学生信用卡-学前班学生评语

2019
年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（每小题
5
分，共
60
分）

1
．（
5
分）命题“∀
x
∈
R
，
ax+b
≤
0
“的否定是（ ）

A
．∃
x
∈
R
，
ax+b
≤
0

C
．∀
x
∈< br>R
，
a+b
≤
0

2
．（
5
分）已知
i
是虚数单位，复数
z
＝
A
．第一象限

B
．第二象限

B
．∃
x
∈
R
，
ax+b
＞
0

D
．∀
x
∈
R
，
ax+b
＞
0

，则
z
对应的点在（ ）

C
．第三象限

D
．第四象限

3< br>．（
5
分）若集合
A
＝
{x|1
≤
x
＜
2}
是集合
B
＝
{x|x
＞
b}
的子 集，则实数
b
的范围是（ ）

A
．
b
≥
2

B
．
1
＜
b
≤
2

C
．
b
≤
2

D
．
b
＜
1

4
．（
5
分）已知
cos
α＝，α∈（﹣
A
．﹣

B
．

，
0
），则
cot
α的值为（ ）

C
．﹣

D
．

5
．（5
分）已知正方体的棱长为
1
．则该正方体外接球的半径为（ ）

A
．
1

B
．

C
．

D
．

6
．（
5
分）将函数
f
（
x
）＝
sin
（
2x
﹣）图象上的所有点向左平移
t
（
t
＞
0
）个单位长度，到的函数
g
（
x
）
是奇函数．则下列结论正确的是（ ）

A
．
t的最小值是
B
．
t
的最小值为
C
．
t
的最小值为
D
．
t
的最小值为
，
g
（
x< br>）的对称中心为是（
，
g
（
x
）的对称轴为
x
＝
，
g
（
x
）的单调增区间为（
k
π﹣
，
g
（
x
）的周期为π

），
k
∈
Z

，
k
∈
Z

，
k
π
+
），
k
∈
Z

7
．（
5
分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为
42
，则 判断框中的条件可以是（ ）

A
．
n
≤
6
？

B
．
n
＞
6
？

C
．
n
≤
5
？

D
．
n
＞
5
？

8
．（
5
分）若
m
、
n
为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面， 则下列命题中正确的是（ ）

A
．若
m
、
n
都 平行于平面α，则
m
、
n
一定不是相交直线

B
． 若
m
、
n
都垂直于平面α，则
m
、
n
一定 是平行直线

C
．已知α、β互相平行，
m
、
n
互相平行，若
m
∥α，则
n
∥β

D
．若
m
、
n
在平面α内的射影互相平行，则
m
、
n
互相 平行

9
．（
5
分）函数
f
（
x
）＝
e
|x|
﹣
2|x|
﹣
1
的图象大致为（ ）


A
．

B
．

C
．

D
．

10
．（
5
分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受
其启 发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请
n
名学生，每个学生随机写下一 个都
小于
1
的正实数对（
x
，
y
）；第二步，统计 两数能与
1
构成纯角三角形边的数对（
x
，
y
）的个数m
；第三
步，估计π的值．若
n
＝
100
，
m
＝
31
，则估计π的值（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

11
．（
5
分）若两个非零向量，满足
|
A
．

B
．

|
＝
||
＝
||
，则向量与
C
．

的夹角是（ ）

D
．

，
12
．（< br>5
分）斜率为且过抛物线
C
：
y
2
＝
4x< br>焦点的直线交抛物线
C
于
A
、
B
两点，若
则 实数λ为（ ）

A
．
2

B
．
3

C
．
4

D
．
5

二、填空题（每小题
5
分，共
20
分）

13．（
5
分）已知：
x
，
y
满足约束条件，则
z
＝
2x
﹣
y
的最小值为

．

14
．

（
5
分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
2cosC
（
acosB+bcosA
）＝c
，则角
C
＝

．
15
．（
5
分）设
F
1
，
F
2
是双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0）的两个焦点，
P
是
C
上的一点，若
|PF
1
|+|PF
2
|
＝
4a
，且△
PF
1
F< br>2
的最小内角的正弦值为，则
C
的离心率为

．

16
．（
5
分）若直线
y
＝
x+1< br>是曲线
f
（
x
）＝
x+
三、解答题（
5个小题共
60
分）

17
．（
12
分）已知数 列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
， 且
S
n
＝
n
2
．

（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
< br>（
2
）设
b
n
＝（），求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．

