华东理工大学分数线-八年级上册数学复习

选修4-4
一、解答题



α
1.

在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为

（为参数），以坐标原

点为极点，以
x
轴的正半轴为极 轴，建立极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程为
ρsin
（
θ +

）
=2


．
（
1
）写出
C
1
的普通方程和
C
2
的直角坐标方程；
（2
）设点
P
在
C
1
上，点
Q
在
C
2
上，求
|PQ|
的最小值及此时
P
的直角坐标．


t
为参数，
a
＞
0
）．在
2.

在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为


（
以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐 标系中，曲线
C
2
：
ρ=4cosθ
．
（Ⅰ）说明
C
1
是哪种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（ Ⅱ）直线
C
3
的极坐标方程为
θ=α
0
，其中
α< br>0
满足
tanα
0
=2
，若曲线
C
1
与
C
2
的公共
点都在
C
3
上，求
a．



3.

在直角坐标系
xOy
中，以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线
C
1
的极坐标方程为
ρcosθ=4
．
（
1
）
M
为曲线
C
1
上的动点，点
P
在线段
OM
上 ，且满足
|OM|
•
|OP|=16
，求点
P
的
轨 迹
C
2
的直角坐标方程；
（
2
）设点
A
的极坐标为（
2
，

），点
B
在曲线
C
2
上，求△
OAB
面积的最大 值．



t
为参数），直线
l
2
的参数
4.

在直角坐标系
xOy
中，直线
l
1
的参数方程为


，（

，（
m
为参数）．设
l
1
与
l
2
的交点为
P
，当
k
变化 时，
P
的轨方程为




迹为曲线
C
．
（
1
）写出
C
的普通方程；
（
2
）以坐 标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
l
3
：
ρ
（
cosθ+sinθ
）
-


=0
，
M
为
l
3
与
C
的交点，求
M
的极 径．



t
为参数）
5.

已知曲线
C
：
+=1
，直线
l
：


（










（Ⅰ）写出曲线
C
的参数方程，直线
l
的普通方程．
（Ⅱ ）过曲线
C
上任意一点
P
作与
l
夹角为
30°的直线，交
l
于点
A
，求
|PA|
的最大
值与 最小值．


第1页，共19页

(t
为参数
),
曲线
C
的极坐标方程为
ρ2cos2θ=1.
6.

已知直线
l
的参数方程为

（
1
）



求曲线
C
的直角坐标方程
.
（
2
）求直线l
被曲线
C
截得的弦长
.








22
7.

将圆
x+y=1
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的
2
倍，得曲线
C
．
（Ⅰ）写出
C
的参数方程；
（Ⅱ）设直线
l
：
2x+y-2=0
与
C
的交点为
P
1
，
P
2
，以坐标原点为极点，
x
轴正半轴
为极轴建立极坐标系，求过线 段
P
1
P
2
的中点且与
l
垂直的直线的极坐标方程 ．









8.

在平面直角坐标系
xOy
中，已知直线
l
的参数方程为

（
t
为参数），直




2
线
l
与抛物线
y=4x
相交于
A
，
B
两点，求线段
AB
的长．







9.

在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
：

（
t
为参数，
t ≠ 0
），其中
0 ≤ α < π
，

在以
O
为极点，
x
轴正半轴为 极轴的极坐标系中，曲线
C
2
：

，
C
3
：



。

(1)
求
C
2
与
C
3
交点的直角坐标；< br>

(2)
若
C
1
与
C
2
相交于点
A
，
C
1
与
C
3
相交于点
B
，求

的最大值。



10.

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与
x
轴的 正半轴重合．直线
l
的



ρsin


＝

，
C
的参数方程为：
(α
为参数
)
．


极坐标方程为：曲线


(1)
写出直线
l
的直角坐标方程；

(2)
求曲线
C
上的点到直线
l
的距离的最大值．



第2页，共19页

（< br>t
为参数）．以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴
l
11 .

已知直线：








建立极坐标系，曲线
C
的坐标方程为
ρ=2cosθ
．
（
1
）将曲线
C
的极坐标方程化为直坐标方程；
B
，求
|MA|
•
|MB|
（
2
）设点
M
的直角坐标为（
5
，


），直线
l
与曲线
C
的交点为
A
，
的值．





α
为参数），以
O
12.

在平面直角坐标系< br>xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为


（
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
2的极坐标方程为
ρcos
（


）
=


t
（
t
∈
R
）．



（
1
）求曲线
C
1
的普通方程及 曲线
C
2
的直角坐标方程；
（
2
）若
π≤α≤2 π
，当曲线
C
1
与曲线
C
2
有两个公共点时，求< br>t
的取值范围．






t
为参数
)
．在以原
xOyl(

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为
13.









