2017
年云南省高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题（共
12
小 题，每小题
5
分，满分
60
分）

1
．已知集合< br>S=
{
1
，
2
}，设
S
的真子集有
m
个，则
m=
（ ）

A
．
4 B
．
3 C
．
2 D
．
1
【考点】子集与真子集．

【分析】若集合
A
有
n
个元素，则集合
A
有
2
n
﹣
1
个真子集．

【解答】解：∵集合
S=
{
1
，
2
}，

∴
S
的真子集的个数为：
2
2
﹣
1=3
．

故选：
B
．



2
．已知
i
为虚数单位，则
A
．﹣+
i B
． +
i
的共轭复数为（ ）

C
．﹣﹣
i D
．﹣
i
【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：∵
∴
=
．

，

的共轭复数为
故选：
C
．



3
．已知、是平面向量，如果||
=3
，||
=4
，|+|
=2，那么|﹣|
=
（ ）

A
．
B
．
7 C
．
5 D
．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据条件对
而求出的值．


两边平方，从而可求出，这样 即可求出的值，进
【解答】解：根据条件：
=
=4
；

∴；

∴
=9
﹣（﹣
21
）+
16
=46
；

∴
故选：
A
．



．


4
．在（
x
﹣）
10< br>的二项展开式中，
x
4
的系数等于（ ）

A
．﹣
120 B
．﹣
60 C
．
60 D
．
120
【考点】二项式系数的性质．

【分析】利用通项公式即可得出．

【解答】解：通项公式
T
r+
1
=
令
10
﹣
2r=4
，解得
r= 3
．

∴
x
4
的系数等于﹣
故选：
A


5
．已知
a
，
b
，
c
，
d
都是常数，
a
＞
b
，
c
＞
d
，若
f
（
x
）
=2017
﹣（
x
﹣
a
）（
x
﹣
b
）的零点为
c
，
d
，则下
列不等式正确的是（ ）

A
．
a
＞
c
＞
b
＞
d B
．
a
＞
b
＞
c
＞
d C
．
c
＞
d
＞
a
＞
b D
．
c
＞
a
＞
b
＞
d
=
﹣
120
．

=
（﹣
1
）r
x
10
﹣
2r
，

【考点】函数的零点．

【分析】由题意设
g
（
x
）
=
（
x
﹣
a
）（
x
﹣
b
），则
f
（
x
）
=2017
﹣
g
（x
），由函数零点的定义求出对应方程
的根，画出
g
（
x
）和直线
y=2017
的大致图象，由条件和图象判断出大小关系．

【解 答】解：由题意设
g
（
x
）
=
（
x
﹣a
）（
x
﹣
b
），则
f
（
x
）
=2017
﹣
g
（
x
），

所以
g
（
x
）
=0
的两个根是
a
、
b
，

由题意知：
f
（
x
）
=0
的两根
c
，
d
，

也就是
g
（
x
）
=2017
的两根，

画出
g
（
x
）（开口向上）以及直线
y=2017
的大致图象，

则与
f
（
x
）交点横坐标就是
c
，
d，

f
（
x
）与
x
轴交点就是
a，
b
，

又
a
＞
b
，
c＞
d
，则
c
，
d
在
a
，
b< br>外，

由图得，
c
＞
a
＞
b
＞d
，

故选
D
．

6
．公元
263
年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的 面积去逼近圆的面积求圆周率
π
，他从
圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加， 即
12
，
24
，
48
，
…
，
19 2
，
…
，逐个算出正六边形，正
十二边形，正二十四边形，
…
，正一百九十二边形，
…
的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到
了正一百九 十二边形，这时候
π
的近似值是
3.141024
，刘徽称这个方法为
“
割圆术
”
，并且把
“
割圆术
”
的特点概括为< br>“
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣
”
．刘徽这种
想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想 及其重
要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的
“
割圆术
”
思 想设计的一个程序框图，若运行改程序（参
考数据：≈
1.732
，
sin1 5°
≈
0.2588
，
sin7.5°
≈
0.1305），则输出
n
的值为（ ）


