新学期作文-研究生自我鉴定范文

小学数学六年级上册教材介绍
《义务教育课程标准实验教科书数学（一～六年级）》（ 以下简
称实验教材）经修订后形成的一套新教材。实验教材以《全日制义
务教育数学课程标准（ 实验稿）》（以下简称《标准（实验
稿）》）的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结以往九年< br>义务教育小学数学教材研究和使用经验的基础上编写的。实验教材
从2001年秋季开始使用，经 过国家级实验区和省级实验区实验使用
证明，这是一套我国城乡广大地区普遍适用的小学数学教材。从< br>2011年7月开始，实验教材的编写者根据新颁布的《义务教育数学
课程标准（2011版）》 （以下简称《标准（2011）》）对实验教材
进行了全面而系统的修订，形成了《义务教育教科书数学 （一～六
年级）》，于2013年3月全部通过国家基础教育课程教材专家工作
委员会的审查， 并已于2012年秋季开始陆续替换实验教材。
《义务教育教科书数学·六年级上册》的修订,仍然坚 持在体现新
理念的同时注意具体措施的可行性和处理好继续与发展的关系两大
基本原则,力求使 修订后的教材具有创新、实用、开放的特点。教材
所选择的学习素材尽量与学生的生活现实、数学现实、 其他学科现
实相联系；教材内容的呈现努力体现数学知识的整体性，体现重要
的数学知识和方法 的产生、发展和应用过程；注重引导学生进行自
主探索与合作交流，并关注对学生人文精神的培养；注重 调动教师
的主动性和积极性，便于教师进行创造性教学。
本册教材包括下面一些内容：分数乘 法，分数除法，比，百分
数，圆，位置与方向，扇形统计图，数学广角，综合与实践等。
在数 与代数方面，这一册教材安排了分数乘法、分数除法、比、
百分数4个单元。分数乘法和除法是在前面学 习整数、小数有关计
算的基础上进行教学的，重在培养学生分数四则运算能力以及解决
有关分数 的实际问题的能力。分数四则运算能力是学生进一步学习
数学的重要基本技能，应该让学生切实掌握。比 的初步知识是在学
习了除法、分数等知识的基础上教学的，比在生活中有广泛应用，
同时是后面 学习圆周率、百分数、比例等知识的基础。百分数在实
际生活中有着广泛的应用，理解百分数的意义、掌 握百分数的计算
方法，会解决简单的有关百分数的实际问题，也是小学生应具备的
基本数学能力 。
在图形与几何方面，这一册教材安排了位置与方向、圆两个单
元。位置的教学在已有知识和 经验的基础上，通过丰富的现实的数
学活动，让学生经历知识的形成过程，理解并学会用距离和方向表< /p>

示位置；通过对曲线图形——圆的特征和有关知识的探索与学习，
初步认识研究曲 线图形的基本方法，促进学生空间观念的进一步发
展。
在统计方面，本册教材安排的是扇形统 计图。在前面学习条形统
计图和折线统计图的基础上，学会看懂扇形统计图，认识扇形统计
图的 特点，进一步体会统计在生活和解决问题中的作用，发展数据
分析观念。
在用数学解决问题方 面，教材结合分数的乘法和除法、比、百分
数、圆、统计等知识，教学用所学的知识解决生活中的简单问 题，
培养学生的发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
在数学思想方法方面，教 材除了结合分数的乘法和除法、比、百
分数、圆、统计等知识，让学生体会、理解和掌握归纳法、类比< br>法、演绎推理思想、转化思想、数形结合思想、统计思想等思想方
法外，还安排了“数学广角”的 教学内容，引导学生通过观察、猜
测、推理等活动，理解和掌握数形结合思想、归纳法、演绎推理思想、极限思想，体会运用数学思想方法解决问题的有效性、优越
性，发展学生的四能。
本 册教材根据学生所学习的数学知识和生活经验，安排了两个数
学综合与实践主题活动，让学生通过小组合 作的探究活动或有现实
背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实
际应用 ，感受用数学的愉悦，培养学生的数学应用意识和实践能
力。
如前所述，这套教材的实验教材 是以《标准（实验稿）》的基本
理念和所规定的教学内容为依据，在总结以往九年义务教育小学数
学教材研究和使用经验的基础上进行设计的。在使用十年后，2012
年在总结10年实验与使用经验 的基础上，根据《标准（2011）》提
出的新要求，广泛听取并吸收小学数学教师和教研人员的意见和 建
议，对实验教材进行了系统、细致的修订。通过教材的修订，我们
期望使本套小学数学教材的 内容质量得到全面提升，体现数学的价
值，体现时代精神与科技进步，渗透社会主义核心价值体系；使教
材结构更为科学合理，符合学生学习数学的认知规律，减轻学生课
业负担，增强学生学好数学和 会用数学的信心，获得适应未来社会
生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想< br>和基本活动经验，初步形成发现、提出、分析和解决数学问题的能
力；使教材的风格和特色更加鲜 明，将数学学科体系严谨性与学生
自主学习的开放性有机结合，更好地促进教育教学活动，初步培养