（
a
∈
R
）的切线，则
a
的值是

．

18
．（
12
分）从某校高三年中机抽取
1 00
名学生，对其棵眼视力情况进行统计（两眼视力不同，取较低者线
计），得到如图所示的率 分布直方图，已知从这
100
人中随机抽取
1
人，其视力在
[4.1
，
4.3
）的概率为
（
1
）求
a
，
b
的值；

（
2
）用每组中的中间数值代表每组的数值，估计样本的平均值；

（
3
）若某大学
C
专业的报考要求之一是裸眼视力在
4.9
以上，
D
专业的报考要求之一是裸眼现力在
5.1
以
上，从这
100
人中用分层抽样的方法在
[4.9
，
5.1]
和
[ 5.1
，
5.3]
抽取
4
人，再从这
4
个人中随机 抽取
2
人，
求抽到的
2
名学生中恰好有
1
人既能报 考
C
专业也能报考
D
专业的概率．（只考虑视力）


．

19
．（
12
分）如图，四 棱锥
P
﹣
ABCD
中，底面
ABCD
是边长为
2< br>的正方形，平面
PAB
⊥平面
ABCD
，平面
PAD
⊥平面
ABCD
，
E
为
PD
中点．

（Ⅰ）求证：
PB
∥平面
EAC
；

（Ⅱ）求证：
PA
⊥平面
ABCD
；

（Ⅲ）若< br>PA
＝
2
，求几何体
P
﹣
ABE
的体积．．


20
．（
12
分）已知椭圆
C
：（< br>a
＞
b
＞
0
）的离心率为，
F
1
，
F
2
分别为椭圆
C
的左、右焦点，
点
P
（ ，）满足＝
0
．

（
1
）求椭圆
C
的方程；

（
2
）直线
1
经过椭圆
C
的右焦点与椭圆相交于
M
，
N
两点，设
O
为坐标原点，直线
OM
，直线
l
，直线
ON
的斜分别为
k
1
，
k
，
k
2
，且
k
1
，
k
，
k
2
成等比数列 ，求
k
1
•
k
2
的值．

21
． （
12
分）已知函数
f
（
x
）＝
lnx
﹣
ax+
．

（
1
）若
1
是函数
f
（
x
）的一个极值点，求实数
a
的值；

（
2
）若函数
f
（
x
）在（
0
，
+
∞）单调递减，求实数
a
的取值范围；

（
3
）在（1
）的条件下证明：
f
（
x
）≤
xe
x
﹣
x+
﹣
1
．

请考生在
22
、
23
两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
.(
满分
10
分
)[
选修
4-4:
坐标系与参
数方程
]

22
．（
10
分）在平面直角坐标系中，直线
l
过原点且倾 斜角为；曲线
C
1
的参数方程（α

为参数）；曲线
C
2
的参数方程为（α为参数）．

（
1
）求直线
1
的极坐标方程，曲线
C
1
和曲线
C
2
的普通方程；

（
2
）若直线
1
与曲线
C
1
和曲线
C
2
在第一象限的交点分别为
M
、
N
，求
M
、
N
之间的距离．

[
选修
4-5
：不等式选讲
]

23
．（
10
分）设函数
f
＝
|x+1|
﹣
|2x
﹣
4|
．

（
1
）求不等式
f
（
x
）＞
2
的解集；

（
2
）若关于
x的不等式
f
（
x
）＞
t
2
+2t
解集 非空，求实数
t
的取值范围．

2019
年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题
5
分，共
60
分）

1
．（
5
分）命题“∀
x
∈
R
，
ax+b
≤
0
“的否定是（ ）

A
．∃
x
∈
R
，
ax+b
≤
0

C
．∀
x
∈< br>R
，
a+b
≤
0

B
．∃
x
∈
R
，
ax+b
＞
0

D
．∀
x
∈
R
，
ax+b
＞
0

【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．

【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，

即∃
x
∈
R
，
ax+b
＞
0
，

故选：
B
．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全 称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较
基础．

2
．（
5
分）已知
i
是虚数单位，复数
z
＝
A
．第一象限< br>
B
．第二象限

，则
z
对应的点在（ ）

C
．第三象限

D
．第四象限

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出
z
的坐标得答案．

【解答】解：∵
z
＝＝
1
﹣
i
，

∴
z
对应的点的坐标为（
1
，﹣
1
），在第四象限．
故选：
D
．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3
．（
5
分）若集合
A
＝
{x|1
≤x
＜
2}
是集合
B
＝
{x|x
＞
b}
的子集，则实数
b
的范围是（ ）

