教师节手抄报模板-装饰施工合同范本

比知识你海纳百川，比能力你无人能及，比心理你处变不惊，比信心你自信满满，比体 力你精力充沛，综上所述，高考这场比赛你想不赢都难，祝高考好运，考试顺利。
2015-2016< br>学年青海省西宁市高一（下）期末数学试卷



一、选择题（本大题 共
12
小题，每小题
5
分，满分
60
分，每小题给出四个选 项中，只有一
个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内）

1
．如果
a
＜
b
＜
0
，那么下面一定成立的是（ ）

A
．
a
﹣
b
＞
0 B
．
ac
＜
bc C
．
D
．
a
2
＞
b
2

2
．某小组有
3
名男生和
2
名女生，从中任选
2
名同学参加演讲比赛，那 么互斥不对立的两个
事件是（ ）

A
．恰有
1
名男生与恰有
2
名女生

B
．至少有
1
名男生与全是男生

C
．至少有
1
名男生与至少有
1
名女生

D
．至少有
1
名男生与全是女生

3
．在△
ABC
中，
A=60
°
，
B=45
°
，
a=1
，则最短边的边长等于（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

4
．某校高一、高二 年级各有
7
个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数
据分析正确的 是（ ）


A
．高一的中位数大，高二的平均数大

B
．高一的平均数大，高二的中位数大

C
．高一的中位数、平均数都大

D
．高二的中位数、平均数都大

5
．已知数列{
a
n
}，其通项公式
a
n
=3n
﹣
18
，则其前< br>n
项和
S
n
取最小值时
n
的值为（ ）

A
．
4 B
．
5
或
6 C
．
6 D
．
5
6
．一个总体中有
60
个个体，随机编号为
0
，
1
，
2
，
…
59
，依编号顺序平均 分成
6
个小组，组
号依次为
1
，
2
，
3< br>，
…
6
．现用系统抽样方法抽取一个容量为
6
的样本，若在第
1
组随机抽取的
号码为
3
，则在第
5
组中抽取的号 码是（ ）

A
．
33 B
．
43 C
．
53 D
．
54
7
．已知△
ABC
的三内角
A
，
B
，
C
成等差数列，且
AB=1，
BC=4
，则该三角形面积为（ ）

A
．
B
．
2 C
．
2 D
．
4
8
．秦九韶是 我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出多项式求值的秦九韶算
法，如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，依次输入
a
为
2
，
2
，
5
，则输出的
s=
（ ）

A
．
7 B
．
12 C
．
17 D
．
34
9
．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击
4
次，至少击中
3
次的概率：先由计算器给出
0
到
9
之间取整 数值的随机数，指定
0
、
1
表示没有击中目标，
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
表示击
中目标，以
4
个随机数为一组，代表射击< br>4
次的结果，经随机模拟产生了
20
组随机数：

7527

0293

7140

9857

0347

4373

8636

6947

1417

4698
0371

6233

2616

8045

6011

3661

9597

7424

7610

4281
根据以上数据估计该射击运动员射击
4
次至少击中
3
次的概率为（ ）

A
．
0.852 B
．
0.8192 C
．
0.75 D
．
0.8
10
．某产品的广告费用x
与销售额
y
的统计数据如表

2 3 5
广

告

费

用
x
（万元）

4
49 26 a 54
销

售

额
y
（万元）

已知由表中
4组数据求得回归直线方程
=8x
+
14
，则表中的
a
的 值为（ ）

A
．
37 B
．
38 C
．
39 D
．
40
11
．边长为
5
，
7
，
8
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）

A
．
90
°
B
．
120
°
C
．
135
°
D
．
150
°

12
．设
a
＞
0
，
b
＞
0
，若< br>A
．
8 B
．
4 C
．
1
是
5
a
与
5
b
的等比中项，则+的最小值为（ ）

D
．



二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分，请把答案填写在题中的横线上）< br>
13
．数列{
a
n
}中，
a
1
= 4
，
a
n+1
=a
n
+
5
，那么这个数列 的通项公式是 ．

14
．如图，一不规则区域 内，有一边长为
1
米的正方形，向区域内随机地撒
1000
颗黄豆，数
得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为
360
颗，以此实验数据
1000
为依据可以估计出该
不规则图形的面积为 平方米．（用分数作答）