点
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆
C
的方程为
ρ
＝
2


sinθ.
(1)
写出直线
l
的普通方程和圆
C
的直角坐标方程；
(2)
若点
P
坐标为
(3
，


)
，圆
C
与直线
l
交于
A
、
B
两 点，求
|PA|
＋
|PB|
的值．








(t
为参数
)
．直线
l
的参数方程为

以原点为极点，
14.

在直角坐标系
xOy
中，





x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙
C
的极坐标方程为
ρ
＝
2


sinθ.

(1)
写出⊙
C
的直角坐标方程；

(2)P
为直 线
l
上一动点，当
P
到圆心
C
的距离最小时，求
P
的直角坐标．






第3页，共19页

15.

已知曲线
C
的 极坐标方程是
ρ
＝
2
，以极点为原点，极轴为
x
轴的正半轴 建立平面


(t
为参数
)
．

直角坐标系，直线
l
的参数方程为






(1)
写出直线
l
与曲线
C
在直角坐 标系下的方程；




(2)
设曲线
C
经过伸缩变换

得到曲线
C
，设曲线
C
上任一点为
M(x
0
，



y
0
)
，求


x
0
＋
y
0
的取值范围．






16.

已知直线
l
的极坐标方程为
ρ(sinθ
＋
cosθ)
＝
1
，曲线C
的参数方程为


(θ
为参数
)
．

(1)
求直线
l
的直角坐标方程；

(2)
设直线
l
与曲线
C
交于
A
，
B
两点，原点为O
，求△
ABO
的面积．




17.

在直角坐标系
xOy
中，圆
C
的参数方程为


x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)
求圆
C
的极坐标方程；

(2)
直线
l
的极坐标方程是
2ρsin


＝
3


，射线
OM
：
θ
＝

与圆
C
的交点为
O
、

P
，与直线
l
的交点为
Q
，求线段
PQ
的长．




(φ
为参数
)
．以
O
为极点，




为参数
)
，以
18.

已知在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
的参数方程为




(θ


Ox
为极轴建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为
ρcos


＝
0.


(1)
写出直线
l的直角坐标方程和圆
C
的普通方程；

(2)
求圆
C
截直线
l
所得的弦长．




第4页，共19页

19.在平面直角坐标系
x Oy
中，曲线
C
1
的参数方程为








(α
为参数
)
，
x
轴的正半轴为极轴，

以
O
为极点，建立极坐标系，

曲线
C< br>2
的极坐标方程为
ρ
＝
4ρsinθ
－
3.

①求曲线
C
1
的普通方程与曲线
C
2
的直角坐标方 程；

②求曲线
C
1
上的点与曲线
C
2
上 的点的距离的最小值．

2





t
为参数
)
．
(
直线
l
的参数方程是
19.

已知曲线
C
的极坐标方程是
ρ
＝< br>2sinθ
，





(1)
将曲线
C
的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)
设直线
l
与
x
轴的交点是
M
，
N
是曲线
C
上一动点，求
|MN|
的最大值．





20.

以坐标原点为极点，以
x
轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
C
的参数方
程为




(t
为参数
)
．




(1)
若曲线
C
在点
(1,1)
处的切 线为
l
，求
l
的极坐标方程；

(2)
若点
A
的极坐标为
，且当参数
t
∈
[0
，
π]
时，过点
A
的直线
m
与曲 线
C
有

两个不同的交点，试求直线
m
的斜率的取值范围．








第5页，共19页

答案和解析

α
为参数），
1.
【答案】 解：（
1
）曲线
C
1
的参数方程为




（

222
移项后两边平方可得
+y=cos
α+sinα=1
，



2
即有椭圆
C
1
：
+y=1
；



曲线
C
2
的极坐标方程为
ρsin
（
θ+

）
=2


，

即有
ρ
（

sinθ+

cosθ
）
=2


，


由
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
，可得
x+y-4=0
，
即有
C
2
的直角坐标方程为直线
x+y-4=0
；
（
2
）由题意可得当直线
x+y-4=0
的平行线与椭圆相切时，
|PQ|
取得最值．
设与直线
x+y-4=0
平行的直线方程为
x+y+t=0
，
4x
2
+6tx+3t
2
-3=0
， 联立