A
．
48 B
．
36 C
．
30 D
．
24
【考点】程序框图．

【分析】列出循环过程中
S
与
n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．

【解答】解：模拟执行程序，可得：

n=6
，
S=3sin60°=
，

不满足条件
S
≥
3.10
，
n=12
，
S=6
×
sin 30°=3
，

不满足条件
S
≥
3.10
，
n=24
，
S=12
×
sin15°=12
×
0.258 8=3.1056
，

满足条件
S
≥
3.10
，退 出循环，输出
n
的值为
24
．

故选：
D
．

7
．在 平面区域内随机取一点（
a
，
b
），则函数
f
（
x
）
=ax
2
﹣
4bx
+
1
在区间[
1
，+∞）上是增
函数的概率为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】几何概型．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：


对应的图形为△< br>OAB
，其中对应面积为
S=
×
4
×
4=8
，

若
f
（
x
）
=ax
2
﹣4bx
+
1
在区间[
1
，+∞）上是增函数，

则满足
a
＞
0
且对称轴
x=
﹣
即
由≤
1
，

，对应的平面区域为△
OBC
，

，

解得，

∴对应的面积为
S
1
=
××
4=
，

∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为
故选：
B
．



=
，

8
．已知△
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、< br>b
、
c
．若
a=bcosC
+
csinB
， 且△
ABC
的面积为
1
+
b
的最小值为（ ）

A
．
2 B
．
3 C
．
D
．

．则
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

【分析】已知等式利 用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出
tanB
的值，确定 出
B
的度数，利用三角形面积公式求出
ac
的值，利用余弦定理，基本不等式 可求
b
的最小
值．

【解答】解：由正弦定理得到：
sin A=sinCsinB
+
sinBcosC
，

∵在△
AB C
中，
sinA=sin
[
π
﹣（
B
+
C
）]
=sin
（
B
+
C
），

∴
sin
（
B
+
C
）
=sinBcosC
+
cosBsinC=sinCsinB
+
sinBcosC
，

∴
cosBsinC=sinCsinB
，

∵
C
∈（
0
，
π
），
sinC
≠
0
，

∴
cosB=sinB
，即
tanB=1
，

∵
B
∈（
0
，
π
），

∴
B=
，

ac=1
+，

∵
S
△
ABC
=acsinB=
∴
ac=4
+
2
，

由余弦定理得到：
b
2
=a
2
+
c
2
﹣
2accosB
，即
b
2
=a
2+
c
2
﹣
∴
b
的最小值为
2
．

故选：
A
．



ac
≥
2 ac
﹣
ac=4
，当且仅当
a=c
时取
“=”
，< br>
9
．如图，网格纸上小正方形的边长为
1
，粗线画出的是某几何体的 三视图，则此几何体的体积为（ ）

A
．
12 B
．
18 C
．
24 D
．
30
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个 以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组
合体，进而得到答案．

< br>【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得
的组合体，

其底面面积
S=
×
3
×
4=6
，

棱柱的高为：
5
，棱锥的高为
3
，

故组合体的体 积
V=6
×
5
﹣×
6
×
3=24
，

故选：
C


10
．已知常数
ω
＞
0
，
f
（
x
）
=
﹣
1
+
2
为
A
．
，若
f
（
x
0
）
=
，
B
．
≤
x
0
≤
C．
sinωxcosωx
+
2cos
2
ωx
图象的对称 中心得到对称轴的距离的最小值
，则
cos2x
0
=
（ ）

D
．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】将函数
f
（
x
）化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离的最小值为
据f
（
x
0
）
=
，≤
x
0
≤， 求出
x
0
，可得
cos2x
0
的值．

sinωxcosωx
+
2cos
2
ωx
，

）

，可得
T=π
．根
【解答】解：由
f
（
x
）
=
﹣
1
+
2
化简可得：
f
（
x
）
=sin2ωx
+
cos2ωx=2sin
（
2ωx
+
，

∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为
∴
T=π
．

由
可得：
ω=1
．

f
（
x
0< br>）
=
，即
2sin
（
2x
0
+
∵< br>∴
≤
x
0
≤
≤
2x
0
+
，

≤

）
=
，

∴
sin（
2x
0
+
∴
cos
（
2x
0
+
）
=
＞
0
）
=
．

﹣）< br>=cos
（
2x
0
+）
cos
+
sin（
2x
0
+）
sin=
那么：
cos2x
0
=cos
（
2x
0
+
故选
D


11
．已知三棱锥
P
﹣
ABC
的所有顶点都在表面积为16π
的球
O
的球面上，
AC
为球
O
的直径， 当三棱锥

P
﹣
ABC
的体积最大时，设二面角
P﹣
AB
﹣
C
的大小为
θ
，则
sinθ=
（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】二面角的平面角及求法．

【分析】
AC< br>为球
O
的直径，当三棱锥
P
﹣
ABC
的体积最大时， △
ABC
为等腰直角三角形，
P
在面
ABC
上的射影为圆心
O
，过圆心
O
作
OD
⊥
AB
于
D
，连结
PD
，则∠
PDO
为二面角
P
﹣
A B
﹣
C
的平面角．

【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为
2
，

AC
为 球
O
的直径，当三棱锥
P
﹣
ABC
的体积最大时，△
ABC
为等腰直角三角形，
P
在面
ABC
上的射影
为圆心
O
，

过圆心
O
作
OD
⊥
AB< br>于
D
，连结
PD
，则∠
PDO
为二面角
P< br>﹣
AB
﹣
C
的平面角，

在△
ABC
△中，
PO=2
，
OD=BC=
故选：
C
，∴，
sinθ=
．




12
．抛物线
M
的顶点是坐标原点
O
，抛物线
M
的焦点
F
在
x
轴正半轴上，抛物线
M
的准线与曲线
x
2
+
y
2
﹣
6x
+
4y
﹣
3=0< br>只有一个公共点，设
A
是抛物线
M
上的一点，若
•=
﹣
4
，则点
A
的坐标是（ ）

A
．（﹣
1
，
2
）或（﹣
1
，﹣
2
）
B
．（
1
，
2
）或（
1
，﹣
2
）
C
．（
1
，
2
）
D
．（
1
，﹣
2
）

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】先求出抛物线的焦点
F
（< br>1
，
0
），根据抛物线的方程设
A
（，
y
0
），则
=
（，
y
0
），
=
（
1< br>﹣，﹣
y
0
），再由
•=
﹣
4
，可求得y
0
的值，最后可得答案．

【解答】解：
x
2
+
y
2
﹣
6x
+
4y
﹣
3=0
，可化为（
x
﹣
3
）
2
+（
y
+
2
）
2
=16
，圆心坐标为（
3
，﹣
2
） ，半径为
4
，

∵抛物线
M
的准线与曲线
x
2
+
y
2
﹣
6x
+
4y
﹣
3= 0
只有一个公共点，

∴
3
+
=4
，∴
p=2
．

∴
F
（
1
，
0
），

设
A
（，
y
0
）

则
由
=
（
•
，
y
0
），
=
（
1
﹣，﹣
y
0
），

=
﹣
4
，∴
y
0
=
±
2
，∴
A
（
1
，±2
）

故选
B
．



二、 填空题（共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分）

13
．某校
1000
名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服 从正态分布
N
（
90
，
σ
2
），若分
数在 （
70
，
110
]内的概率为
0.7
，估计这次考试分数不 超过
70
分的人数为
325
人．

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】利用正态分布曲线的对 称性结合已知求得
P
（
X
≤
70
），乘以
1000
得答案．

【解答】解：由
X
服从正态分布
N
（< br>90
，
σ
2
）（
σ
＞
0
），且P
（
70
≤
X
≤
110
）
=0.35
，

得
P
（
X
≤
70
）
=
（
1
﹣
0.35
）
=
．

=325
．

∴估计这次考试分数不超过
70
分的人数为< br>1000
×
故答案为：
325
．


14
．过双曲线﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点且垂直于
x
轴的直线与双曲线交于
A
，
B
两点，与双
曲线的渐近线交于
C
，
D
两点， 若|
AB
|≥|
CD
|，则双曲线离心率的取值范围为 [，+∞） ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方 程，令
x=c
，联立方程求出
A
，
B
，
C
，
D
的坐标，结合距离关
系和条件，运用离心率公式和
a
，
b
，
c
的关系，进行求解即可．