15
．已知
0
＜
x
＜
8
，则（
8
﹣
x
）
x
的最大值是 ．

16
．某船在海面
A
处测得灯塔
B
在北偏东
60
°
方 向，与
A
相距
6
海里．船由
A
向正北方向航
行8
海里达到
C
处，这时灯塔
B
与船之间的距离为 ．



三、解答题（本大题共
6
小题，满分
70
分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17
．如图，在△ABC
中，
AB=12
，，，点
D
在边
BC
上 ，且∠
ADC=60
°
．

（Ⅰ）求
cosC
；

（Ⅱ）求线段
AD
的长．


18
．
B< br>两种蔬菜，
A
，
B
蔬菜每公斤的单价分别为
2
元和< br>3
元．某小型餐馆一天中要购买
A
，根
据需要，
A
蔬菜至少要买
6
公斤，
B
蔬菜至少要买
4
公斤，而且一天中 购买这两种蔬菜的总费
用不能超过
60
元．

（
1
）写出一天中
A
蔬菜购买的公斤数
x
和
B
蔬菜购买的公斤数
y
之间的满足的不等式组；并
在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影 表示），

（
2
）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，
A
，< br>B
两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为
2
元和
1
元，餐馆如何 采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？


19
．一个袋子中装 有大小和形状相同的红球、白球和篮球，其中有有
2
个红球，
3
个白球，n
个篮球．

（Ⅰ）若从中任取一个小球为红球的概率为，求
n
的值；


（Ⅱ）若从中任取一个小球为白球或篮球的概率为，求从中任取一个小球不是篮球的概率．
20
．已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n，
a
3
=6
，
S
3
=12
．

（Ⅰ）求{
a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）求证：
S
1
，
S
3
，
S
8
成等比数列．

21
．某班
50
名学生在一次数学测试中，成绩全介于
50
与
100
之间，测试结果的频率分布表
如表：




频数（人数）



分组（分数段）

频率

a
[
50
，
60
）


0.04
9
[
60
，
70
）




0.18
20
[
70
，
80
）


0.40
16 0.32
[
80
，
90
）

b
[
90
，
100
]


c
50 1.00
合计

（Ⅰ）请根据频率分布表写出< br>a
，
b
，
c
的值，并完成频率分布直方图；


（Ⅱ）从测试成绩在[
50
，
60
）或[
90< br>，
100
]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成
绩分别为
m
，
n
，求事件
“
|
m
﹣
n
|＞< br>10
”
的概率．

22
．不等式（
m
2﹣
2m
﹣
3
）
x
2
﹣（
m
﹣
3
）
x
﹣
1
＜
0
对一切
x
∈
R
恒成立，求实数
m
的取值范围．

2015-2016
学年青海省西宁市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析



一、选择题（本大题共
12小题，每小题
5
分，满分
60
分，每小题给出四个选项中，只有一
个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内）

1
．如果< br>a
＜
b
＜
0
，那么下面一定成立的是（ ）

A
．
a
﹣
b
＞
0 B
．
ac
＜
bc C
．
D
．
a
2
＞
b
2

【考点】不等式比较大小．

【分析】利用不等式的性质即可得出．

【解答】解：∵
a
＜
b
＜
0
，

∴﹣
a
＞﹣
b
＞
0
，

∴
a
2
＞
b
2
．

故选：
D
．



2
．某小组有
3
名男生和
2
名女生，从中任选
2
名同学参加演讲比赛，那么互斥不 对立的两个
事件是（ ）

A
．恰有
1
名男生与恰有
2
名女生

B
．至少有
1
名男生与全是男生

C
．至少有
1
名男生与至少有
1
名女生

D
．至少有
1
名男生与全是女生

【考点】互斥事件与对立事件．

【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对 立事件首先是互斥事件，再就是两个事
件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．

【解答】解：
A
中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；

B
中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；

C
中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；

D
中的两个事件是对立的，故不符合要求．

故选
A


3
．在△
ABC
中，
A=60
°
，B=45
°
，
a=1
，则最短边的边长等于（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】正弦定理．

