我读懂了友谊-东北电力学院

第1章 平行线
1．1 平行线
参考答案
【学习准备】
1．相交
2．相交或平行
【课本导学】
『思考一』
1.不能去掉.如教室这个长方体中就存在有不相交的直线但也不平行.
2.平行用符号表示为：“a∥b”，读作：a平行于b
[练习] 课本第4页做一做”:
和AA′平行的棱有3条,BB′∥AA′,CC′∥AA′,DD′∥AA′;和AB平行的棱有3条 ,A′B′
∥AB,CD∥AB,C′D′∥AB.
第5页课内练习1，在同一个平面内，两条直线有两种位置关系：相交和平行.
第5页课内练习2,CD∥AB,AC∥BD.
第5页作业题1，铁路、双杠、扶梯等.
『归纳』
1.有两种位置关系，不对，因为垂直是相交的特殊情况.
2.如表中答案
位置关系
不
垂
直
相交
垂
直






D
A
O
B
图形表示

符号语言表示
直线
l
1
，
l
2
相交于点P
l
1
P
C
l
2
直线AB⊥CD于点O，或
直线AB⊥CD，垂足为O.
1

AB∥CD或m∥n

A
平行
B
D
m
n
C

『思考二』
1. 填空：1.可按学生整理，如：一“落”二“靠”三“推”四“画”. 画的过程要注意：
落时三角尺边 与已知直线要对齐，靠时直尺与三角尺要靠紧不留缝隙，推的过程中直
尺不能滑动、画的时候三角尺始终 要贴紧直尺移动等
2. 有且只有一条
1.可以，此时直线a与直尺所在的直线垂直，直线b与直尺所在的直线也垂直.
2.与直线 l平行的直线可以画无数条，过点P与直线l平行的直线有1条.结论：过直线外一
点，有且只有一条直 线与这条直线平行.
『思考三』
1.唯一确定，理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
2.建立交桥的点P，Q的位置唯一确定.因为：两直线相交有且只有一个交点.
[练习] 课本第5页课内练习3，图略。
第5页作业题2，图略。
第5页作业题3，图略。
『归纳』
1.不能作与已知直线平行的直线，能作出与已知直线垂直的直线。
2.比如例题中的“桥”抽象成“点”，桌面、墙面抽象成“平面图形”

【学习检测】
1．abcde 2．无数，1
3. 图略 4. 图略，点D有三种情况.
【巩固提高】
∥IH，DE∥FG，
2.可能有0，1，2，3个，共4种情况.（图略，三条直线都平 行时有0个交点，三条直线交
于同一点时1个交点，二条直线平行和第三条直线相交时有2个交点，三条 直线两两相交但
不交于同一点时有3个交点）.
2

二、《学习导航》使用建议
通过“学习准备”中的问题解答，让学习者通过画图操作，体 会存在两条直线不相交
的情况，从而比较自然地引出用“不相交”这种否定的方式来定义平行线。“思考 一”的学
习着重要感悟平行线定义的由来以及平行的数学语言表示方法，达到“定义”教学的目的。“思考二”中，让学生在操作过程中，经历用推平行线法画平行线，同时，感悟到：（1）一
条直线 的平行线有无数条。（2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。体现了
数学中特殊与一般 的辩证思想。“思考二”在归纳中的问题“过线段外一点有且只有一条直
线与已知直线平行”的判断，意 在培养学生从几何学习之初就养成注意条件的习惯。建议“学
习准备”和“思考一”的自主学习可以在课 前，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自
主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论 ，以及进行“思考二、三”的学习
和讨论．
三、课堂小结建议
结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：
1．知识技能方面 < br>（1）平行线的概念，明白数学中的平行线指的是两条直线.今后学习的几何问题经常涉
及图形中 的线段平行.
（2）用符号表示两条直线互相平行.
（3）会用推平行线法过直线外一点画已知直线的平行线.
（4）了解过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线.
2．思想方法方面
平 行线的学习是在七年级上册学习了直线的相交和垂直后进行的学习，所以对本课时的
学习包括对平行线基 本事实的得出都可以引导学生用“类比”学习探究方法来获得新知识，
同时，对平行概念的得出也是一个 从生活实际抽象成数学模型的过程，其中用到了生活问题
数学化的过程。平行线的基本事实中体现了事物 的存在性和唯一性思想。
3．在本课学习中，注意概念的定义中，强调“同一个平面内”的前提，可以 用教室内
异面直线的例子来说明这一前提条件是不可缺少的.
4．在本课学习中，学生需要有一定抽象能力，教师要注重引导。

1.2同位角、内错角、同旁内角
参考答案
【学习准备】
1．相交或平行.如图：


3
A
C
BD
m
n
l
1
P
l
2
mn
两直线相交

2．
分类
∠1和∠2，∠2和∠3,
∠3和∠4，∠1和∠4
∠1和∠3，∠2和∠4

【课本导学】
【思考一】
1.可以按角的顶点不同，分为两类．一类是 顶点相同的角，一类是顶点不同的角，也可以分
为顶点相同的角如对顶角和邻补角，顶点不同的角如同位 角，内错角，同旁内角.答案不唯
2.同位角4对，它们的共同特征是在截线的同旁，在两条直线的上方 （或下方），内错角2
对，它们的共同特征是在截线异侧，在两条直线之间，同旁内角2对，它们的共同 特征是在
截线同旁，在两条直线之间。
[练习]
课本第7页做一做练习1：（ 1）∠4与∠8是同位角；还有∠2与∠6，∠3与∠7都是同位角．
（2）∠4与∠6是内错角，内错 角一共有2对．（3）除了∠3与∠6，还有∠4与∠5也是同
旁内角．第7页做一做”2:内错角；也 可以构成同位角和同旁内角.