【解答】解：设双曲线﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦 点为（
c
，
0
），

当
x=c
时代入双曲 线﹣
=1
得
y=
±，则
A
（
c
，），B
（
c
，﹣），

则
AB=
，
，则
C
（
c
，），
D
（
c
，﹣），< br>
将
x=c
代入
y=
±
x
得
y=< br>±
则|
CD
|
=
，

∵|
AB
|≥|
CD
|，

∴≥
•
，即
b
≥
c
，

c
2
，

则
b
2
=c
2
﹣
a
2
≥
即
c
2
≥
a
2
，

则
e
2
=
≥，

则
e
≥．

故答案为：[，+∞）．



15
．计算
【考点】三角函数的化简求值．

【分析】利用诱导公式 化简
cos
（﹣
100°
）
=
﹣
sin10°，同角三角函数关系式
1
﹣
sin10°=sin
2
5°
+
cos
2
5°
﹣
2sin5°cos5°
代入化简．根 据两角和与差的公式可得答案．

【解答
=
】解：由
=
=
（用数字作答）

=
故答案为：


16
．已知
f
（
x
）
=
＞
0
，或
x
＜﹣
2
} ．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

．

．

，若
f
（
x
﹣
1
）＜
f
（
2x
+
1
），则
x
的取值范围为 {
x
|
x
【分析】由题意可得
f
（
x
）为偶函数，
f
（
x
）在[
0
，+∞）上单调递增．由不等式
f
（
x
﹣
1
）＜
f
（
2x
+
1
），可得|
x
﹣
1
|＜|
2x
+
1
|，由 此求得
x
的范围．

【解答】解：∵已知
f
（
x< br>）
=
∴满足
f
（﹣
x
）
=f
（x
），且
f
（
0
）
=0
，故
f
（
x
）为偶函数，

f
（
x
）在[
0
，+∞）上单调递增．

若
f
（
x
﹣
1
）＜
f
（
2x+
1
），则|
x
﹣
1
|＜|
2x
+< br>1
|，

，

∴（
x
﹣1
）
2
＜（
2x
+
1
）
2
， 即
x
2
+
2x
＞
0
，∴
x
＞0
，或
x
＜﹣
2
，

故答案为：{
x
|
x
＞
0
，或
x
＜﹣
2
}．


三、解答题（共
5
小题，满分
60
分）

17．设数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=1
，当
n
≥
2
时，
a< br>n
=2a
n
S
n
﹣
2S
n
2
．

（
1
）求数列{
a
n
}的通项公式；

（
2
）是否存在正数
k
，使（
1
+
S
1）（
1
+
S
2
）
…
（
1
+< br>S
n
）≥
k
的取值范围，若不存在，请说明理由．

【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．

【分析】（
1
）由数 列的性质对其经行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可，求出
S
n
，再根< br>据
a
n
=S
n
﹣
S
n
﹣
1
，即可求出数列的通项公式，