学生严谨求实又勇于探索创新的科学精神，更加符合实施素质教育
的要求；使教材的 版面设计清爽美观，图文并茂配合切当，装帧精
美，文字准确并适合于小学生阅读。
修订后的教材，既具有原实验教材的主要特点，同时又呈现出一
些新的特色。
1．改 进分数乘、除法的编排，加强学生对数学本质的理解，培
养学生的应用意识、分析问题和解决问题的能力
分数四则运算的知识和技能是小学生应该掌握的基础知识和基本
技能。分数四则运算在计算方法 上与整数、小数计算有一定的区
别，在算理上比整数、小数计算稍显复杂，所以学生理解和掌握起
来更困难一些。分数的加法和减法，在计算方法上与整数、小数的
加法和减法虽有区别，但是在算理上 与整数、小数的加、减法又有
联系，都是相同单位的数才能直接相加、减。为了突出这一共同的
规律，加之学生已学习过简单的同分母分数加、减法，所以，在五
年级下册，教材将分数的加法和减法安 排在同一单元里穿插教学。
分数的乘法和除法有密切的联系，教学分数除法需要有分数乘法作
基 础；而且分数乘、除法的内容比较多，学生理解它们的算理也更
为困难些；因此，在原实验教材把分数乘 法和分数除法分2个单元
的方式进行编排的基础上，本套教材拆分为3个单元进行编排，即
分数 乘法、分数除法、比。在具体编排上，前两个单元都先结合实
际问题教学每种计算的算理和算法，比这一 单元先结合情境教学比
的意义和性质；然后解决一些含有特殊数量关系和联系实际的问
题。通过 解决实际问题，理解这类问题的数量关系，在掌握解题思
路和方法的同时，进一步加深学生对分数乘、除 法的理解。这样编
排，重点突出，比较有利于学生理解和掌握分数乘、除法的算理、
算法和实际 应用。
由于倒数是学习分数除法的基础，因此本套教材把倒数的认识移
至分数除法单元，加强 了知识之间的联系。考虑到分数除法单元的
容量及比的内容的重要性、独立性，本套教材把比的内容独立 设置
为一个单元，安排在分数除法单元之后，教学比的意义、性质和应
用。这样编排有两点好处 ：第一，比和分数、除法有密切的联系，
两个整数相除（除数不等于0）可以用分数表示它们的商，也可 以
说成两个数的比，两个数的比也可以用分数形式来表示。加强比和
分数的联系，可以加深学生 对分数的意义的理解和对比的认识，还
可以提高学生灵活运用知识解决简单实际问题的能力。第二，比的
概念的教学，可以为后面教学圆周率、百分数、统计等打好基础。

例如，学生有 了比的概念，就容易理解百分数为什么还可以叫做百
分比。
与整数、小数的计算教学相同，分 数的乘法和除法的教学，同样
要体现计算教学改革的新理念，即重视理解算理和算法、让学生自
主探索、加强运算能力、培养四能等。因此，本套教材的编排与实
验教材相比有以下几方面的改进。 < br>（1）加强分数乘法、分数除法意义的教学，让学生通过解决实
际问题，结合具体情境和计算过程 去理解运算的意义。
（2）通过实际问题引出需要用分数乘、除法计算的问题，让学
生在现实 情境中探索、理解分数乘、除法的算理和算法。
（3）加强几何直观，借助操作与图示，引导学生探索 并理解分
数乘、除法的算理和算法。对分数乘、除法计算方法的探索与理
解，历来是教学的难点 。教材根据学生的思维特点，设计了涂色、
折纸、画线段图等活动，采用手脑并用、数形结合的策略加以 突
破，为学生探索与交流提供更多的空间。最后出现文字叙述式的计
算法则，使学生在理解的基 础上掌握。
（4）加强分数四则运算的编排，增加小数、分数的混合运算，
培养运算能力。
（5）加强了分数乘、除法应用问题的编排，增加问题解决的例
题和形式，注重培养学生用数学 解决实际问题的能力。
用分数乘、除法解决问题以往也是小学数学教学的难点教学内
容，本套 教材的编排，根据《标准（2011）》的要求，一方面加强
联系实际，选取了在日常生活中经常遇到的 实际问题进行分析，培
养学生的应用意识；另一方面增加问题解决的例题数量，进而达到
培养学 生的四能的目的。
2．改进百分数的编排，加强知识的整合、迁移和联系实际，培
养学生的应用意识
百 分数是用来表示一个数是另一个数的百分之几的数，通常也叫
做百分率和百分比。由于百分数的分母化一 ，便于比较，因此，在
工农业生产、科学研究以及日常工作中有着广泛的应用。有关百分
数的教 学内容较多，如它的意义与写法、它与小数、分数的互化、
它在实际中的应用，等等，所以本套教材把百 分数拆分成两个单元
进行教学，分别编排在六年级上、下册，本册百分数的内容包括百
分数的意 义，百分数与分数、小数的互化，解决与应用分数问题类
似的百分数问题。折扣、成数税率和利率等百分 数的应用则安排在
六年级下册。