第7页练习题1：（1）当直线
l
1
，
l
2
被
l
3
所截时，∠1与∠3是同位角；当直线l
3
，
l
4
被
l
1
所
截时， ∠1与∠4是内错角；（2）略．
第8页作业题1：（1）一对同位角是：∠BPF和∠BQF等4对 ；一对内错角是：∠BPF和∠CQP
或∠APQ和∠DQP；一对同旁内角是:∠BPF和∠DQP或 ∠APQ和∠CQP．
第8页作业题2：（1）∠2；（2）∠4；（3）ED，内错角；（4）AB,AF,同位角．
『归纳』
1．
只有大小关系的角
余角、补角

只有位置关系的角
同位角、内错角、
同旁内角
既有大小关系又有位置关系的角
对顶角
位置关系
一条边是公共边，另一条边互为
反向延长线（或邻补角）.
两条边都互为反向延长线（或对
顶角）.
大小关系
互补
相等
2.可以从角的顶点和角边去观察两个角的位置关系．
3.确定三线中的截线.两个角在同一条直线上的边所在的直线即为截线.

『思考二』
1.两条直线被第三条直线所截，当内错角相等时，一对同位角相等、一对同旁内角互补．
2.如果同位角∠1与∠4相等，那么内错角∠1与∠2相等，同旁内角∠1与∠3互补；如果
4

同旁内角∠2与∠3互补，那么同位角∠1与∠4相等，内错角∠1与∠ 2相等.（理由参考课
本例，略）
[练习] 课本第8页课内练习2，（1）∠1与∠5是一 对内错角；根据对顶角相等，可得∠5
也是45°，∠5与∠1相等．（2）∠2与∠3是一对同旁内角 ，根据平角的意义得，∠3=135°，
∠2+∠3=180°．
第8页作业题3：与∠2相 等的角是∠AED，理由是：∠1=∠2，∠1=∠AED，故∠2=∠AED；
与∠2互补的角是∠O ED，∠AEC，理由是：∠1和∠AEC互补，∠1和∠2相等，则∠2
和∠AEC互补． 第8页作业题4，略。 第8页作业题5，∠3=60°；∠4=120°.
『归纳』
1.可以通过对顶角或邻补角.
2.掌握辩别这些角的关键是确定哪两条直线被哪一条直线所 截，确定截线，再在截线的同旁
找同位角，同旁内角，在截线的异侧，找内错角.
【学习检测】
1．A
2. ∠BFG的同位角是∠CGE；∠A的内错角是∠AGE，∠AFD；∠AFG的同旁内角是∠A，∠AGF
3. ∠BFC=∠AFE（对顶角相等），∠C=∠BFE=∠AFC（同角的补角相等）
4. 图①中，∠1的边DA与∠2的边BD都在直线AB上，这两个角的另一边分别是DE，BC.< br>所以∠1与∠2是直线AB截DE，BC而成的一对同位角.∠3的边DE和∠4的边ED都在直
线DE上，这两个角的另一边分别是DB，EC.所以∠3与∠4是直线DE截DB，EC所成的一
对同 旁内角.
图②中，∠1的边BD与∠2的边DB都在直线BD上，这两个角的另一边分别是DE，BC .所
以∠1与∠2是直线DB截直线DE，BC所成的一对内错角.∠3的边AB与∠4的边BA都在直
线AB上，它们的另一边分别是AE，BD.所以∠3与∠4是直线AB截AE，BD成的一对同旁内< br>角.
图③（3）中的∠1的边AC与∠2的边CA都在直线AC上，它们的另一边分别是AB， CD.所
以∠1与∠2是直线AC截AB，CD所成的内错角.同样∠3与∠4是直线AC截AD，CB 所成的
内错角.内错角;AB，BC，AC，同旁内角，AC，BC，AB.
【巩固提高】
1．∠1和∠2，AB、CD、AC
2．如图摆放




