< br>5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的
的恰好是没运来的
3
，第二 次运了50块．这时，已运来
8
5
．问还有多少块蜂窝煤没有运来?
75
，则运来的是5份，没有运来的是7份，
7
55
3
7
也就是运来的占总数的．则共有50÷(-)=1200块，还剩下1200×=700块．
1212
8
12
【分析与解】 已经运来的是没有运来的


6．有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，
发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的
8
．问剪下的一段长多少厘米?
13
【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为21－13=8厘米．
因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变．
设剪后短纸带长度 为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份，则每
份为8÷5=1．6(厘米 )．
所以，剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)．
方法二：设剪下
x
厘米，
则
13x8

，交叉 相乘得：13×(13-
x
)=8×(21-
x
)，解得
x
=0.2，
21x13
即剪下的一段长0.2厘米．

7．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、
乙两队 各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的
工作效率总是前一天 的l
1
倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天?
2
【分析与解】 如下表所示：

天数
1
工作量
甲
乙
当天工作量
已完成工作量

说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，
那么共用时间为4+68.75÷210.625=4

8．有一块菜地和一块麦地． 菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷．麦地的一半
和菜地的三分之一放在一起是12公顷． 那么菜地是多少公顷?
【分析与解】如下表所示：

菜地
10
10
20
20
20
15
35
55
40
22.5
62.5
117.5
80
33.75
113.75
231.25
160
50.625
210.625
441.375
2 3 4 5
110
天．
337
1

2
麦地
1

3

13公顷

78公顷

72公顷

12公顷
菜地3
菜地2
菜地

麦地2
麦地3
麦地
1

3
1

2
即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷)．
而菜地减去麦地，为78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．

9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽 种了杨树总数的
3
5
和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的 棵数恰好相等．问原计划要
栽植这三种树各多少棵?
【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：
杨树=5份；柳树=2份+30棵；槐树=2份-15棵，
则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，
有：杨树=5×165=825棵；柳树=165×2+30=360棵；槐树=165×2-15=315棵．


10. 师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的
10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件?
【分析与解】 我们用“师”表示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个
数，有：
1
1
比徒弟加工零件个数的还多
3
4
1
1
“师”- “徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680．
3< br>4
那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80个零件．


11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工 作量的1
倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有
1
27
的人去甲工地，其
12
他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地 的工作还需4名工人再做1天．那
么这批工人共有多少名?
【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”．

甲 乙

上午
33


134
7

12
11


134
1-
下午

75
=
1212
于是甲工地一整天平均用了这批工人的
( 
工人的1-
372
)2
，乙工地一整天平均用了这批
4123
21

．
33
1
2
完成了“1.5”的工作量， 那么的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工
3
3
这批工人的
作量，于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要4人工作1
天．
而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天．
所以原来这批工人共有40-4=36人．


12．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于
原来的分数是多少?
【分析与解】 如果分子加1，则分数为
1
1
；如果分母加1，这个分数就等于．问
3
2
x
1
，设这时的分数为：，则原来的分数为
2x
2
x1x11
，分母加1后为：

，交叉相乘得：3(
x-1)=2
x
+1，解得
x
=4，则原分数为
2x2x13< br>3
．
8


13．图2-1是某市的园林规划图，其中草地 占正方形的
36
，竹林占圆形的，正方形和圆
47
形的公共部分是水池．已知 竹林的面积比草地的面积大450平方米．问水池的面积是多少平
方米?

【分析与解】 因为水池是正方形的
11
，是圆的，则正方形是水池的4倍 ，圆是水
47
池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池=450÷3=150平 方米．


14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的
的
1
，唐僧和沙僧共吃了总数
2
1
1
，唐僧和孙悟空共吃了 总数的．那么唐僧吃了总数的几分之几?
3
4
1
11
、唐+沙=、 唐+孙=．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+
3
24
1
1
1< br>111
孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=++=1．则：2唐=，唐=．
24
2
3
41212
【分析与解】 唐+猪=
唐僧吃了总数的


15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1 个零件，但小李每制作3
个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同 完成制作300
个零件的任务，需要多少分钟?
【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整．
因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右；
小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟；
在200分钟左右，19 8分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4=144个零件，并
且刚休息完，所以在2分 钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；
那么在200分钟时，小李、小张共 生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，
1
．
24

