一个人走-俗语大全

第一讲分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻 找
通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分 数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利
用 运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换 元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简
便，而通项归纳法能将“形似”的 复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，那么有
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x提取出来即可转
化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分
数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
1
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4
(1)
122334...(n1)n

二、换元
解数学题时 ，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转
化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论：
纯循环小数 混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字
所组成的数的差
分子 循环节中的数字所组成的数
1 16

分母 n个9，其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0
的左侧
··
····
abca
aabab1ab
； ； ； ，……

0.a0.0ab
990
9999910990
·
2、单位分数的拆分：
例：
11111111
111
=====

102020

分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：

11(mn)mn
11
=



NN(m n)N(mn)N(mn)
AB
本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1和2，有：

11(12)1211


1010(12)10(12)10(12)3015
本题具体的解有：

111111111


1351530
例题精讲
模块一、分数裂项
11111


123 423453456678978910
1

111111

【解析】
原式



L



3

1232342343457898910

【例 1】
1

11

119



< br>

3

1238910

2160
333
【巩固】

......
123423451 7181920
1111111
【解析】
原式
3[(...)]

312323423 4345171819181920
113192011139


1231819201819206840
5719
【例 2】
计算：

L

．
1232348910
【解析】
如果式子中每一项的分子都相同，那么 就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差
数列，且等差数列的公差为2． 相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第
n
个数恰好为
n的
2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成 3与另一个的和
再进行计算．
原式

3234316

L

1232348910
1128

1

1

3


L
L


2


123234891 01232348910

1

111111

11

1
3


L
 
L


2


2

1 223233489910

2334910

3

11

11

1111


2 
L




2

129 10

910

2334
3

11

71123

11





 2








2< br>
290

210
460515


< br>也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为
2n3
，所以
2 16

2n323
，再将每一项的

n

n1



n2

n1



n2

n

n1



n2

3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法 相同．
n

n1



n2
< br>2
与
n1n2

571719


L

）
234345891091011< br>571719
【解析】
本题的重点在于计算括号内的算式：
．这个算式不同于 我们

L

234345891091011
【巩固】
计算：
1155
（
常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次 成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情
况．所以应当对分子进行适当的变形，使 之转化成我们熟悉的形式．
观察可知
523
，
734
，… …即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
571719


L

234345891091011
2334910

L

23434591011
11111 1




L

34244 5351011911
11

111

1


L

L



10 11

2435911

3445
11

1

1111111111

1111


L





L


1011

2

2435468 10911

3445

11

1

1 111

81

28

31














311221
55

31
所以原 式
1155651
．
55
34512
【巩固】
计算：


L

124523563 46710111314
【解析】
观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的 数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、
分母都乘以分子中的数．即：
3
2
4
2
5
2
12
2
原式
< br>

L

12345234563456 71011121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一 项中分子、分母的对称性，可以用平方差公
式：
3154
，
426 4
，
5374
……
222
3
2
4
2
5
2
12
2
【解析】
原式


L

123452345634567101 1121314
15426437410144

< br>L

1234523456345671011121 314
111

1




L

111213

234345456
4 444




L


1011 121314

123452345634567
1

111111




L
 

2

2334344511121213


111111




L


1011121311121314

1234234 523453456
1

11

11
< br>






2

231213

123411121314

1111 1771111175


122121324111 213148111213148211148308616

3 16

12349


L

22323 42345234
L
10
12349
【解析】
原式



L

22323423 45234
L
10
213141101

 
L

223234234
L
10
11111 11

1
L

22232323423 4
L
9234
L
910
13628799

1
234L9103628800
1111
【例 4】



LL

11212312
L
100
【解析】
本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项 ”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，
112

通过公式的运算寻找规律。从 第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有

，
1
(11) 1
12
2
112

，……，
12
(1 2)2
23
2
2222120099
原式



LL
2(1)1
1223341001
2345 0
【巩固】

L

1(12)(12)(123 )(123)(1234)(123
L
49)(123
L
50)
234550
原式＝＋＋＋＋…＋
133661010 1512251275
4
＝（