由于解决含有百分数的实际问题在解题思路和 解答方法上与解决
分数问题基本相同。因此，教材在这些方面没有用较多的例题来教
学，只对求 百分率的问题，求增加百分之几、减少百分之几的问题
适当举例加以教学，并加强百分数实际应用方面的 教学。例如，结
合求百分率，出现求达标率、发芽率等的计算（还提示了出勤率、
合格率、出粉 率）。
同样，百分数这部分教材的编排注意体现当前数学教学改革的新
理念。首先，加强数学 知识与生活实际的联系。随着我国经济生活
的不断繁荣，数学知识的广泛应用，百分数的实际应用也日益 广
泛。所以，这一单元的编排，教材选取了较为丰富的、贴近学生生
活又富有时代气息的素材。 例如，百分数意义的教学，教材用主体
图的形式列举了大量当前实际生活中百分数应用的实例；“百分数 与
分数的互化”的编排，教材采用解决实际问题方式引入互化的教学，
使学生体会互化知识的实 际应用。这样的编排，使学生在联系生活
实际中认识百分数，理解百分数的意义，感受百分数在生活实际 中
的应用，有利于形成学生对数学价值的正确认识，提高学生用数学
解决问题的能力。其次，加 强了教学的探索性和开放性。教材注意
利用合适机会设置有效的数学活动，让学生通过自主探索，体会、
理解百分数的知识。例如，百分数意义的教学，在列举了生活中百
分数应用实例的基础上，教材 通过小精灵提出要求，让学生自己试
着说一说这些百分数的应用和具体含义，使学生在自主探索、讨论< br>交流中体会和理解百分数的含义。又如，教学求百分率的实际问题
时，在探索了命中率的含义和求 法的基础上，教材还放手让学生自
己探索如何求出出勤率、发芽率、成活率等。既拓展了学生所学的知识范围，加深学生对百分率知识的理解；又培养了自主探索的良
好学习习惯。
3．在图形与几何方面，注重动手实践与自主探索，促进学生
空间观念的发展
小学阶段图形与 几何教学的主要目标是发展学生的空间观念，与
前几册一样，本册教材继续把促进学生空间观念的发展作 为图形与
几何内容编排的研究重点。在教学内容方面安排了“位置与方向”“圆”
两个单元。
“位置与方向”的教学内容是第一学段相应教学内容的扩展和提
高。学生在中年级“位置与方向 ”单元学习了八个方向。本册教材在
上述学习的基础上，教学在平面内可以根据方向和距离这两个条件< br>确定物体的位置。使学生初步能从方位的角度观察周围的事物，通

过教学促进学生 空间观念的进一步发展，为中学学习“图形与坐标”
打好基础。教材的编排，首先注意了利用学生已有的 知识和经验，
设计一组联系实际的在我国东南沿海经常发生的台风移动的实际情
境，将具体的情 境数学化，抽象成学习如何在平面图上根据方向和
距离确定位置，帮助学生理解用方向和距离确定位置的 方法。另一
方面，注意呈现丰富的生活情境和现实素材，帮助学生掌握用方向
和距离确定位置的 方法。例如，可以带领学生在操场上进行实地测
量，确定一个位置，然后以它为中心测量各个建筑物的方 向和距
离，画出平面图。使学生在综合运用所学知识解决问题的过程中，
加深对用方向和距离确 定位置内容的理解，体会数学知识之间的联
系，锻炼空间想象的能力。
圆是一种曲线图形，它 同直线图形有不同的特点。在本册之前各
册教材出现的平面图形都是直线图形。所以“圆”的教学是学生 系统
认识曲线图形特征的开始。在低年级的教学中虽然也出现过圆，但
只是直观的认识，本册的 教学要认识圆的特征、圆的周长和圆的面
积等。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身，还是 研
究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认
识研究曲线图形的基本方法 ，同时，也渗透了曲线图形与直线图形
的内在联系。在这一单元里，教材还利用学生已有的对轴对称图形
的初步知识探讨圆的轴对称特点，使学生关于轴对称图形的知识系
统化，从而更好地发展学生的 空间观念。教材在编排上加强了启发
性和探索性，注重动手操作，让学生在自主探索的活动中通过交流、思考来探究圆的特征、圆的周长和面积的计算方法。例如，教
学圆的面积时，教材启发学生自己 寻找解决问题的思路和方法，回
忆以前用过的转化方法，化曲为直，从而把圆的面积转化为学生熟
悉的直线图形的面积来计算，同时让学生体会极限思想。与实验教
材相比，本套教材增加了扇形的初步 认识，认识弧、圆心角、扇形
等概念，为扇形统计图的学习打下基础。教材还注意通过介绍圆周
率的史料，渗透数学文化和爱国主义教育。
4．加强统计知识的教学，发展学生的数据分析观念，逐步 形成
从数学的角度进行思考问题的思维习惯
通过前面五年的数学学习，在统计与概率方面，学 生已经掌握了
一定的知识，形成了一定的能力，积累了一定的经验。本册教材安
排的是关于统计 知识的教学，即教学扇形统计图的知识。通过教学
使学生认识扇形统计图的特点和作用；能从扇形统计图 中获取有价
值的数学信息；加强各种统计数据和统计图的比较，并能根据数据