所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成．
所以共需202分钟才能完成．
方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个．
则 在44分钟内小李做了：44÷4×3=33个，小张做了：44÷5.5×4=32个，他们一共做
了 ：33+32=65个．
300÷65=4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即： 44×4=176分钟后，还剩下40
个零件没有做完．
而22=4+4+4+4+ 4+2=5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：
4×2 =16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7
个，即这40个零件还需要26分钟．
所以共用时间：44×4+26=202分钟．

第三讲 行程问题（1）


涉及 分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道
路上的行程问题.解 题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点
分段加以考虑．


1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以 按
时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想
按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?
【分析与解】 设甲地到乙地的路程为单位“ 1”,那么按时的往返一次需时间
在从甲到乙花费了时间1÷55＝
2
,现
6 0
1
千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是
55
211
.

605566
即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．



2. 甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小 时后小李驾驶汽车从甲地出
发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每 小时40千米.汽车
速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是 在他出发后
的多少小时?
【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1 .25小时=1小时15分钟,加
上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟．
而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即
2最小时．
以下给出两种解法：

方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后
x
小时,有50×
x
+40×
1

5

, 解得.
2x100
x

3

12

所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后
1
小时.
3
方法二:如果 全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时
40千米的速度行驶 ,需100÷40=2.5小时.
5
12

1
的路程,即依据鸡兔 同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了
2.526
150501
行驶了 100
100
千米的路程,距出发
50
小时.
6333
2.52


3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用 了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10
秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用 多少秒?
【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度- 风速.
有顺风时速度为90÷10=9米秒,逆风速度为70÷10=7米秒．
则无风速度=
顺风速度＋逆风速度
9＋7
=
＝8
米秒
2
2
所以无风的时候跑100米，需100÷8=12.5秒.

1

2
4. 一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往, 汽船在静水中的速度为每小时11
千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3. 5千米.已知A,C两镇水路
相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到 B镇,吃午饭用去1
小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少 千米?
【分析与解】 如下画出示意图，

有A

B段顺水的速度为11+1.5=12.5千米小时,
有B

C段顺水的速度为3.5+1.5=5千米小时．
而从A

C全程的行驶时间为8-1=7小时．
设AB长
x
千米,有
x50x
7
,解得
x
=25．
12.55
所以A,B两镇间的距离是25千米.



5.一条大河有A,B两个港口,水由A流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A
向B行 驶,各自不停地在A,B之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静
水中的速度是 每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算
甲、乙在A处同时开始出 发的那一次)的地点相距40千米,求A,B两个港口之间的距离.

【分析与解】 设AB两地的路程为单位“1”,则：
甲、乙两人在A、B往返航行，均从A点同时同向出发 ,则第
n
次同向相遇时,甲、乙两
人的路程差为2
n
；
甲、乙两人在A、B往返航行,均从A点同时同向出发,则第
n
次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2
n
；
甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相 向出发,则第
n
次同向相遇时,甲、乙
两人的路程差为(2
n
-1) ；

甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相向出发,则第
n
次相向相遇时,甲、乙
两人的路程和为(2
n
-1)．
有甲船的顺水速度为32千米小时,逆水速度为24千米小时，
乙船的顺水速度为24千米小时，逆水速度为16千米小时.
两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差
为“4”.
(一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了2～3个AB长度，乙走了2～1个AB长度，设甲< br>走了2＋
x
个AB的长度,则乙走了2-
x
个AB的长度,有





11x11x11
，解得x
，即第二次迎面相遇的地点距A点AB的距

＝

322 432241633
离.

(二)①第二次甲追上乙时，有甲行走
2yz
(
y
为整数，
z
≤1)个AB的长度，则乙行
走了
2y4z
个AB的长度，有
yyzy2y2z
，化简得
3yz 20
，显然无法满足
y
为整数，
z

＝
322432241624
≤1；

②第二次甲追上乙时，有甲行走
2y1z
(y为整数，
z
≤1)个AB的长度，则乙行走
了
2y3z
个AB的长度，有
y1yzy1y2z

＝

，化简有
3y2z 13
，有
z0.5
，
y4
.
322424241616
即第二次甲追上乙时的地点距B点
11
AB的距离，那么距A也是AB的距离．
22
所以，题中两次相遇点的距离为(

米.


