小学奥数 数论 数字谜综合 最值的数字谜(二).题库版
油菜花的作文300字-闭幕式致辞
5-1-2-5.最值中的数字谜(二)
教学目标
1. 掌握最值中的数字谜的技巧
2.
能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题
知识点拨
数字谜中的最值问题常用分析方法
1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜
.横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察,有些时候也可以
转化为竖式数字谜;
2.
竖式数字谜通常有如下突破口:末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等.
3. 数字谜的
常用分析方法有:个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、
分解质因
数法、奇偶分析法等.
4. 除了数字谜问题常用的分析方法外,还会经常采用比较法,通过比较算式
计算过程的各步骤,得到所求的
最值的可能值,再验证能否取到这个最值.
5. 数字谜问题
往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、
方程、估算
、找规律等题型。
例题精讲
模块一、横式数字谜
【例 1】 在下面的算式
□
中填入四个运算符号
、<
br>
、
、
、(每个符号只填一次),则计算结果最大是_______.
1□2□3□4□5
【考点】混合计算中的数字谜
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】<
br>2007
年,希望杯,第五届,六年级,初赛,第
3
题,
6
分
【解析】 为了得到最大结果必须用“×”连接4和5,那么4和5前边一定是“+”,通过
尝试得到:
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1
1234520
.
3
1
【答案】
20
3
11111
【例 2】
将+,-,×,÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。
□□□□
23456
【考点】混合计算中的数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2001年,第8届,华杯赛,初赛,第9题
【解析】
题目给
出
5
个数,乘、除之后成
3
个数,其中减数应尽量小,由两个数合成(相乘或
相除)的加数
与另一个分数相加应尽量大,
,
其中最小的是
所以
【答
案】最大
,
,而
最大
,
;而
,
,
,
,
,
,
;
,
,
;
【例 3】 将1、3、5、7、9填入等号左
边的5个方框中,2、4、6、8填入等号右边的4个方框中,使等式
成立,且等号两边的计算结果都是
自然数.这个结果最大为 .
【考点】混合计算中的数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 等号左
边相当于三个奇数相加,其结果为奇数,而等号右边的计算结果为奇数时,最大为
628487<
br>,又
3157987
满足条件(情况不唯一),所以结果的最大值为87.
【答案】87
【例 4】 一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表
示时间,如15:23:450618表示6月18日15
点23分45秒.有一些时刻这个电子表上十
个数字都不同,在这些时刻中,表示时间的5个两位数
之和最大是 .
【考点】
【难度】星 【题型】填空
【关键词】2009年,迎春杯,高年级,决赛,8题
【解析】 假设五个两位数的十位数上的数字之和为
x
,那么个位数上的数字之和为<
br>45x
,则五个两位数上的
数字之和为
10x45x459x
,所以十位数上的数字之和越大,则五个两位数之和越大.
显然,五个两位数的十位数字都不超过<
br>5
,只能是
0,1,,,,2345
这五个数字中的五个.
如果五个
数字是
5,,,,4321
,那么
5,4
只能在“分”、“秒”两个两位数的
十位,而
3
只能在“日期”的十
位上,
2
只能在“时”的十位上,<
br>1
只能在“月份”的十位上,此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”
的个位不能
同时满足实际情况.
如果五个数字是
5,,,,4320
,那么
5,4只能在“分”、“秒”两个两位数的十位,而
3
只能在“日期”的十
位上,
2
只能在“时”的十位上,此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况.如果五个数<
br>字是
5,,,431,0
,那么
5,4
只能在“分”、“秒”两个两位
数的十位,而
3
只能在“日期”的十位上,则“日
期”的个位无法满足情况.如果五个
数字是
5,,,421,0
,那么
5,4
只能在“分”、“秒”两个两位数的
十
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<
br>位,
2,1,0
依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足
条件.所以最大值为
459
54210
153<
br>.
【答案】
153
【例 5】
2.008
,三位数
ABC
的最大值是多少?
【考点】乘除法中的最值问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2008年,第六届,走美杯,六年级,初赛,第4题
251251502753
【解析】
2.008化为分数是,可以约分为的分数有、,所以
ABC
的最大值为753.
5
【答案】
753
模块二、乘除法中的最值问题
【例 6】 已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积(即
abcba
45deed
),那么这个五位回文
数最大的可能值是________.
【考点】乘除法中的最值问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2010年,迎春杯,五年级,初赛,第7题
【解析】 根据题意,
ab
cba45deed
,则
abcba
为45的倍数,所以
a
应为0
或5,又
a
还在首位,所以
a
=
5,现在要让
abcba<
br>尽可能的大,首先需要位数高的尽可能的大,所以令
b9
,
c8
,
则
=5+9+8+9+5=36是9的倍数,用59895÷45=1331符合条
abc
ba
件,所以这个五位回文数最大的可能值是
59895
.
【答案】
59895
【例 7】 在下面乘法竖式的每个方格中
填入一个非零数字,使算式成立。那么,乘积的最大值等于
_________。
×
0
0
6
2
(A)6292 (B)6384
(C)6496 (D)6688
【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4星
【题型】选择
【关键词】2006年,迎春杯,高年级,复试,第1题
【解析】
D
,提示:
304226688
【答案】D.
6688
【例 8】
满足图中算式的三位数
abc
最小值是________.