的 不同特征，选择适当的统计图或统计表来反映现实数据、分析数
据、判断决策、解决问题。教学中学生同 样要经历简单的数据收
集、整理、描述、分析的过程，并要根据统计数据分析的结果做出
简单的 判断和预测，以便更好地理解统计知识在解决问题中的作
用，形成良好的数据分析观念。
在教 材的具体编排上，一是注意与先前学习过的统计知识的联
系，帮助学生理解扇形统计图的特点和作用。例 如，注重与学生已
经学习过的条形统计图和折线统计图的联系。通过各种统计图特点
及作用的对 比，引导学生认识扇形统计图的特点和作用。二是注意
挖掘生活中的数学素材，凸显统计的实用价值。教 材在素材选取方
面，注重从生活、生产中选取，努力挖掘学生身边的相关数学元
素，这样不仅拓 宽了学生数据收集的渠道，也凸显了统计与生产、
生活密切的联系，使学生体会到统计的实用价值。例如 ，教材所选
素材涉及体育、营养、环保、人口、通讯、网络等方面，扩大了学
生处理信息的范围 ，更好地体会统计知识和方法在实际生活中的作
用，有利于发展学生的数据分析观念，形成从数学的角度 思考问题
的良好习惯。
5．加强数学思想方法的教学，培养学生数学思维能力和解决问
题的能力
数学思想方 法在数学学习中有着重要的地位和作用。本套教材加
强了思想方法的编排和教学，除了在数与代数、图形 与几何、统计
与概率、综合与实践这四个领域加强思想方法的编排外，还在每册
教材中单独设计 数学广角单元，体现各种思想方法。数学思想方法
不仅可以使学生提高学习数学的效率和水平，而且还能 有效地提高
学生的逻辑思维能力，进而奠定发展更高素质的基础。因此，培养
学生掌握数学思想 方法是数学教学要达到的重要目标之一。本套教
材总体设想之一是：系统而有步骤地渗透数学思想方法， 尝试把重
要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的
事例呈现出来。通过 教学使学生受到数学思想方法的熏陶，形成探
索、解决数学问题的兴趣与方法，逐步发展数学思维能力。 据此，
在本册教材的“数学广角”单元，安排了“数与形”，通过教学，使学生
体会数形结合思 想的直观性，激发学生对数学的学习兴趣，促进学
生推理能力的发展，培养学生观察、分析、推理以及解 决问题的能
力，以及探索数学问题的兴趣。
用数学解决问题能力的培养是义务教育阶段数学课 程的重要目标
之一，因此解决问题教学在数学教学中有着重要的作用。它既是发

展学生数学思维的过程，又是培养学生应用意识、创新意识的重要
途径。与前面几册教材一样，本册教材 仍然注意将解决问题的教学
融合于各部分内容的教学中，通过各部分内容的教学培养学生用数
学 解决问题的能力。同时在“数学广角”单元以及数学综合运用活动
中，加强了综合运用知识解决问题的教 学，使学生逐步提高数学思
维能力和解决问题的能力。本册教材设计了“确定起跑线”和“节约用
水”两个数学综合实践活动，让学生通过小组合作的探究性活动，综
合运用所学的数学知识和方法（如 圆的周长知识、百分数的实际应
用等有关知识），动手实践解决问题，体会数学在日常生活中的应
用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高学生的实践能力和解
决问题的能力。
6．情感 、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅
力和学习的收获激发学生的学习兴趣与内在动机
本套教材继续强调对学生情感、态度和价值观的培养，全面提高
学生的素质。小学高年级学生已 经具有了一定的知识和生活经验，
对自然与社会现象有了一定的探求欲望，此时需要教育者进行有目的的启发与引导。在数学教学中，就是要通过数学学习活动，使学
生形成丰富的情感、积极的态度和 正确的价值观，这同样是学生学
习、生存和发展的重要基础。本册教材不仅内容涉及数学教学内容
的各个领域，为学生探索奇妙的数学世界提供了丰富素材，而且注
意结合教学内容安排了许多体现数学 文化的阅读材料、数学史实
等，使学生的数学学习活动丰富多彩、充满魅力。这些都有助于学
生 初步认识数学与人类生活的密切联系，了解数学的价值，激发学
生学习数学的欲望。
（1）提供丰富的培养学习数学兴趣爱好的素材。
考虑到学生年龄的增长、视野的扩大等因素 ，实验教材注意选择
知识内容深刻、内涵更丰富的教学素材，使学生在学习数学的同
时，受到情 感、态度、价值观的熏陶。例如，在“比的应用”小节里,
通过“你知道吗”介绍的“黄金比”的知识和 以“黄金比”设计的艺术品、
建筑物等；数学广角“数与形”蕴涵了重要的数形结合的思想方法；
数学综合与实践“节约用水”中渗透环境保护意识，等等。简洁、巧
妙的解决问题策略中闪烁着数学方 法的奇妙。严密的逻辑推理、精
确的计算、形式完美的原理与规律，都潜移默化地让学生体会到数
学所特有的形式美、结构美和方法美，这些都有利于激发学生学习
数学的兴趣，形成稳定的探索数学的 动机。