11

1



AB，为40千米，所以AB全 长为240千

23

6

6.甲、乙两船分别在一条河的 A，B两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲
乙两船行了相等的航程,相遇后继续前 进,甲到达B地、乙到达A地后,都立即按原来路线返
航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000 米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相
隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米?
【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到
达B、A两地.接着两船再分别从B、A两地往AB中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船

逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.
有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速.
还有从开始到甲第一次到达B地，乙第一次到达 A地之前,两船在河流中的速度相等.
所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的 ．
甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度- 水速,乙在河流中的速度为:乙静
水速度+水速.它们的速度差为4倍水速．
从第一 次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB的路程,而从返航到第二次相遇两船共
行驶了AB的路程,需 时间80÷2=40分钟．
有4倍水速=
1000


40


1500
,有水速=375米小时=0.375千米小时．
60

即河水的流速为每小时0.375千米．


7 .甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时
间是70分钟 ，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?
【分析与解】 甲行走45分钟，再行走70－45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分
钟，乙行走45分钟也能 走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程．
甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126分钟．
即乙走一圈的时间是126分钟．


8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相 反的
方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前
60米 处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．


【分析与解】 注意观察图 形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完
1
圈的路程，当
2

甲 、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+
13
＝圈的路程．
22
所以从 开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路
程为第一次相遇时行走的 总路程的3倍，即100×3=300米．
有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为
480米．

3
圈，所以此圆形场地的周长为
2

9.甲、乙二人在同一条椭圆形 跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，
每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加 速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的
甲跑第二圈时速度比第一圈提高了
2
.
3
11
；乙跑第二圈时速度提高了．已知沿跑道看从甲、
35
乙两人 第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?
【分析 与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速
度为4，乙跑第二圈的速 度为
12
.
5
3
的跑道长度．
5
如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点
有甲回到出发点时，乙才跑了
的速度跑了
1
2
的跑道长度.在乙接下来跑了跑道的距离时，甲以“4”
3
3< br>12
24
圈．
33
所以还剩下
1
1 2
的跑道长度，甲以4的速度，乙以的速度相对而跑，所以乙跑了
3
5
11 2

12


1
1




4



圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点圈．
8
3

5

5


8

即第一次相遇点与第二次相遇点相差
3119
圈，

5840
19
400
米．
40
所以，这条椭圆形跑道的长度为
190


10.如 图3-2，在400米的环形跑道上，A,B两点相距100米.甲、乙两人分别从A，B两点同
时出发 ，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10
秒钟.那么甲追上 乙需要时间是多少秒?







【分析与解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100÷(5-4)=100秒．
此时甲跑了100×5=500米，乙跑了100×4=400米．
而实际上甲跑500米， 所需的时间为100+4×10=140秒，所以140～150秒时甲都在逆
时针距A点500处．
而乙跑400米所需的时间为100+3×10=130秒，所以130～140秒时乙走在逆 时针距B
点400处．
显然从开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒．

11.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两 点．甲、乙两人分别从A，B两点
同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时， 乙恰好跑到B．如果
以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米 ?
【分析与解】 如
乙相遇点为C.





当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC的路程．
由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A点所需时
间的
下图 ,记甲
1
.
2
1
×400=200(米)，也就是甲跑了200米 时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙
2
即AC=
速度的2倍．
那么甲到达A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后
甲还需 跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l圈400米．
所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．


1 2.如图3-3，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个
墙角出发，甲每秒 钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?

【分析与解】 开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为 13、
所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米．
甲追上乙1 6米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32
米．
甲、乙的位置如右图所示：
显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面
的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．
而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=
2
秒．
3
所以经过16+


22
=16秒后甲第一次看见乙.
33
13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有2 00米路程相
重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向
跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?






【分析与解】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB顺时针的半跑道
上．
易知小跑道AB 逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB的顺、逆
时针路程均是200米．我们将甲、 乙的行程状况分析清楚．
当甲第一次到达B时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处．
而当乙 第一次到达B点时，所需时间为200÷4=50秒,此时甲跑了50×6=300米,在B

点300-200=100米处．
乙跑出小跑道到达A需100÷4=25秒,则甲又跑 了25×6=150米,在A点左边
(100+150)-200=50米处．
所以当甲到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇．
从乙再 次到达A处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共
跑了 50+25+35=110秒．
所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米．


14．如图3-5,正方形ABCD是一条环形公路．已知汽车在AB上时速是9 0千米，在BC
上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米,在DA上的时速是80千米．从C D上
一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇．如果从PC的中点M,同时反
向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点N相遇．问A至N的距离除以N至B的距离所
得到的商是多少?



