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小学数学应用题大全

小学数学中把含有数量关系的实际问题用语 言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任
何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条 件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。
应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。
应用题可分为一般应用题与典型应用题。

没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。

题目中有特殊的数量关系 ，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资
料主要研究以下30类典型应用题 ：

1、归一问题

11、行船问题

21、方阵问题

2、归总问题

12、列车问题

22、商品利润问题

3、和差问题

13、时钟问题

23、存款利率问题

4、和倍问题

14、盈亏问题

24、溶液浓度问题

5、差倍问题

15、工程问题

25、构图布数问题

6、倍比问题

16、正反比例问题

26、幻方问题

7、相遇问题

17、按比例分配

27、抽屉原则问题

8、追及问题

18、百分数问题

28、公约公倍问题

9、植树问题

19、“牛吃草”问题

29、最值问题

10、年龄问题

20、鸡兔同笼问题

30、列方程问题



1 归一问题

【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求
的数量。这类应用题叫做 归一问题。

【数量关系】 总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？



例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几
次？



2归总问题

【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫
归总问题。所谓“总数量”是 指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小
时行的总路程等。


【数量关系】 1份数量×份数＝总量 总量÷1份
数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量


【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。


1

例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套 衣服用布2.8米。原来
做791套衣服的布，现在可以做多少套？


例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读
完《 红岩》？


例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢 慢消费完这批蔬菜。后来根据大
家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？



3 和差问题

【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。


【数量关系】 大数＝（和＋差）÷
2 小数＝（和－差）÷ 2


【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？



例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。




例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋 共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22
千克，求三袋化肥各重多少千克。


例4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车 比乙车还多3
筐，两车原来各装苹果多少筐？




4 和倍问题

【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分 之几），要求这两个
数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。


【数量关系】 总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数
总和 － 较小的数 ＝ 较大的数 较小的数 ×几倍 ＝ 较大的
数


【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。


例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少
棵？


例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少
吨？



例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往 乙站28辆，从乙站开往甲
站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？


例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

5 差倍问题


2

【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个
数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】 两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少
棵？




例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多
少岁？



例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2倍还多12万元，又知本月盈利
比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？



例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出 小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下
的玉米是小麦的3倍？



6 倍比问题

【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先 求出这个倍数，
再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。


【数量关系】 总量÷一个数量＝倍数 另一个数量×倍数＝另一总量


【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。


例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？


例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名 师生
共植树多少棵？



例3 凤翔县今年苹果大丰 收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡
800亩果园共收入多少元？全县1 6000亩果园共收入多少元？



7 相遇问题

【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问
题。


【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间


【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1 南京到上海的水 路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的
船每小时行28千米，从上海开出 的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？



例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3
米，他们从同一地 点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？



3

例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行， 甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，
两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。


8 追及问题

【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（ 或者在同一地点而不是同时出发，或者在不
同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要 快些，在前面的，行进速度较慢些，在一
定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问 题。


【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间


【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。


例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地 点同时出
发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少
米。

例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10 千米的
速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两 地相距
60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？



例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。



例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？


例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当 他走了1
千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如 果孙亮
从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

9 植树问题

【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已 知其中的两个量，要
求第三个量，这类应用题叫做植树问题。


【数量关系】 线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1

环形植树 棵数＝距离÷棵距 方形植树 棵数
＝距离÷棵距－4
三角形植树 棵数＝距离÷棵距－3 面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行
距）


【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。


例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？



例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？




4

例3 一个正方形的运 动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少
个照明灯？



例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60 厘米和40
厘米，问至少需要多少块地板砖？



例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆
上安装2盏路灯 ，一共可以安装多少盏路灯？



10 年龄问题

【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，
两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。


【数量关系】年龄问题往 往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路
是一致的，要紧紧抓住“年龄差不 变”这个特点。

【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。


例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？



例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？


例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？


例4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的
岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？


11 行船问题

【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清 船速与水速，船速是船
只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺 水航行的速度是船速
与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。


【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2


【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。


例1 一只船顺水行320千米 需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路
程需用几小时？


例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15
小时，返回原地需多少时间？


例3 一架飞机飞行在两个城市 之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，
飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需 要几小时？


