烟台市教育局-幼儿园大班家长会发言稿

5-3约数与倍数

教学目标


本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的 认识，即所谓的整数唯一分解
定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生 做一个找规律式的不完全归纳，
让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为
△
☆
△
☆
...△
☆
的结构”
知识点拨
一、 约数的概念与最大公约数
0被排除在约数与倍数之外

1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：
2313711
，
2522
2
3
2
7
，所以
(231,252)3721
；
21812
②短除法 ：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：
396
，所以
(12,18)23 6
；
32
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所 求的最大公约数．用辗转
相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第 一个余数；再用第一个余
数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数 ；这样逐次用后一个余数
去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约 数．(如果最后的除数是1，
那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最 大公约数：
15156002315
；
6003151285
；
315285130
；
28530915
；
3015 20
；所以1515和600的最大公约数是15．
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
n
．
3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子
的最大公约数b；
b
即为所求．
a
二、倍数的概念与最小公倍数

1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如：
2313711
，
2522
2
3
2
7
，所以

23 1,252

2
2
3
2
7112772
；
②短除法求最小公倍数；
21812
例如：
396
，所以

18,12

233236
；
32
③
[a,b]
ab
．
(a,b)
2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
b
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍 数
a
；求出各个分数分母的最大公约数
b
；
a
35[3,5 ]15

即为所求．例如：
[,]

412(4,12)4
14


1,4

4
注意：两个最简分 数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：

,


232,3


三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果
m
为
A
、
B
的最大公约数，且
Ama
，
Bmb
，那么
a、b
互质，所以
A
、
B
的最小公倍数为
mab
，
所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①
ABma mbmmab
，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约 数是
A
、
B
、
AB
、
AB
及最小公倍 数的约数．
2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即
(a,b)[a,b]ab
，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：
567210
，210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：
678 336
，而6,7,8的最小公倍数为
3362168

性质（3）不 是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，
即“几个数最小公 倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为
2
3
52
7
，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲 的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲
过的数字“唯一分解定理”形式 基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要
求其掌握。难点在于公式的逆推 ，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉
一个数有多少个约数，然后再结 合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依 次从1加至这个质因数的
最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和 。
如：
210002
3
35
3
7
，所以 21000所有约数的和为
(122
2
2
3
)(13)( 155
2
5
3
)(17)74880

此公式没 有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的
记忆即可。

例题精讲

模块一、约数与倍数、最大公约数与最小公倍数基本概念
【例 1】 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余， 问：
能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
【解析】 要把一张长方形的纸 裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是
长方形的长和宽的公约数．由 于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方
形的长和宽的最大公约数．1米3分米 5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，
(135,105)15
，
长方形 纸块的面积为
13510514175
(平方厘米)，正方形纸块的面积为
1515225
(平方厘
米)，共可裁成正方形纸块
1417522563
(张)．

【巩固】 一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的 方砖多
少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？
【解析】 要使方砖正好铺满地面，房间 的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房
间长、宽厘米数的公约数．由于题中要 求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最
大公约数．450和330的最大公约数是30 ．
4503015
，
3303011
，共需
15111 65
(块).

【例 2】 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这 些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼
物中，三样水果各多少？
【解析】 此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有
(336,252,210)42
, 即可以分42份，每份
中有苹果8 个，桔子6个，梨5个．

【巩固】 把20个 梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少
个小朋友？
【解析】 此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2 个
梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，
要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．

【巩固】 教师节那天，某 校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问
用这些果品，最多 可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨
的个数彼此相等)？在每份 礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
【解析】 因为
(320,240,200)40
，
320408
，
240406
，
20040 5
，所以最多可分40份，每份
中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.

