北京工商嘉华学院-野蛮生长读后感

速算与巧算
知识要点
在各类数学竞赛中，都有一定 数量的计算题。计算题一般可以分为两类：一类是基础题，
主要考查对基础知识理解和掌握的程度；另一 类则是综合性较强和灵活性较大的题目，主要
考查灵活、综合运用知识的能力，一般分值在10分到20 分之间。这就要求有扎实的基础知
识和熟练的技巧。
1.速算与巧算主要是运用定律：加法的 交换律、结合律，减法的性质，乘法的交换律、结合
律和乘法对加法的分配律，除法的性质等。
2.除法运算规律：
(1)A÷B＝1÷
B

A
(2)a÷b±c÷b＝(a±c)÷b
3.拆项法：
(1)
111


nn1n(n1)
d11


n(nd)nnd
1111
()

n(nd)dnnd
(2)
(3)
(4)

11

11





n(n1)(n2)2

n(n1)(n1)(n2)

n
2
(n1)
2
nn111
(5)
11

n(n1)n1nn1n
(6)将
1
分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数a
1
和a
2
， 然后分子、分母分
A
别乘以(a
1
＋a
2
)，再拆分，最后 进行约分。

1(a
1
a
2
)a
1< br>a
2
1
11

＝＝＝

AA
A< br>A(a
1
a
2
)A(a
1
a
2)A(a
1
a
2
)
(a
1
a
2
)(a
1
a
2
)
a
1
a
2
4.等差数列求和：
(首项＋末项)×项数÷2＝和
5.约分法简算：将写成分数 形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或
公有因式。

典例巧解
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)

2007÷2007
2007
＝ 。
2008
点拨一 被除数是2007，除数是一个带分式，整数部分和分数部分的分子都是2007，我们
2007
化为假分数，再把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。
2008
2007
解 2007÷2007
2008
200720082007
＝2007÷
2008
20072009
＝2007÷
2008
2008
＝2007×
20072009
2008
＝
2009
B
点拨二 根据题目特点，如果利用“A÷B＝1÷”，本题就可以避免先 将带分数化成假分
A
可以把2007
数后，再相除的一般做法，而采用同数相除商为1 的巧办法。
2007
解 原式＝1÷
2007
2008
，
2007
1

2008
2008
＝
2009
＝1÷1
说明 本题“巧”在倒数概念的运用。
例2 (第五届“希望杯”邀请赛试题)
11111111
(1)(1)(1)(1 )(1)(1)(1)(1)
23456789

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9
＝ 。
点拨 此题分子可化简去括号变成因数乘积的形式，再约分化简，分母可通过凑整变形化简，
问题易解。
12345678

23456789
解
(0 .10.9)(0.20.8)(0.30.7)(0.40.6)0.5
1
2
＝
9
＝
9
81
2
2342829
1232728
452930
。 例3 计算：
3
12 32728
3575557
3452930

点拨 初看题目，分子、分母都是一组有一定规律的数列，可以先分别求出 和，再求它们的
商，但事实上，求出和的结果是不易做到的。再仔细观察分子、分母，可以发现对应项之 间
存在一定的规律：
13
210
3
23
22
44
38
5
÷1＝×＝2，5÷2＝×＝2，7÷3＝×＝2，„，
35455< br>334411519
272816222829
29
55÷27＝×＝2，57 ÷28＝2。
2929293030
811
3
这说明分母的总和正好是分子总和的2倍，问题易解。
2342829
1232728
452930
解
3
1232728
3575557
3452930
2342829
1232728
3452930
＝
2342829
2(1232728)
3452930
1
＝
2
2728
说明 在计算55÷27时，如果不用常规的办法，先将带分数转化 为假分数，而是利
2929
用题目中的数据，再经过转化，逆向运用乘法分配律，就更简便。如 ：
被除数＝55×29＋27＝54×29＋(29＋27)＝2×(27×29)＋2×2 8＝2×(27×29＋28)，
除数＝27×29＋28，仍然可以看出被除数正好是除数的2倍。