（2）注意反映数学与人类生活的密切联系以及数学的文化价
值。 < br>与前几册教材一样，本册教材仍然注意采用阅读材料的形式，结
合教学内容编排一些有关的数学史 料，丰富学生对数学发展的整体
认识，培养学生探索数学、学习数学的兴趣与欲望。如安排了多个
“你知道吗”“生活中的数学”。介绍了现实生活中数学知识的应用、古
代数学家的故事等等。这些内 容不仅可以使学生对数学本身产生浓
厚的兴趣，激励他们扩大知识面和进一步探索研究的欲望，而且对< br>学生具有陶冶科学情操和培养科学精神的作用。
（3）通过自主探索的活动，让学生获得学习成功的体验，增进
学好数学的信心。
结 合学生的年龄特点和教学内容，本册教材设计了很多需要学生
自主探索的活动，例如，探究圆的周长时， 让学生采用围一围、滚
一滚的方法先测出周长的数值，在此基础上再引导学生探究周长与
直径的 关系，得到圆的周长的计算公式。同样，圆的面积计算公式
的推出，让学生小组合作，通过动手剪切、拼 贴，从而“化圆为
方”，得出圆面积的计算方法。让学生有更多的机会应用数学知识，
进行自主 探索的实践，并通过这些活动获得自己成功、能力增强等
良好体验，从而逐步增强学好数学、会用数学的 信心。
六年级上册第一单元“分数乘法”教材介绍
一、教学内容
1. 分数乘法的意义。
2. 分数乘法的计算。
3. 利用分数乘法解决相关实际问题。
二、教学目标
1. 使学生理解分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展；理解和
掌握 分数乘法的计算方法，会计算分数乘整数、分数、小数；能运
用乘法运算定律进行一些简便计算。
2. 使学生经历分数乘法计算方法的探索过程，经历应用分数乘
法解决简单实际问题的过程， 进一步培养分析、比较、抽象、概
括、归纳、类推的能力，发展初步的合情推理和演绎推理的能力。
3. 使学生感受知识之间的内在联系，提高自主探索与合作交流
学习的能力，建立学好数学的信心。
三、主要变化与具体编排
（一）主要变化
1．进一步理清分数乘法的意义。

分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展，二者在本质上完全一
致，只是在表述方式上 有所区别。例如，如果脱离情境，在抽象的
层面上讨论“5×3”，它既可以表示5个3相加，用“倍” 的语言来描述
就是“3的5倍”；也可以表示3个5相加，同样可以说成“5的3
倍”。类似地 ，如果以这样的方式来讨论“3×”，它既可以表示3个
相加，即“的3倍”；也可以表示“3的”。从 表面上看，“一个数
的几分之几”是一种全新的表述，但实际上，它只是省略了“3的
倍”中的 “倍”字，把“一个数的几倍”扩展到“一个数的几分之几”。从另
一个角度看，“3的”和“个3” 表示的意思完全相同，例如，一根
绳子长3 m，“它的长多少米”和“根绳子长多少米”说的是一个意
思。
因此，不管是整数乘法还是分 数乘法，其意义都可以归结为“几
个几”，只不过，这里的两个“几”都既可以是整数，也可以是分数。
根据这样的思路，教材编排了三道例题来教学分数乘法的意义和
计算。例1，让学生计算3个 m是多少,学生可以直接利用整数
乘法的意义，转化成连加进行计算。例2，是例3的铺垫，让学生根据整数乘法中的数量关系“单位量×数量=总量”列出“1桶水12 L，
桶是多少升”的算式是 12×，然后结合直观图和分数的意义，发
现12×在这儿表示的就是12 L的，进而得出“一个数乘几分之几
可以表示求这个数的几分之几是多少”的结论。
在这一过 程中，把“桶水”变成“1桶水的”，实现了从“量”到
“率”的有效转换。有了例2的基础，例3中求 “公顷的”，算式列
成×就“有据可依”了。
这样编排，有几个好处。一是在单元之始就把分 数乘法意义的两
种不同表述方式都呈现出来，使学生对分数乘法的意义有比较全

面、完整的认识。二是编排逻辑更加清晰，先让学生理解分数乘法
的意义，解决“如何列式”，再解决“ 如何计算”。三是突破了过去教材
中到“问题解决”部分才去解决“求一个数的几分之几是多少”的限制 ，
大大拓宽了本单元其他内容的素材选择范围。例如，既可以出现“蜂
鸟的飞行速度是千米分， 分钟飞行多少千米”的题材（分数是
一种具体量，带单位），也可以出现“一头鲸长28 m，一个人身 高是
鲸体长的。这个人身高是多少米”的练习题（分数是一种“率”，不
带单位）。
2．增加分、小数相乘的内容。
学生在未来的学习中会遇到许多分、小数相乘的情况，例如， 解
决“按1：5的比配制一杯1.2 L的稀释液，需要多少升浓缩液”的问
题时，需要计算形 如1.2×的算式。如果学生不会直接约分，
计算的繁杂程度和出错概率就会大大增加。因此，教材新编 了例
5，让学生分别计算2.1×和2.4×，让学生根据数据的特点灵活
选择计算方法，能直 接约分的尽量直接约分。
教学时，要使学生通过教材中的推导过程理解“为什么能直接约
分”的原理。
3．调整了用分数乘法解决实际问题的类型。
如前所述，学生已经在“分数乘法的意义和计算 ”中解决了“求一个
数的几分之几是多少”的基本问题。这一基本数量关系的掌握对于解
决更复 杂的分数乘法问题至关重要。
此次修订增加了“连续求一个数的几分之几是多少”的问题。这一
类问题是“求一个数的几分之几是多少”的延续，已知量和所求的量
之间的关系没有直接给出，而是通 过一个“中间量”搭建起二者之间
的“桥梁”。在解决这一类问题时，需要学生把复杂的问题化归为基< br>本的“求一个数的几分之几是多少”，并抓住这一基本数量关系中的
几个关键要素：单位“1”是 谁？所求的量是谁？二者之间是几分之几
的关系？尤其要注意单位“1”与几分之几之间的对应关系。
对于“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”这类问题，与
实验教材相比，修订后的教材 减轻了例题的分量，在例题中只出现