【例 3】 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
【解析】 只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条
件“它们 的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因为
111 111101
，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所 以三个自
然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个 数为101，
101和909．所以所求数是101．

【巩固】 用
19
这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．
12945
，是9的倍数，因而9是这些数的公约数．又123456789和12 3456798这两个数【解析】
只差9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数， 所以9是这两个数的最大公
约数．从而9是这362880个数的最大公约数．

【巩固】 用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数 的最大公约
数最大可能是___________．
5402
2
33
5
，A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而540的约数从大到小 排列【解析】
依次为：540、270、180、135、108、90……由于A和B都不能被10 整除，所以540、270、180
都不是A和B的约数．由于A和B不能同时被5整除，所以135也 不是A和B的公约数．540的
约数除去这些数后最大的为108，考虑108的三位数倍数，有108 、216、324、432、540、648、
756、864、972，其中由2、3、4、5、6、 7这六个数码组成的有324、432和756，易知当A和B
一个为756、另一个为324或432 时，A、B、540这三个数的最大公约数为108，所以A、B、540
这三个数的最大公约数最大可 能是108．

【例 4】 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．
【解析】 设这两个自然数为：
5a、5b
，其中
a
与
b
互质，
5a5b50
，
ab10
，经检验，容易得到两
组符合条件的数：9与1或者7与3． 于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它
们的差分别是：45－5＝40，35 －15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．

【巩固】 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
【解析】 最小的三个 约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这
两个约数的奇偶性一 定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定
是2的倍数，即2是它的约数 。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个
两位数是14的倍数，由于这个两位数 的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，
其中有6个约数的是98．

1
1
1
【例 5】 (西城区13中入学试题)一次考试，参加的学生中有得 优，得良，得中，其余的得差，已
72
3
知参加考试的学生不满50人，那么得差的学 生有多少人？
1
1
1
【解析】 由题意“参加的学生中有得优，得良，得中 ”，可知参加考试的学生人数是7，3，2的倍
72
3
数，因为7，2，3的最小公倍 数为42，
4228450
，所以参加的学生总数为42人．那么得
111差的学生有：
42(1)1
人．
732

【巩固】 甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是
126 ，那么甲数是多少?
【解析】 对90分解质因数:
9023
2
5
.
因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5．
如果乙也不含因数5 ，那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5，但90是5的倍数，所以乙含有因
数5．
因为105不是2的倍数，所以乙也不是2的倍数，即乙中不含因数2，于是甲必含有因数2．
因为1 05不是9的倍数，所以乙也不是9的倍数，即乙最多含有1个因数3．由于甲、乙两数的
最小公倍数是 90，90中含有2个因数3，所以甲必含有2个因数3，那么甲
23
2
18< br>．
总结：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数 的
个数的最大值．如
a23
3
5
2
7
，< br>b2
3
3
2
5711
，则
A
、< br>B
的最小公倍数含有质因子2，

3，5，7，11，并且它们 的个数为
a
、
b
中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个，3< br>个，2个，1个，1个，故
[a,b]2
3
3
3
52
711
．

11
1
【巩固】 一次考试，参加 的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满
74
3
100人 ，那么得差的学生有多少人？
11
1
【解析】 由题意“参加的学生中有得优，得良 ，得中”，可知参加考试的学生人数是7，4，3的倍
74
3
数，因为74，3的最小 公倍数为84(小于100人)，所以参加的学生总数为84人．那么得差的学
生有：
841 2212823
人．

【例 6】 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只 分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，
则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每 只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只
可得多少粒？
【解析】 依题意得: 花生 总粒数
12
第一群猴子只数
15
第二群猴子只数
20< br>第三群猴子只数,由此
可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60．花 生总粒数是60，120，180，…,
那么：第一群猴子只数是5，10，15，… ；第二群猴子只数是4，8，12，… ；第三群猴子只数
是3，6，9，… ；所以，三群猴子的总只 数是12，24，36，…因此，平均分给三群猴子，每只
猴子所得花生粒数总是5粒．

【巩固】 加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工 序每
名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡 ,
三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）
【解析】 为了使生产 均衡,则三道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有
a
、
b
、所
c
个工人,有
6a10b15ck
,那么
k< br>的最小值为6,10,15的最小公倍数,即

6,10,15

3 0
．
以
a5
,
b3
,
c2
,则三道工序最少共需要
53210
名工人．

【例 7】 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同 ，
小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地
上留下60个脚印．求圆形花圃的周长．
【解析】 必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走 完全程脚印重合的次数．两人从起点出发到第一次
脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍 数，为

54,72

216
厘米．在216厘米里，
两 人留下的脚印数分别是：
216544
(个)，
216723
(个),由于两人有1个脚印重合，所
以实际上只有
4316
(个)脚印．< br>60610
，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：
21610216 0
(厘米).