例4 计算：
111111

2349
。
1111 1

1199922000320019992997100029 98
1
点拨 观察题目可知，要求计算的繁分数的分子与分母都是较为复杂的分数数列，所 以不妨
分别计算繁分数的分子和分母，然后再计算最后结果。
观察繁分数的分子，虽 然是一列分母从1开始的分数单位的数列，但分母是偶数的分数
单位都是减数，所以，得运用一加一减的 技巧来满足等差数列求和的条件。
1111111111
)2()

23492461998
111111
)(1)
＝
(1
23199923999
111

＝
1
11111

分母＝
29963998
1111

＝×()
21
解 分子＝
(1

111

1999
原式＝
10001001
1111
()
21
＝2
例5 计算：
1
111

。
12123123910
点拨 因为
2
1
1222
＝＝，＝＝„
12
(12)2
23
123
4334
所以本题可以将每一项做适当变形后，用前面的方法使计算简便。
111


12123123910
222

＝
1

23341011
1111

＝2×()
1223341011
1111111

) ＝2×(
1
223341011
1
＝2×(1－)
11
9
＝1
11
121988
121
1
2
3
2
1
例6 计算：＋＋＋＋＋＋＋＋„＋＋ ＋„＋＋
30
222
3
3
3
3
19891990< br>＋。
19901990
1
2
3
2
1121988< br>121
点拨 审题知＋＋＝2，＋＋＋＋＝3，„，＋＋„＋
3
3
3
3
30
222
19891990
＋＋＝1989，即题的前半部分可 变形为2＋3＋4＋„＋1989，应用等差数列求
19901990
解
1 
和公式求出。题的后半部分是同分母加法，而且分子是一个等差数列，应用等差数列求和公
式 ，可求出分子相加的结果。
解 原式＝2＋3＋4＋„＋1989＋
(11990)19902

1990
＝(2＋1989)×1988÷2＋19 91÷2
＝1979054＋995.5
＝1980049.5
例7 计算：
573697572363636

。
573697124727272
点拨 可利用拆项和乘法分配律分别将两个加数变形。
解 第一个加数可变形为

573697572
573697572
＝
573697124
(5721)697124

再应用乘法分配律把此式变形为
573697572573697572
＝＝1；
572697697 124572697573
363636360000360036
第二个加数变形为＝
727272720000720072

分子、分母都分别含有相同的数，变形为

36(100001001)
36
＝。
72(100001001)
72
36
1
＝1。
72
2
12378

例8 计算：

。
223234234567823456789
原式＝1＋
点拨 可先通过试验的方法找出规律。
211311

，，„
2322323423234
12378

解


22323423456782345678 9
1
11111
＝＋(－)＋(－)＋„＋(－
234
222 323234567
111
)＋(－)
23456782 34567823456789
111
＝＋－
2223456789
362879
＝
36288 0
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
例9 计算：(1＋＋＋)×(＋＋＋)－(1＋＋＋＋)×(＋＋
2
3
42
3
4
5
2
3
4
52
3
1
)。
4
1
1
11
1
1
点拨 可以把1＋＋＋看成一个 整体，暂时用字母A来表示这个整体，把＋＋
2
3
42
3
4

也看成一个整体，用字母B来表示。则A－B＝1。
1
1
11
1
1
＋＋，B＝＋＋，则A－B＝1。
2
3
42
3
4
1
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
(1＋＋＋)×(＋＋＋)－(1＋＋＋＋)×(＋＋)
2
3
42
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
11 ＝A×(B＋)－(A＋)×B
55
11
＝A×B＋A－A×B－×B
55
1
＝(A－B)
5
解 令A＝1＋

＝
1

5
例10 计算：
1111

。
1232343459899100
点拨 根据
111
1
＝×[－]，把所有的分数都拆成
n(n1)(n2)
2
n(n1 )(n1)(n2)
两个分数之差，中间的分数就可以全部消去，原题可解。
1111