可得
22
由直线与椭圆 相切，可得△
=36t-16
（
3t-3
）
=0
，
2
， 解得
t=±
显然
t=-2
时，
|PQ|
取得最小值，

即有
|PQ|=



=


，

2
此时
4x-12x+9=0
，解得
x=

，
即为
P
（

，

）．
另解：设
P
（


cosα
，
sinα
），
由
P
到直线的距离为
d=
=













，
当
sin
（
α+

）
=1
时，
|PQ|
的最小值为


，
此时可取
α=

，即有
P
（

，

）．
【解析】




（
1
）运用两
边
平方和同角的平方关系，即可得到
C
1
的普通方程，运用
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
，以及两角和的正弦公式，化
简< br>可得
C
2
的直角坐
标
方程；

（
2
）由
题
意可得当直
线
x+y-4=0
的平行
线与
椭圆
相切
时
，
|PQ|
取得最
值
．
设
与
直
线
x+y-4=0
平行的直
线
方程
为
x+y+t=0
，代入
椭圆
方程，运用判
别
式< br>为
0
，
第6页，共19页

求得
t
， 再由平行
线
的距离公式，可得
|PQ|
的最小
值
，解方程可 得
P
的直角坐
标
．

另外：
设
P
（
cosα
，
sinα
），由点到直
线
的距离公式，
结
合
辅
助角公式和正弦
函数的
值
域，即可得到所求最小< br>值
和
P
的坐
标
．

本
题
考
查
参数方程和普通方程的互化、极坐
标
和直角坐
标
的互化， 同
时
考
查
直
线
与
椭圆
的位置关系，主要是 相切，考
查
化
简
整理的运算能力，属于中档
题
．

2
得

（Ⅰ）由


，
2.
【答案】解：

，两式平方相加得，
x+
（
y-1
）
2

=a
2
．
∴
C
1
为以（
0
，< br>1
）为圆心，以
a
为半径的圆．
222
化为一般式：
x+y-2y+1-a=0
．①
22222< br>由
x+y
=ρ
，
y=ρsinθ
，得
ρ-2ρsin θ+1-a=0
；
2
（Ⅱ）
C
2
：
ρ=4cos θ
，两边同时乘
ρ
得
ρ
=4ρcosθ
，
22
∴
x
+y=4x
，②
22
即（
x-2
）
+y=4
．
由
C3
：
θ=α
0
，其中
α
0
满足
tan α
0
=2
，得
y=2x
，
∵曲线
C
1< br>与
C
2
的公共点都在
C
3
上，
∴
y=2x
为圆
C
1
与
C
2
的公共弦所在直线方程，
2
①
-
②得：
4x-2y+1-a=0
，即为
C< br>3
，
2
∴
1-a
=0
，
∴
a=1
（
a
＞
0
）．
【解析】

本
题
考
查
参数方程即
简单曲
线
的极坐
标
方程，考
查
了极坐
标
与 直角坐
标
的互
化，
训练
了两
圆
公共弦所在直
线
方程的求法，考
查
了学生的
计
算能力，培养
了学生分析
问题
与解决
问题
的能力．

（Ⅰ）把曲
线
C
1
的参数方程
变
形，然后两
边
平方作和即可得到普通方程 ，可知
222
曲
线
C
1
是
圆
，化
为
一般式，
结
合
x+y
=ρ
，
y=ρsinθ化
为
极坐
标
方程；

（Ⅱ）化曲
线
C
2
、
C
3
的极坐
标
方程
为
直角坐
标
方程，由条件可知
y=x
为圆
C
1
与
C
2
的公共弦所在直
线
方程，把
C
1
与
C< br>2
的方程作差，
结
合公共弦所在直
线
2
方程
为
y=2x
可得
1-a=0
，
则
a
值
可求 ．


第7页，共19页

3.
【答案】解：（1
）曲线
C
1
的直角坐标方程为：
x=4
，
设
P
（
x
，
y
），
M
（
4
，
y
0
），则




，∴
y
0
=

，
∵
|OM||OP|=16
，

=16
，
∴






22
即（
x+y
）（
1+

）
=16
，





4 22422222
∴
x
+2xy+y=16x
，即（
x+y
）
=16x
，
22
两边开方得：
x+y=4x
，
22
整理得：（
x-2
）
+y=4
（
x≠0
），
22
∴点
P
的轨迹
C
2
的直角坐标方程：（
x-2
）
+y=4
（
x≠0
）．
（
2
）点
A
的直角坐标为
A
（
1
，