【巩固】 甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑 道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50
米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？
【解析】 甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在
A
点再次相遇，两 人都要走整圈数，所
以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟．

【巩固】 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方
1
1
向跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道
4
5
31
长千米.甲每小时跑
3
千米，乙每小时跑4千米，丙每小时 跑5千米.问他们同时出发，几小
82
时后，3人第一次同时回到出发点?
1121133
【解析】 甲跑完一圈需
3
小时，乙跑一圈需
 4
小时，丙跑一圈需
5
小时，他们同
5235416840
2 1
3
时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为，，的倍数，即为它们的公倍数．而3516
40

2,1,3


6
6
.所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点.

213

,,
351640


35,16,40

1
 

【巩固】 有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走 80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70
米．已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向 从同一地点出发，问几分钟后，三个人可
以首次相聚？
【解析】 由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数，甲和乙每分钟差
1208040
(米)，则需要
4004010
分钟乙才能第一次 追上甲；同理，乙每分钟比丙多走
1207050
(米)，则需要
400508
分钟乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走
807010
(米)，则需要
4001040
分钟甲才能追上丙； 而想要三人再次相遇，所需的时间则
为10，8，40的公倍数．因为

10,8,4 0

40
，所以三人相聚需要过40分钟，即40分钟后，三个
人可以首次相聚．

【例 8】 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．
【解析】 由于两个自然数的积< br>
两数的最大公约数

两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是
2 40604
，设这两个数分别为
4a
、
4b
，那么
(a ,b)1
，且
ab60415
，所以
a
和
b可以
取1和15 或 3和5 ，所以这两个数是4和60 或12和20．

【巩固】 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
【解析】 假设这两个数是
21a
和
21b
，易得
21a b126
，所以
ab6
，由
a
和
b
互质， 那么就有
61623
两种情况．所以甲、乙是：
21121
，< br>216126
或
21242
，
21363
两种< br>情况．它们的和是147或105．

【巩固】 已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．
【解析】 这两个数分别除 以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，
120430
，将30 分解成两个互质的数之积：1和30，2和15，3和10，5和6，所以这两个数
为4与120，或8 与60，或12与40，或20与24．

【巩固】 两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．
125255
，
51423
，两数可以为25、100或者50、75． 【解析】
模块二、最大公约数与最小公倍数性质的综合应用
【例 9】 数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【解析】 360分解质因数:360=2×2× 2×3×3×5=
2
3
×
3
2
×5；360的约数可以且只 能是
2
a
×
3
b
×
5
c
,(其< br>中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的 ,由计
数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动 关于质因数3的约
数,可以是l,3,
3
2
,它们的和为(1+3+
3
2
),所以所有360约数的和为(1+3+
3
2
)×
2
y
×
5
w
；我们再
来确定关于质因数2的约数,可以是l ,2,
2
2
,
2
3
,它们的和为(1+2+
22
+
2
3
)，所以所有360约数的
和为(1+3+
3
2
)×(1+2+
2
2
+
2
3
)×5w； 最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),
所以所有360的约数的和为( 1+3+
3
2
)×(1+2+
2
2
+
2
3
)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×
6=1170．所以,360所有约数的 和为1170．

【巩固】 已知
m、n
两个数都是只含质因数3和5，它 们的最大公约数是75，已知
m
有12个约数，
n
有
10个约数，求
m
与
n
的和．
【解析】 因为
7535
2
，如果设
m3
p
5
q
，
n3
x5
y
，那么
p、x
中较小的数是1，
q、y
中较小的 数是
2．由于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加1的乘积．所以
22 6341025
，
(p1)(q1)12
，
(x1) (y1)10
．又
1
，由于
y2
，所以
y13
，
那么
y15
，
x12
，得到
x1，
y4
．那么
q2
，得到
p3
，所以
m 3
3
5
2
675
，
n35
4
 1875
，
mn=2550
．

1
【例 10】 甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是
1
.乙数是_____.
8
【解析】 由(甲，乙)
7
，且甲：乙
9:8
，由 于8与9互质，所以乙数
8756
.

