小学奥数同余问题复习进程

余年寄山水
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2021年03月04日 00:23
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指南针为什么不叫指北针-垒球图片

2021年3月4日发(作者:乔莉)


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同余问题(一)







在平时 解题中,我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如:现在时刻是


7



30


分,再



52


小时是几时几分?我们知道一天是


24


小时,



也就是说


52


小时里包含两个整


天再加上


4


小时,这样就在


7



3 0


分的基础上加上


4


小时,就是


11



30


分。很明 显这个问题的着


眼点是放在余数上了。



1.


同余的表达式和特殊符号






37



44


同除以


7


,余数都是


2


,把除数


7


称作“模


7”,


37



44


对于模


7< /p>


同余。







记作:



mod7














”读作同余。







一般地,


两个整数


a



b



除以大于

1


的自然数


m


所得的余数相同,< /p>


就称


a



b


对于模


m


同余,


记 作:


2.


同余的性质








1








2


)若







3


)若







4


)若


减性)












5


)若






如果






那么



< /p>


的差一定能被


k


整除)

< br>


(称为同余的可乘性)



,则



n


为正整数,同余还有一个非常有趣 的现象:



(每个整数都与自身同余,称为同余的反身性。)


< p>
,那么




,则


,则


(这称作同余的对称性)



(这称为同余的传递性)




)(这称为同余的可加性、可







这是为什么呢?















k


也就是








的公约数,所以有



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下面我们应用同余的这些性质解题。





【例题分析】




1.



4 12



133



257


除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大是几?







分析与解答:







假设这个自然数是


a


因为


412



133



257


除以


a

< p>
所得的余数相同,


所以


说明


a


是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大是几,就是求这三个差的最大公约数。











所以


a


最大 是


31








2.






分析与解答:



除以

< br>19


,余数是几?







如果把 三个数相乘的积求出来再除以


19


,就太麻烦了,利用同余思想 解决就容易了。











所以








此题应用了同余的可乘性,同余的传递性。




3.


有一个


1997


位数,它的每个数位都是


2



后余数是几?







分析与解答:



这个数除以

< p>
13


,商的第


100


位是 几?最






这个数除以


13


,商是有规律的。











商是


170940

< br>六个数循环,那么


我们找的那个数“9”,所以商的第


1 00


位是


9








余数是几呢?



,即


,我们从左向右数“170940”的第


4

< p>
个数就是












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所以商的个位数字应是“170940”中的第


4

< br>个,商应是


9


,相应的余数是


5








【模拟试题】

(答题时间:


20


分钟)



1.


求下列算式中的余数。








1



















2









3


















4




2. 6254



37


的积除以


7


,余数是几?



3.


如果某数除


482



992



1094


都余


74


,这个数是几?


同余问题(二)



【例题分析】




1.


除以


7


,余数是几?







分析与解答:



















2.


一个自然数除以


3


< br>2


,除以


5


< br>3


,除以


7


< br>1


,这个自然数最小是几?



分析:


假设这个自然数为


a


那么













这道题考虑的困难是它们的余数不相同。


如果把这道题改一下,使它们的余数相同,利用整除的知识,便容易考虑了,先看下面一道题:



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