5

二、《学习导航》使用建议
通过 “学习准备”中的问题的解答，让学习者在回忆七年级上册所学的两条直线相交
构成的四个角从位置和数 量角度研究对顶角、邻补角的基础上，引起对本节课的知识的探究
迫切要求，达到本节课学习的愿望.“ 思考一”的学习着重引导学生用分类的方法来研究不
同顶点位置的角，让学生经历“同位角、内错角、同 旁内角”概念的产生过程．感悟同位角、
内错角和同旁内角的定义间的关系，达到平行概念运用“类比” 教学的目的。 “思考二”
中，要注意引导学生去观察图中各角之间的位置和数量关系，渗透转化思想， 同时也为后面
平行线的判定、性质学习作准备.通过这里的学习，渗透类比学习法和探究精神。建议“学
习准备”和“思考一、二”的自主学习可以在课前，课堂上针对“学习准备” 和“思考一、
二”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论．
三、课堂小结建议
结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：
1．知识技能方面
（1）了解同位角、内错角、同旁内角的意义.
（2）会在简单图形中辨认同位角、内错角和同旁内角.
（3）由不同顶点的一对角的数量关系推导其他各角的数量关系．
2．思想方法方面
同位角、内错角、同旁内角这些名称是为学习平行线准备的，目的是使平行线的判定
方法和性质叙述方 便，同时同位角、内错角、同旁内角的概念是从两个角的位置出进行研究
的，所以对本课时的学习可以从 这些角的产生过程入手，引导学生用“类比”学习探究方法
进行相关概念学习。同位角、内错角、同旁内 角的学习是为后续的平行线的性质和判定服务
的，在错综复杂的图形中要分离出这些角，需要培养学生的 识图能力，掌握辨别方法．在由
不同顶点的一对角的数量关系推导其他各角的数量关系时需要渗透转化思 想.
3．在本课学习中，注意概念的定义中，强调判断两个角的位置关系，首先应判断是哪
两 条直线被哪一条直线所截。注意概念产生方法的渗透及相关概念类比学习的方法，如对顶
角的学习方法也 可以迁移到学习同位角、内错角、同旁内角．
4.在本课学习中，注意同位角、内错角、同旁内角的 作用是有限的，涉及的图形往往
比较简单，因此教学中没有必要太复杂的图形让学生辨认。

1.3平行线的判定（1)
参考答案
【学习准备】
1.不能用平行线的 定义来判定跑道的分割线是否平行，因为不知道它们在无限远处有没有交
点.
2.90度时.
6

【课本导学】
『思考一 』1.直线l
1
与直尺相交成的锐角∠1=60°，直线l
2
与直尺相交成的 锐角∠2=60°.
2．可以，只要保证同位角相等即可。
同位角相等，两直线平行。
[练习] 课本第10页作业题1：图略
课本第10页作业题2：∠ADE=32°.
『归纳』
平行线的判定方法1的图形语言：
文字语言：同位角相等，两直线平行
符号语言： ∵∠1＝∠2
∴l
1
∥l
2

『思考二』
1.定义或用平行线判定的基本事实：找到一对同位角，看是否有同位角相等。
2.除了课本 中说明“同位角∠1=∠3，得到直线l
1
l
2
”的方法以外，
还可 以找到其他的同位角相等。比如利用∠2=∠5来说明两直线平
4
2
3
l1< br>A
L
1
2
1
B
L
2
5
1
l3
行。用符号表述如下： ∠2，∠5是直线l
1
，l
2
被 l
3
所截的一对同l2
位角，由已知得∠1+∠5=180°，∴∠5=180°-45°=135°.又∵∠
2=135°，∴∠2=∠5，根据“同位角相等，两直线平行”，得l
1
l
2

[练习] 课本第10页课内练习1
图1-9
1
2
3
解：l
1
l
2
.理由如下：
1=2，

1=（对顶角相等）3
2=3
l
1
l
2< br>(同位角相等，两直线平行）
课本第10页课内练习2
他应该向左转15°，CD是该人继续行驶的路线.





A
B
15°
C
15°
D
E
『归 纳』根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，所以要判断两直线平行主要方法是找
到一对相等的同位 角.

7

『思考三』
1. ∠1＝∠2=90°， 要说明ABCD，会联想到同位角∠1＝∠2（答案不唯一，同位角相等
即可）.
2. “在 同一平面内”这个条件不能去掉，若去掉这个条件结论不成立.理由可通过举实例说
明（如一个教室角落 ，同一个顶点的三条直线两两互相垂直）.
3. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
[练习] 课本第11页作业题3:
A
1
2
l1
l2
解：l1l2.理由如下：
3
 1=50，2=40
1+2=90
BC
ACl2
39 0
l1l2(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
课本第11页作业题4:能，图略。
课本第11页作业题5:平行，理由略。

『归纳』1.如图 ∵
a
⊥c，
b
⊥c
∴
a
∥
b






2. 判断两条直线的位置关系，可以借助两个角的数量关系，体现了转化、数形结合的数学
思想.
【学习检测】
1. EFGH.
2. 道理是：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
3. A
4．解：图中互相平行的直线有：BFCE,CADF.
∵∠1=∠C，∴BFCE.
∵∠1=∠2，∠1=∠C.
∴∠2=∠C,根据“同位角相等，两直线平行”
得，ACDF.
【巩固提高】
1．一对同位角是40°，因此航向平行.
2．图中的平行线共有四对：ABEFDC,ADBC.理由略.
二、《学习导航》使用建议
8