【分析】由三角形内角和公式可得
C=75
°
，再根据大角对大边可得
b
为最小边，再根据正弦
定理求得
b的值．

【解答】解：△
ABC
中，由三角形内角和公式可得
C =75
°
，

再根据大角对大边可得
b
为最小边．

再根据正弦定理可得
=
，即
b=
•
sin45
°< br>==
，

故选：
B
．



4
．某校高一、高二年级各有
7
个班参加歌咏比赛，他 们的得分的茎叶图如图所示，对这组数
据分析正确的是（ ）


A
．高一的中位数大，高二的平均数大

B
．高一的平均数大，高二的中位数大

C
．高一的中位数、平均数都大

D
．高二的中位数、平均数都大

【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．

【分析】根据给出的两组数据，把数据按 照从小到大排列，根据共有
7
个数字，写出中位数，
观察两组数据的集中区域，得到结 果．

【解答】解：由题意知，

∵高一的得分按照从小到大排列是

82
，
83
，
85
，
93
，
97
，
98
，
99
共有
7
个数字，最中间一个是
93
，

高二得分按照从小到大的顺序排列是

88
，
88
，
89
，
89
，
97
，
98
，
99
共有
7
个数据，最中间一个是
89
，

∴高一的中位数大，

再观察数据的集中区域，高二的更大些，故高二的平均数大．

故选
A
．



5
．已知数列{
a
n
}，其通项公式
a
n
=3n
﹣
18
， 则其前
n
项和
S
n
取最小值时
n
的值为（ ）

A
．
4 B
．
5
或
6 C
．
6 D
．
5
【考点】数列的函数特性．

【 分析】由
a
n
=3n
﹣
18
≤
0
，解得< br>n
．即可得出．

【解答】解：由
a
n
=3n
﹣
18
≤
0
，解得
n
≤
6
．

∴其前
n
项和
S
n
取最小值时
n
的值为< br>5
，或
6
．

故选：
B
．



6
．一个总体中有
60
个个体，随机编号为
0
，
1
，
2
，
…
59
，依编号顺序平均分成
6
个小组，组
号依次为
1
，
2
，
3
，
…
6
．现用系统抽样方法抽取一个容量为
6
的样本，若在第1
组随机抽取的
号码为
3
，则在第
5
组中抽取的号码是 （ ）

A
．
33 B
．
43 C
．
53 D
．
54
【考点】频率分布直方图．

【分析】由总体容量及组数求出间隔号，然后用
3
加上
40
即可．

【解答】解：总体为
60
个个体，依编号顺序平均分成
6
个小组，则 间隔号为
所以在第
5
组中抽取的号码为
3
+
10
×
4=43
．

故选：
B
．



=10
，

7
．已知△
ABC< br>的三内角
A
，
B
，
C
成等差数列，且
AB= 1
，
BC=4
，则该三角形面积为（ ）

A
．
B
．
2 C
．
2 D
．
4
【考点】三角形的面积公式．


【分析】由
A
，
B
，
C
成等差数列
A
+
B
+
C=
π
可求
B
，利用三角形的面积公式
S=bcsinA
可求．
【解答】解：∵△
ABC
三内角
A
，
B
，
C
成等差数列，∴
B=60
°
又
AB=1
，
BC=4
，

∴；

故选
A
．


< br>8
．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，依次输入
a
为2
，
2
，
5
，则输出的
s=
（ ）


A
．
7 C
．
17 D
．
34
【考点】程序框图．

【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到 的
s
，
k
的值，即可得出跳出
循环时输出
s
的值．

【解答】解：初始值
k=0
，
s=0
，程序运行过程如下：

a=2
，
s=2
×
0
+
2=2
，
k=1
，不满足
k
＞
2
，执行循环；

a=2，
s=2
×
2
+
2=6
，
k=2
，不 满足
k
＞
2
，执行循环；

a=5
，
s= 2
×
6
+
5=17
，
k=3
，满足
k＞
2
，退出循环；

输出
s=17
．

故选：
C
．



B
．
12

9
．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击
4
次 ，至少击中
3
次的概率：先由计算器给出
0
到
9
之间取整数 值的随机数，指定
0
、
1
表示没有击中目标，
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
表示击
中目标，以
4
个随机数为一组，代表射击4
次的结果，经随机模拟产生了
20
组随机数：

7527

0293

7140

9857

0347

4373

8636

6947

1417

4698
0371

6233

2616

8045

6011

3661

9597

7424

7610

4281
根据以上数据估计该射击运动员射击
4
次至少击中
3
次的概率为（ ）

A
．
0.852 B
．
0.8192 C
．
0.75 D
．
0.8
【考点】模拟方法估计概率．

【分析】由题意知模拟射击
4
次的结果，经随机模拟产生了如下
20
组随机数，在
20
组随机
数中表示种射击
4
次至少击中
3< br>次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概
率公式，得到结果．