A
．
b
≥
2

B
．
1
＜
b
≤
2

C
．
b
≤
2

D
．
b
＜
1

【分析】由集合
A
是集合
B
的子集，可得
b
的取值范围．

【解答】解：由题意得
A
⊆
B
，

则
b
＜
1
，

故选：
D
．

【点评】本题考查集合间的关系，属于基础题．

4
．（
5
分）已知
cos
α＝，α∈（﹣
A
．﹣

B
．

，
0
），则
cot
α的值为（ ）

C
．﹣

D
．

【分析】由已知求得
sin
α，再由商的关系求解
cot
α．

【解答】解：∵
cos
α＝，α∈（﹣
∴
sin
α＝∴
cot
α＝
故选：
C
．

．

，
0
），

，

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
< br>5
．（
5
分）已知正方体的棱长为
1
．则该正方体外接球的半 径为（ ）

A
．
1

B
．

C
．

D
．

【分析】由已知求出正方体的对角线长，则答案可求．

【解答】解：∵正方体的棱长为
1
，

∴正方体的对角线长为
则正方体外接球的半径为
故选：
C
．

【点评】本题考查正方体的外接球，明确正方体的对角线为外接球的直径是关键，是基础题．

6
．（
5
分）将函数
f
（
x
）＝
sin
（
2x
﹣）图象上的所有点向左平移
t
（
t
＞
0
）个单位长度，到的函数
g
（
x
）
，

．

是奇函数．则下列结论正确的是（ ）

A
．
t
的最小值是
B
．
t
的最小值为
C
．
t
的最小值为
D
．
t
的最小值为
，
g
（x
）的对称中心为是（
，
g
（
x
）的对称轴为
x
＝
，
g
（
x
）的单调增区间为（
k
π﹣
，
g
（
x
）的周期为π

），
k
∈
Z

，
k
∈
Z

，
k
π
+
），
k
∈
Z

【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出
t
的最小值，进一步求出函数的最小正周期．

【解答】解：函数
f
（
x
）＝
sin
（
2x
﹣
g
（
x
）＝
sin
（
2x+2t
﹣），

）图象上的所 有点向左平移
t
（
t
＞
0
）个单位长度，得到

由于函数
g
（
x
）是奇函数．

所以：
2 t
﹣
解得：
t
＝
由于
t
＞
0
，< br>

（
k
∈
Z
），

，

所以：当
k
＝
0
时，
t
的最小值为
且函数的最小正周期为π．

故选：
D
．

，

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质 的应用，主要考查学生
的运算能力和转化能力，属于基础题型．

7
．（5
分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为
42
，则判断框中的条件可以是 （ ）


A
．
n
≤
6
？

B
．
n
＞
6
？

C
．
n
≤
5
？

D
．
n
＞
5
？

【分析】根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．

【解答】解：第一次，
s
＝
2
，
a
＝
4
，不满足条件．
n
＝
2
，

第二次，
s
＝
2+4
＝
6
，
a
＝
6
，不满足条件．
n
＝
3，

第三次，
s
＝
6+6
＝
12
，< br>a
＝
8
，不满足条件．
n
＝
4
，

第四次，
s
＝
12+8
＝
20
，
a
＝
10
，不满足条件．
n
＝
5
，

第五 次，
s
＝
20+10
＝
30
，
a
＝
12
，不满足条件．
n
＝
6
，

第六次，
s
＝
30+12
＝
42
，
a
＝
14，满足条件．

输出
S
＝
42
，

即
n
＝
6
满足条件．，
n
＝
5
不满足条件．

则条件应该为
n
＞
5
？，

故选：
D
．

【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条 件利用模拟运算法是解决本题的关键．
8
．（
5
分）若
m
、
n
为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（



）

A
．若
m
、
n
都平行于平面α，则
m
、
n
一定不是相交直线

B
．若
m
、
n
都垂直于平面α，则
m
、
n< br>一定是平行直线


C
．已知α、β互相平行，
m
、
n
互相平行，若
m
∥α，则
n
∥β

D
．若
m
、
n
在平面α内的射影互相平行，则
m
、< br>n
互相平行

【分析】
A
，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行；


B
，垂直于同一平面的两条直线一定平行；


C
，α、β 互相平行，
m
、
n
互相平行，若
m
∥α，则
n∥β或
n
⊂β；


D
，
m
、n
在平面α内的射影互相平行，则
m
、
n
互相平行或相交，
【解答】解：对于
A
，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行，故错 ；