（
2
）先构造函数
f
（
n
）并判断其单调性，然后再由函数的单调性解决函数恒成立的，求出参数
k的取
值范围．

【解答】解：（
1
）∵当
n
≥
2
时，
a
n
=2a
n
S
n
﹣2S
n
2
，

∴
a
n
=
，
n
≥
2
，

对一切正整数
n
都成立？若存在，求
k
∴（
S
n< br>﹣
S
n
﹣
1
）（
2S
n
﹣
1
）
=2S
n
2
，

∴
S
n﹣
S
n
﹣
1
=2S
n
S
n
﹣
1
，

∴﹣
2
，
n
≥
2
，

}是以
=1
为首项，以
2
为公差的等差数列，

∴ 数列{
∴
∴
S
n
=
=1
+
2
（< br>n
﹣
1
）
=2n
﹣
1
，

，

﹣
=
﹣，

∴
n
≥
2
时，
a
n
=S
n
﹣
S
n
﹣1
=
∵
a
1
=S
1
=1
，

∴
a
n
=
，

（
2
）设
f
（
n
）
=
，

则
==
＞
1
，

∴
f
（
n
）在
n
∈
N*
上递增，

要使< br>f
（
n
）≥
k
恒成立，只需要
f
（
n
）
min
≥
k
，

∵
f
（n
）
min
=f
（
1
）
=
∴
0
＜
k
≤


18
．云南省
2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分
标准为：
85
分及以上，记为
A
等，分数在[
70
，
85
）内，记为
B
等，分数在[
60
，
70
）内，记为
C
等，
60
分以下，记为
D
等，同时认定等级分别为
A，
B
，
C
都为合格，等级为
D
为不合格．
< br>已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[
50
，
100
]内，为 了比较两校学生的成绩，分别抽取
50
名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[
5 0
，
60
），[
60
，
70
），[
70< br>，
80
），[
80
，
90
），[
90
，
100
]分

别作出甲校如图
1
所示样本频率分布直方 图，乙校如图
2
所示样本中等级为
C
、
D
的所有数据茎叶图 ．

，


（
1
）求图中
x
的值 ，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

（
2
）在选取的样本中，从甲、 乙两校
C
等级的学生中随机抽取
3
名学生进行调研，用
X
表 示所抽取的
3
名学生中甲校的学生人数，求随机变量
X
的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．


【分析】（
1
）利用频率分布直方图的性质可得
x
，进而 定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．
0.012
×
10
×
50=6
，
4
人．
X=0
，
1
，
2，
3
．
=
（
2
）甲乙两校的
C
等级的 学生数分别为：利用
P
（
X=k
）
即可得出．

【 解答】解：（
1
）由频率分布直方图可得：（
x
+
0.012
+
0.056
+
0.018
+
0.010
）×
1 0=1
，解得
x=0.004
．

甲校的合格率
P
1
=
（
1
﹣
0.004
）×
10=0.96=96 %
，

乙校的合格率
P
2
==96%
．

，
可得：甲乙两校的合格率相同，都为
96%
．

（
2
）甲乙两校的
C
等级的学生数分别为：
0.012
×
1 0
×
50=6
，
4
人．

X=0
，
1
，
2
，
3
．

则
P
（
X=k
）
==
，
P
（
X =0
）
=P
（
X=1
）
=
，
=
，
P
（
X=2
）
==
，
P
（
X=3
）
==
．

∴
X
的分布列为：

X
P
E
（
X
）
=0
+
1
×


19
．如图，在四棱锥
S
﹣
ABCD
中，底面
AB CD
是矩形，平面
ABCD
⊥平面
SBC
，
SB=SC，
M
是
BC
的中点，
AB=1
，
BC=2．

（
1
）求证：
AM
⊥
SD
；

（
2
）若二面角
B
﹣
SA
﹣
M
的正弦值为， 求四棱锥
S
﹣
ABCD
的体积．

0

+
2
×+
3
×
=
．

1

2

3


【考点】棱柱、棱锥、棱台 的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质．

【分析】（
1
）推导出
SM
⊥
BC
，
SM
⊥
AM
，由勾股定理得
AM
⊥
DM
，从而
AM
⊥平面
D MS
，由此能证明
AM
⊥
SD
．

（
2< br>）以
M
为原点，
MC
为
x
轴，
MS
为
y
轴，过
M
作平面
BCS
的垂线为
z
轴 ，建立空间直角坐标系，
利用向量法能求出四棱锥
S
﹣
ABCD
的体 积．

