大学高数期末考试题
销售代理合同-宝宝满月贺词
第一学期高等数学期末考试试卷答案
一.计算题(本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分),
1.求极限
解:
x
1cosx
2
x
lim
x0
sin
3
x
.
x
x<
br>
1cosx
x
1cosx
2
1
1
x
x
2
1cosx
2
2
l
im
lim
lim
333
x0x0x0
sinxxx
lim
e
1cosx
xln
2
<
br>1
x0
x
3
lim
e
x0
1lim
1cosx
x0
xln
2
1cosx
xln
2
xln
1cosx
1cosx
ln
22
lim
32
x0
xx
lim
sinx1
.
x0
1co
sx
2x4
3
x
2
2.设
x0
时,
f
x
与是等价无穷小,
2
解:
f
t
dt
与
Ax
0
3
x
k
等价无穷小,求常数
k
与
A
.
3
x
由于当
x0
时,
0
f<
br>
t
dt
与
Ax
k
等价无穷小,所以lim
f
t
dt
0
x
x0
Ax
k
1
.而
2
1x3
1
3
ftdt
fx
3
32
fx
2
3
3
x
2
3x
0
limlim
lim
2
kk1
x
0x0x0
AxAkxAkx
k1
3
x
2
11
1k1,A
所以,
lim
.因
此,.
x0
6Akx
k1
6
3
x
22
33
1
lim
xx
lim
k1k1
x0x0
6Akx6Akx
3.如果不定积分
x1
1x
2
2
x
2
axb
dx
中不含有对数函数,求常数
a
与
b
应满足的条件.
解:
将
x1
1x
2
x
2
axb
2
化为部分分式,有
x
2
axb
x1
2
1x
2
ABCxD
,
2
2
x1
x1
1x
因此不定积分
x1
1x
<
br>2
2
x
2
axb
dx
中不含有对数函数的充分必
要条件是上式中的待定系数
AC0
.
即
x
2
ax
b
x1
2
1x
2
BDB
1x
2
D
x1
.
22
2
2
x1
1
x
x1
1x
2
222
所以,有
xaxbB1xD
x1
<
br>BD
x2Dx
BD
.
2<
br>
比较上式两端的系数,有
1BD,
5
2
a2D,b
BD
.所以,得
b1
.
5.计算定积分
min1,
0
x2
dx
.
解:
min1,
x2
x2
1
x21
x21
x1
1
2x1x2
.
x22x3
x3
1
5
2
所以,
min1,
0
x2
dx
1dx
2x
dx
x2
dx
012
12<
br>5
2
13
.
8
5.设曲线
C
的极坐标方程为
rasin
解:
曲线
rasin
3
3
3
3
,求曲线
C
的全长.
3
一周的定义域为
0
3
2
2
3
,即
0
3
.因此曲线
C
的全长为
6
s
r
r
d
2
00<
br>asin
3
asin
24
3
cos<
br>2
3
3
d
as
in
2
0
3
d
a
.
32
二.(本题满分45分,共有5道小题,每道小题9分),
6.求出函数
f
x
lim
n
解:
sin
x
2n
的所有间断点,并指出
这些间断点的类型.
1
2x
1
sin
x
x
2
11
x
sin
x
22
fxlim
2n
n
1
2x
11
.
x
22
1
0x
2因此
x
1
11
与
x
2
是函数
f
x
的间断点.
22
x
1
2
x
1
2
x
1
2
lim
f
x
lim
00
,
lim
f
x
lim
sin
x
1
,因此
xx
1
2
1
是函数
f
x
的第一类可
2
去型间断点.
lim
f
x
lim
sin
x
1
,
lim
f
x
lim
00
,因此
x
x
1
2
x
1
2
x
1
2
x
1
2
1
是函数
f
x
的第一类可去型
2
间断点
.