通过“学习准备”中 的问题的解答，既让学习者复习本节课的预备知识“同位角”，同
时通过“利用平行线的定义判断跑道分 割线是否平行”引发认知冲突，让学生感受到“定量
判断平行线的必要性”。 通过“学习准备”中的问 题的解答和“思考一”的学习,使学生在
回忆平行线的定义和平行线画法的基础上，让学生感悟画平行线 的实质是把一条直线作平
移，在平移的过程中保持同位角不变，从而让学生充分感受到平行线判定“同位 角相等，两
直线平行”这一基本事实的合理性。使学习者引起对本节课的知识的学习迫切要求，达到本< br>节课学习的愿望。“思考二”的学习是为了巩固“同位角相等，两直线平行”这一基本事实，
通过 “思考二”的学习让学生知道判定两直线平行的过程，并体验有条理地、清楚地阐述推
理的过程，通过“ 思考三”让学生领悟平行线判定基本事实的一个推广或者说特殊情况“在
同一平面内，垂直于同一直线的 两直线平行”。对于 “思考三”，设问了“如果去掉在同一
平面内”的问题，虽然学生不可能用“异面 直线”的知识来回答，但学生可以举生活中的例
子来说明，让学生感受数学的严谨性。通过“思考三”归 纳中设问“判断两条直线的位置关
系，可以借助两个角的数量关系，体现了怎样的数学思想？”目的是让 学生体会数学中从定
性到定量深入研究数学的方法，以及把位置关系转化成数量关系来研究的数学思维方 式。“学
习检测”和“巩固提高”的设计注重图形的变化，力求体现三个层次：直接运用基本事实解决问题、简单转化解决问题、运用基本事实解决生活中的问题。符号语言书写表述的设想是：
一部分 填空题给学生模仿，一部分让学生自己书写表述。建议“学习准备”和“思考一”的
自主学习可以在课前 ，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、
产生的困惑和疑问开展交流讨论， 以及进行“思考二、三”的学习和讨论．
三、课堂小结建议
结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：
1．知识技能方面
（1）从画平行线的过程中发现平行线判定的基本事实“同位角相等，两直线平行”.
（2） 掌握并会用基本事实“同位角相等，两直线平行”判定两直线平行，并能进行简
单的说理.
2．思想方法方面
平行线的判定是在学习了平行线的概念和平行线的画法后进行的学习，所以 对本课时的
学习包括对平行线判定的基本事实的得出都得让学生充分认识到它的合理性。在对基本事实< br>的描述过程中注意用不同的方法如图形、符号语言和文字语言等描述，同时也感受到数形结
合思想 在本课时中的应用。本课的基本事实把“两直线的位置关系”转化为“角的数量关系”
来解决，体现了数 学中转化的数学思维方式，对其他知识的学习也有一种方法性的指导。
3．在本课学习中，注意让学生模仿有条理地、清楚地表述一些简单的推理过程。
4.在本课学习中，注意用符号语言描述画图过程，根据符号语言画出图形。

9

1.3平行线的判定（2)
参考答案
【学习准备】
1. 当∠2变化时，木条a与木条b所在直线的位置从相交到平行又到相交的 变化；当∠2=
∠1时，木条a与木条b平行.
2. ∠4=∠2=∠1，∠3=∠5（本题只要能写出一对同位角或一对内错角相等即可，答案不唯
一）.
【课本导学】
1.转化成同位角相等，用到了数学中的转化思想方法.
2．“同位 角相等，两直线平行”是基本事实，“内错角相等，两直线平行”是根据“同位角
相等，两直线平行”的 基本事实推导出来的，把“内错角相等转化为同位角相等”
[练习] 课本第12页“做一做”: ∵∠1=∠3=120°，∴l
1
∥l
2
（内错角相等，两直线平行）

『归纳』
如图，∵∠2=∠3,根据内错角相等，两直线平行
得 ABCD.

『思考二』
1.找角相等，可以找同位角相等，也可以找内错角相等.
2.还可以说明AC⊥AB，利用 “在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.”来
说明.
[练习]课本第13页课内练习1，
（1）a∥b,根据“内错角相等，两直线平行”
课本第13页课内练习2，
（1）同位角相等，两直线平行，AD∥BC
（2）内错角相等，两直线平行，AB∥CD
课本第13页作业题1，a∥b,可根据“内错角相等，两直线平行”得出

『归纳』同角的余角相等。说明角相等的方法如：计算的方法、对顶角相等、等等。
『思考三』
1.把同旁内角互补转化成了同位角相等或内错角相等，说明两直线平行.用到了 数学中的“转
化”思想. 有两种方法，方法一：把∠3+∠4=180°转化为∠3=∠2，内错角相 等，两直线平
行；方法二：把∠3+∠4=180°转化为∠1=∠2，同位角相等，两直线平行.
2.符号语言： ∵∠1+∠3=180°，根据同旁内角互补，两直线平行

10
1
2
3
E
A
C
l
1

4
F
1
3
2
D
B
l
2

得 l
1
∥l
2



[练习]课本第13页课内练习1，
(2)a∥b,根据“同旁内角互补，两直线平行”
课本第13页作业题2，
（1) 根据“同位角相等，两直线平行”，AB∥EF
(2) 根据“内错角相等，两直线平行”，DE∥CF
(3) 根据“同旁内角互补，两直线平行”，AB∥CD

『归纳』方法共有：1.定义；2.同位 角相等，两直线平行；3.内错角相等，两直线平行；4.
同旁内角互补，两直线平行；5.在同一平面 内，垂直于同一直线的两直线平行.
『思考四』
1.∠1+∠2=90°这个条件联想找同旁内角∠BAC与∠DCA，看∠BAC +∠DCA =180°.依据：
同旁内角互补，两直线平行.
2.其他方法：延长AP（或CP）构造内错角来说明AB和CD互相平行，用同旁内角简便些。
3.关键是构造出第三条直线，可以通过折叠出现折痕的办法.
4.圆规能检验角度是否相等
l
3
[练习]课本第13页课内练习3：
练习3. 解∵∠1+∠2=180°
3
1
l
1
l
2
2
∵∠2=∠3
∴∠1+∠3=180°，根据同旁内角互补，两直线平行
得 ∥
课本第14页作业题3. 解：平行，理由如下：
∵AE平分∠DAC
∴∠DAC=2∠EAC
又∵∠DAC=2∠C
∴∠EAC=∠C，根据内错角相等，两直线平行
得AE∥BC
作业题4. 解：平行，理由如下：
∵∠1=∠C，且∠2+∠C=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠E+∠EBC=180°，根据同旁内角互补，两直线平行
11