【巩固】 甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？
【解析】 法1 ：根据两个自然数的积

两数的最大公约数

两数的最小公倍数，有：甲数< br>
乙数
4288
，

所以，乙数
42883632
；
法2：因为甲、乙两数的最大公约 数为4，则甲数
49
，设乙数
4b
，则
(b,9)1．因为甲、
乙两数的最小公倍数是288，则
28849b
，得
b 8
．所以，乙数
4832
．

【巩固】 马鹏和李虎计算 甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把
甲数的十位数字看错了 ，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______.
【解析】 乙数是473与407的公约 数.473与407的最大公约数是11，11是质数，它的两位数约数只有11，
所以乙数是11，又
4734311
，
4073711
，所以甲数是47，甲、乙两数的 乘积应为：
4711517
.

【例 11】 如图，鼹鼠和老鼠分别 从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说：“你挖
完后，我再挖。”这样一来， 由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以
少挖多少个洞？
【解析】 因为157除以5的余数是2，可得下图

鼹鼠
A
02367912
B
老鼠
157
单位：米


由图中很明显可知，鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A点12米处．因为[3，5]
15
，
（15712）1514515910
，所以，老鼠 和鼹鼠要挖的洞里重合的有
9110
(个)．

【巩固】 有一些小 朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发
一个桔子，结果有 10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？（★★）
【解析】 苹果每3人发1 个，桔子每5人发1个.因为

3,5

15
，所以苹果和桔子都 拿到的10个小朋友之
间包括这10个小朋友，共有
15(101)1136
(人).在他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，
所以左边最多还有
3412
(人)；右边最多有2个小朋友拿到桔子，所以右边最多还有
5210

(人).所以最多有：
1361210158
(人).

【巩固】 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分 成
12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【解析】 从题目中可以知道，木棍锯成的段数，比锯的次数大1；而锯的次数并不一定是 三种刻度线的总
和，因为当两种刻度线重合在一起的时候，就会少锯一次．所以本题的关键在于计算出有 多少两
种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置．把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位 ，
那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的公倍数，利用
求公倍数的个数的方法计算出重合的刻度线的条数．

10,12,15

60
，先把木棍60等分，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占6
个单 位，第二种占5个单位，第三种占4个单位，分点共有
9111434
(个)． 
5,6

30
，故在30单位处二种刻度重合1次；
4,5

20
，故在20、40单位处二种刻度重合2
次；

4,6

12
，故在12、24、36、48单位处二种刻度重合4次；< br>
4,5,6

60
，所以没有三种刻
度线重叠在一起的位 置．所以共有不重合刻度
3412427
个．从而分成28段．

【例 12】 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a 、b中较大
的数是多少？
【解析】 设
ab
，有
ab12 0
，又设
(a,b)d
，
apd
，
bqd
，
(p,q)1
，且
pq
，则
[a,b]pqd
，有
pqd105d
，所以
pq105357
．因为
a b(pq)d120
，所以
(pq)
是120的约数．
①若p105
，
q1
，则
pq104
，不符合；

②若
p35
，
q3
，则
p q32
，不符合；
③若
p21
，
q5
，则
pq16
，不符合；
④若
p15
，
q7
，则pq8
，符合条件．
由
(pq)d8d120
，得
d15
，从而a、b中较大的数
apd1515225
．

【巩固】 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．
【解析】 设这两个自然数分别是
ma
、
mb
，其中
m为它们的最大公约数，
a
与
b
互质(不妨设
a

b
)，根
据题意有：

mbmam(ab)54


mabmm(ab1)114

所以可以得到
m
是54和114的公约数，所以是
(54,114)6
的约数．
m1
， 2，3或6．
如果
m1
，由
m(ab)54
，有
ab54
；又由
m(ab1)114
，有
ab115
．
1151115523
，但是
111511654
，
5232854
，所以
m1
.
如果
m2
，由< br>m(ab)54
，有
ab27
；又由
m(ab1)1 14
，有
ab58
．
58158229
，但是
1585927
，
2293127
，所以
m2
． < br>如果
m3
，由
m(ab)54
，有
ab18；又由
m(ab1)114
，有
ab39
．
391 39313
，但是
1394018
，
3131618，所以
m3
．
如果
m6
，由
m(ab)5 4
，有
ab9
；又由
m(ab1)114
，有
a b20
．
20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：
2012045< br>，虽然
120219
，但是有
459
，所以取
m 6
是合适的，此时
a4
，
b5
，这两个数分别为24和30．