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【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2010年,迎春杯,六年级,初赛,第3题
【解析】 为了使得
abc
最小,那么a1,由于三个积的十位数字为0、1、0,那么b0,个位上可以进位、不
进
位都必须出现,那么c2,所以
abc
102;评注:这是有极值要求的残缺数字谜问题,
如果没有
abc
最小的限制,那么方法很多,即使在
abc
最小时,也有很多
填法。本题可以改编成计数与数字谜的
综合试题,其它条件不变,“在
abc
最小时,
共有______种不同填法;”,答案:20;
【答案】
20
【例 9】 若用相同汉字表示相同的数字,不同汉字表示不同的数字,则下列算式中,
学习好
勤动脑5=勤动脑学习好8
“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少?
【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设“学
习好”为
x
,“勤动脑”为
y
,则有
1000xy
5
1000yx
8
,化简得
4
992x7995y
,即
x205
x410
<
br>x615
x820
,
,
,
.所以,“学习好勤动脑”所表示的六位
128x205y
,有
y128y256y384y512
数可能为205128,41025
6,615384,820512,由于不能有重复数字,只有410256,615384满足,
其中
最小的是410256.
【答案】410256
【例 10】
在□内填入适当的数字,使下列竖式成立,并使乘积尽可能小,那么乘积最小是 .
0
6
4
【考点】乘除法中的最值问题
【难度】4星 【题型】填空
【解析】 由于被乘数乘以6得到的数的个位数字为4,所以被乘
数的个位数字为4或9,如果为9,那么被乘
数乘以乘数的十位数字得到的数的个位数字不可能为0,与
题意不符,所以被乘数的个位数字为4,
且乘数的十位数字为5,所以乘数为56.
由于被乘
数乘以6得到的五位数至少为10004,而
10004616672
,所以被乘数大于1
667,而被
乘数的个位数字为4,所以被乘数至少为1674,乘积最小为
167456
93744
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【答案】
16745693744
【例
11】 在□内填入适当的数字,使下列竖式成立,并使乘积尽可能小,那么乘积最小是 .
8
6
【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4星
【题型】填空
【解析】 由于被乘数乘以6得到一个五位数,而乘以乘数的十位数字得到一个四位数
,所以乘数的十位数字
小于6,乘数可能是16,26,36,46和56.它们能得到的最小乘积分别
是
800016128000
,
400026104000
,
277836100008
,
217446100004
,
178
656100016
.其中最小的为
100004,所以乘积最小为100004.
【答案】100004
【例 12】
在□内填入适当的数字,使下列竖式成立,并使商尽可能小.那么商的最小值是 .
6
1
0
【考点】乘除法中的最值问题 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 商的十位大于商的百位,所以商的十位最小为7,个位最小为1,所以商的最小可
能值是671.当商
51
是671时,由“除数
699
”和“除数
7110
”得
15
除数
16
,那么除数是16.所以72
满足题意且商最小,所以商的最小值为671.
1073616671
【答案】671
【例 13】
在□内填入适当的数字,使下列竖式成立,并使商尽可能小.那么商的最小值是 .
6
3
b
c
6
a
3
3
d
5
0
5
0
5-1-2-5.最值的数字谜(二).题库
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【考点】乘除法中的最值问题 【难度】6星 【题型】填空
【解析】 如右式,用字母表示某些方格内的数.因为除数是两位数,它与商的各个数位的乘积都是三位
数,
所以商的每一位都不小于2,那么商的最小可能值为262.由右式知
d8
,所
以
c3
或8.当
a2
时,由
bca5
,推知
c3
,所以
c8
,进而得
b7
,此时题中算式为
2
043678262
,满
足题意,所以商的最小值为262.
【答案】262
【例 14】 在右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成立,并使商尽量大.那
么,商的最大值是
__________.
def
g
a
b
c
2
0
0
7
0
【考点】乘除法中的最值问题 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】2007年,迎春杯,中年级,初赛,第6题
h
2
ij
0
k
m
0
n
7
7
q
r
0
【解析】 如右式,用字母来表示方格内的数字.易知
f0
.为了使商最大,首先令
d9
,则
e
最大为8(若
e
也为9,则
km0n
h2ij
,则
km0n7
的百位数字不能为0).再由
abc8km
0n
知
abckm0n8125
,
由
abcg7qr知
g7qrabc8001256.4
,所以
g6
.若g6
,由
d9
知
d
是
g
的
1.5
倍,
则
h2ij7qr1.58001.51200
,矛盾,所以
g6
不合题意;
若
g5
,由
7005140a
bc8005160
,而
14081120abc8km0n1608
1280
,
abc150
或151,此时
km0n
只可能为12
00或1208,但
05190531
,均不可能为
h2ij
,
15191359
,
所以
g5
不成立;
若
g4
,由
7004175abc8004200
,而
175
91575abc9h2ij20091800
,
也不成立;
若<
br>g3
,可得以下两式符合题意:
24507502509803
,
24605532519803
,
所以商的最大值为9803.
【答案】9803
5-1-2-5.最值的数字谜(二).题库
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【例 15】 如下面除法竖式的每个方框中填入适当的数字,使竖式成立,
并使商尽量的小.那么,商的最小
值是____________.
2
0
0
7
0
【考点】乘除法中的最值问题
【难度】6星 【题型】填空
【关键词】2007年,迎春杯,高年级,初赛,第3题)
【解析】 显然商十位是0,如果商的千位是2,则除数
2□2□□
,只能是12□□
,从而除数
6□□
,乘以
商的个位之后不可能等于
7
□□
.
如果商的千位是3,因为除数乘以商的百位后等于
□00□
,商的个位只能是1或2.
如果商的个位是1,则除数等于
7□□
,商的百位最少是4,此时750等数符合条件
.
如果商的个位是2,则除数等于
7□□
,此时商的百位必须大于4.
所以,商的最小值是3401.
【答案】
3401
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