得DE∥BC
『归纳』
1．通过角的数量关系判断两直线平行，这里体现了转化的数学思想.
2.纸片对折，画与两条直线的相交线等方法
【学习检测】
1．同旁内角互补，两直线平行
2. ∠B=∠DCF或∠B=∠BCE或∠B+∠BCD=180°
3．A
4. 解：∵∠1：∠2：∠3=2：3：4.,∠1+∠2+∠3=180°
∴∠2=60°，∠2=∠AFE，∴AB∥DE
又∵∠2+∠BDE=180°，∴EF∥BC
【巩固提高】

1．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE
∵∠ABE=∠BED，∴∠BED=∠CBE.
根据“内错角相等，两直线平行”得DEBC.
2．∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=∠C，∠B=∠D
∴2∠B+2∠C=360°,即∠B+∠C=180°
∴AB∥CD，同理可得AD∥BC.
连结BD ∵∠ABP+∠BPD+∠CDP=360°, ∠DBP=∠BPE+∠PEB.
∴∠ABP+∠PBE+∠AEP+∠D =360°, ∵∠ABP+∠PBE=180°
∴∠AEP+∠D =180°, ∴ AB∥CD.（方法不唯一）

二、《学习导航》使用建议
通过“学习准备”中的问题的解答,让学生通过操作进一步体验 除了“同位角相等，两
直线平行”这一事实外，我们还可寻找其他方法说明两直线平行，使学习者引起对 本节课的
知识的学习迫切要求，达到本节课学习的愿望。同时，“学习准备”中的问题也为“思考一、< br>思考三”的探究提供了必要的基础，渗透了转化的思想，让学生领悟可以由内错角相等转化
为同位 角相等，也可以由同旁内角互补，转化为同位角相等或内错角相等.“思考二、四”
主要让学生巩固并能 应用平行线判定方法进行合情说理。练习的安排不仅要求学生直接运用
判定方法判断两条直线平行，还要 求学生在解决问题的过程中体验转化的数学思想，并学会
构造三线八角的基本图形。建议“学习准备”和 “思考一”的自主学习可以在课前，课堂上
针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨
12
A
D
B
E
C

论，以及进行“思考二、三、四”的学习和讨论．

三、课堂小结建议
结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：
1．知识技能方面 < br>（1）了解平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线
平行”的产 生过程.
（2）掌握并会用平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，
两直线平行”进行简单的推理和表述。
（3）根据实际情况，合理选择平行线的判定方法。
2．思想方法方面
平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线 平行”的产
生过程是在平行线判定的基本事实“同位角相等，两直线平行”的基础上推理产生的。学生< br>经历从已有的知识通过简单推理得出新知识的过程，渗透了数学中转化的思想。在对平行线
的判定 方法“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的描述过程中注
意用不同的方法如图 形、符号语言和文字语言等描述，同时也感受到数形结合思想、分类讨
论思想和数学模型的构造在本课时 中的应用。本节课本节课还要求学生根据具体的情况选择
合适的判定方法，需要学生具备一定的思维能力 。
3．在本课学习中，注意让学生模仿有条理地、清楚地表述一些简单的推理过程。
4.在本课学习中，注意用符号语言描述画图过程，根据符号语言画出图形。

13

1．4 平行线的性质（1）
一、参考答案
【学习准备】
1．
判定平行线条件
文字表述 符号语言
∠1=∠5
∠2=∠6
同位角相等
∠3=∠7
两直线平行
∠4=∠8


∠3=∠6
∠4=∠5
∠3+∠5=180°
∠4+∠6=180°
两直线平行
ab
ab
结论
文字表述 符号语言
内错角相等

同旁内角互补

两直线平行
ab
2．ac（同旁内角互补，两直线平行），mn（内错角相等，两直线平行）．
【课本导学】
思考一
1．当转动直线AD的位置，使得∠ABF变为一个钝角时，∠ACH也随之变成钝角 ．发现
改变直线AD的位置，这些同位角仍然相等．
2．两条相交直线被第三条直线所截， 同位角不可能相等，否则会引起三角形两个内角的
和为180°，与小学学过的三角形的三个内角和为1 80°矛盾．
[练习] 第15页课内练习1．∠2=40°.
第16页作业题1．∠2=60°，∠3=120°，∠4=60°.
『归纳』
1． 我们通过猜测、度量、计算等方法得到平行线的性质．
2．使用判定时，已知 同位角相等 结论 两直线平行 ；
使用性质时，已知 两直线平行 结论 同位角相等 。

思考二
1．在例1中，已知∠1的度数，能直接求∠1的 邻补角或同位角的度数．∠2是∠1的同位
角，∠3的邻补角．
2．∠1，∠2，∠3三个角中，已知其中任何一个角的度数，都可以求出其余角的度数．

思考三：
1．由∠1与∠2相等，联想到直线ab.要说明a⊥m，会去找它的同位角是否为直角．
2．利用这两条平行线画两个相等的角，可以画两条平行线的截线，截得的同位角相等．
14

[练习] 第15页课内练习2．内错角相等，两直线平行 ；
l
1
l
2
；两直线平行，同位角相等．
3．(1) ab； a与c相交，a与d相交，b与c相交， b与d 相交，c与d相交．
（2）∠α=77°．
第16页作业题2．(1) DEBC.
∵∠AED=∠C=60°(已知)，根据同位角相等，两直线平行
得 DEBC．
（2）∠B=40°.
∵DEBC（已证）
∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等）
∵∠ADE=40°（已知）
∴∠B=40°．
3．同旁内角互补，两直线平行；DCAB；两直线平行；同位角相等.