对于
B
，垂直于同一平面的两条直线一定平行，故正确；


对于
C
，α、β互相平行，
m
、
n
互相平行，若
m
∥α，则
n
∥β或
n
⊂β，故错；


对于
D
，
m
、
n
在平面α内的射影互相平行，则
m
、
n
互相平行或相交，故错，

故选：
B
．

【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于中档题．

9
．（
5
分）函数
f
（
x
）＝
e
|x|
﹣
2|x|
﹣
1
的图象大致为（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．


【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数， 判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．
【解答】解：函数
f
（
x）＝
e
|x|
﹣
2|x|
﹣
1
是偶函数，排除 选项
B
，

当
x
＞
0
时，函数
f
（
x
）＝
e
x
﹣
2x
﹣
1
，可得
f
′（
x
）＝
e
x
﹣
2
，

当
x
∈（
0
，
ln2
）时，
f
′（
x
）＜
0
，函数是减函数，当
x
＞
ln2
时，函数是增函数，

排除选项
A
，
D
，

故选：
C
．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是中档题．

10
．（
5
分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯 实验，受

其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请
n
名学生，每个学生随机写下一个都
小于
1
的正实数对（
x
，
y
）；第二步，统计两数能与
1
构成纯角三角形边的数对（
x
，
y
）的个数
m
；第三
步，估计π的值．若
n
＝
100
，
m
＝
31
，则估计π的值（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

【分析】两个数能与
1
构成钝角三角形的数对（x
，
y
）满足
x
2
+y
2
﹣
1
＜
0
，且，
x+y
＞
1
，从而不
等式组 表示图形的面积为﹣．由此能估计π的值．

【解答】解：由题意，
100
对 都小于
1
的正实数对（
x
，
y
）满足，其表示图形的面积为
1
．

两个数能与
1
构成钝角三角形的数对（
x< br>，
y
）满足
x
2
+y
2
﹣
1
＜
0
，且，
x+y
＞
1
，

则不等式组表示图形的面积为
则：
故选：
B
．

．解得
﹣．

．

【点评】本题考查几何概型，古典概型等 ，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．

11
．（
5< br>分）若两个非零向量，满足
|
A
．

B
．

即可得出
|
＝
||
＝
||
，则向量与
C< br>．

，从而得出
的夹角是（ ）

D
．

，
的夹角．

，【分析】根据
从而可求出
【解答】解：∵< br>∴
∴
∴
∴，且
；

，根据向量夹角的范围即可求出与
；

；

；

；

∴＝；

又；

∴与的夹角是：．

故选：
D
．

【点评】考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．
12
．（
5
分）斜率为且过抛物线
C
：
y
2< br>＝
4x
焦点的直线交抛物线
C
于
A
、
B两点，若
则实数λ为（ ）

A
．
2

B
．
3

C
．
4

D
．
5

，
【分析】抛物线
C
：
y
2
＝
4x
焦点
F
（
1
，
0），设
A
（
x
1
，
y
1
），
y
1
＞
0
，
B
（
x
2
，
y
2
）．直线方程为：
y
＝（
x
﹣
1
）， 与抛物线方程联立解出坐标，再根据，利用向量坐标相等得出．

【解答】解：抛物线
C
：
y
2
＝
4x
焦点
F
（
1，
0
），设
A
（
x
1
，
y
1
），
y
1
＞
0
，
B
（
x
2
，
y
2
）．

直线方程为：
y
＝（x
﹣
1
），联立，化为：
y
2
﹣
3y
﹣
4
＝
0
，

解得
y
1
＝
4
，
y
2
＝﹣
1
．

∵
故选：
C
．


【点评】本题考查了抛物线的标 准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题
5
分，共
20
分）

，∴
4
＝﹣λ×（﹣
1
），解得λ＝
4
．

13
．（
5
分）已知：
x
，
y
满足约束条 件，则
z
＝
2x
﹣
y
的最小值为 ．

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，
z
＝
2x
﹣< br>y
表示直线在
y
轴上的截距，只需
求出可行域直线在
y
轴上的截距最值即可．

【解答】解：
x
，
y
满足约束条件，目标函数

画 出图形：
z
＝
2x
﹣
y
．
z
在点
A
处有最小值：
z
＝
2
×
故答案为：；

点
A
（，
＝，

），

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最 后比较，即可得到目标函数
的最优解，是常用的一种方法．

14
．（
5
分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
2cosC（
acosB+bcosA
）＝
c
，则角
C
＝

．
【分析】由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和 定理化简已知可得
2sinCcosC
＝
sinC
，由
sinC≠
0
，可求
cosC
，结合
C
的范围即可得解．