不同量的情况（婴儿每分钟心跳的次数比青少年多） ，对于同一
量的情况（嗓音降低），则放在“做一做”中让学生巩固掌握。
4．把“倒数”的内容移至“分数除法”单元。
倒数是联结分数乘法和分数除法的纽带。在进 行分数除法计算
时，要用到“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”这一结论，因
此，把“倒数 ”安排在“分数除法”单元，更能体现出学习倒数的必要
性。
（二）具体编排
1. 例1。
直接利用整数乘法的意义来引入分数乘法，使学生理解几个相同
分数相加和几个相同整 数相加都可以用乘法计算。并通过将分数乘
法转化为分数加法来探究分数乘法的算理，掌握计算方法。
从吃蛋糕的实际问题引入，借助圆形直观图帮助学生理解题意，
探究计算方法。这一直观图延续 了三年级学习简单的分数加法时所
用的直观图，有助于学生利用已学的知识自主探索。此例中的分数带单位，是一个“量”，学生对于求几个相同量之和的数量关系非常
熟悉。先呈现加法计算，然后直 接根据整数乘法的意义列出两个乘
法算式，说明在这种情况下整数乘法的意义同样适用。
计算 时，先将分数乘法转化为几个相同分数相加，使学生明白分
母不变、分子相乘的道理。在此基础上总结分 数乘整数的计算方
法，并指出有时可以先约分再相乘的简便算法。
2. 例2。
让 学生利用已学的整数乘法的数量关系进行类推，列出分数乘法
算式，结合具体情境，使学生理解“一个数 乘几分之几可以表示求这
个数的几分之几”。这是“求一个数的几分之几可以用这个数乘几分
之 几”的列式依据。
教材呈现了三幅图，都是已知1桶水的体积，分别要求3桶水、
桶水、桶水 的体积。在这里，列式所依据的数量关系都是“每桶
水的体积×桶数=水的体积”，只是桶数可以由整数 扩展到分数。接下
来，结合情境，说明求桶水、桶水的体积就是求12 L的和12

< br>L的分别是多少。在此基础上，概括出“一个数乘几分之几，可以
表示这个数的几分之几是多少” 。
3. 例3。
本例是在学生会利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”
列式之后，学习分数乘分数的计算方法。
教材利用两个小题，由简单到复杂，结合直观操作，使学生在 探
索和理解分数乘分数算理的基础上，一步一步总结出分数乘分数的
计算方法，渗透数形结合的 数学思想，培养学生的逻辑推理能力。
要理解分数乘分数的算理，其根本在于分数意义的理解。在这< br>里，有些分数是带单位的“量”，有些分数是不带单位的“率”，事实
上，“量”与“率”也是可 以互相转化的。例如，公顷，实际上就是1
公顷的；公顷的，就是1公顷的，即公顷。
4. 例4。
本例是学习分数乘法的简便方法。学生在前面对于分数乘法的意
义和算理有了深刻的理 解后，教学重点转入寻求便捷的算法。
在设计情境时，教材特意把两个小题设计成需要运用分数乘法意
义的两种不同形式进行列式的情形，旨在进一步巩固分数乘法的意
义。其中，第（1）小题是“ 求一个数的几分之几”，第（2）小题既
可以根据“速度×时间=路程”列式，也可以根据“几个相同分 数相加”列
式。
在数据处理上，本例中既包含分数与分数相乘，又包含分数与整
数相 乘。学生可以通过此例，进一步掌握分数乘法的一般性算法。
5. 例5。
本例是教学分数 与小数相乘的计算问题。分、小数混合运算是在
日常生活中以及未来的数学与其他学科的学习中经常会遇 到的情
形，因此，根据分、小数的数据特点灵活选择计算策略，也是学生
应该具备的一项技能。 为此，教材在修订时增加了这部分内容。
分数和小数相乘，可把分数化成小数相乘（如果分数可以化成 有
限小数），也可把小数化成分数相乘。不管哪种方法，都是学生已
学的知识，可以让学生自行 解决。而当小数与分数的分母存在某种
倍数关系时，可以直接“约分”。这种约分虽然与以前学过的约分 形
式不同，但实质都是除以一个相同的数。
6. 例6。