【例 13】 （2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）六年级复赛）如图， A、B、C是三个顺次咬和
的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C恰好转5圈，则A 、B、C的齿数的最
小数分别是多少？
A
B
C

【解析】 当A转4圈时，B恰好转3圈，则A、B齿数的比值为
3:4
，同理，B、 C的齿数比值为
5:4
。所以
A、B、C齿数比值为
35:45:44 15:20:16
，所以此时A齿数至少为15，B的齿数至少是20，
C齿数至少是16。

111
【例 14】 求满足条件

的a、b的值(a、b都是四位数)．
ab1001
【解析】 取1001的两个不同约数x、
y(xy)
，得到：
1xyxy11
， 因为x、y都是1001

10011001(xy)1001(xy)1001 (xy)
1001
(xy)
1001
(xy)
xy
1 001（x+y）
1001
1001
1001（x+y）
的约数，所以、都是 整数．所以只需令
a
，
b
就可以了．而
yy
x
x
a、b都要大于1001，要保证a、b都是四位数，所以a、b的比值都要小于10，即x、y的比 值小
（1,7）（7,11）（7,13）（11,13）
于10．而1001的两个互质且比 值小于10的约数有以下几组：、、、、
（11,91）（13,77）
、．所以我们依次取x 、y为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到
本题的答案：

a8008,2574,2860,2184,9282,6930


b1144,1638,1540,1848,1122,1170


【例 15】
N
为自然数，且
N1
，
N2
、 „„、
N9
与690都有大于l的公约数．
N
的最小值为多少？
69023523
，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数． 【解析】
如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍 数，
所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l的公约数．
所以 9个数中有5个偶数，则
N1
、
N3
、
N5
、
N7
、
N9
是偶数，剩下的4个奇数中，

有 2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数．可知4个奇数中
N2
、
N8是3的倍数，还
有
N4
、
N6
一个是5的倍数，一个是23 的倍数，那么这两个数最小只能为23和25，故
N423
，得
N19
．故
N
的最小值为19．

【例 16】 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
【解析】 最小的三 个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这
两个约数的奇偶性 一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定
是2的倍数，即2是它的约 数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个
两位数是14的倍数，由于这个两位 数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，
其中有6个约数的是98．

【巩固】 如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍．现有一 个整
数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？
【解析】 设整数n除掉约数1和n外，最小约数为a，可得最大约数为
15a
，那么
na15a15a
2
35a
2
．则3、5、a都为n的约数．因为a是n的除掉约数1外的最小约数，
那么
a3
． 当
a2
时，
n152
2
60
；当
a3< br>时，
n153
2
135
．所以满足条件的整数n
有60 和135．

【例 17】 在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？
61623
，【解析】 故6只能表示为

51

或

11



21

，所以恰好 有6个约数的数要么能表示成
某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100 以内符合前者的只有32，
符合后者的数枚举如下：
2
2
32
2
52
2
72
2
112
2
132
2
172
2
192
2
23

8个
3
2
23
2
53
2
73
2
11
4个

5
2
25
2
3
< br>2个
7
2
2

1个
所以符合条件的自然数一共有
1842116
个．

【巩固】 恰有8个约数的两位数有________个．
【解析】 根据约数个数公式，先将8进行分解：< br>81824222
，所以恰有8个约数的数至多有3
个不同的质因数，分 解质因数后的形式可能为
A
7
，
A
1
B
3
，
A
1
B
1
C
1
．其中由于
2
7
128100
，所
A
1
B
3
形式中，
32
3
、以
A
7
形式的没有符合条件的两位数；B不能超过3，即 可能为2或3，有
23
3
、
112
3
，
52
3
、
72
3
、共5个；
A
1
B
1
C
1
形式的有
235
、
237
、
2311
、
2313
、
257
，
共5个．所 以共有
5510
个符合条件的数．

【巩固】 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？
【解析】 由于
91933
，根据约数个数公式，可知9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者
两个不同质数的平方的乘积 ，前者在三位数中只有
2
8
256
符合条件，后者中符合条件有
2
2
5
2
100
、
2
2
7
2
196
、
2
2
11
2
484
、2
2
13
2
676
、
3
2
5< br>2
225
、
3
2
7
2
441
，所以
符合条件的有7个．