12323434598991 00
1111111111

＝×()＋×()＋×()＋„＋×
21 22322334234452
11

()
989999100
11111111

＝×()
21223233434989999100
111

＝×()
21299100
111
＝×(

)
229900
14949
＝×
29900
4949
＝
19800
111

例11 计算：。
1234234517181920
解
点拨 根据每个分数的特点，将所有的分数拆成两个分数之差，化简计算即可。
111


123423451718192 0
11
1111

＝()×＋()×＋„＋
33
123234234345
1
11

()×
3< br>171819181920
1
111111

＝×(＋＋ „＋)
3
1232342343451718191819 20
11
1
＝×(－)
3123
181920
1
319201
＝×(－)
3
12331920181920
1
11401
＝×(－)
3
181920181920
1
1139
＝×
3
181920
解

＝
1139

20520
1
111
＋
2
＋
3
＋„＋
10
。
2
2
22
例12 计算：1＋
点拨 可将原式设为S，则计算起来简便。
1
111
＋
2
＋
3
＋„＋
10

2
2
22
11
1111
则S＝＋
2
＋
3
＋
4
＋„＋
11

2
22
2
22
111
1111111
S－ S＝(1＋＋
2
＋
3
＋„＋
10
)－(＋
2
＋
3
＋
4
＋„＋
11
)，
2
222
222
2
22
11
111111
S＝1＋－ ＋
2
－
2
＋„＋
10
－
10
－
1 1

2
222
2
222
11
S＝1－
11

22
1
S＝(1－
11
)×2
2
1
＝2－
10

2
1
＝2－
1024
1023
＝1
1024
11023
111
∴1＋＋
2
＋
3
＋„＋
10
＝1
1024
2
2
22
113113
例13 计算：1＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋„＋10。
424424
解 设S＝1＋
点拨一 认真观察可以发现：
1111131131
－1＝，1－1＝ ，1－1＝，„，10－9＝，由此可以看出，
4424442444
11
公差＝，项 数n＝(a
n
－a
1
)÷d＋1，所以n＝(10－1)÷＋1＝37，那么 前37项的和，我
44
(aa
n
)n
们就可以根据公式：S＝< br>1
求出和。
2
11
解法一 观察发现，各个加数能组成公差＝的等 差数列，项数n＝(10－1)÷＋1＝37，
44
(110)37407
1S＝＝＝203。
22
2
1
点拨二 如果此题我们从另一个角度观察，把它们每4个数分为一组，则有
(1＋1
11311 3113
＋1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋„＋(9＋9＋9＋9)＋10。观察每
4244 24424
113113
＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋„＋10
424424
组对应项的特点，我们很容易计算出结果。
解法二 1＋1

113113
＋1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋„＋10
424424
131
＝(1＋2＋3＋„＋9)×4＋(＋＋)×9＋10
442
(19)9
3
＝×4＋×9＋10
2
2
1
＝180＋13＋10
2
1
＝203
2
＝(1＋1
例14 8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整数部分是多少？
点拨 本题并 未要求这个式子的准确值，只要求其整数部分，所以只要大体估出这个式子的
值在哪两个相邻整数之间就 行了。如果n是整数而能得出n≤a＜n＋1，那么就能肯定a的
整数部分是n。
观 察这一组数据发现，这组数据与8×1.25＝10很接近，所以应从此着手进行分析。再
仔细观察，发 现这个式子中每两个相乘的数都有规律：8.01，8.02，8.03，都逐个增加0.01，
而1. 24，1.23，1.22，都逐个减少0.01，于是可知8＋1.25＝8.01＋1.24＝8.02＋1 .23＝
8.03＋1.22，即相乘两数的和相等。两数相加，当其中一个加数增大，另一个加数减小 ，但
其和始终保持固定时，它们二者的积会怎么变化呢？如果另取2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5比< br>较，会发现2×8＝16，3×7＝21，4×6＝24，5×5＝25，即2×8＜3×7＜4×6＜5 ×5，就
是当两个数和固定而两数相差越大时，这两数的积越小。这是否是一般规律呢？
设a
1
＋b
1
＝a
2
＋b
2
＝k，而a< br>1
＞a
2
＞b
2
＞b
1
，这时a
1
与b
1
相差就比a
2
与b
2
的差大(a
1
－b
1
＞a
2
－b
1
＞a
2
－b
2
)。此时
a
2
b
2
－a
1
b
1