【解答】解：由已知及正弦定理得
2cosC
（
sinAcosB+si nBcosA
）＝
sinC
，

即
2cosCsin
（
A+B
）＝
sinC
，

故
2sinCcosC
＝
sinC
，

由
sinC
≠
0
，可得
cosC
＝，

由于
C
∈（
0
，π），

所以
C
＝
故答案为：
．

．

【 点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理在解三角形中
的 应用，考查了转化思想，属于基础题．

15
．（
5
分）设
F
1
，
F
2
是双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的两个焦点，
P
是
C
上的一点，若
|PF
1
|+|PF
2|
＝
4a
，且△
PF
1
F
2
的最小内 角的正弦值为，则
C
的离心率为 ．

，【分析】利用双曲线的定义求出< br>|PF
1
|
，
|F
1
F
2
|
，
|PF
2
|
，然后利用最小内角的正弦值为，其余弦值为
结合余 弦定理，求出双曲线的离心率．

【解答】解：因为
F
1
、
F
2
是双曲线的两个焦点，
P
是双曲线上一点，且满足
|PF
1
|+|PF
2
|
＝
4a
，

不妨设< br>P
是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知
|PF
1
|
﹣
|PF
2
|
＝
2a
，

所以
|F
1
F
2
|
＝
2c
，
|PF
1|
＝
3a
，
|PF
2
|
＝
a
，

△
PF
1
F
2
的最 小内角的正弦值为，其余弦值为，

由余弦定理，可得
|PF
2
|< br>2
＝
|F
1
F
2
|
2
+|PF1
|
2
﹣
2|F
1
F
2
||PF1
|cos
∠
PF
1
F
2
，

即
a
2
＝
4c
2
+9a
2
﹣
2
×
2c
×
3a
×
c
2
﹣
2
即
c
＝
ca+2a
2
＝
0
，

a
，

．

．

，

所 以
e
＝＝
故答案为：
【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法 ，考查计算能力，属于中档题．

16
．（
5
分）若直线
y
＝
x+1
是曲线
f
（
x
）＝
x+
（
a
∈
R
）的切线，则
a
的值是 ﹣
1
．

【分析】设切点的横坐标为
x
0
，求出导函数，利用直线
y
＝
x+1
与曲线
y
＝
f
（
x
）相切，转化求解切点横坐
标以及
a
的值即可．

【解答】解：设切 点的横坐标为
x
0
，
f
′（
x
）＝
1﹣﹣＝＝
1
⇒
x
0
＝﹣⇒﹣
a
＝，

则有：
f
（
x
0
）＝
x
0
+﹣
alnx
0
＝
x
0
+1
⇒
lnx< br>0
﹣
x
0
+1
＝
0
，

令
h
（
x
）＝
lnx
﹣
x+1
⇒
h
′（
x
）＝﹣
1
＝
0
⇒
x
＝1
，

则
h
（
x
）在（
0
，
1
）上单调递增，在（
1
，
+
∞）上单调递减，

又因为
h
（
1
）＝
0
，所以
x
0
＝
1
⇒
a
＝﹣
1
；

故答案为：﹣
1
．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．

三、解答题（
5
个小题共
60
分）

17
．（
12
分）已知数列
{a
n
}
的前
n
项 和为
S
n
，且
S
n
＝
n
2
．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
< br>（
2
）设
b
n
＝（），求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．

【分析】（
1
）首先求出数列的通项公式，

（
2
）利用（
1
）的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和

【 解答】解：数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
＝
n
2
．

当
n
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
＝1
，

当
n
≥
2
时，
故：
a
n
＝
2n
﹣
1
．


＝
2n
﹣
1
（首项符合通项），

（
2
）由于
a
n
＝
2n
﹣
1
，< br>
所以：
b
n
＝（）＝，

则：，

所以：数列
{b
n
}
是以首项为，公比为的等比数列．

故：．

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n
项和公式的应用，主要考查学
生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18
．（
12
分）从某校高三年中机抽取
100
名学生，对其棵 眼视力情况进行统计（两眼视力不同，取较低者线
计），得到如图所示的率分布直方图，已知从这
100
人中随机抽取
1
人，其视力在
[4.1
，
4.3< br>）的概率为
（
1
）求
a
，
b
的值；