）＋（

）＋（

）＋（）＝

1336615
234100
【巩固】


L

1(12)(12)(123)(123)( 1234)(12
L
99)(12
L
100)
211311
【解析】
，，……，

1(12)112(1 2)(123)12123
10011
，所以

(12 L99)(12L100)12L9912L100
1
原式
1

12L100
15049

1
50505050
2310
【巩固】

1
L

1
（
12
）
(12)(123) (123
L
9)(123
L
10)
23410< br>【解析】
原式
1(
L
)

133 66104555
11

11111
1

1 
L



4555

336610< br>1

1

1



55

1


55
111111
【例 5】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
22
【解析】
这题是利用平方差公式进行裂项：
ab(ab)(ab)
，
【例 3】
4 16

111111
)()()()()()

244 66881010121214
11
()

24466881
1113
()

214214
35715
【巩固】
计算：
2

 
L

12
2
2
2
3
2
3
2
4
2
7
2
8
2
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
8
2
7
2
【解析】
原式

2

22

22

L

22

2< br>12233478
1111111
1
2

2
2

2

2
L
2

2

2233478
163

1
2

8 64
3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【巩固】
计算：
2
2

2

L

．
22
3151711993119951
2

2
< br>2

22

【解析】
原式

< br>1
2
1



1
2


1
2


L


1


22
3151711993119951
 
22

2

997

L



19941996

2446
11

1

997

1111

1
997


L
997
997

19941996

1996

2446

21996

1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】
计算：

L

．
13355799101
22
【解析】
式子中每一项的分子与 分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
21
，
4 1
，
6
2
1
，……，
100
2
1，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后
原式
(
进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
1

2
2< br>4
2
6
2
100
2


L
原式


2


4

2 14
2
16
2
1100
2
1





1

1111


1
2
1
2
1
2

L
1


4

214161100
2
1

1

1111



50
L



4

13355799101
< br>11

1111111




50

1
L



4

2

3355799101



11
1


15063


50

1 

12


50
4

2

101


4101101
224466881010
【巩固】


13355779911
n
2
11
1
2
1
【解析】
（法1）：可先找通项
a
n

2

n1n1( n1)(n1)
11111
原式
(1)(1)(1)(1) (1)

13355779911
1155
5(1)55

2111111
2880
（法2）：原式
(2)()()( )()

3355779911
61014185065
2 1045

3579111111
5 16

11
1
31999
【例 6】
2



L

111111
1( 1)(1)(1)(1)
L
(1)
223231999
1 1
211
n1
【解析】

n1
2()

111n2
(n1)(n 2)n1n2
(1)(1)
L
(1)
23n12
111111

11
1

999
原式＝

()()()
L
()

2
＝
1344519992000

10001000


23
111
【巩固】
计算：
1


12123122007
1211
【解析】
先找通项公式
a
n
2()

12Lnn(n 1)nn1
111

L

原式
1
2(21)3(31)2007(20071)
222
2222200720 07

2




L

12233420072
1111
【巩固】


< br>L

335357357
L
21
111

【解析】
先找通项：
a
n

，
35
L


2n1

1
2n13n
n

n2


2
111111
原式



L

132435469111012< br>11

111

1



L

L



911

2 4461012

1335
1

11

1

11

175




 






2

111
2

212

264
12123123 4123
L
50
【例 7】


L
22323423
L
50
(1n)n
n( n1)
2
【解析】
找通项
a
n



(1n)n
n(n1)2
1
2
2334455 623344556
原式

L

L
，
410182814253647
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样 我们就可以轻松写出全部的项，所以有
233445564849495050513 5023

L
2

142536474 7504851495215226
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
2
22
3
2
4
2
1
2
2
2
26
2
【例 8】
3

3

< br>3
112
3
1
3
2
3
3
3< br>1
3
2
3
3
3
4
3
12< br>3
26
3
n(n1)(2n1)
222
12 n22n1211
6
a
n