7.设
是函数
f
x
arcsinx
在区间
0,
求极限
lim
解:
f
x
arcsinx
在区间
0,
b
上使用Lagrange(拉格朗日)中值定理中的“中值”,
b
b0
.
b
上应用Lagrange中值
定理,知存在
0,b
,使得
arcsi
nbarcsin0
2
1
1
2
b0<
br>
.
b
所以,
2
1<
br>
.因此,
arcsinb
b
1
2
2
arcsinb
b
2
arcsinb
lim
2
lim
2
lim
2
2
b0
b
b0b0
b
b
arcsinb
令
ta
rcsinb
,则有
2
t
2
sin
2<
br>tt
2
sin
2
t
lim
lim
2
lim
2
4
b0
b
t0
tsin
2
t
t0
t
lim
2
2tsin2t22cos2t11cos2t12sin2t1
limlimlim
t0t0
4t
3
12t
2
6
t0
t
2
6
t0
2t3
所以,<
br>lim
b
b0
1
.
3
1x
8.设
f
x
解:
e
0
y
2y
dy
,求
f
x
dx
.
0
1
f
x
dxxf
x
xf
x
dx
1
0<
br>00
1x
11
在方程
f
x
11
e
0
y
2y
dy
中,令
x1
,得
0
f
1<
br>
e
0
y
2y
dy
e
y
2y
dy0
. <
br>0
y
2y
再在方程
f
x<
br>
1
1x
e
0
dy
两端对<
br>x
求导,得
f
x
e
11
1x
2
,
因此,
f
x
dxxf
x
xf
x
dx
xf
x
<
br>dx
1
0
000
1
xe
0
1x
2
1
dxe
xe
x<
br>0
x2
2
1
1
2
dxe<
br>
e
x
e1
.
2
0
2
1
9.研究方程
eax
解:
设函数
f
x
axe
2x
a0
在区间
,
内实根的个数.
1
,
f
x
2axe
x
ax
2
e
x
ax
2x
e
x
.
令
f
x
0
,得函数
f
<
br>x
的驻点
x
1
0,
由于
a0
,所以
limf
x
limaxe
xx
x
2
2
.
2x
1
,
x
2
2x2
1
alim
x
1alim
x
1
alim
x
11
.
x
e
x
e
x
e
limf
x
limaxe
xx
2x
因此,得函数
f
x
的性态
x
,
0
0
0
0,2
2
0
4ae
2
1
2,
f
x
f
x
1
1
e
2
2x
⑴ 若
4ae10
,即
a
时,函数
f
x
axe1
在
<
br>,0
、
0,2
、
2,
内
4
2
各有一个零点,即方程
eax
在
,
x2
内有3个实根.
e
2
2x
⑵ 若
4ae10
,即
a
时,函数
f
x
axe1
在
<
br>,0
、
0,
内各有一个零
4
2
点,即方程
eax
在
,
x2
内有2个实根.
e
2
2x
⑶ 若
4ae10
,即
a
时,函数
f
x
axe1
在
,0
有一个零点,即方程
4<
br>2
e
x
ax
2
在
,
内有1个实根.
10.设函数
f
x
可导,且满足
f
x
x
f
x
<
br>1
,
f
0
0
.
试求函数
f
x
的极值.
解:
在方程
f
x
x
f
x
1
中令
tx,得
f
t
t
f
t
1
,即
f
x
x
f
x
1
.
在方程组
f
x
xf
x
x
中消去<
br>f
x
,得
xf
<
br>
x
f
x
xxx
2
f
x
.
1x
2
tt
2
dt
.即 积分,注意
f
0
0
,得
f
x
f
0
2
1t
0
x
tt
2
1
f
x
<
br>
dtxln
1x
2
arc
tanx
.
2
1t2
0
xx
2
12xx
2
由
f
x
得函数
f
x
的驻点
x
1
0,x
2
1
.
而
f
x
.所以,
2
2
1x
2
1x
x
f
0
10
,
f
1
1
0
.
2
1
ln2
是函数
f
x
极大值.
24
所以,
f
0
0
是函数
f
x
极小值;
f
1
1<
br>三.应用题与证明题(本题满分20分,共有2道小题,每道小题10分),
11.求
曲线
yx
的一条切线,使得该曲线与切线
l
及直线
x0
和
x2
所围成的图形绕
x
轴旋
转的旋转体的体积为最小.
解:
设切点坐标为
t,
t
,由
y
1
2t
,可知曲线
yx
在
t,
t
处的切线方程为
yt
因此所求旋转体的体积为
2
1
xt
<
br>
V
0
2t
2
1
2t
xt
,或
y
1
2t
xt
.