12 列车问题

【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。


【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）


5

÷（甲车速－乙
车速）

火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

÷（甲车速＋乙
车速）


【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。


例1 一座大桥长2400米， 一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾
离开桥共需要3分钟。这列火车长多少 米？


例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了 2分5秒钟时间，求大桥
的长度是多少米？


例3 一列长225 米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速
度在后面追赶，求快车从追 上到追过慢车需要多长时间？


例4 一列长150米的列车以每秒22米的 速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面
走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？

例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一 条长1250米的大
桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？


13 时钟问题

【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针 重合、两针垂直、两针成一线、
两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。


【数量关系】 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差为1112。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。


【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。


例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？


例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？


例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

14 盈亏问题

【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足
（亏），或两次都有余， 或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。


【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差


【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。


例1 给幼儿园小朋友分苹果， 若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少
小朋友？有多少个苹果？



6

例2 修一条公路，如 果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完
全长仍得延长4天。这条路全长 多少米？




例3 学校组织春游，如果每辆车 坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。
问有多少车？多少人？


15 工程问题

【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率 和工作时间三者之间的关系。这类问题在已
知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程 ”、“一块土地”、“一条水渠”、“一
件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的 倒
数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者
之间的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成 ，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，
需要几天完成？


例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比
乙多做24个，求这 批零件共有多少个？


例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10 小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先
做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？



例4 一个水池，底 部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4
个进水管时，需要5小时才能注 满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用
2小时将水池注满，至少要打开多 少个进水管？



16 正反比例问题

【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应
的两个数 的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关
系。正比例 应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量 也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，
这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做 反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等
知识的综合运用。


【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化
为正反比 例问题去解决，而且比较简捷。


【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例
的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1 修一条公路，已修 的是未修的13，再修300米后，已修的变成未修的12，求这条
公路总长是多少米？




7

例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？


例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几
天就可以看完？

17 按比例分配问题

【含义】 所谓按比例分配，就是把一个 数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一
般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总 数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总
份数＝比的前后项之和


【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化 为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总
份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母 ，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的
几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。< br>

例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有4 7人，二班有48
人，三班有45人，三个班各植树多少棵？




例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是< br>多少厘米？



例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要 把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的12，
二儿子分总数的13，三儿子分总数的19，并规定不 许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。


例4 某工厂第一、二、三车 间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个
车间共多少人？

人 数

80人

一共多少人？

对应的份数



12－8

8＋12＋21

18 百分数问题

【含义】 百 分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。
分数常常可以通分、约分，而 百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只
能表示“率”；分数的分子、分 母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记
号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。


【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量

标准量＝比较量÷百分数


【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：

（1） 求一个数是另一个数的百分之几；

（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。


8

例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百
分之几？


例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？


例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分
之几？

例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百
分之几？

















例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：

增长率＝增长数÷原来基数×100%

合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%

命中率＝命中次数÷总次数×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%
19 “牛吃草”问题
【含义】 “ 牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的
特点在于要考虑草边吃边长这 个因素。


【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数


【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。


例1 一块草地，10头牛20 天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5
天可以把草吃完？



例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如 果有
12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘 完？



20 鸡兔同笼问题

【含义】 这 是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各
有多少只的问题，叫做第一鸡 兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问
题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有


9

兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）


【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都 是兔。
如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。 通过
先假设，再置换，使问题得到解决。


例1 长毛兔子芦花鸡 ，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细
算一算，多少兔子多少鸡？



例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共 16亩，施肥9千克，求
白菜有多少亩？



例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每
本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？


例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少
只？


例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍， 问大小和
尚各多少人？



21 方阵问题

【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或
总物数， 这类问题就叫做方阵问题。


【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4

每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数



内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4


【解题思路和方法】 方阵问题 有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；
空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情 况确定。


例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵， 每行22人，参加体操表演
的同学一共有多少人？



例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。



例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队
学生共 多少人？



例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子 ，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺
少9只棋子，问有棋子多少个？



10

例5 有一个三角形树林，顶点 上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一
排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？