【解答】解：由题意知模拟射击
4
次的结果，经随机模拟产生了如下
20
组 随机数，

在
20
组随机数中表示射击
4
次至少击中
3
次的有：

7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281
，共
15
组随机数，

∴所求概率为
0.75
．

故选：
C
．



10
．某产品的广告费用
x
与销售额
y
的统计数据如表

2 3 5
广

告

费

用
x
（万元）

4
49 26 a 54
销

售

额
y
（万元）

已知由表中
4
组数据求得回归直线方程
A
．
37 B
．
38 C
．
39 D
．
40
=8x
+
14
，则表中的
a
的值为（ ）

【考点】线性回归方程．

【分析】求出数据中心（，），代入回归方程解出
a
．

【解答】解：
=
∴
=3.5
，
==
．

=8
×
3.5
+
14
，解得
a=39
．< br>
故选：
C
．



11
．边长为
5
，
7
，
8
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）

A
．
90
°
B
．
120
°
C
．
135
°
D
．
150
°

【考点】余弦定理．

【分析】设 长为
7
的边所对的角为
θ
，根据余弦定理可得
cos
θ的值，进而可得
θ
的大小，则
由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180
°
﹣
θ
，即可得答案．

【解答】解：根据三角 形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为
8
与
5
，
< br>设长为
7
的边所对的角为
θ
，则最大角与最小角的和是
180
°
﹣
θ
，

有余弦定理可得，
cos
θ
==
，

易得
θ
=60
°
，

则最大角与最小角的和是180
°
﹣
θ
=120
°
，

故选
B
．

12< br>．设
a
＞
0
，
b
＞
0
，若
A
．
8 B
．
4 C
．
1
是
5
a
与
5
b
的等比中项，则+的最小值为（ ）

D
．

【考点】等比数列的性质．

【分析】 根据等比数列的性质，建立方程关系，利用
1
的代换，结合基本不等式进行求解即
可．

【解答】解：∵是
5
a
与
5
b
的等比中 项，

∴
5
a
•
5
b
=
（）2
=5
，

即
5
a+b
=5
，

则
a
+
b=1
，

则+
=
（+） （
a
+
b
）
=1
+
1
++≥
2< br>+
2
当且仅当
=
，即
a=b=
时，取等号，

即+的最小值为
4
，

故选：
B

< br>二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分，请把答案填写在题中的横线上）

13
．数列{
a
n
}中，
a
1
=4
，
a
n+1
=a
n
+
5
，那么这个数列的通项公式是
a
n
=5n
﹣
1
．

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】利用等差数列的定义及其通项公式即可得出．

【解答】解：∵数列{
a
n
}中，
a
1
=4
，
a
n+1
=a
n
+
5
，即
a
n+1
﹣
a
n
=5
，

∴数列{
a
n
}是等差数列，公差为
5
．

∴
a
n
=4
+
5
（
n
﹣
1）
=5n
﹣
1
．

故答案为：
a
n
=5n
﹣
1
．



14
．如图，一不规则区域内，有一边长为
1
米的正方形，向区域 内随机地撒
1000
颗黄豆，数
得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为
3 60
颗，以此实验数据
1000
为依据可以估计出该
不规则图形的面积为 平方米．（用分数作答）

=2
+
2=4
，


【考点】模拟方法估计概率．

【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．
< br>【解答】解：∵向区域内随机地撒
1000
颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的 黄豆数
为
360
颗，

记
“
黄豆落在正方形区域内
”
为事件
A
，

∴
P
（
A
）
=
∴
S
不规则图形
=
故答案为：
=
，

平方米，

．



15
．已知
0
＜
x
＜
8
，则（
8
﹣
x
）x
的最大值是
16
．

【考点】基本不等式．

【分析】利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：∵
0
＜
x
＜
8
，

则
x
（
8
﹣
x
）≤（）
2
=16
，当且仅当
x=4
时取等号，

∴则（
8
﹣
x）
x
的最大值是
16
，

故答案为：
16


16
．某船在海面
A
处测得灯塔
B
在 北偏东
60
°
方向，与
A
相距
6
海里．船由
A
向正北方向航
行
8
海里达到
C
处，这时灯塔
B
与船之间的距离为
2
．

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】由题意画出示意图，利用余弦定理解三角形．

【解答】解：由题意，示意图 为：已知
AB=6
，
AC=8
，∠
A=60
°
，< br>
由余弦定理得到
BC
2
=AC
2
+
AB< br>2
+
2AC
×
ABcosA=36
+
64
﹣
2
×
6
×
8
×
=52
，

