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第五章 一元一次方程复习指导
一 复习目标：
掌握等式、方程、一元一次方程 以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形在解方程时
的作用。
1． 会解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法的一般步骤，并能正确灵活地加以运用。
2． 能以一元 一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，求解方程、所根据问
题的实际意义检验所得结果 是否合理。
3． 在经历“问题情境－－－建立数学模型－－－解释、应用与拓展”的过程中体会一元 一
次方程在数学应用中的价值。培养运用数学知识，去分析解决实际问题的能力，提高创
新能力 。
二 知识结构网络:


三、重点难点

本章的重点难点是一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题。 准确熟练地解
一元一次方程，关键在于正确理解等式的两个基本性质，列方程解应用题，关键在于正确地
分析题中的数量关系，找出能够表达题意的相等关系。
四、点击中考
纵观历年中考 对有关一元一次方程知识的考查，着重在其概念和解法以及列一元
一次方程解应用题考查的内容都是一些 基础知识，适合全体学生，因此，复习应贴近课本注
重基础知识的训练与巩固。
五 、基础知识点精要
（一） 概念
1、 等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。
2、 方程 : 含有末知数的等式叫做方能，一个式子只有同时具备下面的两个条件时，
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它才是方程。即：（1）是等式，（2）含有未知数这两个条件缺一不可。
3、 一元一次方程
在一个方程中，只含有一个末知数x（元）并且末知数的次数是1（次），系数不等于0 ，
这样的方程叫一元一次方程。应特别注意：（1）把ax=b（a≠0）叫做一元一次方程的
最简形式。ax十b=0（其中x是末知数，a、b是己知数，且a≠0）叫做一元一次方程
的标准形式 。（2）判断一个具体的方程是否是一元一次方程特别要注意两个方面：一要
看是否是一元一次方程特别 要注意两个方面：一要看是否是整式方程，二是要看这个方
程化简后是不是一元一次方程的最简形式。即 ax=b（a≠0）若该方程是整式方程且化
1
2
；3x=3x十2
x10.01x2
4x1
是一元等都不是一元一次方程，而方程x2－2=x十2x（ 3＋x）；
20.2
简是最简形式。则是一元一次方程，否则不是。例如方程x－2=x，2
一次方程。
4.与方程有关的一些概念
（1） 方程的解：使方程左、右两边相等的末知数的值叫方程的解
（2） 解方程：求方程解的过程。 对这两个概念必须注意它们之间的区别：方程的的解是演箅的结果，即求出的适合方程
的末知数的值 ；解方程是求方程的解的演算过程。
（二）、规律
1、 等式的基本性质
（1） 等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是
等式。
（2） 等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得的结果仍
是等式。
等式还具有其它一些性质比较常用的有：
（1） 对称性：若a=b则b=a，即等式的左右两边交换位置所得结果仍是等式
（2） 传递性：若a=b且b=c，那么a=c，这一性质也叫做等式代换。
2、移项 方程中的任何 一项，都可以在改变符号之后，从方程的左边移到另一边，
这种变形叫做移项。移项的依据是等式的性质 1。在进行移项时，应注意（1）移项必须从
左边移到右边，或从右边移到左边，（2）移项一定要改变 符号，但不移的项不要改变符号。
2、 解一元一次方程的一般步骤
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解一元一次方程，一般要通过去分母 ，去括号、移项、合并同类项、化末知数的系数为
1等步骤。把一元一次方程转化成x=a的形式。 < br>在具体解某个方程时，上面的步骤可能用不到，也不一定必须按这些步骤进行，要根据
方程的具体 特点，灵活地安排求解岢步骤，.熟练后，，有些步骤也可以合并简化进行。
3、 列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1） 审：即审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系。
（2） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。
（3） 设：设末知数，
（4） 列：根据相等关系列出方程，列方程时要注意方程两边应是同一类量，并
且单位要统一，
（5） 解：解所列出的方程，求出末知数的值。
（6） 答：检验所求解是否符合题意，写 出答案。（对于实际问题求得的解，还要
看是否符合实际意义，再写“答”）。
六、思想方法总结
1、 方程的思想：方程的思想就是把末知数看成已知数，让代替未知数的 字母
和已知数一样参与运算，这是一种很重要的数学思想，很多问题都能归结
为方程来处理。
2、 数形结合的思想：数形结合的思想是指在研究问题的过程中，由数思形，
由形思数，把数 和形结合起来分析问题的思想方法。本章在列方程解应用
题时常采用画图，列表格的方法展示数量关系。 使问题更形象、直观。
3、 “化归思想”：所谓化归思想，是指在如解数学问题时，如果对当前的问
题感到困惑，可把它先进行交换，使之筒化，并得到解决的思维方法。如
本章解方程的过程，就 是把形式比较复杂的方程，逐步化简为最简方程
ax=b(a=0)，从而求出方程的解，通过对解一元 一次方程的学习要体会并
掌据化归这一数学思想方法。
七、易错点突破
1、 应用等式的基本性质时出现错误
例1、 下列说法正确的是（ ）
A在等式ab=ac中，两边都除以a，可得b=c
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B在等式a=b两边都除以c+1可得
2< br>a
c
2