从“做一 个长方形画框需要多长的木条”的实际问题引入，利用长
方形画框的周长计算引出分数混合运算。鼓励学 生用不同的方法
（除了教材上的两种方法，还有可能用四条边相加的）计算，很自
然地呈现各种 形式的算式，有两级运算的，有带小括号的。教材直
接说明分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同 ，让学生自主
解决。
教材特意用两道有关联的算式教学分数混合运算的顺序，为接下
来正式教学把整数乘法运算定律推广到分数乘法作了很好的铺垫。
在此基础上，再通过观察、计算，归纳 得出“整数乘法的交换律、结
合律和分配律，对于分数乘法也适用”的结论。
7. 例7。
教材结合具体计算，说明应用乘法运算定律可以使分数混合运算
更加简便。
8. 例8。
本例是让学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上，解
决连续求一个数的几分 之几是多少的实际问题。在这里，由于研究
的是三个量之间的关系，在描述其中某两个量的数量关系时， 单位
“1”是在动态变化的。
教材按“阅读与理解”“分析与解答”和“回顾与反思”呈现解 决问题的
一般步骤。到了高年级，随着问题复杂度提高，对于信息的搜集、
题意的理解以及整个 问题解答过程以及结果合理性的回顾与讨论，
显得越来越重要。
在“分析与解答”环节，一方 面，通过折纸或画图等操作活动，借
助直观图形帮助学生理解题中的数量关系，体会画图是分析问题、< br>解决问题的重要策略。另一方面，倡导解决问题方法的多样化。既
可以先求出萝卜地的面积，再求 出红萝卜地的面积；也可以先求出
红萝卜地占大棚面积的几分之几，再求出红萝卜地的面积。不同解题思路的呈现，可以提高学生思维的灵活性和发散性。
“回顾与反思”让学生自己完成。检验的角 度很多，比如，看看直
观图画得是否符合题意，看看列式是否符合图意，看看计算是否正
确。检 验的方法也是多样化的。例如，可以看到萝卜地的面积是红
萝卜地的4倍，而大棚面积是萝卜地的2倍。 用红萝卜地的60 m
2
乘
4，得到萝卜地是240 m
2
，再乘2，是480 m
2
，与题中的信息相符。
也可以看看红萝卜地的面积是否占整块萝卜地的。
9. 例9。

本例是让学生解决求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的
问题。虽然还是研究两个量间的关系，但由于没有直接给出“一个量
是另一个量的几分之几”， 需要先求出一个量比另一个量多（或少）
的具体数量或者先求出一个量是另一个量的几分之几。
教材通过线段图直观地表示出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年
多”的意思，对于学生理解题意、选择 解决方法起到了关键性的作
用。
教材体现了多样化的解题策略。可以先计算婴儿每分钟心跳比 青
少年多多少次，这就需要先解决“75次的是多少次”的问题。还可
以先求出婴儿每分钟心跳 次数是青少年的几分之几，这就需要先解
决“比一个数多的数是这个数的几分之几”的问题。

“回顾与反思”部分，使学生通过回顾解题的过程，充分认识到
画线段图这一策略对于解决问 题的重要作用。同时，列举了一种检
验结果的方法，引导学生用不同的方法加以检验。
四、教学建议
1. 在已有知识的基础上，帮助学生自主构建新知识。
2. 通过操作和直观图示帮助学生理解分数乘法的算理，掌握计
算方法。
3. 紧密联系分数乘法的意义，引导学生在理解数量关系的基础
上正确列式，解决实际问题。
《分数乘法》重难点突破
一、 理解分数乘法的意义
突破建议：
1．正确把握学生认知基础及知识的逻辑起点，运用迁移、
类推，引导学生自主列出乘 法算式。《义务教育数学课程标准(2011
年版)》指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已 有的经验
为基础。”由此可见，正确把握学生认知基础及知识的逻辑起点，是
开展有效教学的基 础。分数乘法的意义是整数乘法的意义的扩展，
因此，在让学生学习表示“几个相同分数相加”的分数乘 法时，可以
完全放手让学生根据已学的分数加法进行推导。在此基础上，引出
分数乘法的第二种 意义：求一个数的几分之几是多少。在此过程
中，教师同样可以充分挖掘学生的已有知识经验来教学。

例如讲到例2时，根据教材呈现的三幅图，在学生充分观察
的基础上， 引导学生根据第一图列出算式12×3后进行思考：你是
根据什么列式的？使学生明确列式的依据是“单 位量×数量=总量”。
然后教学紧紧抓住这个学生熟悉的数量关系，不断追问：如果把单
位量换 成分数，是什么情形？（即例1中几个相同分数相加的情
况）；如果把数量换成分数，是否同样成立？引 导学生根据整数乘
法的数量关系列出分数乘法的算式。
2．借助图形直观，在“量” “率”转换中实现乘法意义的建构。
根据“单位量×数量=总量”“每桶水12 L，桶水就是L”，再结
合直观图强调，看到的桶水就是半桶水，即12 L水的一半，用分
数的语言，就是12 L的。至此，“可以表示12的”的教学
难点就解决了 。另一方面，再结合情境强调，“12的”和“个12”含
义相同，只是表述方式不同而已。这样，就能 把分数乘法的意义与
整数乘法的意义有机地统一起来，学生在迁移、类推、比较中自主
地理解了 分数乘法的意义。
二、理解与掌握分数乘法的计算方法
突破建议：
1．借助动手操作，运用分数的意义、数形结合理解分数乘
法的算理。分数乘分数的计算方法并不复杂， 记忆和应用算法也不
难，但是，理解为什么这样计算却不容易。在教学中，教师可以先
让学生用 一张纸（或画一个长方形）来表示1公顷地，再利用涂色
来理解求公顷的就是把公顷平均分成5份，取其 中的一份。像
这样借助涂色将数与形结合，将计算与分数的意义紧密相联，充分
展示知识的发生 、发展和联系的教学方式，为学生的独立探究提供
了保证，是学生理解算理的好方法。接下去就可以通过 直观的涂色
结果来让学生得到结果，并明确把1公顷看作单位“1”，求公顷的
是多少，其实就 是把1公顷平均分成（2×5）份，取其中的一份，
也就是，从而得出。当然，在动手操作探索的过程中，应该充分尊重学生的思考，允许学生用多种方法来对结果进