『归纳』
1. 两条平行直线被第三条直线所截形成八个角，已知八个角中的一个 角的度数，就可以求
得其余各角的度数．

【学习检测】
1．50°． 2．55．
3．内错角相等，两直线平行，ab
，
两直线平行，同位角相等；
4. 解：∵ABDE（已知）
∴∠B =∠DGC（两直线平行，同位角相等）
∵BCEF（已知）
∴∠DGC=∠E（两直线平行，同位角相等）
∴∠B=∠E（等量代换）
【巩固提高】
1．解：∵ABEF（已知）
∴∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠B=∠1（等量代换）
∴DEBC（同位角相等，两直线平行）
2．解：AE与BF平行．
∵AC⊥AE，BD⊥BF，∴∠CAE=∠DBF=90 º.
∵ACBD,根据两直线平行，同位角相等，
∴∠1=∠2.
A
1
B
E
2
F
F
C
B
2
D
C
D 1 E
E
A
F
B
G
C
D
A
15

∴∠CAE+∠1=∠DBF+∠2.根据同位角相等，两直线平行得 AE与BF平行.
二、《学习导航》使用建议
通过“学习准备”中的问题的解答，使学生回顾平行线的三种判定 方法，为本节课的学
习做好准备。“思考一”重在引导学生经历平行线性质的得出过程，培养学生学会通 过直观
思考获得猜测，并经历度量、计算、归纳等合情推理的过程获得平行线的性质。通过归纳中
问题的思考，区别平行线的判定和性质，并回顾平行线性质获得过程中学习数学的方法。 “思
考二” 引导学生在具体的问题中，如何根据已知条件寻求角之间的数量关系，归纳中的问题
让学生体验“平行线 建立了不同顶点的角之间的数量关系，使得三线八角中，只要知道其中
的任意角就可以知道其余各角的度 数。”在平行线判定和性质的学习中进一步体验转化的数
学思想、辩证看问题的思想。本节课学生容易混 淆性质和判定，尤其在进行说理的过程中，
学生可能发生错误，教师要通过练习耐心细致引导，帮助学生 学会说理。
三、课堂小结建议
结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：
1．知识技能方面
（1）经历平行线性质“两直线平行，同位角相等”的得出过程；
（2）运用“两直线平行，同位角相等”进行简单的计算和推理，并学会表达；
（3）通过画平行线、度量角度等操作获得观察分析能力和实际动手操作能力．
2．思想方法方面
通过学习平行线的性质与判定的联系与区别，培养学生事物是普遍联系又是 相互区
别的辩证唯物主义思想.
3．本节课是继平行线的判定后继续学习平行线的性质，有 一个承上启下的作用，学生也比
较容易混淆性质与判定，要求学生具有一定的辨别能力和推理能力。 < br>4．本节课性质的得出是借助直观思考、通过猜测、度量、计算、归纳得到，从两条直线的
位置关 系到同位角的数量关系，体现了转化的数学思想，这些对于解决其他问题也有一
定的指导意义，要在教学 中渗透。


1．4 平行线的性质(2)
一、参考答案
【学习准备】
1.（1）∠2=50°，∠3=50°，相等．（2）∠4=130°，∠3+∠4=180°。

2.解：∵∠1+∠2=180°，∴ABCD.
∴∠4=∠3=50°，∴∠5=∠4=50°，
∠6=180°-∠3=130°。
16
5
5
6
4

【课本导学】
思考一
1.由∠2与∠3相等，我们可以归纳出“两直线平行，内 错角相等”，由“∠3与∠4互补，
我们可以归纳出“两直线平行，同内角互补”
2．由两 条直线平行，会联想到同位角相等，由同位角相等，可以转化到内错角相等．通过
推理的方法得到。 < br>3．不相等，假如相等，就会出现三角形中两个内角和为180度，与小学学过的三角形的三
个内 角和为180°矛盾．
[练习] 第17页做一做 两直线平行，内错角相等；120°；两直线平行，同旁内角互补，
180°，60°
第18页课内练习1．∠C=∠B=142°，因为两直线平行，内错角相等.
第18页课内练习2．(1)∠D （2）两直线平行，内错角相等；∠ACB
第19页作业题1
同位角相等，两直线平行；AB，CD，∠3，∠4
『归纳』
1.
平行线的性质
性质1
性质2
性质3

思考二
1．由已知两直线平行，会联想到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
2．图中与∠1和∠2容易联系的角有同旁内角∠DAB, ∠DCB．
3．除了课本的解法以外，还可以借助同位角或内错角推导∠1和∠2的关系．
思考三
1．由∠ABC+∠C=180°，会联想到直线AB和CD平行．
2．如果不借助平行线，可以通过三角形内角和说明∠CBD和∠D相等．
3．任选下列三个 条件：①∠ABC+∠C=180°；②∠CBD=∠D；③BD平分∠ABC．中的两
个作为条件，能 推出其余的结论．

[练习] 第18页课内练习3
∵∠1=∠2
∴a∥b (内错角相等，两直线平行）
∴∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠3=65°
17
文字表述
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
符号语言

ab，12.


ab，13.

ab，14180.

