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5-5-3.同余问题

教学目标

1.
2.

学习同余的性质
利用整除性质判别余数

知识点拨
同余定理

1、定义：若两个整数
a
、
b
被自然数
m
除有相同的余数，那么称
a
、
b
对 于模
m
同余，用式
子表示为：
a
≡
b
(
mod

m
)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：
a
同余于
b
，模
m
。

2、重要性质及推论：
（1 ）若两个数
a
，
b
除以同一个数
m
得到的余数相同，则a
，
b
的差一定能被
m
整除
（1711）
例如：
17
与
11
除以
3
的余数都是
2
， 所以能被
3
整除．
（2）用式子表示为：如果有
a
≡
b
(
mod

m
)，那么一定有
a
－
b
＝
mk
,k
是整数，即
m
|(
a
－
b
)
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位 数较多时，
计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“
N
被
m
除的余数”，我们希望
找到一个较简单的数
R
，使得：
N
与
R
对于除数
m
同余．由于
R
是一个较简单的数，所以可< br>以通过计算
R
被
m
除的余数来求得
N
被
m< br>除的余数．
⑴ 整数
N
被2或5除的余数等于
N
的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数
N
被4或25除的余数等于
N
的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数
N
被8或125除的余数等于
N
的末三位数被8或125除的余数；
⑷ 整数
N
被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数
N
被11除的余数等于
N
的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的 余数；（不
够减的话先适当 加11的倍数再减）；
⑹ 整数
N
被7，11 或13除的余数等于先将整数
N
从个位起从右往左每三位分一节，奇数节
的数之和与偶 数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余
数．

例题精讲


模块一、两个数的同余问题


【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答
5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 1 of 7

【解析】
1473144
，
(36,144)12
，(法1)
39 336
，51-3=48，12的约数是
1,2,3,4,6,12
，
因为 余数为3要小于除数，这个数是
4,6,12
；
(法2)由于所得的余数相同，得到 这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说
513912
，
147 39108
，
(12,108)12
，它是任意两数差的公约数．所以这个数是< br>4,6,12
．
【答案】
4,6,12


【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这
个两位数是__ ____.
【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】人大附中，分班考试
【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这
样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
【答案】
61


【例 3】 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于这个数除 345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为
33．所以所
求的数为
(543345)336
．
【答案】
6


【例 4】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数 去除
220后所得的余数，则这个自然数是多少？
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于 这个自然数去除
90164254
后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所 得的余数相同，因此这个自然数是
25422034
的约数，又大于10，这个自然数只能 是17或者是34．
如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、 28、16，不符合题目
条件；如果这个数是17，那么它去除90、164、220后所得的余数分别 是5、11、16，符合
题目条件，所以这个自然数是17．
【答案】
17


【例 5】 两位自然数
ab
与
ba
除以7都余1，并且
ab
，求
abba
．
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
（10ba)9（ab）
abba
能被 7整除，即
(10ab)
能被7整除．所以只能有
ab7
，那么ab
可能为92和81，验算可得当
ab92
时，
ba29
满足题目要求，
【解析】
abba92292668

【答案】
2668


【例 6】 现有糖果254粒,饼干210 块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得
一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多 的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比
是：1：3：2，这个大班有_____名小朋友，每人分 得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____
个。
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】南京市，兴趣杯
【解析】 设大班共有
a
名小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2，所以
5-5-3.同余 问题.题库 教师版 page 2 of 7

余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而25 4+186-210一定是
a
的倍数，即
254+186-210=230=1×23 0=10×23=2×5×23是
a
的倍数。同样，2×254-186=322=23×14 =23
×14=23×2×7也一定是
a
的倍数。所以，
a
只能是2 3×2的因数。但
a
﹥40,所以
a
=46。此
时254=46×5 +24，210=46×3+72，186=46×3+48。故大班有小朋友46名，每人分得糖果5
粒，饼干3块，桔子3个。
【答案】小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个

模块二、三个数的同余问题

【例 7】 有一个大于1的整数，除
45,59,101
所得的余数相同，求这个数.
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这个题没有告 诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余
数相同，根据同余定理，我们可以得 到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也
就是说它是任意两数差的公约数．
101 4556
，
594514
，
(56,14)14
，
14
的约数有
1,2,7,14
，所以这个数可能为
2,7,14
。
【答案】
2,7,14