1c
b
2

1
C在等式
bc

两边都除以a，可得b=c
aa
D在等式2x=2a一b两边都除以2，可得x=a一b
剖析：A中a代表任意 数，当a≠0时结论成立；但当a=0时，不能运用等式的性质（2）结
论不一定成立，如0·3=0· （－1）但3≠－1，所以，等式两边同时除以一个数，要保证除
数不为0才能行。B中c+1≠0所以 成立C用的性质错误，应在等式两边都乘以a，D中一b
这一项没除以2，应为x=a－
2b
选B
2
2、 去分母去括号时出现漏乘现象或出现符号错误；移项不变号，错把解方程的过程写成“连
等”的形式。
3x2x6
2

55
3x2x6
2
错解：=3x-2+10=x+6=2x=－2=x=－1
55
例2、 解方程
剖析：错解的原因是对方程的变形理解不深，受到代数式运算时使用连等式的习惯
影响。
正解：去分母得3x-2+10=x+6
移项合并同类项得2x=－2,所以x=－1
3、列方程解应用题时常出现的错误
（1） 审题不清，没有弄请各个量所表示的意义
（2） 列方程出现错误
（3） 应用公式错误
（4） 单住不统一
（5） 计算方法出现错误。
八、常见考点例析
（一）考查一元一次方程的概念
例1、巳知方程

3m2

x
n

1
0
是关于x的一元一次方程，试确定m、n的值？
2
分析：由一元一次方 程的定义可知其标准形式
axb0
中
a0
且末知数的指数是1，
从而可求出m、n的值。
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解：由题意，得
3m20
且
n1
故
m

（二） 考查一元一次方程的解法
2
，
n1

3解一元一次方程是以后学习一次方程组，一元一次不等式以一元二次方程的基础。
解的方法要灵活， 得讲究技巧。
例1、 解方程：
0.1x0.2x1
3

0.020.5
分析：本例的常规解法是化分母中的小数为整数，但考虑分母中的0.02和0.5分别 有0.02
×50=0.5×2=1，这样可对两个分子、分母分别乘以50和2，即原方程变为：5x －10－2x－
2=3,使去分母和化系数为整数一气呵成。
解略。
例2、 解方程
3