3
()< br>
【解析】
n
2
(n1)
2
12
3
n
3
3n(n1)3nn1
4
22
原式=[()()()LL(

)]
=
(1)
32781
1

1

1

11L
1
【巩固】


222

21

31

991

原式

6 16

1(n1)
2
(n1)
2
【解析】

a
n
1
22
(n1)1(n1)1n (n2)
223398989999
原式



L

(21)(21)(31)(31)(981)(981)(99 1)(991)
223344559898999929949

L
1

31425364999710098110 050
2
2
3
2
99
2
【例 9】
计算：
2

L

2


21 3
2
1991
22

n1

n1


【解析】
通项公式：
a
n

，

n11

n11

n

n2

22334498989999


L
(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(9 91)(991)
2233445598989999

 
L

31425364999710098
2233449 898999929999
L

8100110050
2
12
2
99
2
【巩固】
计算：
2

L

2


110050002
2
20050009999005000
n
2
【解析】
本题的通项公式为
2
，没办法进行裂项之类的处理．注 意到分母
n100n5000
n
2
100n50005000n

100n

5000

100n


100

100n



， 可以看出如果把
n
换成
原式

100n
的话分母的值不变 ，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个
50
2
．将项数和为1 00的两项相加，得
50
2
50005000
22
n
2


100n

100n

n
2
2n
2
200n10000

2
2
，
n
2
100n5000

100n

2100

100n

5000
n
2
1 00n5000n100n5000
所以原式
249199
．（或者， 可得原式中99项的平均数为1，所以原式
19999
）
11
< br>111

1

24


【例 10】



2

2


22 22
23452021
1121210


1
11111
【解析】
虽然很容易看出
＝

，＝

……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项
2323
4 5
45
那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于 是我们又有
16
．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子
＝
1
2
2
2
3
2
n
2
n(n 1)(2n1)
也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？

11
111

1

24

< br>


2

2

2021
< br>112
2
1
2
2
2
10
2



2345
11

11

1< br>
1


＝
24

6 


2021

101121

2 345

123235
11

111

1



24


20 21

202221

2345

2434 65


1111

1

1
< br>

＝
24




 



2324345465202120222 1



＝
24

＝
24



11

11

1

60

1

1


< br>＝
6

＝
6

1

＝．< br>2022

1011

2446

12 23

11

11

模块二、换元与公式应用
【例 11】
计算：
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
3

7 16

333333333
【解析】
原式
1234L141524L14


4
57600
27
2
8
2

4
8128



15
2


151

2
8

1
3
2
3
L7
3


【巩固】
132435L911

【解析】
原式


21

21



31
< br>31

L

101

101




2
2
1



3
2
1


L


10
21



2
2
3
2

L
10
2

9


1
2
2< br>2
3
2

L
10
2

10< br>
101121
10375
6

【巩固】
计算：
123234345L8910

2222
【解析】
原式
221331441L991

 
2
3
3
3
4
3
L9
3< br>

234L9




12 3L9

1

234L9


2
45
2
451980

111111
【例 12】
计算：
1
2

3

4
5

6

333333
【解析】
法一：利用等比数列求和公式。


1

7
< br>1

1



3


原式

1
1
3


1

7

3264



1


1
729



3



2
法二：错位相减法．
111111


33
2
3
3
3
4
3
5
3
6
1 11111364
则
3S31
2

3

4

5
，
3SS3
6
，整理可得
S1
．
333333729
设
S1
法三：本题与例3相比，式子中各项都 是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用
“借来还去”的方法，本题如果 也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公
比为3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，
22222 21364
．

2

3

4

5

6
，则运用“借来还去”的方法可得到
2S
6
3< br>，整理得到
S1
3333333729
22222222
(24 6100)(13599)
【例 13】
计算：
1 2391098321
(2
2
1
2)(4
2
3
2
)(6
2
5
2
)(100
2
99
2
)
【解析】
原式


10
2
(21)(21)(43)( 43)(65)(65)(10099)(10099)