8
x
dx
42t
4
3t
2
所以,
dV
8
22
2
2
0
.得驻点
t
,舍去
t
.由于
dt4
3t
33
d
2
V
dt
2
2
t
3
16
43t
2
t
2
3
0
,因而函数
V
在
t
2
处达到极小值,而且也是最小值.因此所求切
3
线方程为<
br>y
31
x
.
42
12.设函数
f
x
在闭区间
0,1
上连续,在开区间
0,1
内可导,且
2
f
x
e
arctanxdx
0
1
,
f
1
0
.
2
证明:至少存
在一点
0,1
,使得
f
解:
1
1
arctan
2
.
因为
f
x
在闭区间
0,1
上连续,所以由积分中
值定理,知存在
0,
2
,使得
2
e
f
x
arctanxdx
2
a
rctan
.
0
e
f
2
由于
e
f
x
arctanxdx
1
0
2
,所以,
2
e
f
<
br>
arctan
1
2
.再由
f
1
0
,得
e
f
<
br>arctan
1
4
e
f
arctan1
.
作函数
g
x
<
br>e
f
x
arctanx
,则函数在区间
,1
0,1
上连续,在区
间
,
Rolle中值定理,存在
,1
0,1
,使得
g
0
.而
x
g
x
e
f
x
f
x
arctanx
e
f1x
2
.
所以存在
,1
0,1
,使得
ef
e
f
f
arctan
1
<
br>2
0
.
由于
e
f
0
,所以
f
arctan
1
1
2
0
,即
f
1
1
2
arctan
.
内可导.所以由
1
一个处处像别人表明自己优秀的,恰恰证明了他(她)并不优秀,或者说缺什么,便炫耀什么。
真正的优秀,并不是指一个人完美无缺,偶像般的光芒四射。而是要真实地活着,真实地爱着。
对生活饱有热情,满足与一些小确幸,也要经得起诱惑,耐得住寂寞,内心始终如孩童般的纯真。
要知道,你走的每一步,都是为了遇见更好的自己,都是为了不辜负所有的好年华。
一个真实的人,一定也是个有担当的。
不论身处何地,居于何种逆境,他(她)们都不会畏惧坎坷
和暴风雨的袭击。因为知道活着的意义,就是真实的直面风浪。
生而为人,我们可以失败,却不能败的没有风骨,甚至连挑战的资格都不敢有。
人当如玉,无骨不去其身。生于尘,立于世,便该有一颗宽厚仁德之心,便有一份容天下之事的气度。
一个真实的人,但是又不会过于执着。
因为懂得,水至清则无鱼,人至察则无徒的道理。完美主义
者最大的悲哀,就是活得不真实,不知道审时度势,适可而止。
一扇窗,推开是艳阳天,关闭,也
要安暖向阳。不烦不忧,该来的就用心珍惜,坦然以对;要走的就随它去,无怨无悔。
人活着,就
是在修行,最大的乐趣,就是从痛苦中寻找快乐。以积极的状态,过好每一天,生活不完美,我们也要向美而生。
一个真实的人,一定是懂爱的。
时光的旅途中,大多数都是匆匆擦肩的过客。只有那
么微乎其微的人,才可以相遇,结伴同行。而这样的结伴一定又是基于志趣相投,心性相近的品性。
最好的爱,不是在于共富贵,而是可以共患难,就像一对翅膀,只有相互拥抱着才能飞翔。爱似琉璃,正是因为纯
粹干净,不沾染俗世的美。
懂爱的人,一定是真实的人。正是因为懂得真爱的不易,所以更是以真
面目面对彼此,十指紧扣,甘愿与爱的人把世间各种风景都看透,无论风雨,安暖相伴。
一个真实的人,定然是有着大智慧的。
人生在世,什么都追求好,追求完美,虽然这是一种积极的
思想,却会很累,不仅自己累,身边人也会因为你而累。到最后就会在疲于奔命中,丧失自我。
“
兰居幽谷,虽孤独亦芬芳;梅开偏隅,虽寂静亦流香,”这便是一份淡泊和沉稳。一些事尽力了就好,无愧别人,
无愧己心,认真地活着,便是不辜负。
因为懂得,人生的风景,最终是回归到心灵的本源。和谐共生,平等友爱,才是对生命的尊重和对自己的珍视。
第一学期高等数学期末考试试卷答案
一.计算题(本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分),
1.求极限
解:
x
1cosx
2
x
lim
x0
sin
3
x
.