＝a
2
(k－a
2
)－a
1
(k－a
1
)
22
＝a
2
k－a
2
－a
1
k＋a
1
；
22
＝a
1
－a
2
－(a
1
k－a
2
k)
＝(a
1
＋a
2
)(a
1
－a
2
)－k(a
1
－a
2
)
＝(a
1
－a
2
)(a
1
＋a
2
－k)
由于a
1
＞a
2
，而且a
1
＋a
2
＞a
1
＋b
1
＝k，所以a
2
b
2＞a
1
b
1
。也就是说：当两数的和一定时，
两数相差越大，它 们的积就越小。
解 ∵8－1.25＜8.01－1.24＜8.02－1.23＜8.03－1.22，
于是8×1.25＞8.01×1.24＞8.02×1.23＞8.03×1.22。
而8×1.25＝10，
∴8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＜10×3＝30。
但8.03×1.22＞8×1.22＝9.76，
∴8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＞9.76×3＝29.28。
答：所求整数部分为29。这就是说该和数在29.28到30之间，于是其整数部分为29。

解题技巧
速算与巧算，主要应用各种定律和运算性质，利用数和数之间的特 殊关系，合理灵活地
进行组合与分解、凑整，进行简洁、快速地运算。
对于分数的混合运算， 除了掌握常规的四则运算法则外，还应掌握一些特殊的运算技巧，
．．．．．．．
才能提高运算 速度，解答较难的问题。

竞赛能级训练
A 级
2
2222
＋＋＋＋。答案；10231
1113
131 5151717191921
1111

2.计算：
1
。10051
12123123412350
4444 4

3.计算：。32009603
13535757 9939597959799
1.计算：
4.计算：325.24＋425.24＋6 25.24＋925.24＋525.24。2826.2
5.计算：

B 级
1.如果把0.简记为
0.000025
。下面有两个数：
10 个0
1
2
125859
1123
＋(＋)＋(＋＋)＋„＋(＋＋„ ＋＋)。285
3
3
60606060
2444
a＝
0.000125
，b＝
0.0008
，试求：a＋b，a－b，a× b，a÷b。
1984个0
1988个0
2.计算：(1＋
3.计算：
1111
11
)×(1－)×(1＋)×(1－)ׄ×(1＋)×(1－)。 339999
22
777777777
(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1)(1)
123456789
。
9 999999
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
12 34567
4.计算：
111555
÷
3335
。
1995个1
1995个5
1994个3

能力测试
一、选择题(每题8分，共16分)
1111
11
1
1111
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝( )。
24
8
16
3264
128
256
512
1024
4096
140931333
A. B. C.2 D.
2
11
111
2.计算：1－－－－－＝( )
545
117221357
16171920
A. B. C. D.
21212121
1.
二、简算下列各式( 第1题6分，第2题15分，第3题8分，第4题15分)
1.(1)4.74＋(1.26－0.77)＝ ；
(2)9.9×9.9＋0.99＝ 。
2.(1)(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28)＝ ；
22222
(2)(0.1＋0.2＋0.3＋0.4)＝ ；

112121212
×＝ 。
232132132
3.
0.6250.6250.6258 882222
＝ 。
(3)
10个0.6259个8
8个2
4.不计算，在□中填入“＞”、“＜”或“＝”。
(1)0.3÷0.03×0.003÷0.0003□10 ÷100×1000 ÷10000。
(2)32.7 ÷0.25＋2.51×10□32.7×4＋2.51÷0.1。
(3)282.4÷0.999□282.4×0.999。
三、解答题(每题8分，共40分)
45
×1.375＋105×0.9。
1919
1111

2.计算：
1
。
121231234123200
1.计算：84
3.计算：
1
2310
。

1(12)(12)(123)(1239)(12310)< br> 4.计算：
3333


12342345345617181920
5.在小数点后依次写下整数1，2，3，4，„，998， 999得到小数0.11„
999。其中小数点右边第1997个数字是几？