所以
BC=
．

所以灯塔
B
与船之间的距离为：< br>2
故答案为：
2
．

海里；




三、解答题（本大题共
6
小题，满分
70
分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。）

17
．如图，在△
ABC
中，
AB=12
，，，点
D
在边
BC
上，且∠
ADC= 60
°
．

（Ⅰ）求
cosC
；

（Ⅱ）求线段
AD
的长．


【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（Ⅰ）由已知根据余弦定理可得代入计算即可得解．

（Ⅱ）由
0< br>＜
C
＜
π
，可得
sinC
＞
0
，从 而可求
sinC
的值，利用正弦定理即可求得
AD
的值．

【解答】（本小题共
13
分）

解：（Ⅰ）∵
AB=12
，，，

∴根据余弦定理：
（Ⅱ） ∵
0
＜
C
＜
π
，

∴
sinC
＞
0
，．

=
．
…

∴根据正弦定理得：，即：
=8
．
…



18
．
B
两种蔬 菜，
A
，
B
蔬菜每公斤的单价分别为
2
元和
3 < br>元．某小型餐馆一天中要购买
A
，根
据需要，
A
蔬菜至少要买
6
公斤，
B
蔬菜至少要买
4
公斤，而且一天中购买这两种蔬 菜的总费
用不能超过
60
元．

（
1
）写出一天中
A
蔬菜购买的公斤数
x
和
B
蔬菜购买的公斤数
y< br>之间的满足的不等式组；并
在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），
（
2
）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，
A
，
B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为
2
元和
1
元，餐馆如何采购这两种蔬 菜使得利润最大，利润最大为多少元？


【考点】简单线性规划的应用．

【分析】（
1
）利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域

（
2
）利用线性规划的内容进行图象平移，然后确定目标函数是最值．
【解答】解：（
1
）依题意，
A
蔬菜购买的公斤数
x
和
B
蔬菜购买的公斤数
y
之间的满足的不
等式组如下：
…
画出的平面区域如图．
…

（
2
）设餐馆加工这两种 蔬菜利润为
z
元，则目标函数为
z=2x
+
y
…

∵
y=
﹣
2x
+
z
∴< br>z
表示过可行域内点斜率为﹣
2
的一组平行线在
y
轴上的截距 ．

联立解得即
B
（
24
，
4
）
…

∴当直线过点
B
（
24
，
4
）时，在
y< br>轴上的截距最大，

即
z
max
=2
×
24
+
4=52
…

答：餐馆应购买
A
蔬菜
2 4
公斤，
B
蔬菜
4
公斤，加工后利润最大为
52
元 ．
…




19
．一个袋子中装有大小和形状相 同的红球、白球和篮球，其中有有
2
个红球，
3
个白球，
n
个篮球．

（Ⅰ）若从中任取一个小球为红球的概率为，求
n
的值；


（Ⅱ）若从中任取一个小球为白球或篮球的概率为，求从中任取一个小球不是篮球的概率．< br>【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】（Ⅰ）设任取一个小球得 到红球、白球、蓝球的事件分别为
A
，
B
，
C
，由
P
（
A
）
=
，
得
=
，由此能求出
n
．

（Ⅱ）由
P
（
B
+
C
）< br>=
，得
P
（
A
）
=1
﹣
P
（
B
+
C
）
=
，从而得到
n=1
，由此能 求出从中任取
一个小球不是篮球的概率．

【解答】解：（Ⅰ）设任取一个小球得到红 球、白球、蓝球的事件分别为
A
，
B
，
C
，

它们是互斥事件，

由已知得
P
（
A
）
=
，∴
解得
n=3
．

（Ⅱ）∵
P
（
B
+
C
）
=
，

由对立事件的概率计算公式知< br>P
（
A
）
=1
﹣
P
（
B
+
C
）
=1
﹣
=
，

∴
=
，解得
n=1
，

=
，

∴
P
（
C
）
=
，

∴从中任取一 个小球不是篮球的概率
P
（）
=1
﹣
=
．

20
．已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a
3
=6
，
S
3
=12
．

（Ⅰ）求{
a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）求证：
S
1
，
S
3
，
S
8
成等比数列．

