(教师版)小学奥数7-3-1 加乘原理之综合运用.专项检测题及答案解析
记叙文作文-护士工作总结范文
7-3-1.加乘原理之综合运用
教学目标
1.复习乘法原理和加法原理;
2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.
3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来
解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方
法解决问题.
在分类讨论中结合分步分析,在
分步分析中结合分类讨论;教师应该明确并强调哪些是
分类,哪些是分步.并了解与加、乘原理相关的常
见题型:数论类问题、染色问题、图形组
合.
知识要点
一、加乘原理概念
生活中常有这样的情况:在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时
候,只要采
用其中某一类中的一种方法就可以完成,并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件<
br>事所有可能的做法,就要用到加法原理来解决.
还有这样的一种情况:就是在做一件事时,要分
几步才能完成,而在完成每一步时,又
有几种不同的方法.要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用
到乘法原理来解决.
二、加乘原理应用
应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点:
⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每
一类中的任何一种方法都能完成任务,
所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和.
⑵乘
法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于
各步方法数的乘积.
⑶在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运
用好这两
大原理,综合分析,正确作出分类和分步.
加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类
中的任何一种方法都能完成
任务,这样的问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为:“加法分类,类
类独立”.
乘法原理运用的范围:这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为:“乘法分步,
步步相关
”.
【例 1】 商店里有2种巧克力糖:牛奶味、榛仁味;有2种水果糖:苹
果味、梨味、橙味.小
明想买一些糖送给他的小朋友.
⑴如果小明只买一种糖,他有几种选法?
7-3-1.加乘原理之综合应用.题库
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例题精讲
⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各
1
种,他有几种选法?
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴小明只买一种糖,完成这件事一步即可完成,有两类办法:第一类是从
2
种巧克
力糖中选一种
有
2
种办法;第二类是从
3
种水
果糖中选一种,有
3
种办法.因此,小明有
235
种选糖的方法. ⑵小明完成这件事要分两步,每步分别有
2
种、
3
种方法,因此有
326
种方法.
【答案】⑴
5
⑵
6
【例 2】 从2,3,5,7,11这五个数中,任取两个不同的数分别当作
一个分数的分子与分
母,这样的分数有_______________个,其中的真分数有_____
___________个。
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,二试,第7题
【解析】 第一问要用乘法原理,当分子有5种可
能时,分母有4种可能,即5×4=20种,所
以这样的分数有20个。第二问中,分母为3的真分数有
1个,分母为5的真分数
有2个,分母为7的真分数有3个,分母为11的真分数有4个,所以真分数共
有
1+2+3+4=10个。
【答案】
10
个
【例
3】 从北京到广州可以选择直达的飞机和火车,也可以选择中途在上海或者武汉作停
留,已知北京到上
海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式
外还有汽车.问,从北京到广州一共有多少
种交通方式供选择?
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】1星
【题型】解答
【解析】 从北京转道上海到广州一共有
339
种方法,从北京
转道武汉到广州一共也有
从北京直接去广州有2种方法,所以一共有
99220
种
339
种方法供选择,
方法.
【答案】
20
【例 4】 从学而思学校到王明家有3条路可走,从王明家到张老师家有2条路可走,从学
而思学校到张老师家有3条路可走,那么从学而思学校到张老师家共有多少种走
法?
学而思学校
张老师家
王明家
【考点】加乘原理之综合运用
【难度】1星 【题型】解答
【解析】 根据乘法原理,经过王明家到张老师家
的走法一共有
326
种方法,从学而思学
校直接去张老师家一共有3条路可走,根
据加法原理,一共有
639
种走法.
【答案】
9
【巩固】 如下图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有4条路,从甲地到丁地有3条
路可
走,从丁地到丙地也有3条路,请问从甲地到丙地共有多少种不同走法?