【巩固】 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第9题
【解析】 这个数除300、262，得到相同的余数，所 以这个数整除300－262＝38，同理，这
个数整除262－205＝57，因此，它是38、57 的公约数19。
【答案】
19


【巩固】 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】 因为
1390313511392
,
1458913903686
，由于13511，13903，14589要被同
一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被 同一个数整除．
(392,686)98
，所以
所求的最大整数是98.
【答案】
98


【巩固】 140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的
余数是 .
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】三帆中学，入学测试
【解析】 这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定 余0。那么这个自然数是
293-225=68的约数,又是225-140=85的约数，因此就是6 8、85的公约数,所以这个自然数
是17。所以2002除以17余13。
【答案】
13


【巩固】 三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个
除数是 。
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第4题，6分
512328
，
725121
，【解析】 （28，21）=7，所以这个除数是7。
【答案】
7

5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 3 of 7

【例 8】 学校新买来118个乒乓球，67个 乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品
平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问 学校共有多少个班？
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 所求班级数是除以
118,67,33
余数相同的数．那么可知该数应该为
1186751
和
673334

的公约数，所求答案为17．
【答案】
17


【例 9】 若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同
且 为两位数，除数和余数的和为_______．
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】 设除数为
A
．因为 2836，4582，5164，6522除以
A
的余数相同，所以他们两两之
差必能 被
A
整除．又因为余数是两位数，所以
A
至少是两位数．4582-2836 =1746，
51644582582
，
652251641358
，因为
(582,1358)194
，所以
A
是194的大于10的
约数．194的大于10的约数只有97和194．如果
A194
，
23861 9414120
，余数不是
两位数，与题意不符．如果
A97
，经检验， 余数都是23，除数

余数
9723120
．
【答案】120

【例 10】 一个大于1的数去除290，235，200时， 得余数分别为
a
，
a2
，
a5
，则这
个自然数 是多少？
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为
a
）． < br>既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么
这个自 然数是
29023357
的约数，又是
23319538
的约数，因 此就是57和38的公约
数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数 是19．
【答案】
19


【巩固】 有3个吉利数888，51 8，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为
a
,
a
+7,
a
+10,则这个自然数是_____.
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】清华附中，入学测试
【解析】 处理成余数相 同的，则888、518-7、666-10的余数相同，这样我们可以转化成同
余问题。这样我们用总 结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是
888-656=232的约数，也是65 6-511=145的约数，因此就是232、145的公约数,所以这个自
然数是29。
【答案】
29


【例 11】 一个自然数除429、791、5 00所得的余数分别是
a5
、
2a
、
a
，求这个自然数< br>和
a
的值.
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为
2a
的数：

4295

2848
，
791
、
500 21000
，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是
2a
，故同余.
将这三个数相减，得到
84879157
、
1000848152
， 所求的自然数一定是
57
和
152
的
公约数，而

57,152

19
，所以这个自然数是
19
的约数，显然1是不 符合条件的，那么只能
5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 4 of 7

< br>是19.经过验证，当这个自然数是
19
时，除
429
、
79 1
、
500
所得的余数分别为
11
、
12
、
6
，
a6
时成立,所以这个自然数是
19
，
a6.
【答案】
6


【例 12】 甲、乙、丙三数分别为60 3，939，393．某数
A
除甲数所得余数是
A
除乙数所得
余数的 2倍，
A
除乙数所得余数是
A
除丙数所得余数的2倍．求
A
等于多少？
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意，这三个数除以
A
都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
60 3AK
1
r
1
，
939AK
2
r
2
，
393AK
3
r
3
由于
r
1< br>2r
2
，
r
2
2r
3
，要消
去 余数
r
1
,
r
2
,
r
3
,我 们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式
子乘以2，使得被除数和余数都扩大 2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下
面的式子：
603AK
1< br>r
1


9392

A2K
2
2r
2
< br>
3934

A2K
3
4r
3
这样余
数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被
A
整除．
9392 6031275
，
3934603969
，

1275, 969

51317
．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不< br>满足，检验17和51可知17满足，所以
A
等于17．
【答案】
17