100
12349910050501
50

1001002
2S2
8 16

【巩固】
⑴

31415926

3141592531415927
________；
2
⑵
1234876624688766
________．
22
【解析】
⑴ 观察可知31415925和31415927都与314159 26相差1，设
a31415926
，
原式
a

a 1

a1

aa11

222

⑵ 原式
12348766212348766

22

< br>12348766

10000
2
100000000

2
2222222
【巩固】
计算：
1234L200520062007

2222222
【解析】
原式
20072006L54321


(20 072006)(20072006)(20052004)(20052004)L(3 2)(32)1


2007200620052004L321

1



20071

20072015028
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
4
2
5
2
2000
2
2001
2
【例 14】
计算：

1 223344520002001
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
4
2
5
2
2000
2
2001
2
【解析】
原式



12122323343445452000 200120002001
02001


22000
21324

35

19992001

2000
()()









12233

44

2

20002000

2 22224000
144424443
20012001
200 0个2相加
【例 15】


2007

8.58. 51.51.5

10


1600.3
．
【解析】
原式



2007

8.51.5

8.51.5

10


1600.3



200710

8.51. 5

10


1600.3



20077

1600.3
12.50.312.2

【巩固】
计算：
53574743
．
【解析】
本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
2222
原式


552


552



452



45 2

552452



55
2< br>45
2


5545



5 545

1000

【巩固】
计算：
1119121813171416
．
【解析】
本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．



原式
154

2
15
2



153



152


15
4

1234


22222
2222
2
1
2


90030870

2222
其中
1234
可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
1
1
2
2
2
Ln
2
n

n1

2n1

进行计算．
6
【巩固】
计算：
199298397L4951
．
【解析】
观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式．
原式


5049



5049



5048



5048
L

501



501







50
2
49
2


50
2
48
2

L
50
2
1
2


50
2
49

1
2
2
2
L49
2


50
2
49

1
2
2
2
L49
2


9 16

1
50
2
49495099

6
50
2
49492533

4925

10033


492567

82075

332333233.3
32
【巩固】
看规律
11
，
123
，
1236
……，试求
67L14

22
33.333.3
原式


12L14



12L5



123L 14



12345



 105
2
15
2


10515

10515

9012010800

1111111111
)()(1)()

2424624624
111111
【解析】
令
1a
，
b
，则：
246246
11
原式
(a)ba(b)

66
11

abbaba

66
111

(ab)1

666
111
【巩固】
(1)()(1)()

23423452345234
111111
【解析】
设
a
，则原式化简为：
(1+a)(a+)-a(1a+)=

234555< br>11

1111

11111

111

11
【巩固】



< br>11213141

21314151

1121314151< br>
213141

1111111
【解析】
设
a
，
b
，
141
1

1

a
原式
a

b

b

51

51

11

abaabb

5151
1

(ab)

51
111


5111561
11111
【巩固】
（）()（)()

57911137911
1111111
【解析】
设
A
，
B
，
579117911
1

1

A
原式
A

B

B

13

13

11

ABAABB

1313
1



AB


13
111



13565

1111

11111< br>
11111

1111

【巩固】
计算
1







1







2345

23456

23456

2345< br>
【例 16】
计算：
(1
10 16

【解析】
设
1

11111111
A
，
B

234523 45
1

1

111111

原式
< br>A

B



A

B
ABAABB

AB


(
AB
)


6

6< br>
666666

2
9

1239
1

129

239

123
【巩固】


L





L< br>



1
L




L



10

23410

2

2310

3410

234
1t1

1
1239

1

2
1

22
【解析】
设
tL
，则有
tt (1t)

t

tt

tt



22

22

2
23410

2

39239
【巩固】
(L)
2
(L)(1L)(L)

23413410
1239111t11
【解析】
设
tL 
，则有
t
2
t(1t)(t)t
2
t( t
2
t)