x
x<
br>
1cosx
x
1cosx
2
1
1
x
x
2
1cosx
2
2
l
im
lim
lim
333
x0x0x0
sinxxx
lim
e
1cosx
xln
2
<
br>1
x0
x
3
lim
e
x0
1lim
1cosx
x0
xln
2
1cosx
xln
2
xln
1cosx
1cosx
ln
22
lim
32
x0
xx
lim
sinx1
.
x0
1co
sx
2x4
3
x
2
2.设
x0
时,
f
x
与是等价无穷小,
2
解:
f
t
dt
与
Ax
0
3
x
k
等价无穷小,求常数
k
与
A
.
3
x
由于当
x0
时,
0
f<
br>
t
dt
与
Ax
k
等价无穷小,所以lim
f
t
dt
0
x
x0
Ax
k
1
.而
2
1x3
1
3
ftdt
fx
3
32
fx
2
3
3
x
2
3x
0
limlim
lim
2
kk1
x
0x0x0
AxAkxAkx
k1
3
x
2
11
1k1,A
所以,
lim
.因
此,.
x0
6Akx
k1
6
3
x
22
33
1
lim
xx
lim
k1k1
x0x0
6Akx6Akx
3.如果不定积分
x1
1x
2
2
x
2
axb
dx
中不含有对数函数,求常数
a
与
b
应满足的条件.
解:
将
x1
1x
2
x
2
axb
2
化为部分分式,有
x
2
axb
x1
2
1x
2
ABCxD
,
2
2
x1
x1
1x
因此不定积分
x1
1x
<
br>2
2
x
2
axb
dx
中不含有对数函数的充分必
要条件是上式中的待定系数
AC0
.
即
x
2
ax
b
x1
2
1x
2
BDB
1x
2
D
x1
.
22
2
2
x1
1
x
x1
1x
2
222
所以,有
xaxbB1xD
x1
<
br>BD
x2Dx
BD
.
2<
br>
比较上式两端的系数,有
1BD,
5
2
a2D,b
BD
.所以,得
b1
.
5.计算定积分
min1,
0
x2
dx
.
解:
min1,
x2
x2
1
x21
x21
x1
1
2x1x2
.
x22x3
x3
1
5
2
所以,
min1,
0
x2
dx
1dx
2x
dx
x2
dx
012
12<
br>5
2
13
.
8
5.设曲线
C
的极坐标方程为
rasin
解:
曲线
rasin
3
3
3
3
,求曲线
C
的全长.
3
一周的定义域为
0
3
2
2
3
,即
0
3
.因此曲线
C
的全长为
6
s
r
r
d
2
00<
br>asin
3
asin
24
3
cos<
br>2
3
3
d
as
in
2
0
3
d
a
.
32
二.(本题满分45分,共有5道小题,每道小题9分),
6.求出函数
f
x
lim
n
解:
sin
x
2n
的所有间断点,并指出
这些间断点的类型.
1
2x
1
sin
x
x
2
11
x
sin
x
22
fxlim
2n
n
1
2x
11
.
x
22
1
0x
2因此
x
1
11
与
x
2
是函数
f
x
的间断点.
22
x
1
2
x
1
2
x
1
2
lim
f
x
lim
00
,
lim
f
x
lim
sin
x
1
,因此
xx
1
2
1
是函数
f
x
的第一类可
2
去型间断点.
lim
f
x
lim
sin
x
1
,
lim
f
x
lim
00
,因此
x
x
1
2
x
1
2
x
1
2
x
1
2
1
是函数
f
x
的第一类可去型
2
间断点
.