【巩固】 能被2145整除且恰有2145个约数的数有 个．
【解析】 先将2145 分解质因数：
2145351113
，所以能被2145整除的数必定含有3，5，1 1，13这
4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5 个质因
数，根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145，而2145只能分解 成3，
5，11，13的乘积，矛盾．所以所求的数恰好只有3，5，11，13这4个质因数． 4

51

，对于这样的每一个数，分解质因数后3，5，11，1 3这4个因子的幂次都恰好是
2

31

，
10
111

，
12

131

的一个排列，所以共有
4!24
种

【巩固】 能被210整除且恰有210个约数的数有 个．
2102357
，所以原数肯定含有2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是【解析】
1，2，4，6，可以任意排列，所以有
4!24
个．

【巩固】 (2008年仁华考题)1001的倍数中，共有 个数恰有1001个约数．
【解析】 1001的倍数可以表示为
1001k
，由 于
100171113
，如果k有不同于7，11，13的质因数，那
么
1001k
至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为

a
1
1

a
2
1


a
3
1


a
4
1


a
n
1

，其中
n4．如果这个数恰有1001个约数，则

a
1
1

a
2
1


a
3
1

a
4
1



a
n
1

100171113
，但是1001不能分解成4个大于1的数
的乘积，所以
n4
时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么
1001k只有7，11，
13这3个质因数．设
1001k7
a
11
b
13
c
，则

a1

b1

c1

1001
，
a1
、
b1
、
c1
分别
为7，11，13，共有
3!6
种选择，每种选择对应 一个
1001k
，所以1001的倍数中共有6个数恰
有1001个约数．

【例 18】 已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A的约数的个数.
【解析】 由于A是偶数但不是4的倍数，所以A只含有1个因子2，可将A分解成
A21
B
，其中B是奇
数，根据约数个数公式，它的约数的个数为

11

N12
(其中N为B的约数个数)，则
4A8B23
B
，它的约数个数为

13

N24
个．

【巩固】 自然数N有45个正约数。N的最小值为 。
【解析】 由于
4545115395533
，根据约数个数公式 ，自然数N可能分解成
a
44
、
a
14
b
2、
a
8
b
4
、
a
4
b
2
c
2
等形式，在以上各种形式下，N的最小值分别为
2
44
、
2
14
3
2
、
2
8
3
4
、
2
4
3
2
5
2
，比较这些数的大小 ，可知
2
44
2
14
3
2
2
83
4
2
4
3
2
5
2
， 所以最小值是
2
4
3
2
5
2
3600< br>．

【例 19】 (2008年101中学考题)已知A数有7个约数，B数有12 个约数，且A、B的最小公倍数

A,B

1728
，
则
B
．
17282
6
3
3< br>，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有【解析】
2和3这两个质因数，如果A为
3
6
，那么1728不是A的倍数，不符题意，所以< br>A2
6
，那么
3
3
为
B的约数，设
B2
k
3
3
，则

k1


< br>31

12
，得
k2
，所以
B2
2
3
3
108
．


【巩固】 如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
【解析】 设这个自然数是
a
，
20042
2
3167
，将a
分解质因数，设
a2
x
3
y
167
z
a
1
b
1
a
2
b
2
a
n
b
n
，其
中x，y，z可以是0或正整数，其余的系数都是正整数，则这 个数的约数的个数
A(x1)(y1)(z1)(b
1
1)(b
2
1)(b
n
1)
．
因为这个自然数的2004倍恰有2004个约数，所以
(x3)(y2)(z2)( b
1
1)(b
2
1)(b
n
1)20042< br>2
3167
．
2004(x3)(y2)(z2)x3y2z2

可得， A(x1)(y1)(z1)x1y1z1
x3y2z2

要想使
A
最小，需要使最大，
x1y1z1
y2y
x3 2xz2z
22
，而
33
，
22
，
y1y1
x1x1z1z1
2004
所以
322 12
，得到
A167
．
A
要想使等号成立，必须
x yz0
，
n1
，
b
1
166
，即此数为一 个不是2，3，167的质数的166
次方，此时这个数的约数有167个．故这个自然数最少有167 个约数．