（
2
）用每组中的中间数值代表每组的数值，估计样本的平均值；

（
3
）若某大学
C
专业的报考要求之一是裸眼视力在
4.9
以上，
D
专业的报考要求之一是裸眼现力在
5.1
以
上，从这
100
人中用分层抽样的方法在
[4.9
，
5.1]
和
[ 5.1
，
5.3]
抽取
4
人，再从这
4
个人中随机 抽取
2
人，
求抽到的
2
名学生中恰好有
1
人既能报 考
C
专业也能报考
D
专业的概率．（只考虑视力）


．

【分析】（
1
）从这
100
人中随机抽取1
人，其视力在
[4.1
，
4.3
）的概率为
能求出< br>a
，
b
的值．

（
2
）用每组中的中间数值代表每组的数值，能估计样本的平均值．

．由频率分布直方图的性质
（
3
）从这
100
人中用分层抽样的方 法在
[4.9
，
5.1]
和
[5.1
，
5.3]< br>抽取
4
人，则视力在
[4.9
，
5.1
）有
3
人，分
别记为
A
，
B
，
C
，
[ 5.1
，
5.3]
有
1
人，记为
a
，再从这
4
个人中随机抽取
2
人，利用列举法能求出抽到的
2
名学生中恰好 有
1
人既能报考
C
专业也能报考
D
专业的概率．

【解答】解：（
1
）从这
100
人中随机 抽取
1
人，其视力在
[4.1
，
4.3
）的概率为
由频率分布直方图得：
b
×
0.2
＝，解得
b
＝
0 .5
，

．

∴（
0.5+0.75+a+1.75+0. 75+0.25
）×
0.2
＝
1
，

解得
a
＝
1
．

（
2
）用每组中的中间数值代表每组的数值，估计样本的平均值为：

4.2
×
0.1+4.4
×
0.15+4.6
×
0.35 +4.8
×
0.2+5.0
×
0.15+5.2
×
0.05
＝
4.66
．

（
3
）从这
100
人中用分层抽样的方法在
[4.9
，
5.1]
和
[5.1
，
5.3]
抽取
4
人，

则视力在
[4.9
，
5.1
）有
3
人，分别记为
A
，
B
，
C
，
[5.1
，
5.3]
有
1
人，记为< br>a
，

再从这
4
个人中随机抽取
2
人，基本 事件总数
n
＝＝
6
，分别为：

（
AB
） ，（
AC
），（
Aa
），（
BC
），（
Ba
），（
Ca
），

抽到的
2
名学生中恰好有
1< br>人既能报考
C
专业也能报考
D
专业的包含的基本事件个数
m< br>＝
3
，分别为：

（
Aa
），（
Ba
），（
Ca
），
∴抽到的
2
名学生中恰好有
1
人既能报考
C
专业也能报 考
D
专业的概率
p
＝．

【点评】本题考查频率、概率的求 法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，
考查运算求解能力，是基础题．< br>
19
．（
12
分）如图，四棱锥
P
﹣
AB CD
中，底面
ABCD
是边长为
2
的正方形，平面
PAB< br>⊥平面
ABCD
，平面
PAD
⊥平面
ABCD
，E
为
PD
中点．

（Ⅰ）求证：
PB
∥平面
EAC
；

（Ⅱ）求证：
PA
⊥平面
ABCD
；

（Ⅲ）若< br>PA
＝
2
，求几何体
P
﹣
ABE
的体积．．


【分析】（Ⅰ）判断
EO
∥
PB
，
E O
⊂平面
ACE
；
PB
⊄平面
ACE
得出：
PB
∥平面
ACE
；

（Ⅱ）判断
PB
⊥
BC
，且
PB
∩
AB
＝
B
，
PA
⊥平面
ABCD
；

（Ⅲ）
AB
⊥面
PAD，
V
P
﹣
ABE
＝
V
B
﹣
P AE
＝
S
△
PAE
•
AB
，运用求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）证明：连接
BD
交
AC
与
O
，连接
EO
，