【解答】证明：（
1
）∵
SB=SC
，
M< br>是
BC
的中点，∴
SM
⊥
BC
，

∵平面
ABCD
⊥平面
SBC
，平面
ABCD
∩平面
SBC=BC
，

∴
SM
⊥平面
ABCD
，

∵
AM
⊂平面
ABCD
，∴
SM
⊥
AM
，

∵ 底面
ABCD
是矩形，
M
是
BC
的中点，
AB=1
，
BC=2
，

∴
AM
2
=BM
2
==
，
AD=2
，

∴
AM
2
+
BM
2
=AD
2
，∴
AM
⊥
DM
，

∵
SM
∩
DM=M
，∴
AM
⊥平面
DMS
，

∵
SD
⊂平面
DMS
，∴AM
⊥
SD
．

解：（
2
）∵
SM< br>⊥平面
ABCD
，∴以
M
为原点，
MC
为
x
轴，

MS
为
y
轴，过
M
作平面
BCS
的垂线为
z
轴，

建立空间直角坐标系，

设
SM=t
，则
M
（
0
，
0
，
0
），
B
（﹣
1
，
0
，
0
），S
（
0
，
t
，
0
），

A
（﹣
1
，
0
，
1
），
=
（
0
，
0
，
1
），
=
（< br>0
，
t
，
0
），

设平面
ABS< br>的法向量
=
（
x
，
y
，
z
），
则，取
x=1
，得
=
（
1
，﹣，
0
），

=
（
1
，
t
，
0
），
=
（﹣
1
，
0
，
1
），
< br>设平面
MAS
的法向量
=
（
a
，
b
，
c
），

则，取
a=1
，得
=
（
1
，
0
，
1
），

设二面角
B
﹣
SA
﹣
M
的平面角为
θ
，

∵二面角< br>B
﹣
SA
﹣
M
的正弦值为
∴
sinθ=，
cosθ==
，

，

∴
cosθ==
，

=
，解得
t=
，

∵
SM
⊥平面
ABCD
，
SM=
∴四棱锥
S
﹣
ABCD
的体积：

V
S
﹣
ABCD
===
．




20
．已知椭圆
E
的中心在原点，焦点
F1
、
F
2
在
y
轴上，离心率等于
PF
1
为直径的圆经过
F
2
，且
9
（
1
）求椭 圆
E
的方程；

（
2
）做直线
l
与椭圆< br>E
交于两个不同的点
M
、
N
，如果线段
MN
被直线
2x
+
1=0
平分，求
l
的倾斜角的
•=1
．

，
P
是椭圆
E
上的点，以线段

取值范围．

【考点】直线与椭圆的位置关系．

【分析】（
1
）由题意可知：设椭圆的标准方程，
c=a
，则利用椭圆的定义
m
+
n=2a
，勾股定理
n
2
+
（
2c
）
2
=m
2
，及向量数量积，即可求得
a
和
b
的值，求得椭圆方程；

（
2
）假设存在直线
l
，设出方 程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别式，即可得到结论．

【解答】解：（
1
）由题意可知：设题意的方程：（
a
＞
b
＞
0
），

e==
，则
c=a
，设丨
PF
1
丨
=m
，丨
PF
2
丨
=n
，

则
m
+
n=2a
，

线段
PF
1
为直径的圆经过
F
2
，则
PF
2
⊥
F1
F
2
，

则
n
2
+（
2c
）
2
=m
2
，

9m•n
×
co s
∠
F
1
PF
2
=1
，由
9n
2
=1
，
n=
，解得：
a=3
，
c=
则b==1
，

，

∴椭圆标准方程：；

（< br>2
）假设存在直线
l
，依题意
l
交椭圆所得弦
MN< br>被
x=
﹣平分，

∴直线
l
的斜率存在．

设直线
l
：
y=kx
+
m
，则

由消去
y
，整理得（
k
2
+
9
）
x
2
+
2kmx
+
m
2
﹣
9=0
∵
l
与椭圆交于不同的两点
M
，
N
，
< br>∴△
=4k
2
m
2
﹣
4
（
k
2
+
9
）（
m
2
﹣
9
）＞
0< br>，即
m
2
﹣
k
2
﹣
9
＜
0
①