7.设
是函数
f
x
arcsinx
在区间
0,
求极限
lim
解:
f
x
arcsinx
在区间
0,
b
上使用Lagrange(拉格朗日)中值定理中的“中值”,
b
b0
.
b
上应用Lagrange中值
定理,知存在
0,b
,使得
arcsi
nbarcsin0
2
1
1
2
b0<
br>
.
b
所以,
2
1<
br>
.因此,
arcsinb
b
1
2
2
arcsinb
b
2
arcsinb
lim
2
lim
2
lim
2
2
b0
b
b0b0
b
b
arcsinb
令
ta
rcsinb
,则有
2
t
2
sin
2<
br>tt
2
sin
2
t
lim
lim
2
lim
2
4
b0
b
t0
tsin
2
t
t0
t
lim
2
2tsin2t22cos2t11cos2t12sin2t1
limlimlim
t0t0
4t
3
12t
2
6
t0
t
2
6
t0
2t3
所以,<
br>lim
b
b0
1
.
3
1x
8.设
f
x
解:
e
0
y
2y
dy
,求
f
x
dx
.
0
1
f
x
dxxf
x
xf
x
dx
1
0<
br>00
1x
11
在方程
f
x
11
e
0
y
2y
dy
中,令
x1
,得
0
f
1<
br>
e
0
y
2y
dy
e
y
2y
dy0
. <
br>0
y
2y
再在方程
f
x<
br>
1
1x
e
0
dy
两端对<
br>x
求导,得
f
x
e
11
1x
2
,
因此,
f
x
dxxf
x
xf
x
dx
xf
x
<
br>dx
1
0
000
1
xe
0
1x
2
1
dxe
xe
x<
br>0
x2
2
1
1
2
dxe<
br>
e
x
e1
.
2
0
2
1
9.研究方程
eax
解:
设函数
f
x
axe
2x
a0
在区间
,
内实根的个数.
1
,
f
x
2axe
x
ax
2
e
x
ax
2x
e
x
.
令
f
x
0
,得函数
f
<
br>x
的驻点
x
1
0,
由于
a0
,所以
limf
x
limaxe
xx
x
2
2
.
2x
1
,
x
2
2x2
1
alim
x
1alim
x
1
alim
x
11
.
x
e
x
e
x
e
limf
x
limaxe
xx
2x
因此,得函数
f
x
的性态
x
,
0
0
0
0,2
2
0
4ae
2
1
2,
f
x
f
x
1
1
e
2
2x
⑴ 若
4ae10
,即
a
时,函数
f
x
axe1
在
<
br>,0
、
0,2
、
2,
内
4
2
各有一个零点,即方程
eax
在
,
x2
内有3个实根.
e
2
2x
⑵ 若
4ae10
,即
a
时,函数
f
x
axe1
在
<
br>,0
、
0,
内各有一个零
4
2
点,即方程
eax
在
,
x2
内有2个实根.
e
2
2x
⑶ 若
4ae10
,即
a
时,函数
f
x
axe1
在
,0
有一个零点,即方程
4<
br>2
e
x
ax
2
在
,
内有1个实根.
10.设函数
f
x
可导,且满足
f
x
x
f
x
<
br>1
,
f
0
0
.
试求函数
f
x
的极值.
解:
在方程
f
x
x
f
x
1
中令
tx,得
f
t
t
f
t
1
,即
f
x
x
f
x
1
.
在方程组
f
x
xf
x
x
中消去<
br>f
x
,得
xf
<
br>
x
f
x
xxx
2
f
x
.
1x
2
tt
2
dt
.即 积分,注意
f
0
0
,得
f
x
f
0
2
1t
0
x
tt
2
1
f
x
<
br>
dtxln
1x
2
arc
tanx
.
2
1t2
0
xx
2
12xx
2
由
f
x
得函数
f
x
的驻点
x
1
0,x
2
1
.
而
f
x
.所以,
2
2
1x
2
1x
x
f
0
10
,
f
1
1
0
.
2
1
ln2
是函数
f
x
极大值.
24
所以,
f
0
0
是函数
f
x
极小值;
f
1
1<
br>三.应用题与证明题(本题满分20分,共有2道小题,每道小题10分),
11.求
曲线
yx
的一条切线,使得该曲线与切线
l
及直线
x0
和
x2
所围成的图形绕
x
轴旋
转的旋转体的体积为最小.
解:
设切点坐标为
t,
t
,由
y
1
2t
,可知曲线
yx
在
t,
t
处的切线方程为
yt
因此所求旋转体的体积为
2
1
xt
<
br>
V
0
2t
2
1
2t
xt
,或
y
1
2t
xt
.