），显然点
A
在曲线
C
2
上，
|OA|=2
，
∴曲线
C
2
的圆心（
2
，
0
）到弦
OA
的距离
d=


=


，
∴△
AOB
的最大面积
S=

|OA|
•（
2+


）
=2+


．
【解析】



（
1
）< br>设
P
（
x
，
y
），利用相似得出
M
点坐
标
，根据
|OM|•|OP|=16
列方程化
简
即可；

（
2
）求出曲
线
C
2
的
圆< br>心和半径，得出
B
到
OA
的最大距离，即可得出最大面
积．

本
题
考
查
了极坐
标
方程与直角坐
标
方程的
转
化，
轨
迹方程的求解，直
线
与
圆
的位置关系，属于中档
题
．

t
为参数）， < br>4.
【答案】解：（
1
）∵直线
l
1
的参数方程为< br>

，（
∴消掉参数
t
得：直线
l
1
的普通方程为：
y=k
（
x-2
）①；

，（
m
为参数）， 又直线
l
2
的参数方程为





同理可得，直线
l
2
的普通方程为：
x=-2+ky
②；
2222
联立①②，消去
k
得：
x-y=4
，即
C
的普通方程为
x-y=4
（
x≠2
且
y≠0
）；
（
2
）∵
l
3
的极坐标方程为
ρ
（
cosθ+sinθ
）
-


=0
，
∴其普通方程为：
x+y-


=0
，





，

联立

得：






222
∴
ρ
=x+y=

+

=5
．




∴
l
3< br>与
C
的交点
M
的极径为
ρ=


．
【解析】


解：（
1
）分
别
消掉参数< br>t
与
m
可得直
线
l
1
与直
线
l
2
的普通方程
为
y=k
（
x-2
）
①
与
x=-2+ky
②
；
联
立
①②
，消去< br>k
可得
C
的普通方程
为
x
2
-y
2
=4
；

第8页，共19页

（
2
）将
l
3
的极坐
标
方程
为
ρ
（
c osθ+sinθ
）
-=0
化
为
普通方程：
x+y-=0< br>，再与
曲
线
C
的方程
联
立，可得
．

，即可求得
l
3
与
C
的交点
M
的极径为
ρ=
本
题
考
查
参数方程与极坐
标
方 程化普通方程，考
查
函数与方程思想与等价
转
化思想的运用，属于中档
题
．






5.
【答 案】解：（Ⅰ）对于曲线
C
：
+=1
，可令
x=2cosθ
、
y=3sinθ
，
θ
为参数）． 故曲线
C
的参数方程为


，（
对于直线
l
：，

由①得：
t=x-2
，代入②并整理得：
2x+y-6=0
； （Ⅱ）设曲线
C
上任意一点
P
（
2cosθ
，
3sinθ
）．
P
到直线
l
的距离为




．

则










，其中
α
为锐角．




当
sin
（
θ+α
）
=-1
时，
|PA|
取得最大值，最大值为
当
sin
（
θ+α
）=1
时，
|PA|
取得最小值，最小值为
【解析】

．



．


（Ⅰ）
联
想三角 函数的平方关系可取
x=2cosθ
、
y=3sinθ
得曲
线
C
的参数方程，
直接消掉参数
t
得直
线
l
的普通 方程；

（Ⅱ）
设
曲
线
C
上任意一点
P
（
2cosθ
，
3sinθ
）．由点到直
线
的距离 公式得到
P
到
直
线
l
的距离，除以

进
一步得到
|PA|
，化
积
后由三角函数的范
围
求得
|PA|
的最大
值
与最小
值
．
sin30°本
题
考
查
普通方程与参数方程的互化，
训练
了点到直< br>线
的距离公式，体
现
了
数学
转
化思想方法，是中档< br>题
．

6.
【答案】解
:
（
1
）由
ρ
2
cos2θ=1,
得
ρ
2
(cos
2
θ−sin
2
θ)=1
，…①，
22
将
ρcos θ=x,ρsinθ=y
代入上式中
,
得曲线
C
的普通方程为
x
−y
=1.
第9页，共19页

，消去
t,
得普通方程为
y=


(x−2).
…②， （
2
）由直线
l
的参数方程




2
将②式代入①式中
,
整理得
2x
−12x+13=0
，
设直线
l
与曲线
C
相 交于
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
由韦达定理得














，
又由②式得直线
l
的斜率
k=


，
所以直线
l
被曲线
C
截得的弦长为






























【解析】






.
对
第（
1
）
问
，利用二倍角公式
cos2θ=cos2
θ-sin
2
θ
及极坐
标
与直角坐
标
的
转换
公
式
ρcosθ=x,ρsinθ=y
，即可将曲
线
C
的方程化
为
直角坐
标
方程；