23410222222
11
【巩固】
计算


11
21
11
31
11
43
11
L
4
1
2009
L
< br>2009
11
1
11
NN1
【解析】
设
N3
. 原式=+=+ =
1
.
12N1N
11
2N12N1
1
2
41
11
NN 1
N
L1
2009N
【巩固】 (
7.886.775. 66
)

(
9.3110.9810
)

(< br>7.886.775.6610
)

(
9.3110.98< br>)
【解析】
换元的思想即“打包”，令
a7.886.775.66
，
b9.3110.98
，
则原式
a
(
b10
)

(
a10
)
b
(
a b10a
)

(
ab10b
)
ab10aab 10b10
(
ab
)

10
(
7. 886.775.669.3110.98
)
100.020.2

【巩固】
计算(
10.450.56
)

(
0.450.560.67
)

(
10.450.560.67< br>)

(
0.450.56
)
【解析】
该题相对 简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设
a0.450.56
，
b0.45 0.560.67
，
有原式

(
1a
)
b
(
1b
)
ababaabba0.67

三、循环小数与分数互化
&&&
【例 17】
计算：
0.1+0.125+0.3+0.16
，结果保留三位小数．
&& &
0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736

【解析】
方法一：
0.1+0.125+0.3+0.16
&&&

方法二：
0.1+0.125+0.3+0.16
1131511153
&

0.7361
9899018872
&
0.3 6
&&

；
【巩固】
⑴
0.54
•••
19
⑵
1.21.24

27

54536494899
【解析】
⑴ 法一：原式

．

9
法二：将算式变为竖式：




··

0.544444
L
0.3 63636
L
0.908080
L
9089899
．

990990
224
⑵ 原式
11


99927999279
&&&&&&
【巩固】
计算：
0.01

0.120.230.340.780.89
&&&&&&
0.120.230.340.780.89
【解析】
方法一：
0.01

可判断出结果应该是
0.908
，化为分数即是
11 16

1121232343787898


9
216


=
90
&&&&&&
方法二：
0.01

0.120.230.340.780.89
&&&&&&

0.020.030.040.080.09
=0+0.1+0.2+0.3+0. 7+0.8+
0.01
&
=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)

1

2.127

90

2.10.32.4

&&&&&
&
&&
（2）
0.330
&&&&

【巩固】
计算 （1）
0.2910.1920.3750.526
0.186

【解析】
（1）原式

2911921375526529137552119166633 0
1

999990999990
330186133 01855
（2）原式


99999099999081


&
乘以一个数
a时，把
1.23
&
误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该 是多少?
【例 18】
某学生将
1.23
••
33
【解析】
由题意得：
1.23a

1.23a

0.3
，即：
0.003a0 .3
，所以有：
a
．解得
a90
，
90010
••
111
所以
1.23a1.239090111

90
&
&
&&
【巩固】
将循环小数
0.027< br>与
0.179672
相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小 数是多少?
&
&
&&

27

179672< br>
1

179672

4856
0.004856
&&
【解析】
×
0.179672

0.027
99999999937999999999999
循环节有6位，100÷6=16……4，因此第1 00位小数是循环节中的第4位8，第10l位是5．这样四舍五入后第
100位为9．
252413
&&&
&
【例 19】
有8个数，
0.51
，,,
0.51
,，那么
,
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列 时，第4个数是
0.51
394725
按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
25
&
&
,
24
0.5106
,
13< br>=0.52

【解析】
=0.6
,
=0.5
39 4725
&
&
&
&
&
即显然有
0.5106<0. 51<0.51<0.52<0.5<0.6
所以有
口<口<
24
&
&
&
&
13
<
5
<
2
，8个数从小到大排 列第4个是
0.51
，
<051<0.51<
472593
&
&
4个数是
0.51
．
24
&
&
&
1 3
<
5
<
2
．(“□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数从 大到小排列第
<0.51<0.51<
472593
a
化为小数后，如果从小 数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么
a
是多少?
712456
&&
，
3
=0.428571
&&&&&
． 因此，
&&&
&
&
【解析】
=0.142857
， =0.285714
，
=0.571428
，
=0.714285
，
=0.857142
777777
a
真分数化为小数后，从小数点第一 位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……
7< br>.
a
&
21,27-21=6，而6=2+4，所以
=0.85714 2
，即
a6
．
7
a
【巩固】
真分数
化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是
9039
，则
a
是 多少？
7
a
【解析】
我们知道形如
的真分数转化成循环小数后 ，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字
7
的位置不同而已，那 么
9039
就应该由若干个完整的
142857
和一个不完整142857
组
成。
9039