设
M
（
x
1
，
y
1
），
N
（
x
2
，
y
2
），则x
1
+
x
2
=
﹣∴
把②代入①式中得（
∴
k
＞或
k
＜﹣，

，）∪（，）．

）
2
﹣（
k
2
+
9
）＜
0
=
﹣
=
﹣，∴
m=
②

∴直线
l
倾斜角
α
∈（


21
．已知
e
是自然对数的底数，实数
a
是常数，函数
f
（x
）
=e
x
﹣
ax
﹣
1
的定义域为（
0
，+∞）．

（
1
）设
a=e
，求函数
f
（
x
）在切点（
1
，
f
（
1< br>））处的切线方程；

（
2
）判断函数
f（
x
）的单调性；

（
3
）设
g
（< br>x
）
=ln
（
e
x
+
x
3
﹣
1
）﹣
lnx
，若∀
x
＞
0
，
f
（
g
（
x
））＜
f
（
x
），求
a
的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】 （
1
）求出函数的导数，计算
f
（
1
），
f′（
1
），求出切线方程即可；

（
2
）求出函数的导数 ，通过讨论
a
的范围求出函数的单调区间即可；

（
3
）设
F
（
x
）
=e
x
﹣
x
﹣
1
，求出函数的导数，问题转化为
x
＞
0
时，
e
x
+
x
3
﹣
1
＞
x
，设
h
（
x
）
=xe
x
﹣
e
x
﹣
x3
+
1
，根据函数的单调性确定
a
的范围即可．
【解答】解：（
1
）
a=e
时，
f
（
x
）
=e
x
﹣
ex
﹣
1
，
f
（< br>1
）
=
﹣
1
，

f′
（
x
）
=e
x
﹣
e
，可得
f′
（
1< br>）
=0
，

故
a=e
时，函数
f
（
x
）在切点（
1
，
f
（
1
））处的切线方 程是
y=
﹣
1
；

（
2
）
f（
x
）
=e
x
﹣
ax
﹣
1
，
f′
（
x
）
=e
x
﹣
a
，

当
a
≤
0
时，
f′
（
x
）＞
0
，则
f
（
x
）在
R
上单调递增；

当
a
＞
0
时，令
f′
（
x
）
=e
x
﹣
a=0
，得
x=lna
，
则
f
（
x
）在（﹣∞，
lna
]上单调递减，在（lna
，+∞）上单调递增．

（
3
）设
F
（
x
）
=e
x
﹣
x
﹣
1
，则
F′
（
x
）
=e
x
﹣
1
，
< br>∵
x=0
时，
F′
（
x
）
=0
，< br>x
＞
0
时，
F′
（
x
）＞
0
，