∴∠4=115°
第19页作业题2
内错角相等，两直线平行；DE，BC，两直线平行，同旁内角互补；180°
第19页作业题3
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAD=∠BCD
∴∠BAD－∠DAC=∠BCD－∠ACB
即∠BAC=∠ACD
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
『归纳』
1.当题目中出现“两直线平行”的条件时，会联想到同位角、内错角、同旁内角的数量关系．
2.角的数量关系和线的位置关系可以互相转化，这体现了转化思想．
【学习检测】
1. B
2. 解：内错角相等，两直线平行。ADBC，两直线平行，同旁内角互补，∠ B，∠D，同旁
内角互补，两直线平行.

3.解：∵∠1+∠3=90°，
∵∠1=34°，∴∠3=56°。
∵l
1
l
2
，
根据两直线平行，同位角相等

A
D
2
l
1
l
2
B

∴∠2=∠3=56°
4
．

∠AED+∠BAE=180°,
ABCD
.
BAEAEC,
,
C
1
12,BAE1AEC2,
即
G AEAEF,

AGEF
,
FG.

【巩固提高】
1.如图，把一个长方形纸片沿
EF
折叠后，点
D< br>，
C
分别落在
D
′，
C
′的位置．若∠
EF B
＝65°，
求∠
AED
′。
解：∵∠
EFB
＝65°，AD∥BC
∴∠
DEF
=∠
EFB
＝65°
∵∠
D
′
EF
=∠
DEF
=65°
∴∠
AED
′=180°-∠
D
′
EF-
∠
DEF=50°
A
D′
E
D

B
C′
F
C

2．（1）解：（1）如图画直线l分别与AB,CD,EF相交于点M,N,P.
A
1
2
3
B
D
F
因为ABCD,CDEF，依据两直线平行 ，同位角相等，
得∠1=∠2，∠2=∠3
C
E
18

所以∠1=∠3，依据同位角相等，两直线平行，
得ABEF.
（2）
图(甲):123360
,
图(丙):1234540
,
若继续下去则有
:123n180(n1)
.
二、《学习导航》使用建议
通过“学习准备”中的问题的解答，使学习者在回忆本章已学的 同位角、内错角及同
旁内角的概念和平行线的判定的基础上，引起对本节课继续学习平行线的性质的学习 愿
望．“思考一”的学习着重要感悟平行线后面两条性质是在前一节课所学性质两直线平行，
同 位角相等及对顶角相等，平角的意义的基础上推导出来的，初步感受几何中的演绎推
理．“思考二”中， 要注意对如何合理选择平行线性质解决问题，找到不同的角与角之间的
关系，就会有不同的解题方法，渗 透选择最佳解题策略．要注意让学生感悟平行线的判定和
平行线的性质如何综合运用.体会转化思想在解 决问题中的作用．
三、课堂小结建议
结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：
1．知识技能方面
（1）平行线的性质
（2）如何综合运用平行线的判定和平行线的性质解决问题
2．思想方法方面
在说明角与角之间的相等关系时，往往要从图中寻找一个角或两个等角作为 它们之
间的桥梁．当解题方法尚不明确时，应该多关注题目给出的条件，思考由条件能推出
哪些 结论．
3．在本课学习中，注意性质推导方法的渗透，及与前面所学性质的联系，即两直线平
行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补是由两直线平行，同位角相等及对顶
角相等所推得．
4．在本课学习中，注意例题教学中由条件能推出哪些结论，选择哪个结论的分析，这
样对进一步的学习，有着方法意义的引导．

1．5 图形的平移
一、参考答案
【学习准备】
1．形状大小不变，位置发生变化.
19

2．把图形左边正方形的阴影部分
1
圆向右水平移动6个单 位，与右边正方形的阴影部分组
4
合成边长为6的正方形，则原图形阴影部分的面积为6
2
=36．
【课本导学】
『思考一』
1．各部分运动方向相同，运动距离一致.
2．平移方向是沿直线PQ方向或沿从A到A’的方向，平移距离是线段AA’的长。
3．物体平移运动后的位置由移动的方向和距离决定.
填空：图形上所有点沿同一方向移动相等的距离。
[练习] 第22页做一做
1．图②属于平移
2．生活中反映平移的事例：家中的移门；抽屉的拉伸；升国旗时国旗的上升等．
『归纳』
图形平移的特征是，在移动过程中，图形上的所有点都沿同一个方向移动相等的距离。
『思 考二』1．长方形ABCD平移后所得的图形还是长方形.它的形状没有改变.大小没有改
变．
2．课本图1-28中，对应线段平行，若CC’=5，则线段AA'，BB'，CC'的长度也一定是5．
3. 平移的方向和平移的距离，关键是画出平移后的对应点.