【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD的边
长为单位“1”.
有甲从P到达AB中点O所需时间为
PDDAAOPD10.5
.

6
乙从P到达AB中点O所需时间为
PCBCBOPD10.5
.

60
有甲、乙同时从P点出发,则在AB的中点O相遇,所以有：
PD1PC1


=

608060120

且有PD=DC- PC=1-PC,代入有
1PC1PC15
,解得PC=.

6080601208
所以PM=MC=
3
5
,DP=.
8
16
现在甲、乙同时从PC的中点出发,相遇在N点,设AN的距离为
x
.
35

x
MDDAAN
816
1
有甲从M到达N点所需时间为


；
608090
6080 90
5
11x
MCCBBN
16
乙从M到达N点所需时间为. < br>

6012090
6012090
355

1x
16
11x
1
1
有
816

，解得
x
.即AN=.

32
32
6
所以AN÷BN




15.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A，B两地 顺时针方
向沿长方形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点 出
发.丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追
上.问三角形BEF的面积为多少平方米?





【分析与解】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．

1311


323231

先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD的路程；再看乙 的情况，乙的速度等于甲的速
度，乙14分钟行走了60+AE的路程，乙20分钟走了60+AD+D F的路程．所以乙10分钟走了
(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程．
有< br>
AD60AE60DF

AD60DF
，有


101410


7

AEED
5

60AE

然后分析丙的情况,丙4分钟, 行了走ED的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,
丁10分钟行走了DF的距离．
有
EDDF
，即5ED＝2DF．

410

ADAE ED60DF

AE87


联立
7

AEED

5

60AE

，解得

ED18


5ED2DF

DF45


于是,得到如下的位置关系：

S
VBEF
S
四边形AB CD
-
S
VABE
S
VEDF
S
VFCB=
60

8718


×87－





1
×60
2
1
1
1845
15

8718

2497.5
(平方米)
2
2

第五讲 质数与和数



与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．

1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句
话是错的．

【分析与解】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、 847、848
分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．
< br>评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意
到(n+1)!+2， (n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、
4、 …、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．

其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．


2、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．

【分析与解】 我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那
么
后一个数即
2或3
与12的和一定也是2或3的倍数，将是合数，所以从5开始
尝试．

有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．

3．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?
【分析与解】 大 于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越
多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数 ，它们的个位应该为1，3，5，7，
9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4 个数．

验证101，102，103，104，105，106，107，108，109 这9个连续的自然数
中101、103、107、109这4个数均是质数．

也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个．



4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用
到并 且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?

【分析与解】要使质数个数 最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7
均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5 个不是质数的数字未用．

有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．

所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．

5．3个质数的倒数之和是

1
1
【分析与解】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为、 、
a
b
1F
，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×b×c，求和得 到的分数为,
cabc
如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间 的积．
1661
，则这3个质数之和为多少?
1986

现在和为
验满足．

所以这3个质数的和为2+3+331=336．

1661
，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=33 1，检
1986


6．已知一个两位数除1477，余数是49．求满足这样条件的所有两位数．

【分析与解】 有1477÷除数=商……49，那么1477-49：除数×商，所以，
除 数×商=1428=2×2×3×7×17．

一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428，有84、51、68
满足．

所以满足题意的两位数有51、68、84．



7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的
分 数从小到大排列，那么第三个分数是多少?

【分析与解】 有140=2×2× 5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均
为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越 小．
有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；
对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；
对应分数从小到大依次为而
17
2451014
、、、、、、、…
140
703528
20
1410
其中第三个最简真分数为．



8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师， 14个教学班．各
班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?

【分析与解】 这个学校最少有35+14×30=455 名师生，最多有
35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．
1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数
为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．

9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，
由此得乘积为18 72．那么原来的乘积是多少?

【分析与解】 1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，

一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．

当为187 2=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以
正确的乘积应该是45×39 =1755．

当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成7 8，所以
正确的乘积应该是75×24=1800．

所以原来的积为1755或1800．



10.已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少?

【分析与解】 2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l，则和的个位
为1或6．

有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数．

它们的差为68-43=25．



11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10
的自然数 ．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，
但是甲的总环数比乙少4环． 求甲、乙的总环数各是多少?