∴
F
（
x
）在[
0
，+∞）递增，
∴
x
＞
0
时，
F
（
x
）＞
F
（
0
），化简得：
e
x
﹣
1
＞
x
，

∴
x
＞
0
时，
e
x
+
x
3
﹣
1
＞
x
，

设
h
（
x
）
=xe
x
﹣
e
x
﹣x
3
+
1
，

则
h′
（
x< br>）
=x
（
e
x
﹣
ex
），

设
H
（
x
）
=e
x
﹣
ex
，< br>H′
（
x
）
=e
x
﹣
e
，

由
H′
（
x
）
=0
，得
x=1
时 ，
H′
（
x
）＞
0
，

x
＜1
时，
H′
（
x
）＜
0
，

∴
x
＞
0
时，
H
（
x
）的最小值是
H
（
1
），

x
＞
0
时，
H< br>（
x
）≥
H
（
1
），即
H
（
x
）≥
0
，

∴
h′
（
x
）≥
0
，可知函数
h
（
x
）在（
0
，+∞）递 增，

∴
h
（
x
）＞
h
（
0）
=0
，化简得
e
x
+
x
3
﹣
1
＜
xe
x
，

∴
x
＞
0时，
x
＜
e
x
+
x
3
﹣
1< br>＜
xe
x
，

∴
x
＞
0
时 ，
lnx
＜
ln
（
e
x
+
x
3< br>﹣
1
）＜
lnx
+
x
，

< br>即
0
＜
ln
（
e
x
+
x
3
﹣
1
）﹣
lnx
＜
x
，

即x
＞
0
时，
0
＜
g
（
x
）＜
x
，

当
a
≤
1
时，由（
2）得
f
（
x
）在（
0
，+∞）递增，

得
f
（
g
（
x
））＜
f
（
x< br>）满足条件，

当
a
＞
1
时，由（
2
）得
f
（
x
）在（
0
，
lna
）递减，

∴
0
＜
x
≤
lna
时，
f（
g
（
x
））＞
f
（
x
），与已知∀
x
＞
0
，
f
（
g
（
x
） ）＜
f
（
x
）矛盾，

综上，
a
的范围是（﹣∞，
1
]．



[选修
4-4
：坐标系与参数方程选讲]

22
．已知直线
L
的参数方程为（
t
为参数），以原点
O
为极点，以
x
轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线
C
的极坐标方程为
ρ=< br>．

（
Ⅰ
）直接写出直线
L
的极坐标方程和曲线C
的普通方程；

（
Ⅱ
）过曲线
C
上任意一点
P
作与
L
夹角为
值．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】（
Ⅰ
）利用三种方程的 转化方法，即可写出直线
L
的极坐标方程和曲线
C
的普通方程；
< br>（
Ⅱ
）曲线
C
上任意一点
P
（
cosθ，
2sinθ
）到
l
的距离为
d=
|
PA|
==
|
2
|
2cosθ
+
2sinθ
﹣
6
|．则
的直线
l
，设直线
l
与直线
L
的交点为
A
，求|
PA
|的最大
sin
（
θ
+
45°
）﹣
6
|，利用正弦函数的单调性即可得出最值．
（
t
为参数），普通方程为
2x
+
y
﹣6=0
，极坐标方程为【解答】解：（
Ⅰ
）直线
L
的参数方程为
2ρcosθ
+
ρsinθ
﹣
6=0
，

曲线
C
的极坐标方程为
ρ=
，即
ρ
2
+
3 ρ
2
cos
2
θ=4
，曲线
C
的普通方程为
=1
；

（
Ⅱ
）曲线
C
上任意一点
P< br>（
cosθ
，
2sinθ
）到
l
的距离为
d =
则|
PA
|
==
|
2sin
（
θ
+
45°
）﹣
6
|，

|
2cosθ
+
2sinθ
﹣
6
|．
< br>当
sin
（
θ
+
45°
）
=
﹣1
时，|
PA
|取得最大值，最大值为


[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．已知函数
f
（
x
）
=
|
x
+
a
|+|
x
﹣
2
|的定义域为实数集
R
．

（
Ⅰ
）当
a=5
时，解关于
x
的不等式
f
（
x
）＞
9
；

．

（
Ⅱ）设关于
x
的不等式
f
（
x
）≤|
x
﹣
4
|的解集为
A
，
B=
{
x
∈
R
|
2x
﹣
1
|≤
3
}，如果
A
∪
B=A
，求实数
a
的取值范围．

【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．

【分析】（
Ⅰ
）当
a=5
，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

（
Ⅱ
）由题意可得
B
⊆< br>A
，区间
B
的端点在集合
A
中，由此求得
a
的范围．

【解答】解：（
Ⅰ
）当
a=5
时，关于
x
的不等式
f
（
x
）＞
9
，即|
x
+
5
|+|
x
﹣
2
|＞
9
，

故有①；或②；或③．

解①求得
x
＜﹣
6
；解② 求得
x
∈∅，解③求得
x
＞
3
．

综上 可得，原不等式的解集为{
x
|
x
＜﹣
6
，或
x
＞
3
}．

（
Ⅱ
）设关于
x
的 不等式
f
（
x
）
=
|
x
+
a|+|
x
﹣
2
|≤|
x
﹣
4
|的解集 为
A
，

B=
{
x
∈
R
|
2x
﹣
1
|≤
3
}
=
{
x
|﹣
1
≤
x
≤
2
}，如果
A
∪
B= A
，则
B
⊆
A
，

∴，即，求得﹣
1
≤
a
≤
0
，

故实数
a
的范围为[﹣
1
，
0
]．