甲乙
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】1星 【题型】解答
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丁
丙
【解析】 从甲地到丙地有两种方法:第一类,从甲地经过乙地到
丙地,根据乘法原理,走法
一共有
428
种方法,;第二类,从甲地经过丁地到丙
地,一共有
339
种方
法.根据加法原理,一共有
8917
种走法.
【答案】
17
【巩固】 王老师从重庆到南京,他可
以乘飞机、汽车直接到达,也可以先到武汉,再由武
汉到南京.他从重庆到武汉可乘船,也可乘火车;又
从武汉到南京可以乘船、火
车或者飞机,如图.那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢?
重庆
南京
【考点】加乘原理之综合运用
【难度】2星 【题型】解答
【解析】 从重庆到南京的走法有两类:第一类从
重庆经过武汉去南京,根据乘法原理,有
236
(种)走法;第二类不经过武汉,有2种走
法.根据加法原理,从重庆到南
京一共有
268
种不同走法.
【答案】
8
【例 5】 某条铁路线上,包括起点和终点在内原
来共有7个车站,现在新增了3个车站,
铁路上两站之间往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种
不同的车票?
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星
【题型】解答
【解析】 1、新站为起点,旧站为终点有3×7=21张,2、旧站为起点,新站为
终点有7×3=21
张,3、起点、终点均为新站有3×2=6张,以上共有21+21+6=48张
.
【答案】48
【例 6】
如右图所示,每个小正三角形边长为1,小虫每步走过1,从A出发,走4步恰
好回到A的路有(
)条.(途中不再回A)
武汉
A
【考点】加乘原理之综合运用
【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯,四年级,初赛,第8题,五年级,初赛,第12题
【解析】
因为第一、三步到的点一定是以A为中心的六边形的六个顶点,根据一定的规则进
行计数:
(1) 第一步与第三步是同一个点的情况有:6×5=30(种)
(2)
第一步与第三步不是同一个点的情况有:4×6=24(种)
所以共有30+24=54(种)
【答案】
54
种
【例 7】
如下图,八面体有12条棱,6个顶点.一只蚂蚁从顶点
A
出发,沿棱爬行,要求
恰好
经过每一个顶点一次.问共有多少种不同的走法?
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C
D
F
E
B
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 走完6个顶点,有5个步骤,可分为两大类:
①第二次走
C
点:
就是意味着从
A
点出发,我们要先走
F
,
D
,
E<
br>,
B
中间的一点,再经
过
C
点,但之后只能走
D,
B
点,最后选择后面两点.
有
412118
种(
从
F
到
C
的话,是不能到
E
的);
②第二次不走
C
:有
4222132
种(同理,
F
不能到E
);
共计:
83240
种.
【答案】
40
【例 8】 有3所学校共订300份中国少年报
,每所学校订了至少98份,至多102份.问:
一共有多少种不同的订法?
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 可以分三种情况来考虑:
⑴3所学校订的报纸数量互不相同,有98,100,1
02;99,100,101两种组合,每种组各
有
P
3
3
6种不同的排列,此时有
6212
种订法.
⑵3所学校订的报纸数量有2所相
同,有98,101,101;99,99,102两种组合,每种组各
有3种不同的排列,此时有326
种订法.
⑶3所学校订的报纸数量都相同,只有100,100,100一种订法.
由加法原理,不同的订法一共有
126119
种.
【答案】
19
【例 9】
玩具厂生产一种玩具棒,共4节,用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这家玩具
厂共可生产
种颜色不同的玩具棒。
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯,五年级,初赛,第10题
【解析】 总共有45种,分三类:
只有一种颜色的有:3种;
有两种颜色的有:
3824
;
有
3
种颜色的有:
6318
所以共有:
3241845
(种)
【答案】
45
种
【例 10】 如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本
不
同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择?
【考点】加乘原理之综合运用
【难度】2星 【题型】解答
【解析】 因为强调2本书来自不同的学科,所以
共有三种情况:来自语文、数学:3×4=12;
来自语文、外语:3×5=15;来自数学、外语:4
×5=20;所以共有12+15+20=47.