【考点】等差关系的确定；等差数列的通项公式．

【分析】（
I
） 设等差数列{
a
n
}的公差为
d
，由
a
3
=6
，
S
3
=12
．可得
出．

（
II
）利用等差数列的求和公式分别计算：，
S
1
•
S
8
．即可证明．

，解出即可得
【解答】（
I
）解：设等差数 列{
a
n
}的公差为
d
，∵
a
3
=6，
S
3
=12
．

∴，解得
a
1=2
，
d=2
．∴
a
n
=2
+
2（
n
﹣
1
）
=2n
．

=12
，
S
8
=
=S
1
•
S
8
．
=72
，

（
II
）证明：∵
S
1
=2
，
S
3
=
∴
=12
2
=14 4
，
S
1
•
S
8
=2
×
72=1 44
．∴
即
S
1
，
S
3
，
S8
成等比数列．



21
．某班
50
名学生在一次数学测试中，成绩全介于
50
与
100
之间，测试结果的频率 分布表
如表：




频数（人数）



分组（分数段）

频率

a
[
50
，
60
）


0.04
9
[
60
，
70
）




0.18
20
[
70
，
80
）


0.40
16 0.32
[
80
，
90
）

b
[
90
，
100
]


c
50 1.00
合计

（Ⅰ）请根据频率分布表写出< br>a
，
b
，
c
的值，并完成频率分布直方图；

（Ⅱ）从测试成绩在[
50
，
60）或[
90
，
100
]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成< br>绩分别为
m
，
n
，求事件
“
|
m
﹣
n
|＞
10
”
的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

【分析】（Ⅰ ）由频率分布表的性质能求出
a
，
b
，
c
．从而能用出频率 分布直方图．

（Ⅱ）由题意知事件
“
|
m
﹣
n< br>|＞
10
”
为抽取两名同学的测试成绩分别在[
50
，
60
）和[
90
，
100
）
内，成绩在[
50< br>，
60
）内的人数为
2
人，成绩在[
90
，
100
）的人数为
3
人，由此能求出事件
“
|
m
﹣
n
|＞
10
”
的概．

【解答】解：（Ⅰ）由频率 分布表得
a=50
×
0.04=2
，

b=50
﹣
2
﹣
9
﹣
20
﹣
16=3
，

c==0.06
．

作出频率分布直方图：


（ Ⅱ）由题意知事件
“
|
m
﹣
n
|＞
10
”
为抽取两名同学的测试成绩分别在[
50
，
60
）和[
90
，
100
）
内，

由（Ⅰ）知成绩在[
50
，
60
）内的人数为
2
人，成绩在[
90
，
10 0
）的人数为
3
人，

从测试成绩在[
50
，60
）或[
90
，
100
]内的所有学生中随机抽取两名同学，

基本事件总数
n=
，

=6
，

事件
“
|
m
﹣
n
|＞
10
”
包 含的基本事件个数
m=
∴事件
“
|
m
﹣
n
|＞
10
”
的概率
p=
．



22
．不等式（
m
2
﹣
2m
﹣
3
）
x
2
﹣（
m
﹣
3
）
x
﹣
1＜
0
对一切
x
∈
R
恒成立，求实数
m
的取值范围．

【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．

【分析】要分 别考虑二次项系数为
0
和不为
0
两种情况，当二次项系数为
0
时，只要验证是
否对一切
x
∈
R
成立即可；当二次项系数不为0
时，主要用二次函数开口方向和判别式求出
m
的取值范围．

最后两种情况下求并集即可．

【解答】解：若
m
2
﹣
2m
﹣
3=0
，则
m=
﹣
1
或
m=3
．
…

若
m=
﹣
1，不等式（
m
2
﹣
2m
﹣
3
）
x2
﹣（
m
﹣
3
）
x
﹣
1
＜< br>0
为
4x
﹣
1
＜
o
不合题意；
…< br>
若
m=3
，不等式（
m
2
﹣
2m
﹣
3
）
x
2
﹣（
m
﹣
3
）
x
﹣
1
＜
0
为﹣
1
＜
0
对一切
x
∈
R
恒成立，所以
m=3
可取．
…
< br>设
f
（
x
）
=
（
m
2
﹣< br>2m
﹣
3
）
x
2
﹣（
m
﹣
3
）
x
﹣
1
，

当
m
2
﹣
2m
﹣
3
＜
0
且△
=
[﹣（
m
﹣
3
）]
2
+
4
（
m
2
﹣
2m
﹣
3
）＜
0
，解得：
即
故


．
…

时不等式（
m
2
﹣
2m
﹣
3
）
x
2
﹣（
m
﹣
3）
x
﹣
1
＜
0
对一切
x
∈
R
恒成立，

．
…

2016
年
8
月
19
日