对第（
2
）
问
，将直
线
l
的参数方程化
为
普通方程，
联
立曲
线
C
的方程，消去
y
，
得到一个关于
x
的一元二次方程，根据
韦
达定理得
x1
+x
2
及
x
1
•x
2
的
值
，
结
合
直
线
的斜率
k
，利用弦
长
公式
|AB|=
被曲
线
C
截得的弦
长
．< br>
22
y
）（Ⅰ）在曲线
C
上任意取一点（
x
，，由题意可得点（
x
，

）在圆
x+y=1
7.
【答案】解：
，即可求得直
线
l

上，
（
0≤ θ
＜
2π
，
θ
为参
∴
x
+=1
， 即曲线
C
的方程为
x+=1
，化为参数方程为




2


2



数）．






P< br>1
（
1
，
0
）、
P
2
（
0
，
2
），


，


，不妨设（Ⅱ）由

，可得



则线段
P
1
P
2
的中点坐标为（

，
1
），
再根据与
l
垂直的直线的斜率为

，故所求的直线的方程为
y-1=

（
x-

），即
x-2y+

=0
．
再根据
x=ρcos α
、
y=ρsinα
可得所求的直线的极坐标方程为
ρcosα-2ρsin α+

=0
，
即
ρ=

．
【解析】






22
（Ⅰ）在曲
线
C
上任意取一点（
x
，
y
），再根 据点（
x
，）在
圆
x+y=1
上，求出
C
第10页 ，共19页

的方程，化
为
参数方程．

（Ⅱ）解 方程
组
求得
P
1
、
P
2
的坐
标< br>，可得
线
段
P
1
P
2
的中点坐
标< br>．再根据与
l
垂直
的直
线
的斜率
为
，用点斜 式求得所求的直
线
的方程，再根据
x=ρcosα
、
y=ρsinα
可得所求的直
线
的极坐
标
方程．

本
题
主要考
查
求点的
轨
迹方程的方法，极坐
标
和直角坐
标
的互化，用点斜式
求直
线
的方程，属于中档
题
．




，化为普通方程为
x+y=3
，
8.
【答案】解：直线
l
的参数方程为







与抛物线
y=4x
联立，可得
x-10x+9=0
，
∴交 点
A
（
1
，
2
），
B
（
9
，
-6
），
∴
|AB|=




=8


．
【解析】

22

2
直
线
l
的参数方程化
为
普通方程，与抛物
线y=4x
联
立，求出
A
，
B
的坐
标
， 即
可求
线
段
AB
的
长
．

本< br>题
主要考
查
了直
线
与抛物
线
的位置关系：相 交关系的
应
用，考
查
学生的
计
算能力，属于基
础题
．

9.
【答案】解：（
1
）由曲线
C
2
：
ρ=2sinθ
，化为
ρ
2
=2ρsinθ
，
22
∴
x
+y=2y
．
同理由
C
3
：
ρ=2


cosθ
．可得直角坐标方程：







，





联立













，

解得


，

，



∴
C
2
与
C
3
交点的直角坐标为（
0
，
0），


，

．

（
2
）曲线
C
1
：

（
t
为参数，
t≠0
），化为普通方程：
y=xtanα
，其中
0≤α≤π
，
其极坐标方程为：
θ=α
（
ρ
∈
R
，
ρ≠0
），
∵
A
，
B
都在
C
1
上，
∴
A
（
2sinα
，
α
），
B



，

．
∴
|AB|=



=4



，


第11页，共19页

当



时，
|AB|
取得最大值
4
．
【解析】

本
题
考
查
了极坐
标
方 程化
为
直角坐
标
方程、参数方程化
为
普通方程、曲
线
的
交点、两点之
间
的距离公式、三角函数的
单调
性，考< br>查
了推理能力与
计
算能
力，属于中档
题
．

2
（
1
）由曲
线
C
2
：
ρ=2s inθ
，化
为
ρ
=2ρsinθ
，把代入可得直角坐
标方
程．同理由
C
3
：
ρ=2
的直角坐
标
．

cosθ
．可得直角坐
标
方程，
联
立解出 可得
C
2
与
C
3
交点
（
2
）由曲
线
C
1
的参数方程，消去参数
t
，化
为
普 通方程：
y=xtanα
，其中
0≤α≤π
，
其极坐
标方程
为
：
θ=α
（
ρ
∈
R
，
ρ≠0
），利用
|AB|=

即可得出．

10.【答案】解：（
1
）∵直线
l
的极坐标方程为：







，

∴




，


∴


，




∴



.