21 方阵问题

【含义】 将若干人或物依一定条 件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或
总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4 每
边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数



内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4


【解题思路和方法】 方阵问题 有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；
空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情 况确定。


例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵， 每行22人，参加体操表演
的同学一共有多少人？



例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。




例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人 数是28人，这队
学生共多少人？



例4 一堆 棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺
少9只棋子，问有棋子多少 个？


例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一 排多1棵，最下面一
排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？


22 商品利润问题

【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题， 包括成本、利润、利润率和亏损、亏
损率等方面的问题。


【数量关系】 利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%

售价＝进货价×（1＋利润
率） 亏损＝进货价－售价

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%


【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。


例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商 品从原价到
二月份的价格变动情况如何？

例2 某服装店因搬迁，店内商品 八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来
按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈 利？亏（盈）率是多少？


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例3 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80 %后，
剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折 扣？


例4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店 按30%的利润定价，乙店按
20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。



23 存款利率问题

【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率 、存期这三个因素
有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百 分数；月利率是
指存期一月所生利息占本金的百分数。


【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%

利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率

本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）
数］


【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。


例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存 款期
多长。



例2 银行定期整存整取的年利率是： 二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙
二人同时各存入1万元，甲先存二年期， 到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时
取出，那么，谁的收益多？多多少元？

化学典型应用题
24 溶液浓度问题


【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是 溶剂
（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质 ，
溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。


【数量关系】 溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%


【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。


例1 爷爷 有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若
要把它变成30% 的糖水，需加糖多少克？



例2 要把30%的糖水与15 %的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各
多少克？



例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的 一半倒入乙中，
混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲 乙两容器中的
盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。

25 构图布数问题

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【含义】 这是一种数学游戏， 也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设
计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数 字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的
条件。


【数量关系】 根据不同题目的要求而定。


【解题思路和方法】 通常多 从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来
构图布数，符合题目所给的条件。


例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。


例2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。

例3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。


例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入
这七个数，每个数只 填一处，且每条线上三个数的和都等于12。



26 幻方问题
【含义】 把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列 以及对角线上的各数之和
都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。


【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。

三级幻方的幻和＝45÷3＝15 五级幻方
的幻和＝325÷5＝65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以 及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定
正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。


例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每 行、每列、每条对
角线上三个数的和相等。

解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15

九个数在这八条线上反复 出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到
四次（即出现在中行、中列、和两 条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各
用到两次。看来，用到四次的“中心 数”地位重要，宜优先考虑。

设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （1＋2＋
3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4

即 45＋3Χ＝60 所以 Χ＝5

2

7

6

接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们

9

5

1

分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别

4

3

8

在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。


例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，

使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。


27 抽屉原则问题
【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放 进一个抽
屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话 表示：
一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。


【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中， 那么
至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。


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抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元 素那么至少有一个抽屉中
要放（k＋1）个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的 个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更
多的元素。


【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屉； （3）
说明理由，得出结论。


例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？


例2 据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕< br>西省至少有多少人头发根数一样多吗？

例3 一个袋子里有一些球，这些球 仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8
个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试 问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色
相同？

28 公约公倍问题

【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。


【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。


【解题思路和方法】 先确定 题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约
数和最小公倍数的求法，最常用的是“短 除法”。


例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成 若干个大小相同的最大的正
方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？


例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要
30分 钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能
同时又 在起点相遇？


例3 一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96 米，84米，现要在四角和四边植树，
若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？

例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还 多1个。
又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。

29 最值问题

【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能 源，要少花钱
多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。


【数量关系】 一般是求最大值或最小值。


【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。


例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，
现在需要烤三块饼，最 少需要多少分钟？



例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相 邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存
煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤4 00吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中
到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到 几号煤场花费最少？



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例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，

若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？


30 列方程问题

【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未 知数的等式——
方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。


【数量关系】 方程的等号两边数量相等。


【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。

（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。

（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。

（4）解；求出所列方程的解。

（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。

（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。

同学们在列方程解应用题时，一般只写出 四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未
知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数 和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名
称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出 ，但必须检验。


例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？


例2 鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？


例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车
每次运多少袋？< br>


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