4

1


72x

x1

8



4

3

4


33
分析：由题目中的括号及数字特点可考虑先去 中括号。
解：去中括号得：
172x172x
x16
即
x 5

433
433
去分母得3x十60=28十8x
移项得3x－8x=28一60
合并同类项得－5x=一32
系数化为1得x=
32

5
说明：本题选择了由外向内去括号可一次 性去掉中括号和小括号，既简化了解题过程，又可
避开了一些常见错误的发生。
（三） 考查列一元一次方程解应用题
上面己介绍了列一元一次方程解应用题的一般步骤，要做到熟练准确地解 应用题应
该掌握以下常见题的类型和特点。
（1）数字问题
在解 决这类问题时，（1）要注意设未知数的技巧，例如，五个连续自然数可设中间
一个为x，这五个自然数 依次是x－2，x－1，x，x十1，x十2（2）要记住用字母表示一个
多位数的方法，例如一个三位 数，百位上的数字是x，十位上的数字是y，个位上数字是z，
那么这个三住数是100x＋10y十z 。
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3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ < br>例3、有一个三位数，它的十位上的数比百位上的数大2，个位上的数比百位数的5倍，如
果将百 位上的数与个位上的数对调，那么所成的新数比原数大396，求原来的三位数。
分析：本题的一个相 等关系是：对调位置后所成的三位数－原三位数=396，为利用这一等量
关系列出方程，关键在如何用 x分别表示原三位数中的百位、十位、个位上的数。不妨设十
位上的数为x，则可列下表：
左边
设十位上的数为x，那么百位上的数为x一2，个位上的数为5（x一
2）这个 三位数为100（x一2）＋10x十5（x－2）对调百位上的数与
个位上的数所成新的三位数为10 0×（x－2）＋10x＋（x一2）它们
的差为〖100×5（x－2）＋10x＋（x－2）〗－〖 100（x一2）＋10x
十5（x－2）〗

解：设十位上的数为x，那么百位上 的数为x一2，个位上的数为5（x一2）根据题意列方
程：〖100×5（x－2）＋10x＋（x－ 2）〗－〖100（x一2）＋10x十5（x－2）〗=396
解这个方程得x=3
所以x一2=1，5（x一2）=5
答：原来的三位数是135
（2）、等积变形问题
解这类问题是以“形状改变而体积不变”为前提，基本相等关系是：变 形前的体积=
变形后的体积。不管形状怎样变化，只要抓住这一基本相等关系，问题就简单化。
例4、有一位工人师傅要锻适底面直径为40cm的“矮胖”型圆柱，可他手上只有底面直径
是10c m高为80cm的“瘦长”型圆柱试帮助这位师傅求出“矮胖”型圆柱的高？
分析：圆柱的形状由“瘦 长”变成“矮胖”，底面直径和高度都发生了变化，在不计损牦的
情况下不变量是它们的体积，抓住这一 不变量，就得到相等关系。
锻造前的体积=锻造后的体积，故可列方程如解。
解设锻造成“矮胖型”圆柱的高为xcm，根据题意得：
右边
396

·5
2
·80=

·20
2
·x解得x=5cm
答：“矮胖”型圆柱的高为5cm。
（3） 打折销售问题
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在这类问题中，有几个概念要澄清：
成本价标价是不同的，标价往往比成本价高许多，商家一般是把成本价按一定比例提
高后作为标 价，为了吸引顾客购买，又打出“几折”销售，所谓几折就是按标价的百分之几
十卖出，如8折，就是按 标价的80%销售，实际上只要标价比成本价高的多，即使打折销售
商家仍然有利可赚。
这类问题的基本等量关系是：商品的利润=商品的售价－商品的成本价。
例5、某商场出售某 种皮鞋，按成本加五成作为售价，后因季节性原因，按原售价的七五折
降价出售，降价后的新售价是每双 63元，问：这批皮鞋每双的成本是多少元？按降价后的
新售价每双还可嫌多少元？
分析：根据题意有：


于是有（1＋50%）x·75%=63解得x=56元
答案：每双皮鞋的成本为56元，每双可嫌7元。

（4）“鸡兔同笼”问题 我国古代著名的“鸡兔同笼”即己知鸡兔的总头数和总脚数求其中鸡免各有多少只的
问题。解答这类 应用题可根据“鸡的头数十兔的头数=总头数”或“鸡一共的脚数＋兔一共
的脚数=总脚数”列方程来解 答。下面举例说明用方程解此类问题的优点。
例6大和尚和小和尚共100人分吃100个馒头，己知 大和尚每人吃3个，小和尚3人合吃1
个，求大和尚和小和尚各有几人？
析解：设大和尚x人 ，则小和尚为（100－x）人这样有3x＋
∴9x＋100－x=300，∴8x=200
即x=25（人）„„„„大和尚人数，
100－x=75人„„„„小和尚人数
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100x
=100
3