（
2
）根据曲线
C
的参数方程为：

（
α
为参数），


22
得（
x-2
）
+y=4
，
它表示一个以（< br>2
，
0
）为圆心，以
2
为半径的圆，
圆心到直线的距离为：











，


∴曲线
C
上的点到直线
l
的距离的最大值



.



【解析】

本
题< br>重点考
查
了直
线
的极坐
标
方程、曲
线
的参数方程、及其之
间
的互化等知
识
.
第12页，共19页 < /p>

（
1
）首先，将利用两角差的正弦公式展开，再由，可得
直线
l
的直角坐
标
方程；

（
2
）首先 ，消去曲
线
C
的参数方程中的参数
α
，得曲
线
C< br>的直角坐
标
方程
.
然后，
根据直
线
与
圆
的位置关系
进
行
转
化求解
.
222
（
1
）∵
ρ=2cosθ
，∴
ρ
=2ρcosθ
， ∴
x
+y=2x
，故它的直角坐标方程为（
x-1
）
11.
【答案】解：
2
+y
2
=1
；




（
t
为参数），普通方程为







，（
5
，


）在直线
2l
（）直线：







l
上，
22
过点
M
作圆的切线，切点为
T
，则
|MT|=
（
5-1
）
+3-1=18
，
2
由切割线定理，可得
|MT|=|MA|
•< br>|MB|=18
．
【解析】


2
（
1< br>）曲
线
的极坐
标
方程即
ρ
=2ρcosθ
， 根据极坐
标
和直角坐
标
的互化公式得
x
2
+y2
=2x
，即得它的直角坐
标
方程；

（
2
）直
线
l
的方程化
为
普通方程，利用切割
线
定理可得
结论
．

本
题
主要考
查
把极坐
标
方程化
为
直角坐
标
方程的方法，属于基
础题．




，
12.
【答案】解：（
1
）由


，得
22
两式平方相加得：（
x-1
）
+
（
y-1
）
=1
；


由
ρcos
（


）
=

t
，得




，


∴






，即
x+y=t
；

22
（
2< br>）由
π≤α≤2π
，得曲线
C
1
：（
x-1
）
+
（
y-1
）
=1
（
y≤0
）．
作出曲线
C
1
与曲线
C
2
的图象如图：


由图可知，当曲线
C
1
与曲线
C
2
有两 个公共点时，实数
t
的取值范围为（



，
-1]
．
【解析】

第13页，共19页

（
1
）把已知参数方程移向平方即可得到普通方程，展开两 角差的余弦，
结
合
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
求得曲
线
C
2
的直角坐
标
方程；

（
2
）画出两曲
线
的
图
形，数形
结
合即可求得
t
的取
值
范
围
．

本
题
考查简单
曲
线
的极坐
标
方程，考
查
参数方程与普 通方程的互化，考
查
数
形
结
合的解
题
思想方法，是 中档
题
．



得直线
l
的普 通方程为
x
＋
y
－
3
－


＝
0.
13.
【答案】解：
(1)
由








又由
ρ
＝
2


sinθ
，得圆
C
的直角坐标方程为
x
＋
y
－
2


y
＝
0
，
22
即
x
＋
(y
－


)
＝
5.
(2)
把直线
l
的参数方程代入圆
C
的直角坐标方程，
得




＋



＝
5
，

22
22



即
t
－
3


t
＋
4
＝
0.
4
＝
2>0
， 由于
Δ
＝
(3


)2
－
4×
故 可设
t
1
、
t
2
是上述方程的两实数根，
t
2
＝
4.
所以
t
1
＋
t
2
＝
3


，
t
1
·
又直线
l
过点
P(3,


)
，
A
、
B
两点对应的参数分别为< br>t
1
、
t
2
，
所以
|PA|
＋< br>|PB|
＝
|t
1
|
＋
|t
2
|< br>＝
t
1
＋
t
2
＝
3


.
【解析】

2
本
题
考
查
极坐
标
与参数方程的
综
合，解决
问题
的关
键
是 ：

（
1
）先利用两方程相加，消去参数
t
即可得到
l
的普通方程，再利用直角坐
标
与
222
极坐
标间
的关系，即利用
ρcosθ=x
，
ρsinθ=y
，
ρ=x+y< br>，
进
行代
换
即得
圆
C
的
直角坐标
方程；

（
2
）把直
线
l
的参数 方程代入
圆
C
的直角坐
标
方程，利用参数的几何意
义
，求
|PA|+|PB|
的
值
．

14.
【答案】解：
(1)
由



，得





，

从而有







,

所以







.

(2)
设
P







，


又



，

第14页，共19页

则















，




故当
t=0
时，
|PC|
取得最小值，

此时，
P
点的直角坐标为
(3
，
0).