【分析与解】 1764=2×2×3×3×7×7，1764对应为5个小于10的自然数
乘积．
只能是1764=4×3×3×7×7
=2×6×3×7×7
=2×2×9×7×7
=1×6×6×7×7
=1×4×9×7×7 < br>对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1 +6+6+7+7=27，
l+4+9+7+7=28．

对应的和中只有 24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的
5箭环数为1、4、9、7、7．
所以甲的总环数为24，乙的总环数为28．

12．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、
高都是质数，那 么这个长方体的体积是多少?

【分析与解】 如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和
为ac+ab=209．

ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．
当a=1 1时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质
数2，则c+b=2+17;
当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．
所以它们的乘积为11×2×17=374．



13.一个长 方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，
那么这个长方体的表面积是多 少平方厘米?

【分析与解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连 续自然数的乘
积，而34×34×34即
34
3
最接近39270，3927 0的约数中接近或等于34的有35、
34、33，有33×34×35=39270．

所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．

则长方体的表面积为：2×(长 ×宽+宽×高+高×

长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934( 平方厘米)．

方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘 积，考虑质因
数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．

当17与2结合即3 4作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数
7，与34接近的数32～36中，只有35含 有7，于是7与5的乘积作为长方体的
一条边的长度．

而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．

长方体的表面积为2×(
39270
33
+
39270
34
+
39270
)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934 (平方厘米)．
35



14．一个长方体的长、宽、高都是整 数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么
它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?

【分析与解】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越
接近，和越小．如 3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．

1998=2×3×3×3× 37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两
个数应越接近越好．有2×3×3×3= 6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然
数最接近．

它们的和为6+9+37=52(厘米)．

15．如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?

【分析与解】4875=3×5×5×5×13，

有a×b为48 75的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5
这两个数的和为64，所以3 9、25为满足题意的两个数．
那么它们的差为39-25=14．
评注 ：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所
以两个和为64的数的乘积最大为 32×32=1024，而积最小为1×63=63．
而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．
我们再对65，195，325，375，975等一一验证．
严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的
只有39、25这组数．

第六讲 工程问题


多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题．解题时要经常进行工作时间与工作效
率之间的转化．

1．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务 ．如果甲单独加工，便需要12
小时完成．现在甲、乙两人共同生产了2
2
小时后，甲 被调出做其他工作，由乙继续生产了
5
420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?

【分析与解】乙单独加工，每小时加工
1
1
1
－=.
8
12
24
甲调出后，剩下工作乙需做(8—2
420÷

11
284
)×(÷ )=(小时)，所以乙每小时加工零件
824
55
8422
=25个，则2小 时加工2×25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420＝480(个)．
555

2．某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成．如果由甲、乙两人合作，需48天完成．现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?

【分析与解】 由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20
天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天．

所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63÷3×4=84天，
即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程．
现在甲先单独做42天，相 当于乙单独工作42÷3×4=56天，即乙还需单独工作
112—56=56天即可完成这项工程．

3．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在 让3
个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，

乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?

【分析与解】 甲、 乙、丙三个队合修的工作效率为
的工程量为
1111
++=，那么它们6天完成
1012154
13
×6=，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1．
42
所以
31111
－1=是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需÷ =5(天)才能完成的工
222102
程量，所以甲队在6天内撤出了5天．
所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成．


4．一件 工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半．现在
甲、乙两队合做若干天后 ，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少
天?

【分析与解】 甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3
天相当于乙队做2天．
即甲的工作效率是乙的
每段时间应是：
8÷(1+l+

22
，从而乙单独做12×=8(天)完成，所以两段所用时间相等，
33
2
)＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)．
3

5．抄一份书稿 ，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效
率相当甲、乙每天工作效率和的< br>需要多少天才能完成？
1
．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄
5

1
，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两
8
1
1
人每天抄写量 之和，因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的；
8
16
【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的
由于丙抄写 5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的
的
1
，即丙每天抄写书稿
8
11
111
；于是可知乙每天抄写书稿的－－＝.
8
1648
24
48
1
=24天才能完成．
24
所以乙一人单独抄写需要1÷


6．游泳池 有甲、乙、丙三个注水管．如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管
合开需要8小时注满水池； 乙、丙两管合开需要6小时注满水池．那么，单开丙管需要多少
小时注满水池?