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这里还可以以人数列等式请同学们自己解答。这种解 法的最大便利之处在于把未知量当己知
量，只要把易知的等量关系，写出求解即可。
5.行程问题
这类问题研究在匀速运动条件下的路程、速度、和时间三个量之间的关系。
这里包含一个固有的相等关系：路程=速度×时间

例7甲骑摩托车、乙骑自行车同 时从相矩250千米的两地相向而行，经过5小时相遇，已知
甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶的路程 的3倍少6千来，求乙骑自行车的速度？
分析：本题有这样一个相等关系：摩托车行驶的路程＋自行车 行驶的路程=两地距离。不妨
设自行车的速度为每小时x千米，则可列下表：
左边
自行车的速度为x千米小时，摩托车
的速度为（3x－6千米小时，5小时
相遇，其中：自行车 行驶5x千米，摩
托车行驶5（3x－6）千米
于是根据左右两边相等可列出方程来求解。
解：设自行车的速度为x千米小时，摩托车的速度为（3x－6）千米小时根据题意列方程：
5（3x－6）＋5x=250
解这个方程得x=14
答：乙骑自行车的速度每小时14千米。
6、利息类应用题
这类应用题的基本关系是：本金×利率×期数=利息 本金十利息=本息和
例8 王老师在银行里用定期一年整存整取的方式储蓄人民币6000元，到期得到税前
本息和6120元，请 你求出这笔储蓄的月利率（不计复利，即每月利息不重计息）。
分析：根据税前本息和与利浒的关系，有：
利息=本金×利率×期数，本息和=本金＋利息
解：设这笔储蓄的月利率是X元，那幺存了一年是12个月，根据题意，得6000＋600×12×x=6120，解之得x≈0.001667=0.1667%
答：这笔储蓄的月利率是0.1667%
右边
两地相矩的250千来
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例9 为了准备给小明6年后上大学的学费10000元，他的父母现在就准备参加教育储蓄，
下面有两种储蓄方式：（1）先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存下一个3年期，（2）
直接存 一个6年期的，其中一年期的教育储蓄年利率为2.25%，三年的利率为2.70%，六年
的年利率为 2.88%那么你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？（不计复利，即每年的
利息不计重息）
析解：设开始存入x元，如果按照第一种储蓄方式，则
本金元 利息元
x×2.70%×3
1.081x×2.70%×3
本息和元
x（1十2.70%×3）=1.081x
1.081x×（1十2.70%×3）
第1个3年期 x
第2个3年期 1.081x
第1个3年期后，本息和为x（1 十2.70%×3）=1.081x。第2个3年期后，本息和要达到
10000元，由此可得1.08 1x×（1十2.70%×3）=10000,即1.168561x=10000,x≈8558
这 就是说开始大约存8560元，3年期满后将本息和再存一个3年期，6年后本息和能达到
10000元 。如果按第2种储蓄方法，本金x元，利息x×2.88%×6，本息和为x（1＋2.88%
×6）由 此可列方程x（1＋2.88%×6）=10000，解之得x≈8527，因为8527<8558，所以按< br>第2种方式开始存入的本金少。

九：注意事项
1检验某数是否为巳知方程的解时应看方程左右两边是否相等，如果不等则某数就不是
方程的解
2、 在解具体方程时应灵活运用解一元一次方程的一般步骤，决不能生搬硬套，同时应根据
方 程的结构特点，注意技巧的运用。
3、 解应用题时，应根据题意灵活设元，注意检验方程的解是否符合实际意义，注意设与答
时单位的准确性。





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