【解析】

本
题
考
查
了参数方程化
为普通方程、极坐
标
方程化
为
平面直角坐
标
方程、两点
间
的距离公式，本
题难
度不大，属于基
础题
．

（
1
）利用
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
将曲
线
C
转
化
为
普通方程；

（
2
）
设
出
P
点的坐
标
，利用两点
间
的距离公式求出关于
t
的式子，再得到本
题结论
．





（
t
为参数）消去参数可得直线
l< br>的普通方程为：
15.
【答案】解：（
1
）由








x+y-2


-1=0
22
由
ρ=2
，两端平方可得：曲线
C
的直角坐标方程为
x+y=4
；




2


（
2
）曲线
C
经过伸缩变换

得到曲线
C
的方程为
x+=4
，









即
+=1
又点
M
在曲线
C
上，则


（
θ
为参数）




代入


x
0
+

y
0
得：


x
0
+

y
0
得
=


•
2cosθ+

•
4sinθ=2


2osθ+2sinθ=4sin
（
θ+

），
所以


x
0
+

y
0
的取值范围是
[-4
，
4].
【解析】




本
题
考
查
参数方程化普通方程，考
查
三角函数恒等
变换
的
应
用，属于中档
题
．

（
1
）由（
t
为参数）消去参数可得直
线
l
的普通方程，由
ρ=2
，两端
平方可得曲
线
C
的直角坐
标
方程；

（
2
）
设
曲
线
C
经过
伸
缩变换
方程 ，
则
2
得到曲
线
C′
的方程
为
x+=4< br>，化
为
参数
（
θ
为
参数）代入
+
即 可求得取
值
范
围
．

16.
【答案】解：（
1
）直线的直角坐标方程为：
x+y-1=0
；

（
2
）原点到直线的距离


，

第15页，共19页

t
为参数）
,
直线参数方程为：

（






曲线
C
的直角坐标方程为：






，




联立得：





，求得





所以

△




.
【解析】




本
题
主要考
查
直
线被
圆
所截得的弦
长问题
，利用直
线
的参数方程中参数的 几
何意
义

直
线
的参数方程中参数的几何意
义表示
P
0
P
有向
线
段的数量
.
（< br>1
）由
y=ρsinθ,x=ρcosθ
得直
线
的直角坐标
方程；

（
2
）把（
t
为
参数）< br>,
代入曲
线
C
的直角坐
标
方程
为
： ，
利用参数的几何意
义
得
|AB|,
进
而得面
积< br>.
17.
【答案】解：（
1
）圆
C
的参数方程为



，（
φ
为参数），
则
cosφ=x-1
，
sinφ=y
，
2222
∵
sin
φ+cosφ=1
，可得（
x-1
）
+y=1，
22
即圆
C
的普通方程为（
x-1
）
+y =1
，
又∵
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
，
∴圆
C
的极坐标方程为
ρ=2cosθ
；



ρ
1
＝
1
，
θ
1
＝

， （
2
）设
P(ρ
1
，
θ
1
)
，则 由

解得








ρ
2
＝
3
，
θ
2
＝

， 设
Q(ρ
2
，
θ
2
)
，则由

解得



∴
|PQ|=|ρ
1
-ρ< br>2
|
＝
2
．
【解析】

本
题考
查
点的极坐
标
和直角坐
标
的互化，以及利用平面几何 知
识
解决
问
题
．利用直角坐
标
与极坐
标间
的关系．

22
（
1
）根据
sin
φ+c osφ=1
，消去直
线
l
的参数可得普通方程；又
x=ρcosθ< br>，
y=ρsinθ
，
可得极坐
标
方程；

第16页，共19页

（
2
）
设
（
ρ
1
，
θ
1
）
为
点
P
的极坐标
，
设
（
ρ
2
，
θ
2
）为
点
Q
的极坐
标
，利用
|PQ|=|ρ
1-ρ
2
|
即可得出
线
段
PQ
的
长．

18.
【答案】解：（
1
）消去参数
θ
， 得圆
C
的普通方程为







．
由


，
得


，


∴
直线 的直角坐标方程为


．
（
2
）圆心



，
到直线
的距离为















．
设圆
C
直线
l
所得弦长为
m
，则










，
∴



．
【解析】

本
题
考
查
点的极坐
标
和直角坐
标
的互化，能在极坐
标
系中用极坐
标
刻画点的位置，体会在极坐
标
系和平面直角坐
标
系中刻画点的位置的区
别
，能
进
行极
坐
标
和直角坐
标
的互化．
（
1
）先利用三角函数中的平方关系消去参数
θ
即可得到圆
C
的普通方程，再利
用三角函数的和角公式展开直
线
l
的极坐
标
方程的左式利用直角坐
标
与极坐
标间
的关系，即 利用
ρcosθ=x
，
ρsinθ=y
，
ρ
2
=x
2
+y
2
，
进
行代
换
即得直
线< br>l
的直角
坐
标
方程．