1245 78

334L21
，而
21276
，所以最后一个循环 节中所缺的数字之和为6，
【例 20】
真分数
经检验只有最后两位为4，2时才符 合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“
857142
”，因此这个分数应该
12 16

6
，所以
a6
。
7
a
【巩固】
真分数
化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则
a
是多少？
7
a
【解析】
我们知道形如
的真分数转化成循环小数后，循环节都 是由6位数字组成，
20096334LL5
，因此只需
7
判断当
a
为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得
a3
。
20021
【例 21】
和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
2009287
20021
【解析】
如果将
和转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们 2009287

20021
发现
1
，而
10. 9
，则第100位上的数字和为9.
2009287
&&
【巩固】
纯循环小数

写成最简分数时,分子和分母的和是
58
,则三位数
a bc_________

abc
&&
【解析】
如果直接把
转化为分数,应该是
,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们将
999
分解质
999
3
因数得:
999337
,这个 最简分数的分母应小于
58
,而且大于
29
,否则该分数就变成了假分数了, 符合这个
要求的
999
的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就是
583721
,也就是说
abcabc21
&&
,因此
abc 2127567
.

999372737
【例 22】
在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

（1）；
 
102020

为
（2）
111


10

【解析】
单位分数的拆分， 主要方法是从分母
N
的约数中任意找出两个数
m
和
n
，有：
1mnmn11


，
NN(m n)N(mn)N(mn)AB
从分母
n
的约数中任意找出两个
m和
n
(
mn
)，有：
1mnmn11


NN(mn)N(mn)N(mn)AB
（1） 本题
10
的约数有：
1
，10，2，5．
1121211
例如：选1和2，有：

；
1010(12)10(12)10(12)3015
从上面变化的过程可以看 出，如果取出的两组不同的
m
和
n
，它们的数值虽然不同，但是如果
m
和
n
的比值相
2
同，那么最后得到的
A
和
B
也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有
C
4
41 0
种，但是其中
比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)； (2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：



．

（2）10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：

1525211


1010(52)10(52)10(52)615
另外的解让学生去尝试练习．
【巩固】
在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
1111111


10

【解析】
先选10的 三个约数，比如5、2和1，表示成连减式
521
和连加式
521
．
1111111
则：

10

4

10

20

80

40
16

13 16

如果选10、5、2，那么有：
1 111111

．
1
另外，对于这类题还有个方法，就是先将单 位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数
拆成两个单位分数的和或差，这样就 将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到
1111
111
，根 据前面的拆分随意选取一组，比如


，再选择其中的一个分数进行拆分，10

101260
1111111
，所以．

60156

【例 23】


 
45

比如

【解析】



45

72
 
120

18

30

405
 
135

81

9

15
< br>45


11111
1
1
【巩固】
=-=

10

1111111
【解析】



10

4

10

20

80

40

16

注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.
【例 24】
所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。
【解析】
小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个， 分母为17的真分数相加，和等于
171
。
()()()LL( )8
717172
类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是
1315171111131171191231291

 
2222222222
11
1235689111 459

22
【巩固】
分母为1996的所有最简分数之和是_________。
【解析】
因为199 6=2×2×499。所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数，499与3× 499。
因此，分母为1996的所有最简真分数之和是

()()LL()()111498

661 9961996
11
=
123568911
=
59

22
111
【例 25】
若

，其中a、b 都是四位数，且a2004ab
【解析】
2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：
11211


