2018年天津高考数学真题(附答案解析)
验货员-教育调查报告
2018
年天津高考数学真题（附答案解析）
1.
选择题
(
每小题
5
分，满分
40
分
)
：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的
.
A.
B.
C.
D.
2.
A. 6
B. 19
C. 21
D. 45
3.
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入
N
的值为
20
，则输
出
T
的值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
5.
A.
B.
C.
D.
6.
7.
A. A
B. B
C. C
D.
D
8.
A. A
B. B
C. C
D. D
填空题
（本大题共
6
小题，每小题
_
___
分，共
____
分。）
9..
填空题：本大题
共
6
小题，每小题
5
分，共
30
分。
10.
11.
已知正方体的棱长为
1
，除面
分别为点
E
，
F
，
G
，
H
，
M(
如图
)
，则四棱锥
外，该正方体其余各面的中心
的体积为
_
___.
12.
已知圆的圆心为
C
，直线
(
为参数
)
与该圆相交于
A
，
B
两点，则
13.
已知
的面积为
____.
，且，则的最小值为
____.
14.
已知，函数
的取值范围是
____.
若关于的方程恰有
2
个
互异的实数解，则
简答题（综合题）
（本大题共
6
小题，每小题
____
分，共
____
分。）
15..
解答题：本大题共
6
小题，共
80
分
.
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.
（本小题满分
13
分）
在中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c.已知
.
（
I
）求角
B
的大小；
（
II
）设
a=2
，
c=3
，求
b
和
16. (
本小题满分
13
分
)
已知某单位甲、乙、丙三个部门
的员工人数分别为
24
，
16
，
16.
现采用分层抽样的方法从
中抽取
7
人，进行睡眠时间的调查
.
（
I
）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
的值
.
（
II
）若抽出的
7
人中
有
4
人睡眠不足，
3
人睡眠充足，现从这
7
人中随机抽取<
br>3
人做进一
步的身体检查
.
（
i
）用
X<
br>表示抽取的
3
人中睡眠不足的员工人数，求随机变量
X
的分布列与数学
期望；
（
ii
）设
A
为事件“抽取的
3
人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事
件
A
发生的概率
.
17.(
本小题满分
13
分
)
如图，且
AD=2BC
，
，
DA=DC=DG=2.
,<
br>且
EG=AD
，且
CD=2FG
，
（
I
）若
M
为
CF
的中点，
N
为
EG
的中点，求证
：
（
II
）求二面角的正弦值；
；
（
III
）若点
P
在线段
DG
上，且直线
BP
与平面
ADGE
所成的角为
60
°，求线段
DP
的长
.
18.(
本小题满分
13
分
)
设是等比数列，
公比大于
0
，其前
n
项和为
，
（
I
）求<
br>（
II
）设数列
（
i
）求；
和
，
的通项公式；
的前
n
项和为，
，
.
，是等差数列
.
已知
（
ii
）证明
.
19.(
本小题满分
14
分
)
设椭圆坐标为，且
(a>b>0)
的左焦点为
F
，上顶点为
B.
已知椭圆的离心率为
.
，点
A
的
（
I
）求椭圆的方程；
（II
）设直线
l
：与椭圆在第一象限的交点为
P
，且
l
与直线
AB
交于点
Q.
若
(O
为原点
)
，求
k
的值
.
20.(
本小题满分
14
分
)
已知函数
（
I
）求函数
（
II
）若曲线
线平行，证明
在点
，
，其中
a>1.
的单调区间；
处的切线与曲线
；
在点
处的切
（
III
）证明当
切线
.
时，存在直线
l
，使
l
是曲线的切线，也是曲线的
答案
单选题
1. B 2. C 3.
B 4. A 5. D 6. A 7. C 8. A
填空题
9.
4-i
10.
11.
12.
13.
14.
(4,8)
简答题
15.
（
15
）本小题主要考查同角三角
函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正
弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础
知识，考查运算求解能力．满分
13
分．
（Ⅰ）解：在△
ABC<
br>中，由正弦定理
，得
因为，可得
B=
．
，即
，可得，又由
，可得．又
（Ⅱ）解：在△
ABC
中，由余弦定理及
a=2
，
c=3
，
B=
故
b=
．
，有，
由，可得
，
．因为
a
．因此
所以，
16.
（
16
）本小题主要
考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率
加法公式等基础知识．考查运用概
率知识解决简单实际问题的能力．满分
13
分．
（Ⅰ）解：由已知，甲、乙
、丙三个部门的员工人数之比为
3
∶
2
∶
2
，由于采用分层
抽样
的方法从中抽取
7
人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取
3
人，
2
人，
2
人．
（Ⅱ）（
i
）解：随机变量
X
的所有可能取值为
0
，
1
，
2<
br>，
3
．
P
（
X=k
）
=
（
k=0
，
1
，
2
，
3
）．
所以，随机变量
X
的分布列为
随机变量
X
的数学期望．
（
ii
）解：设事件<
br>B
为“抽取的
3
人中，睡眠充足的员工有
1
人，睡眠不足的员
工有
2
人”；
事件
C
为“抽取的
3
人中，睡眠充足
的员工有
2
人，睡眠不足的员工有
1
人”，则
A=B
∪C
，且
B
与
C
互斥，由（
i
）知，
P
(B)=P(X=2)
，
P(C)=P(X=1)
，故
P(A)=P(B∪
C)=P(X=2)+P(X=1)=
．
所以，事件
A
发生的概率为．
17.