8
x
dx
42t
4
3t
2
所以,
dV
8
22
2
2
0
.得驻点
t
,舍去
t
.由于
dt4
3t
33
d
2
V
dt
2
2
t
3
16
43t
2
t
2
3
0
,因而函数
V
在
t
2
处达到极小值,而且也是最小值.因此所求切
3
线方程为<
br>y
31
x
.
42
12.设函数
f
x
在闭区间
0,1
上连续,在开区间
0,1
内可导,且
2
f
x
e
arctanxdx
0
1
,
f
1
0
.
2
证明:至少存
在一点
0,1
,使得
f
解:
1
1
arctan
2
.
因为
f
x
在闭区间
0,1
上连续,所以由积分中
值定理,知存在
0,
2
,使得
2
e
f
x
arctanxdx
2
a
rctan
.
0
e
f
2
由于
e
f
x
arctanxdx
1
0
2
,所以,
2
e
f
<
br>
arctan
1
2
.再由
f
1
0
,得
e
f
<
br>arctan
1
4
e
f
arctan1
.
作函数
g
x
<
br>e
f
x
arctanx
,则函数在区间
,1
0,1
上连续,在区
间
,
Rolle中值定理,存在
,1
0,1
,使得
g
0
.而
x
g
x
e
f
x
f
x
arctanx
e
f1x
2
.
所以存在
,1
0,1
,使得
ef
e
f
f
arctan
1
<
br>2
0
.
由于
e
f
0
,所以
f
arctan
1
1
2
0
,即
f
1
1
2
arctan
.
内可导.所以由
1
一个处处像别人表明自己优秀的,恰恰证明了他(她)并不优秀,或者说缺什么,便炫耀什么。
真正的优秀,并不是指一个人完美无缺,偶像般的光芒四射。而是要真实地活着,真实地爱着。
对生活饱有热情,满足与一些小确幸,也要经得起诱惑,耐得住寂寞,内心始终如孩童般的纯真。
要知道,你走的每一步,都是为了遇见更好的自己,都是为了不辜负所有的好年华。
一个真实的人,一定也是个有担当的。
不论身处何地,居于何种逆境,他(她)们都不会畏惧坎坷
和暴风雨的袭击。因为知道活着的意义,就是真实的直面风浪。
生而为人,我们可以失败,却不能败的没有风骨,甚至连挑战的资格都不敢有。
人当如玉,无骨不去其身。生于尘,立于世,便该有一颗宽厚仁德之心,便有一份容天下之事的气度。
一个真实的人,但是又不会过于执着。
因为懂得,水至清则无鱼,人至察则无徒的道理。完美主义
者最大的悲哀,就是活得不真实,不知道审时度势,适可而止。
一扇窗,推开是艳阳天,关闭,也
要安暖向阳。不烦不忧,该来的就用心珍惜,坦然以对;要走的就随它去,无怨无悔。
人活着,就
是在修行,最大的乐趣,就是从痛苦中寻找快乐。以积极的状态,过好每一天,生活不完美,我们也要向美而生。
一个真实的人,一定是懂爱的。
时光的旅途中,大多数都是匆匆擦肩的过客。只有那
么微乎其微的人,才可以相遇,结伴同行。而这样的结伴一定又是基于志趣相投,心性相近的品性。
最好的爱,不是在于共富贵,而是可以共患难,就像一对翅膀,只有相互拥抱着才能飞翔。爱似琉璃,正是因为纯
粹干净,不沾染俗世的美。
懂爱的人,一定是真实的人。正是因为懂得真爱的不易,所以更是以真
面目面对彼此,十指紧扣,甘愿与爱的人把世间各种风景都看透,无论风雨,安暖相伴。
一个真实的人,定然是有着大智慧的。
人生在世,什么都追求好,追求完美,虽然这是一种积极的
思想,却会很累,不仅自己累,身边人也会因为你而累。到最后就会在疲于奔命中,丧失自我。
“
兰居幽谷,虽孤独亦芬芳;梅开偏隅,虽寂静亦流香,”这便是一份淡泊和沉稳。一些事尽力了就好,无愧别人,
无愧己心,认真地活着,便是不辜负。
因为懂得,人生的风景,最终是回归到心灵的本源。和谐共生,平等友爱,才是对生命的尊重和对自己的珍视。