∵底面
ABCD
是正方形，

∴
O
为
BD
的中点，

∵又
E
为
PD
的中点，

∴在△
PBD
中，
EO
为其中位线，

∴
EO
∥
PB
，

∵
EO
⊂平面
ACE
；
PB
⊄∴

∴
PB
∥平面
ACE
；

（Ⅱ）证明：∵底面
ABCD
是边长为
2
的正方形，

∴
AB
⊥
BC
，

∵
PB
⊥BC
，且
PB
∩
AB
＝
B
，

∴
BC
⊥面
PAB
，

∵
PA
⊂ 平面
PAB
，∴
PA
⊥
BC
，

同理可证
PA
⊥
CD
，

∵
BC
∩
CD
＝
C
，
BC
⊂面
ABCD
，
CD
⊂面
ABCD
，

∴
PA
⊥平面
ABCD
；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知
PA
⊥
AB
，

又
AB
⊥
AD
，

∴
AB
⊥面
PAD
，

∵
PA
＝
2
，在
Rt
△
PAD
中，
E
为
P D
的中点，

∴
S
△
PAE
＝═＝
1
，

＝，

∴
V
P
﹣
ABE
＝
VB
﹣
PAE
＝
S
△
PAE
•
AB＝

【点评】本题考查空间几何体的性质，证明直线平面的垂直，求解体积问题，属于中档题．
< br>20
．（
12
分）已知椭圆
C
：（
a
＞b
＞
0
）的离心率为，
F
1
，
F
2< br>分别为椭圆
C
的左、右焦点，
点
P
（，）满足＝
0< br>．

（
1
）求椭圆
C
的方程；

（
2
）直线
1
经过椭圆
C
的右焦点与椭圆相交于
M< br>，
N
两点，设
O
为坐标原点，直线
OM
，直线
l
，直线
ON
的斜分别为
k
1
，
k
，< br>k
2
，且
k
1
，
k
，
k
2
成等比数列，求
k
1
•
k
2
的值．

【分析】（
1
）依题意
F
1
（﹣
c
，
0
），由
出
b
，可得椭圆方程
（
2
）设直线
l
的方程为
y
＝
k
（< br>x
﹣
定理，转化求解即可．

【解答】解：（
1
）依 题意
F
1
（﹣
c
，
0
），

∴
∵
e
＝＝
∴
a
＝
2
，

∴
b
2
＝
a
2
﹣
c
2
＝
1
，

∴椭圆
C
的方程为
+y
2
＝
1
，

＝﹣
c
2
+3
＝
0
，即
c
＝，


＝﹣
c
2
+3
＝
0
， 即
c
＝，根据离心率求出
a
，即可求
），
M
（x
1
，
y
1
），
N
（
x
2< br>，
y
2
），联立直线与椭圆的方程，利用韦达
（
2
） 设直线
l
的方程为
y
＝
k
（
x
﹣），M
（
x
1
，
y
1
），
N
（< br>x
2
，
y
2
），

由，得（
1+4 k
2
）
x
2
+8k
2
x+4
（
3 k
2
﹣
1
）＝
0
，

则
x
1
+x
2
＝，
x
1
x
2
＝，

∵
k
1
，
k
，
k
2
成等比数列，

∴
k
1
•
k
2
＝
k
2
＝
则
即
＝，

（
x
1
+x
2
）＝
3
，

＝，

解得
k
2
＝

故
k
1
•
k
2
＝．

【点评】本 题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性
质，属于中 档题．

21
．（
12
分）已知函数
f
（
x
）＝
lnx
﹣
ax+
．

（
1
）若
1
是函数
f
（
x
）的一个极值点，求实数
a< br>的值；

（
2
）若函数
f
（
x
）在 （
0
，
+
∞）单调递减，求实数
a
的取值范围；

（
3
）在（
1
）的条件下证明：
f
（
x< br>）≤
xe
x
﹣
x+
﹣
1
．

【分析】（
1
）
f
′（
x
）＝﹣
a
﹣
得
a
．

，
x
＞< br>0
．根据
1
是函数
f
（
x
）的一个极值点， 可得
f
′（
1
）＝
0
，解
（
2
） 函数
f
（
x
）在（
0
，
+
∞）单调递减， 可得
f
′（
x
）＝﹣
a
﹣
．利用二次函数的单调性 即可得出．

≤
0
，
x
＞
0
．化为：a
≥﹣＝
（
3
）在（
1
）的条件下，即
a＝
0
时证明：
f
（
x
）≤
xe
x﹣
x+
﹣
1
⇔
xe
x
﹣
x
﹣
lnx
﹣
1
≥
0
．令
g
（
x）＝
xe
x
﹣
x
﹣
lnx
﹣
1
，
x
＞
0
．利用导数研究其单调性可得其最小值，即可证明结论．

【解答】（
1
）解：
f
′（
x
）＝﹣
a< br>﹣
∵
1
是函数
f
（
x
）的一个极值点，
∴
f
′（
1
）＝
1
﹣
a
﹣
1
＝
0
，解得
a
＝
0
，