（
1
7
）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查
用空间向
量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能
力．满分
13分．
依题意，可以建立以
D
为原点，分别以，，的方向为
x<
br>轴，
y
轴，
z
轴的正方
向的空间直角坐标系（如图），可得<
br>D
（
0
，
0
，
0
），
A
（
2
，
0
，
0
），
B
（
1
，
2
，
0
），
C
（
0
，<
br>2
，
0
），
E
（
2
，
0
，
2
），
F
（
0
，
1
，
2
），
G
（
0
，
0
，
2
），
M（
0
，
0
，
2
）．
，
1
），
N
（
1
，
（Ⅰ）证明
：依题意
的法向量，则
=
（
1
，
CDE
．
=
（
0
，
2
，
0
），
即
=
（
2
，
0
，
2
）．设
n0=
(x
，
y
，
z)
为平面
CDE
不妨令<
br>z=
–
1
，可得
n0=
（
1
，
0<
br>，–
1
）．又
，
1
），可得，又因为直线
MN
平面
CDE
，所以
MN
∥平面
（Ⅱ）解：依题意，可得
=
（–
1
，
0
，
0
），，
=
（0
，–
1
，
2
）．
设
n=
（
x
，
y
，
z
）为平面
BCE
的法向量，
则
得
n=
（
0
，
1
，
1
）．
即
不妨令
z=1
，可
设
m=<
br>（
x
，
y
，
z
）为平面
BCF
的法
向量，则
m=
（
0
，
2
，
1
）．
因此有
cos
n>=
，于是
sin
即
不妨令
z=1
，可得
．
所以，二面角
E
–
BC
–
F
的正弦值为．
（Ⅲ）解：设线段
DP
的长为
h
（
h
∈［
0
，
2
］），则点
P
的坐标为（
0
，
0<
br>，
h
），可得
．
易知，
=
（
0<
br>，
2
，
0
）为平面
ADGE
的一个法向量，故
，
由题意，可得
=sin60
°
=<
br>，解得
h=
∈［
0
，
2
］．
所以线段
18.
的长为
.
（
18
）本小题
主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前
n
项和公式等基础
知识
.
考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力
.
满分
13
分.
（
I
）解：设等比数列
因为，可得
的公比为
q.<
br>由
，故
.
，可得
故
，数列
的通项公式为
由，
可得
.
设等差数列
可得
所以数列
的公差为
d
，由
从而
的通项公式为
（
II
）（
i
）由（
I
），有，故
.
（
ii
）证明：因为
，
所以，
.
19.
（
19
）本
小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方
法研究圆锥曲线的性质．
考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分
14
分．
（Ⅰ）
解：设椭圆的焦距为
2c
，由已知知
可得，，，由
，又由
a2=b2
+c2
，可得
2a=3b
．由已知
，可得
ab=6
，从而<
br>a=3
，
b=2
．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）解：设点
P
的坐标为（
x1
，
y1
），点
Q
的坐标为（
x2
，
y2
）．由已知有
y1
>y2>0
，
故．又因为
，可得
5y1=9y2
．
，而∠
OAB=
，故．由
由方程组消去
x
，可得．易知直线
AB
的方程为
x+y
–
2=0
，由方
程组
消去
x
，可得．由
5y1=9y2
，可得
5
（
k+1
）
=
，解得，或．
，两边平方，整理得
所以，
k
的值为
20.
（
20
）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数<
br>的性质等基础知识和方法
.
考查函数与方程思想、化归思想
.
考查抽象
概括能力、综合分析问
题和解决问题的能力
.
满分
14
分
.
（
I
）解：由已知，
令，解得
x=0.
，的变化情况如下表：
，有
.
由
a>1
，可知当
x
变化时，
所以函数的单调递减区间，单调递增区间为
，可得曲线在点
.
处的切线斜率为（
II
）证明：由
.
由，可得曲线在点处的切线斜率为
.
因为这两条切线平行，故有，即
.
两边取以
a
为底的对数，得，所以
.
（
III
）证明：曲线在点处的切线
l1
：
.
曲线在点处的切线
l2
：
.
要证明当
只需证明当
时，存在直线
l
，使
l
是曲线
时，存在，
的切线，也是曲线
，使得
l1
和
l2
重合
.
的切线，
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得
.
③
因此，只需证明当时，关于
x1
的方程③有实数解
.
设函数
在零点
.
，可知
又
时，
，即要证明当时，函数存
；时，单调递减，
，
即
.
由此可得
大值
因为
.
，故，
在上
单调递增，在
，故存在唯一的
x0
，且
x0>0
，使得，
上
单调递减
.
在处取得极
所以
.
下面证明存在实数
t
，使得
由（
I
）可得，
.
当时，
有
所以存在实数
t
，使得
因此，当时，存在
，使得
.
，
所以，当
时，存在直线
l
，使
l
是曲线的切线，也是曲线的切线
.