【分析与解】 乙管每小时注满水池的
113
-=,
82040
1311
-=.
640120
丙管每小时注满水池的
因此，单开丙管需要1÷

11120
10
==10(小时)．
12011
11

7．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁
两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

【分析与解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是
11
1
、、.
86
12

对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．
即
1
1
111
+－=，所以甲、丁合作的工作效率为．
8
12
62424
所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．


8．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙 、甲两人合做
18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?

【分析与解】 方法一：对于工作效率有：
(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲) =2乙，即
的工作效率为
11
113
+－=为两倍乙的工作效率，所以乙89
1872
21
．
144
而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为
113
1
－＝
9144
48
那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷
1
=48天．
48
11< br>121
＋＋＝，所以(甲，
89
1872
2121
21
乙，丙)=÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．
144144
72
方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝
那么丙单独工作的工作效率为
天．

211
1
－＝，那么 丙一个人来做，完成这项工作需48
1448
48

9．某工程如果 由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干
需要7天才能完成；如果由 第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小队
合干需要42天才能完成．那么这5 个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程?

【分析与解】 由已知条件可得，

对于工作效率有：
(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)．
所以5个小队一起合作时的工作效率为：
（
111
11
＋＋2×＋）÷3＝
8426
127
所以5个小队合作需要6天完成这项工程.
评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.


10．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨
水时，水箱已满 ；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟
注水量是甲管每分钟注水量的 2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水?

【分析与解】 设甲管注入18吨水所需 的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟
注水量的2倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为 “O.5”，所以乙管注入27吨水所需的
时间为27÷18×0.5=0.75.
以下采用两种方法：
方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：

因此18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9吨，所以“1”
=36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水．

所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水．
方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的
3
．
4
再设甲单独灌水的工作效率为“1”，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙=
3
4< br>(2+丙)；所以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合
灌 时，丙也灌了27吨，那么水箱最多可容纳27+27=54吨水．

11.某水池 的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单
独灌满水池分别需要10小 时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排
水管放水，需要6小时将水池中的水放 完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池
中的水放完．问水池中原有水多少立方米?

【分析与解】 甲每小时注水100÷10=10(立方米)，
乙每小时注水100÷15=
设排水管每小时排水量为“排”，
则(“排”－10－
20
(立方米)，
3
20
50
)×3=(“排”－10)，整理得3“排”－3×=“排”－
3
3
10,2“排” =40，则“排”=20．
所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．


12．一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细 的进水管．当打
开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注 满
水池．现在需要在2小时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管?

【分析与解】 记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效
率为“排”，那么有：
4“进”－“排”=
1
1
， 2“进”－“排”=.
5
15

所以有，2“进”=(
1
1211
－)=，那么“进”=，则“排”=.
5
15151515
题中需同时打开x个进水管2小时才能注满，有：
x“进”－“排”=
1111
，即x－=，解得x=8.5
215152
所以至少需打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满．


13．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需 要3
小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现
在池内有
1
池水．如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问经6
过多少时间后水开始溢出水池?

【分析与解】 方法一：甲、乙 、丙、丁四个水管，按顺序各开l小时，共开4小时，池内
灌进的水是全池的
1
111
70
－＋－=.
3
4
56
6
最 优情况为：在完整周期后的1小时内灌满一池水．因为此时为甲管进水时间，且甲的
效率是四条管子中最 大的．
那么在最优情况下：完整周期只需注入1－
11
1
－＝池水．
63
2
所需周期数为
170302
÷＝＝4
26 77
11
77
＋×5=＋＝
6
60
6
12
那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水
3

4
剩下l－
时).
所以，需5个完整周期即20小时，再加上
311
1
3
＝池水未灌满，而完整周期后l小时内为甲注水时间，有÷＝ (小
444
3
4
33
小时，即20小时后水开始溢出．
4 4
方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是

全池的
1
1
11
7
－＋－= .
3
4
56
60
1
717
＋=.
66060
17745
＋×4=，在20小时后，只
606060
加上池内 原有的水，池内有水：
再过四个4小时，也就是20小时后，池内有水：
需要再灌水1 －
451
＝,水就开始溢出．
604