（
2
）先在 直角坐
标
系中算出
圆
心到直
线
l
的距离
d
，再利用
圆
心距、半径、
d
之
间
的关系求出
圆
C
截直
线
l
所得的弦
长
即可．


19.
【答案】解
:(1)
①
x
2
＝







2
＝
( sinα
＋
cosα)
2
＝
sin2α
＋
1
＝
y
，
2
所以
C
1
的普通方程为
y
＝
x. 22222
将
ρ
＝
x
＋
y
，
ρsin θ
＝
y
代入
C
2
的方程得
x
＋
y
＝
4y
－
3
，
22
所以
C
2< br>的直角坐标方程为
x
＋
y
－
4y
＋
3
＝
0.
2222
②将
x
＋
y
－
4y< br>＋
3
＝
0
变形为
x
＋
(y
－
2)
＝
1
，它的圆心为
C(0,2)
．
设
P( x
0
，
y
0
)
为
C
1
上任意一点 ，则
y
0
＝
x



，
22222



从而
|PC|
＝
(x
0
－
0)
＋
(y
0
－
2)
＝x


所以当
x



＋
(x


－
2)
＝
x


－
3x


＋
4
＝




＋

，

＝






|PC|
时，
min
＝
-1
，

故曲线
C
1
上的点与曲线
C
2
上的点的距离的最小值为

－
1.


【解析】

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(1)
本
题
考
查的是曲
线
的极坐
标
与直
线
的参数方程
. 2
①
x
＝
22222
＝
y
，所以
C< br>1
的普通方程
为
y
＝
x.
将
ρ
＝< br>x
＋
y
，
ρsinθ
＝
y
代入
C< br>2
的方程得
x
2
＋
y
2
＝
4y－
3
即可
.
②
将
x
＋
y
－
4y
＋
3
＝
0
变
形
为
x
＋
(y
－
2)
＝
1
，它的
圆
心
为
C(0,2)
．
设
P(x
0
，
y
0
)
为
C
1
上任意一点，
则
y
0
＝
x
，从而
|PC|
2
可求得，
|PC|
min
＝
20.
【答案】解：
(1)
曲
C
的极坐标方程可化为：ρ
2
=2ρsinθ
，
222
又
x+y
=ρ
，
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
．
22
所以，曲
C
的直角坐标方程为：
x+y-2y=0
．
2222
-1.
(2)
将直线
L
的参数方程化为直角坐标方程得：


．

令
y=0
得
x=2
即
M
点 的坐标为
(2
，
0)
又曲线
C
为圆，圆
C
的圆心坐标为
(0
，
1)
半径

则



，∴



．
【解析】


(1)
极坐
标
直接化
为直角坐
标
，可求
结
果．

(2)
直
线
的参数方程化
为
直角坐
标
方程，求出
M
，
转
化
为
两点的距离来求最
值
．




22
，∴
x+y=2
，



点
C
（
1
，
1
）在圆上，
故切线
l
方程为
x+y=2
∴
ρsinθ+ρcosθ=2
，
21.
【答案】解：（
1
）

切线
l
的极坐标方程：





；
22
（
2
）
y=k
（
x- 2
）
+2
与半圆
x+y=2
（
y≥0
）相切时





，
2
∴
k
-4k+1=0
，∴



，



（舍去），


A
（
2


，

），即
A
（
2
，
2
），
设点
B
（



，
0
），
K
AB
=



=



，
故直线
m
的斜率的取值范围为（
2-


，



]
．
【解析】



本
题
考
查
直
线
与
圆
的 位置关系，极坐
标
方程以及参数方程的求法与
应
用，考
查
分 析
问题
解决
问题
的能力．

（
1
）化简
参数方程
为
普通方程，判断曲
线
C
与点（
1
，
1
）的位置关系，求出切
线
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的普通方程，然后化
为
l
的极坐
标
方程；

（
2
）求出点
A
的极坐
标为
（
2
，）， 参数
t
∈
[0
，
π]
时
的直
线
方 程，判断直
线
与
圆
的位置关系，通
过
相切，求直
线
m
的斜率的取
值
范
围
．



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