【答案】47
【例 11】
过年了,妈妈买了7件不同的礼物,要送给亲朋好友的5个孩子每人一件.其
7-3-1.加乘原理之综
合应用.题库 教师版
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A
中姐
姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个,朋友的女儿小玉想从学习
机和遥控汽车中选一件.那么
妈妈送出这5件礼物共有____________种方法.
【考点】加乘原理之综合运用
【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯,中年级,决赛,7题
【解析】
假如给小强的是智力拼图,则有
2543120
(种)方法.
假如给小强的是遥控汽车,则有
154360
(种)方法.
总共有
12060180
(种)方法.
【答案】
180
种
【例 12】 某件工作需要钳工2人和电工
2人共同完成.现有钳工3人、电工3人,另有1
人钳工、电工都会.从7人中挑选4人完成这项工作,
共有多少种方法?
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星
【题型】解答
【解析】 分两类情况讨论:
⑴都会的这1人被挑选中,则有:
①如果这人做钳工的话,则再按乘法原理,先选一名钳工有
3种方法,再选2名电工也有3
种方法;所以有
339
种方法;
②同样,这人做电工,也有9种方法.
⑵都会的这一人没有被挑选,则从3名钳工中选2人,
有3种方法;从3名电工中选2人,
也有3种方法,一共有
339
种方法.
所以,根据加法原理,一共有
99927
种方法.
【答案】
27
【例 13】 某信号兵用红,黄,蓝,绿四面旗
中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示
信号.每次可挂一面,二面或三面,并且不同的顺序,不同
的位置表示不同的信
号.一共可以表示出多少种不同的信号?
【考点】加乘原理之综合运用
【难度】3星 【题型】解答
【解析】
由于每次可挂一面、二面或三面旗子,我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑:
第一类第二类
第三类
第一类,可以从四种颜色中任选一种,有4种表示法;
第二类,要分两步完成:第一步,第一面旗子可以从四种颜色中选一种,有4种选法;第二步,第二面旗子可从剩下的三种中选一种,有3种选法.根据乘法原理,
共有
4
312
种表示法;
第三类,要分三步完成:第一步,第一面旗子可以从四
种颜色中选一种,有4种选
法;第二步,第二面旗子可从剩下的三种中选一种,有3种选法;第三步,第
三面
旗子可从剩下的两种颜色中选一种,有2种选法.根据乘法原理,共有
43224<
br>种表示法.
根据加法原理,一共可以表示出
4122440
种不同的信号.
【答案】
40
【巩固】 五面五种颜色的小旗,任意取出一面、
两面或三面排成一行表示各种信号,问:
共可以表示多少种不同的信号?
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 分3种情况:
⑴取出一面,有5种信号;
⑵取出两面:可以表示
5420
种信号;
⑶取出三面:可以表示:
54360
种信号;
由加法原理,一共可以表示:
5206085
种信号.
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【答案】
85
【例 14】 五种颜色不同的信
号旗,各有5面,任意取出三面排成一行,表示一种信号,问:
共可以表示多少种不同的信号?
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一:取出的3面旗子,可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色,应按此进行分
类
⑴ 一种颜色: 5种可能;
⑵
两种颜色:
(54)360
⑶
三种颜色:
54360
所以,一共可以表示
56060125
种不同的信号
方法二:每一个位置都有5种颜色可选,所以共有
555125
种.
【答案】
125
【巩固】 红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗
,各有2,2,3,3面,任意取出三面按顺序排
成一行,表示一种信号,问:共可以表示多少种不同的
信号?如果白旗不能打头又
有多少种?
【考点】加乘原理之综合运用
【难度】3星 【题型】解答
【解析】
(一)取出的3面旗子,可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色,应按此进行分类
第一类,一种颜色:都是蓝色的或者都是白色的,2种可能;
第二类,两种颜色:
(43)336
第三类,三种颜色:
43224
所以,根据加法原理,一共可以表示
2362462
种不同的信号.