【例 20】 设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不 同的约数，这三个数中的任何
两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？
【解析】 本题考查对约数个数计算公式的灵活应用
9(21)(21)
，由公式的结果倒推，A 有9个约数，那么符合公式的要求有，或者
9(01)(81)
，
若要求A的值 尽可能小，则A不可能为某个质数的8次方的形式，那么说明A的形式为
Aa
2
b
2

的形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么A最小为A2
2
3
2
，类似的可以知道
Bab
2
,同时为满足最小要求
B52
2
。
C为8个约数情况可能有两种，
Cmnp,Cmn
3
，其中当< br>C32
3
时数字最小，同时三
个数任意2个都不整除，所以此时三个数的乘 积为
20243617280


【例 21】 已知自然数A、B满足以下2个性质：（1）A、B不互质 （2）A、B的最大公约数与最小公倍
数之和为35。那么A+B的最小值是多少？
【解析】 设
(A,B)M
，那么
AMa,BMb
，其中a,b分别表示A,B的 独有因数。那么
[A,B]Mab
，即
有
(A,B)[A,B]MM abM(1ab)35
，因为A,B不互质，所以
M1
，而根据上面的式子M
是35的因数，所以M只可能为5或7.

a1

a2
1）当M=5时，ab=6,此时有


,

b6b3

ABM(ab)5

16

35
，或
ABM(ab)5

23

25


a1

a2
,

2）当M=7时，ab=4,此时有

（舍）因为

a,b

1

b4b 2

ABM(ab)7

14

35< br>，或
ABM(ab)7

22

28
（舍）
所以A+B的最小值是25。

【巩固】 两个整数A、B的最大公约数是 C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，
那么A+B等于多少？
【解析】 最大公约数C，当然是D最小公倍数的约数，因此C是187的约数，187=11×17， C不等于1，只
能是C=11或者C=17．如果C=11，那么D=187-11=176．A和B都 是176的约数，A和B不能是11，
只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个 数中任何两个数的最大公约数都不是11，
由此得出C不能是11．现在考虑C=17，那么D=187 -17=170，A和B是170的约数，又要是17的
倍数，有34，85，170三个数，其中只有 34和85的最大公约数是17，因此，A和B分别是34
和85，A+B=34+85=119．

【巩固】 10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？
【解析】 设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为：
Ma
1
,Ma
2
,...,Ma
10
，其中
(a
1
,a
2
,...,a
10
)1

那么根据题意有：
M(a
1
a
2
...a
10
)100171113

因为10个不同非零自然数的和最小为55，所以M最大可以为13

【巩固】 有 两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，这两个自然
数的差 是 ．
【解析】 两个自然数的最大公约数是它们的和的约数，也是它们的最小 公倍数的约数，所以是它们的最大
公约数与最小公倍数的和的约数，也就是297和693的公约数，也 就是

297,693

99
的约数．99
的约数共有6 个，此时可以逐一分情况进行讨论，但较繁琐．
设这两个数分别为
ad
和
b d
，其中

a,b

1
，
ab
，d
是它们的最大公约数．那么

ab

d297
，
dabd

ab1

d693
，相比得
ab16937

，所以
3ab37a7b
，即
9ab 21a21b90
，可得
ab2973

3a7

3b7

40
．
由于

3a7

和

3b7

都是40的约数且除以3余2，只能为

3a72

3a75

a3

a4< br>或者

，可得

或

．

3b 720
3b78b9b5



a3
< br>a4
由于

ab

d297
，所以

ab

是297的约数，

不符合，所以只能为

，此时
b9b5

d297

45
，这两个 数的差为
bdad

ba

d33
．

33

【例 22】 a>b>c是3个整数 .a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；
b,c 的最小公倍数是1050.那么c是多少?

a450

a225
【解析】 由(a,b)=75=3×< br>5
2
,[a,b]=450=
3
2
×2×
5
2
=75×3×2,又a﹥b所以

或


b75b 150



a450


450,75,c



75,c

15
[b,c]=1050= 2×3×
5
2
×7.当

时有

，因 为两个数的最大公
b75
b,c75,c1050




约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c] =75×c=15×1050,得c=210,

a225
225150,，c 75,c15

a225



但是c>b,不 满足；当

时，有

,则c=105,c﹤b,满足,即

b150

b150



b,c



150,c

1050
为满足条件的唯一解．那么c是105 .


c105