1
1
3333
÷= (小时)，即再开甲管小时，水开始溢出，所以20+= 20(小时)后，水
4
3
4444
开始溢出水池．
方法三：甲 、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是
全池的
1
1
11
7
－＋－＝.
3
4
56
60
一个周 期后，池内有水：
1
71743
＋=,有待注入；
6
606060
177
24
36
3
＋=,即有先待注入；
6060
60
60
5
24
731
29
＋＝，有待注入；
60
6060
60
二个周期后，池内有水：
三个周期后，池内有水：
四个周期后，池内有水：
31738
22
11
＋＝，即有待注入；
606060
60
30
38745151
＋＝，即有待注入．
606060604
五个周期后，池内有水：
11
1
3的水即可，小于甲管1小时注入的水量，所以有÷= (小时)，
44
3
4
333
即再开甲管小时，水开始溢出，所以20+＝20 (小时)后,水开始溢出水池．
444
而此时，只需注入
评注：这道题中要求的是第一次溢出，因为 在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有
时增加有时又减少，所以不能简单的运用周期性来求解，这样 往往会导致错误的解答，至于
为什么?我们给出一个简单的问题，大家在解完这道题就会知晓．
有一口井，深20米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬6米，晚上掉4米，问蜗牛爬出井
需多少时间?

14.一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定 的．当这个水池水满
时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管 ，12小
时可将水池排空．如果打开A，B两管，4小时可将水池排空，那么打开B，C两管，将水池< br>排空需要多少时间?

【分析与解】 设这个水池的容量是“1”
A管每小时排水量是：
1
+每小时渗入水量；
8
B管每小时排水量是：
1
+每小时渗入水量；
10
1
+每小时渗入水量；
12
1
+每小时渗入水量．
4
C管每小时排水量是：
A、B两管每小时排水量是：
1
11
+每小时 渗入水量++每小时渗入水量=+每小时渗入水量，因 此，每小时渗
8
104
11
11
入水量是：－（＋）＝.
8
10
40
4
因为
那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示：

于是打开B、C两管，将水池排空需要
1÷（



11315
＋-）=1÷=4.8（小时）.
81204024

第一讲 循环小数与分数
第二讲 和差倍分问题
第三讲 行程问题
第五讲 质数与合数
第六讲 工程问题
第七讲
第八讲
第九讲
第十讲
第十一讲
第十二讲
第十三讲
第十五讲
第十六讲
第十七讲
第十八讲
第十九讲
第二十讲
第二十一讲
第二十二讲
第二十三讲< br>第二十四讲
第二十五讲
第二十六讲
第二十七讲
牛吃草问题
包含与排除
整数的拆分
逻辑推理
通分与裂项
几何综合
植树问题
余数问题
直线面积
圆与扇形
数列与数表综合
数字迷综合
计数综合
行程与工程
复杂工程问题
运用比例求解行程问题
应用题综合
数论综合2
进位制问题
取整问题

第二十八讲 数论综合3
第二十九讲 数论综合4
第三十讲 几何综合2
第三十一讲 图形变换
第三十二讲 勾股定理
第三十三讲 计数综合
第三十四讲 最值问题
第三十五讲 构造与论证1
第三十六讲 构造与论证2



第一讲 循环小数与分数


循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要
利用运算定律进行简算的问题．





1．真 分数
a
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是
7
1992，那么
a
是多少?
【分析与解】
145
&&&
，
3
=0.
428571
&&&
&
，
2
=0.
285714
&
=0.
142857
，=0.
571428
，=0.
77777

6
&&
．
&&
， =0.
857142714285
7
因此，真分 数
a
化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是
7
1+4+2 +8+5+7=27，
.
a
&
又因为1992÷27=73 ……21,27-21=6，而6=2+4，所以=0.
857142
，即
a
=6．
7
评注：
化．
a
的特殊性，循环节中数字不变， 且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变
7



&&
2．某学生将
1.23
乘以一个数
a
时，把
1.23
误看成 1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则
正确结果该是多少?
&
a
-1 .23
a
=0.3，即：
0.003
&
a
=0.3，所以有 ： 【分析与解】 由题意得：
1.23
33232
111
&
a
=
1.23
&
× 90=1×90=× 90=111．
a
．解得
a
= 90，所以
1.23
9001090
90


&&&
3．计算：
0.1+0.125+0.3+0.16
，结果保留三位小数．
&&&
【分析与解】 方法一：
0.1+0.125+0.3+0.16

≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666
= 0.7359
≈0.736
&&&
方法二：
0.1+0.125+0.3+0.16