(二)白
棋打头的信号,后两面旗有
4416
种情况.所以白棋不打头的信号有
6216
46
种.
【答案】
46
【例 15】
小红和小明举行象棋比赛,按比赛规定,谁先胜头两局谁赢,如果没有胜头两局,
谁先胜三局谁赢.共有
种可能的情况.
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】1星
【题型】解答
【关键词】清华附中
【解析】 小红和小明如果有谁胜了头两局,则胜者赢
,此时共2种情况;如果没有人胜头两
局,即头两局中两人各胜一局,则最少再进行两局、最多再进行三
局,必有一人胜
三局,如果只需再进行两局,则这两局的胜者为同一人,对此共有
224<
br>种情况;
如果还需进行三局,则后三局中有一人胜两局,另一人只胜一局,且这一局不能为
最后一局,只能为第三局或第四局,此时共有
2228
种情况,所以共有
2
4814
种情况.
【答案】
14
【例 16】
玩具厂生产一种玩具棒,共
4
节,用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色.这家厂共
可生产
________种颜色不同的玩具棒.
【考点】加乘原理之综合运用
【难度】4星 【题型】解答
【解析】 每节有
3
种涂法,共
有涂法
333381
(种).但上述
81
种涂法中,有些涂法属于重复计算,这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样,却被
我们当做两种颜色
计算了两次.
可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算,关于中点对称的游戏棒有
33119
(种).故玩具棒最多有
(819)245
种不同
的颜色.
【答案】
45
【例 17】 奥苏旺大陆上的居民使
用的文字非常独特,他们文字的每个单词都由
5
个字母
a
、
7-3-
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7
b
、<
br>c
、
d
、
e
组成,并且所有的单词都有着如下的规律,⑴字母
e
不打头,⑵单
词中每个字母
a
后边必然紧跟着字母
b,⑶
c
和
d
不会出现在同一个字母之中,
那么由四个字母构成的
单词一共有多少种?
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】4星
【题型】解答
【解析】 分为三种:
第一种:有两个
a
的情况只有
abab
1种
第二种,有一个
a
的情况,又分3类
第一类,在第一个位置,则
b
在第二个位置,后边的排列有
4416
种,减去
c
、
d
同时出
现的两种,总共有14种,
第二类,在第二个位置,则
b
在第三个位
置,总共有
34210
种.
第三类,在第三个位置,则
b
在
第四个位置,总共有
34210
种.
第三种,没有
a
的情况:
分别计算没有
c
的情况:
233354
种.
没有
d
的情况:
233354
种.
没有
c
、
d
的情况:
12228
种.
由容斥原理得到一共有
54548100
种.
所以,根据加法原理,一共有
1141010100135
种.
【答案】
135
【例 18】 从6名运动员中选出4人参加<
br>4100
接力赛,求满足下列条件的参赛方案各有多
少种:
⑴甲不能跑第一棒和第四棒;
⑵甲不能跑第一棒,乙不能跑第二棒
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴先确定第一棒和第四棒,第一棒是除甲以外的任何人,有5种选择,第四棒有4
种
选择,剩下的四人中随意选择2个人跑第二、第三棒,有
4312
种,由乘法原
理
,共有:
5412240
种参赛方案
⑵先不考虑甲乙的特殊
要求,从6名队员中随意选择4人参赛,有
6543360
种选择.考虑若甲跑第一棒
,其余5人随意选择3人参赛,对应
54360
种选
择,考虑若乙跑第二棒,也
对应
54360
种选择,但是从360种中减去两个
60种的时候,重复减了一
次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况,这种情况下,对
应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的4人选择2人
参赛的
4312
种方案,所
以,一共有
36060212252
种不同参赛方案.
【答案】
252
7-3-1.加乘原理之综合应用.题库 教师版
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