(时间：20分钟)
sin
A
－ 2sin
B
11．在△
ABC
中，三边之比
a
∶
b
∶
c
＝2∶3∶4，则＝( )
sin2
C
A．1
C．－2
答案 B
4＋9－161sin
A
－2sin
Ba
－2
b
解析 不妨设
a
＝2，
b
＝3，
c
＝4，故cos
C
＝＝－，故＝＝
2×2×34sin2
C2
c
cos
C
2－6
B．2
1
D．
2

1

8×

－


4
＝2，故选B.
12．在△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是内角
A
，
B
，
C
所对的边，且cos2
B
＋3cos(
A
＋
C
)＋2＝0，
b
＝3，则
c
∶sin
C
等于( )
A．3∶1
C．2∶1
答案 D
解析 由cos2
B
＋3cos(
A
＋
C
)＋2＝0，得2cos
B
－3cos
B
＋1＝0，解得cos
B
＝1(舍去)
2
B．3∶1
D．2∶1

13
或cos
B
＝，所以sin
B
＝，所以
c
∶sin
C
＝
b
∶sin
B
＝2∶1.
22
2π
b
13．在△
ABC
中， ∠
A
＝，
a
＝3
c
，则＝________.
3
c
答案 1
解析 在△
ABC
中，
a
＝
b
＋
c
－2
bc
·cos
A
，
2π
将∠
A
＝，
a
＝3
c
代入，
3
222

1

222
可得(3
c
)＝
b
＋
c
－2
bc
·

－

，

2

整理得2
c
＝
b
＋
bc
.
∵
c
≠0，∴等式两边同时除以
c
，
2
22
b
2
bc

b

2
b
得2＝
2
＋
2
，即2＝

＋.
cc

c

c
令
t
＝(
t
>0)，有2＝t
＋
t
，即
t
＋
t
－2＝0，
解得
t
＝1或
t
＝－2(舍去)，故＝1.
cos
A
cos
B
sin
C
14．在△
ABC
中，角< br>A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，且＋＝.
b
c
22
b
c
abc
(1)证明：sin
A
sin
B
＝sin
C
；
6
222
(2)若
b
＋
c
－
a
＝
bc
，求tan
B
.
5
解 (1)证明：根据正弦定理，
可设＝＝＝
k
(
k
>0)．
sin
A
sin
B
sin
C
则
a
＝k
sin
A
，
b
＝
k
sin
B
，
c
＝
k
sin
C
.
cos
A
cos
B
sin
C
代入＋＝中，有 abc
abc
cos
A
cos
B
sin
C＋＝，变形可得
k
sin
Ak
sin
Bk
sinC
sin
A
sin
B
＝sin
A
cos
B
＋cos
A
sin
B
＝sin(
A
＋
B
)．
在△
ABC
中，由
A
＋
B
＋C
＝π，
得sin(
A
＋
B
)＝sin(π－
C
)＝sin
C
，
所以sin
A
sin
B
＝sin
C
.
6
222
(2)由已知，
b
＋
c
－
a
＝bc
，根据余弦定理，有
5

b
2
＋
c
2
－
a
2
3
cos
A
＝＝.
2
bc
5
4
2
所以sin
A
＝1－cos
A
＝.
5
由(1)，sin
A
sin
B
＝sin< br>A
cos
B
＋cos
A
sin
B
，
443sin
B
所以sin
B
＝cos
B
＋sin
B
，故tan
B
＝＝4.
555cos
B