[练习] 课本第23页课内练习1．作图略
2．图形C经过平移得到图形W
3．作图略
课本第24页作业题1，2作图略
『归纳』
1. 2．位置，形状和大小.
3．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一 条直线上）且
相等.
【学习检测】
3.D
4.（1）4cm，（2）在，（3）4cm
3．18
4．如图
20
A
B
C
D
C'
B'
A＇
D'
（第4题）

【巩固提高】
1．图（1）菜地面积：（40－2）×（30－1)=1102m
2
图（2）菜地面积：（40－1）×（30－1)=1131m
2

图（3）菜地面积：（40－1）×（30－1)=1131m
2

2
．如图，沿对角线方向，每次平移距离为对角线长的




二、《学习导航》使用建议
通过“学习准备”中的问题的解答，使学习者在回忆 小学所学的有关图形的平移知识
的基础上，引起对本节课的知识的学习兴趣，达到本节课学习的愿望．“ 思考一”重在引导
学生感悟生活中的平移现象，并从平移现象中归纳出平移的定义．“思考二”设置了网 格中
的平移问题，让学生初步感受平移的基本性质，然后让学生通过“画出一个图形经平移后所
得的图形”实际操作过程，经历平移性质的得出过程．本节课练习的设置不仅要求学生能直
接运用平移的 定义和性质解决一些问题，还能运用平移的性质解决生活中的问题．
三、课堂小结建议
结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：
1．知识技能方面
（1）了解平移的概念，会进行简单图形的平移，理解平移的性质，理解平移前后两个
图形对应点连线平行且相等、对应线段和对应角分别相等，能解决简单的平移问题．
（2）培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题．
2．思想方法方面
平移是学习和 生活中常见的一种图形运动，是解决实际问题的需要而产生的。平移
性质的应用非常广泛．让学生体会数 学来源于生活，又应用于生活。
3．在本课学习中，注意平移概念产生方法的渗透，让学生感受到平移 的概念来自于生
活，又应用于生活，学“有用的数学”．
4．本课学习中，平移性质的得出经 历了画图、猜想、归纳等直观操作进行合情推理的
过程，对进一步学习其他的图形运动有着方法意义上的 指导．
．

21

第一章平行线复习
【复习准备】
1. ∠５ 内错 同旁内
2.C
3.120°
4.C
5. 已知 ∠B ２ 同位角相等，两直线平行
【知识整理】
1. 平行
2.（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等 ，两直线平行；（3）同旁内角互补，两
直线平行
3. （1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁
内角互补
4. 平移
5.（1）形状；大小；（2）平行；相等
【例题】
例1 [解]（两直线平行，同位角相等） ∠MFQ
(同位角相等，两直线平行) FQ
[拓展] B
例2 [解] 作法：
1.分别过点B,C沿AD方向作线段BE,CF，使它们与AD平行且相等
2.顺次连结D,E,F
则△DEF即为所求．




[拓展]略
例3 [解]45°，67.5°，90°，112.5°，135°
[拓展] （1）130°
（2）∵ADBC
∴∠3=∠AEF，∠2=∠AEF+FEA’
22

又∵EF是折痕
∴∠FEA'=∠AEF， ∴∠2=2∠3
【复习检测】
,BC ∠1＝∠2
2.115°
3. 5
4. 130°，过程略

5.（1） EF ∠EFG
（2）EH, AE∥BF∥CG∥DH
（３）m,n
6．（1）∵AE⊥BC FG⊥BC
∴AE∥FG
∴∠１＝∠A
又∠1＝∠2
∴∠A＝∠2
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
（2）∵AB∥CD
∴∠D+∠ABD=180
0

又∠D=∠3+60
0

∠ABD=∠3+∠CBD
∴∠3+60
0
+∠CBD+∠3=180
0

又已知∠CBD=70
0

∴∠3=25
0

又∵AB∥CD
∴∠C=∠3=25
0

【拓展提高】
1.15 2. D
3. (1)∵ABDE
∴∠B=∠DPC
A
D
又∵∠B=∠DEF
B
C
P
∴∠DEF=∠DPC
F
E
∴BCEF
（2）∵EDAB
∴∠B+∠DPB=180°
又∵∠B+∠DEF=180°
∴∠DPB=∠DEF
23
A
D
B
C
P
F
E

∴BCEF
（3）平行或相等。
4.（1） PC∥a（两直线平行，同位角相等）；（2）过点O作PQ的平行线或画∠COD=∠CPQ。
二、《学习导航》使用建议
本节内容是整章的复习，故对“复习目标”需正确把握，做到通过 “知识整理”“例题”
这两部分的学习，达到复习的目的。要把握重点，特别是让学生有效掌握运用平行 线的性质
和判定解决有关的问题。
三、课堂小结建议
本章的内容为平行线的概念、性质和判定，以及平移的性质．本章内容可用如下结构图表示：

画法






平行 概念
性质
判定
应用
实
际
问
题
情
境

平移
24

现实世界存在着各种各样的位置关系，直线之间的平行关系是一种反映现实位置关系的
一个重要数学模型．根据实际问题中的物体的位置关系，抽象成直线的位置关系，从而分析
直线互相平 行的判定和性质，这是一个重要的数学方法．我们借助于一条直线和两条直线相
交所构成的角研究平行线 的判定方法和性质.研究平行线的判定和性质的过程中，我们既重
视了大量的实验操作的方法，还体会到 了经过简单推理得出数学结论的方法，培养我们言之
有据的思考习惯.