经过验证满足条件，∴
a
＝
0
．

（
2< br>）解：∵函数
f
（
x
）在（
0
，
+
∞）单调递减，

∴
f
′（
x
）＝﹣
a
﹣
化为：
a
≥﹣＝
≤
0
，
x
＞
0< br>．

．

，
x
＞
0
．

∴
a
≥，当且仅当
x
＝
2
时取等号．
< br>（
3
）证明：在（
1
）的条件下，即
a
＝
0
时证明：
f
（
x
）≤
xe
x
﹣
x +
﹣
1
⇔
xe
x
﹣
x
﹣
lnx< br>﹣
1
≥
0
．

令
g
（
x< br>）＝
xe
x
﹣
x
﹣
lnx
﹣
1，
x
＞
0
．

g
′（
x
）＝ （
x+1
）
e
x
﹣
1
﹣＝（
x+1
）（
e
x
﹣），

令
g
′（
x
）＝
0
，解得＝，即
x
0
＝﹣
lnx
0
，
x
0
＞
0
，

可知：
x
＝
x
0
，函数
g
（
x
）取得极小值即最小值，
< br>g
（
x
0
）＝
x
0
﹣
x
0
+x
0
﹣
1
＝
0
，

∴
g
（
x
）≥
0
成立．

因此： 在（
1
）的条件下证明：
f
（
x
）≤
xe
x
﹣
x+
﹣
1
．

【点评】本题考查了利用导数研 究函数的单调性极值与最值、分析法、等价转化方法、二次函数的单调性，
考查了推理能力与计算能力， 属于难题．

请考生在
22
、
23
两题中任选一题作答，如 果多做，则按所做的第一题记分
.(
满分
10
分
)[
选修< br>4-4:
坐标系与参
数方程
]

22
．（
1 0
分）在平面直角坐标系中，直线
l
过原点且倾斜角为

；曲线C
1
的参数方程（α

为参数）；曲线
C
2
的参数方程为（α为参数）．

（
1
）求直线
1
的极坐标 方程，曲线
C
1
和曲线
C
2
的普通方程；

（
2
）若直线
1
与曲线
C
1
和曲线
C< br>2
在第一象限的交点分别为
M
、
N
，求
M
、
N
之间的距离．

【分析】（
1
）直线
l
的极坐标方程为θ＝
（
2
）将
C
1
，
C
2
化成极坐标方程后将θ＝

，（ρ∈
R
）；利用
sin2
α
+cos
2
α＝
1
可得
C
1和
C
2
的普通方程；
代入可求得
|OM|
，
|ON|
，再相加．

，（ρ∈
R
）；

【解答】 解：（
1
）直线
l
的极坐标方程为θ＝
曲线
C
1< br>
的普通方程为
+y
2
＝
1
；

曲 线
C
2
的普通方程为（
x
﹣
3
）
2
+
（
y
﹣
2
）
2
＝
13
．
（
2
）曲线
C
1
的极坐标方程为ρ
2
＝
曲线
C
2
的极坐标方程为：ρ＝
6cos
θ
+ 4sin
θ，

∴
|OM|
＝
6cos+4sin
＝
5
，
|ON|
＝＝，

，

可得
|MN|
＝
|ON|
﹣
|OM|
＝
5
﹣＝．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

[
选修
4-5
：不等式选讲
]

23
．（
10
分）设函数
f
＝
|x+1|
﹣
|2x
﹣
4|
．

（
1
）求不等式
f
（
x
）＞
2
的解集；

（
2
）若关于
x的不等式
f
（
x
）＞
t
2
+2t
解集 非空，求实数
t
的取值范围．

【分析】（
1
）运用分类讨论解不等式即可得到所求解集；

（
2
）由题意可得
t
2
+2t
＜
f
（
x
）
max
，由绝对值不等式的性质可得
f
（
x< br>）的最大值，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（
1
）
|x+1|
﹣
|2x
﹣
4|
＞
2
，

等价为或或，

可得
x
∈∅或＜
x
≤
2< br>或
2
＜
x
＜
3
，

即为＜
x
＜
3
，则原不等式的解集为（，
3
）；

（2
）关于
x
的不等式
f
（
x
）＞
t< br>2
+2t
解集非空，

可得
t
2
+2t＜
f
（
x
）
max
，

由
f
（
x
）＝
|x+1|
﹣
|x
﹣
2|
﹣
|x
﹣
2|
≤
|x+1
﹣
x+2|
﹣
0
＝
3
，当且仅当
x
＝
2
时取得最大值< br>2
，

可得
t
2
+2t< br>＜
3
，解得﹣
3
＜
t
＜
1
．

【点评】本题考查不等式的解法和不等式有解的运用，考查运算能力，属于基础题．