11315

98990
111


188

53

72
&
0.7361

≈0.736


&&&&&&
4．计算：
0.010.12 0.230.340.780.89
&&&&&&
【分析与解】 方法一：0.010.120.230.340.780.89
=
11212323 43787898


9



9
216

90
=
=
=2.4
&&&&&&
方法二：
0.010.120.230.340.780. 89
&&&&&&
) =
0+0.1+0.2+0.3+0. 7+0.8+
(
0.010.020.030.040.080.09
&< br> =2.1+
0.01
×(1+2+3+4+8+9)
=2.1+
1
×27
90
=2.1+0.3
=2.4

方法三：如下式，
0.011111…
0.122222．．．
0.233333．．．
0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27)
0.788888．．．
+ 0.899999．．．
2.399997．．．
&
=2.4．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情 况应该是2.399999…=
2.39

&
=评注：
0.9


9
&
=
9

1
． =1 ,
0.0999010
&
&
与
0.179672
&&
相乘，取近似 值，要求保留一百位小数，那么该近5．将循环小数
0.027
似值的最后一位小数是多少?
【分析与解】
&
&
0.027
×
&&
0.17 9672
=
27724856
&&

0.004856< br>99999999937999999999999
循环节有6位，100÷6=16……4，因 此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l位
是5．这样四舍五入后第100位为9．


6. 将下列分数约成最简分数：


66666666664
【分析与解】 找规律：
1166661

,

,

,

,…所以
644664466644666644

1
=
66666666664
4
评注：类似问题还有


7. 将下列算式的计算结果写成带分数：
38538853888538888538888 888885
．
234...
2972997299972999 9729999999997
0.523659

119
【分析与解】


8．计算:7
0.52365 91185915960
==
(1
=58
)
×59=59-
9119
448
÷÷1
83332590935255
448
÷÷1
83332590935255
【分析与解】 7
=
6285


83332193453811
37399 7131993564111


136412119973331993
75

23
=
=
=5

9．计算：
5

6
1111111


828
【分析与解】原式

1111111


854
211111


8128408254




111111


4016508254
11111


208254
1111


14
111


508508254
11


254254
1

127












10．计算：
153

219
< br>(4.853.66.153)

5.51.75(1)


4185

321

【分析与解】 原式=
175719
3.6(4.8516.15)5.5

443421
13519

3.6105.5
412
=
=9+5.5-4.5
=10


11．计算: 41.2×8.1+11×
9
1
+537×0.19
4
【分析与解】 原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125)
=412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125
=412+11×8+11×1.25+19×1.25
=412+88+1.25×30

=500+37.5
=537.5

12．计算：
(9
2255
7)()

7979
656555
)()

7979
5
7
555
)

()13

979
【分析与解】原式=
(
=

13(


13．计算:
123246481271421

1 3526104122072135
123(1
3
2
3
4
3
7
3
)1232

【分析与解】 原式=
135(1
3
2
3
4
3
7
3
)1355

14. (1)已知等式0.126×79 +12
3
3
×□-6÷25=10.08，那么口所代表的数是多少?
5
10
(2)设上题答案为
a
．在算式（1993.81+
a)×○的○内，填入一个适当的一位自然数，
使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多 少?
【分析与解】 (1)设口所代表的数是
x
，0.126×79+1 2
3
3
x
-6÷25=10.08，解得：
5
10
x
=0.03，即口所代表的数是0.03．
(2)设○内所填的数字是
y
，(1993.81+O.03)×
y
=1993.84×
y
，有当
y
为8时
1993.84×
y
=1993.84
×8=15050.94，所以○内所填的数字是8．

15．求下述算式计算结果 的整数部分：
(
1
2
11111
)385
< br>3571113

【分析与解】原式=
(385385385
1
2
1
3
1
5
111
385385 385

71113
≈192.5+128.3+77+55+35+29.6
=517.4
所以原式的整数部分是517．


第二讲 和差倍分问题


各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的 问题．基本的解题方法是将已
知条件用恰当形式写出或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中 要注意单位“1”
的恰当选取．



1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的
多少倍?
【分析与解】 甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的
1
，那么甲数是乙数的8
1
，设这时的甲
100
数为“1”，则乙数为1×8=8，那么原来的 甲数=l×100=100，则甲数是乙数的100÷8=12.5
倍．


2. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和