20042004(12)2004(12)60 123006
11311


20042004(13)2004( 13)80162672
12311


20042004(23 )2004(23)50103340
13411


20042004(34)2004(34)46763507
111
【巩固】
如果
，B
均为正整数，则
B
最大是多少？

，
A
2009AB
111
【解析】
从前面的例题我们知道，要将
按照如下规则写成

的形式：
NAB
14 16

1mnmn11

，其中
m
和
n
都是
N
的约数。如果要让
B
尽可能地大，实
NN(mn)N(mn)N(mn)AB
际上就是让上面的式子中的n
尽可能地小而
m
尽可能地大，因此应当
m
取最大的约数，而< br>n
应取最小的约数，因此
m2009
，
n1
，所以
B20092008
.
课后练习：
123456

 
1212312341234512345612345 67
13141516171
【解析】
原式

< br>
1212312341234512345612 34567
111111


L

1 21212312312341234567
111


12121234567
1

1
5040
5039


5040
12389
练习2.
(1)(2)(3)L(8)(9)

234910
nn(n1)nn
2
【解析】
通项为：
a
n
n
，

n1n1n1
12
2
3
2
4
2
8
2
9
2
原式
L34678936288

2345910
3333
练习3. 计算：
135L99
___________．
练习1.
333
【解析】
与公式
12Ln

12Ln


2
n
2

n1

4
2
相比，
135L99
缺少偶数项，所以可以先
3333
补上偶数项．
原式
123L100

3333



2
3
4
3
L100
3

1
100
2
101
2
2
3


1
3
2
3
L50
3


4
11
100
2
101
2
2
3< br>50
2
51
2

44
50
2
101
2
251
2


12497500

1

111
11

111

1

L
1< br>L

L

练习4. 计算：

1
L



2007< br>
232008

22008

232007

2
111111
【解析】
令
aL
，
bL
，
232007232008
1
原式


1a

b

1b

ababaabba

2008
····
11

&&
0.98
&&< br>11
(结果表示成循环小数) 练习5. ⑴

0.150.218

0.3
； ⑵
2.2 34
111

12345679

1512182

311
371111
&&

【解析】
⑴原式



0.012345679
< br>
909909111
993999

&&
2
2342
2
232
，
0.98
&&

98，所以
2.234
&&&&
2
232

98
1
242
1
22
， ⑵
2.2340.98
9990 90
&&&&
111
22
11
1

20.09
&&&
0.113
&&

2.2340.980.02
901190


月测备选
15 16

【备选1】计算：
2399
L
.
3!4!100!
【解析】
原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
2399
原式



L

1231 234123
L
100
31411001

 
L

1231234123
L
100
111111


L

121231231 234123
L
99123
L
100
111 1


12123L1002100!
1
2
2
2
2
2
3
2
2004
2
200 5
2
2005
2
2006
2
【备选2】计算：


L

12232004200520052006
【 解析】
（法1）：可先来分析一下它的通项情况，
2
n(n1)
2< br>n
2
(n1)
2
nn1

a
n

n(n1)n(n1)n(n1)n1n
2
原式=
()()()()L()()

6
20052005

200524010
2006200 6
n
2
(n1)
2
2n
2
2n111（法2）：
a
n


22
n(n1)n
2
nn
2
nn(n1)
12
3
33
2006
3
【备选3】计算：
12320 06
2

1232006

1
【解析】 < br>原式

1232006
2006

2 0061

2013021

1232006
2

621739458

739458378

621 739458378

739458


【备选4 】计算：








126358947

358947207

7

358947

6258
【解析】
令
a
；
b
，
8947
378

378

378621378

a
原式
a

b
9


b


ab


207207
207126207

2009

11

2009

【备选5】 计算

(结果表示为循环小数)



9 990099990

9901
11
&&&&
【解析】
由于
，，
0.000010.00001
9990099990
11
&&&&&&
所以，
0.000010.000010.91
9990099990
而
9009917139901919901
，
2009

1111

2009
&&
0.91 2009
所以，




999901

&&&&&&

0.911120090.0120090.09
16 16