【例 13】 已知60，154，200被某自 然数除所得的余数分别是
a1
，
a
2
，
a
31
，求该自
然数的值．
【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是
a
，
a
2
，
a
3
．
由于
a< br>2
aa
，所以自然数
61
2
3721
与
154
同余；由于
a
3
aa
2
，所以
61 1549394
与
201同余，所以除数是
37211543567
和
93942019193
的公约数，运用辗转相除法可得
到
(3567, 9193)29
，该除数为29．经检验成立．
【答案】
29


【例 14】 有一个自然数，它除以
15
、
17
、
19< br>所得到的商(＞
1
)与余数(＞
0
)之和都相等，
这样的数最 小可能是多少．
【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】
A15a（Xa）14aX

A15a... ...X（
a
Xa）

）A17b（Xb）16bX


A17b......X（
b
Xb

A1 9c......X（Xc）A19c（Xc）18cX
c

14 a16b18c72|aa
至少为
72
，
A15aX
a
1572X
a
1080X
a

14a16b 18c63|bb
至少为
63
，
A17bX
b
1 763X
b
1071X
b

14a16b18c56 |cc
至少为
56
，
A19cX
c
1956X
c
1064X
c

最小为1081．
【答案】
1081


【例 15】 三个不同的自然数的和为20 01，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的
余数也相同，这三个数是_______， _______，_______。
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】祖冲之杯
73a3b2001
，
(19a b)(23ab)(31ab)2001
，【解析】 设所得的商为
a
，除 数为
b
．
由
b19
，可求得
a27
，
b10
．所以，这三个数分别是
19ab523
，
23ab631
，
31ab847
。
5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 5 of 7

【答案】523，631，847

模块三、运用同余进行论证

【例 16】 在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个 数
加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的
数吗 ？为什么？


【考点】运用同余进行论证 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总 和增加3的倍
数，所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数
的总和应能被3整除，这就得出矛盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不
会变为9个相同的数。

【例 17】 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等 于它
除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】仁华学校
【解析】 设这个三位数为
s
，它除以17和19的商分别为
a
和< br>b
，余数分别为
m
和
n
，则
s17am19b n
．
根据题意可知
ambn
，所以
s

am

s

bn

，即
16a18b
，得
8a9b
．所以
a
81
是9的倍数，
b是8的倍数．此时，由
ambn
知
nmabaaa
． 由于
s
为
99
三位数，最小为100，最大为999，所以
100 17am999
，而
1m16
，所以
17a117am99 9
，
10017am17a16
，得到
5a58
，而< br>a
是9的倍数，所以
a
1
最小为9，最大为54．当
a54
时，
nma6
，而
n18
，所以
m12
，故此时
s
最大
9
1
为
175412930
；当
a9
时，
nma1
，由于
m1
，所以此时< br>s
最小为
9
1791154
．所以这样的三位数中最大的是93 0，最小的是154．
【答案】最大的是930，最小的是154

【例 18】 从1，2，3，……，
n
中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则
n
的最大值为多少？
【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】西城实验
【解析】 被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、2 7、40、53、66……，其中
只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数， 则没有两个数的差为
13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为
x
的序列，都最

x

多能取
x

个数，使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个．

2


n


n

基于以上，
n
个 数分成13个序列，每条序列的长度为

或

1
，两个长度差 为1的

13


13

序列，要使取出的数中没 有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所
5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 6 of 7

< br>以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条
序 列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分
配了5个数， 则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当
n
最小为
88951 09
时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差
为13，那么
n
的最大值为108．
【答案】
108


【例 19】 设
2n1
是质数，证明：
1
2
，
2
2
，…，
n
2
被
2n1
除所得的余数各不相同 ．
【考点】运用同余进行论证 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 略 【答案】假设有两个数
a
、
b
，(
1ban
)， 它们的平方
a
2
，
b
2
被
2n1
除余数 相同．那
么，由
同余定理得
a
2
b
2
0(m od(2n1))
，即
(ab)(ab)0(mod(2n1))
，由于< br>2n1
是质数，
所以
ab0(mod(2n1))
或
ab0(mod(2n1))
，由于
ab
，
ab
均小于< br>2n1
且大于0，
可知，
ab
与
2n1
互质，
ab
也与
2n1
互质，即
ab
，
ab都不能被
2n1
整除，产
生矛盾，所以假设不成立，原题得证．


5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 7 of 7