行说明验证。鉴于 学生的学习理解能力，教师也可以在讲课开始之
时先提供一些图例，让学生们通过看图来直观感知“几分 之一的几分
之一”表示的是什么，感受两个分数相乘会产生一个新的分数，对学
生的理解也会有 很大的帮助。
2．引导观察、讨论、归纳推导出分数乘法的计算方法。计
算方法的获 取、表达如果来自于学生自己的思考，学生会掌握得更
扎实。在教学中，教师可以结合例题的教学，让学 生通过画图对算
法进行理解；从计算分子为1的乘法算式算理的理解，到
的计算，由易到难逐步 进行；在对算法理解的基础上进行大
胆、合理的猜想并进行验证；让学生经历“观察——讨论——猜想—
—验证——得出结论”的过程，使得他们在不断观察、不断发现、不
断归纳的过程中总结出分数 乘分数的计算方法。
三、应用分数乘法解决简单的实际问题
突破建议：
1．紧密联系分数乘法的意义，引导学生在理解数量关系的
基础上正确列式，解决实际 问题。分数乘法的意义有两种不同的表
述，其中“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”对学生而言是 全
新的。在解决相关实际问题时，教师要引导学生找出两个相比较的
量，分析两个量之间的数量 关系，弄清哪个量是单位“1”，要求的量
是单位“1”的几分之几，再根据分数乘法的意义列式解答。 对这类基
本问题的解题思路的理解和掌握，为学生解决稍复杂的实际问题奠
定了基础，同时也为 “分数除法”单元解决实际问题提供了直接支
持。
2．有效运用画图策略，帮助学生 分析和解决问题。《义务
教育数学课程标准(2011年版)》指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结
果。”画图既可以将学生对题意的理 解加以外显，又可以将现实情境
抽象为数学模型，帮助分析和解决问题。因此学生在问题解决的过
程中，首先应明确题目中的信息和问题，并用图（表、符号或操作
等）将题目中的信息和问题表示出来 。如连续求一个数的几分之几
是多少的问题和求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问
题 ，数量关系比较复杂，用线段图等方式可以比较清晰、直观地表
示出数量之间的关系。教学时要有效运用 画图策略，帮助学生理解

题意，分析数量关系。可以先从会看示意图入手，逐步学会画图 分
析数量关系，不断提高学生分析问题和解决问题的能力。
《位置与方向（二）》教材分析
位置与方向的知识在日常生活以及航海、军事等领域都有着广泛
的应用，学生在生活中也已经积 累了一些确定位置的感性经验。通
过之前的学习，学生已经能够使用上、下、前、后、左、右和东、南、西、北、东北、东南、西北、西南等方位名词描述物体的大致
位置，能够利用数对精确地表示平 面内一个点或一个区域的位置。
本单元在此基础上，让学生学会利用方向与距离这两个参数确定平
面上一个点的位置。
通过本单元的学习，教师可以给学生初步渗透关于坐标法的思想
和方法 。在平面坐标系中，用两个坐标参数可以确定二维平面上的
一个点，例如点是由直线和相交得到的；在极 坐标
系中，点（
ρ
,
θ
）是由极径为
ρ
的圆和极角 为
θ
的射线相交得到
的。同样地，用三个坐标参数可以确定三维空间中的一个点。通过
坐标系，把点与坐标（有序实数对）建立一一对应的关系，把曲线
与方程联系起来，就可以用代 数的方法研究并解决几何问题，实现
数与形的结合。学生之前所学的用表示列、行的数对确定平面上的< br>位置是平面直角坐标系的雏形，而用方向和距离来确定平面上的位
置则是极坐标系的雏形。这些内 容的学习，有助于发展学生的空间
观念，为学生将来进一步学习平面直角坐标系、极坐标系、空间坐标系打下良好的基础。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书<数学>六年
级》，下同）的主要区别
（一）针对知识点的教学时间的调整
教学用方向和距离描述平面上两个点的相对位置关系，并 在此基
础上描述简单的路线。这部分内容，从实验反馈的情况看，教师认
为其教学难度大于用数 对来表示平面上的位置，因此，教材修订时
将实验教材六年级上册的“用数对确定位置”移至五年级上册 ，而将
实验教材四年级下册的“用方向与距离确定位置”移至本册。
（二）本单元内教学内容编排的调整
教材主题图内容由实验教材的“公园定向越野赛”情境改 换为以“台
风中心的行进”情境。相比较而言，现行教材的素材更充分体现了对
位置与方向的学 习具有现实意义的理念。本单元的3个例题，以“台
风中心的行进”为背景连续推进，很自然地提出一个 又一个数学问
题，使学生在解决问题的过程中学会用方向和距离确定位置的基本

方法。这样的编排设计，把各知识点有机地融合在解决实际问题的
过程之中，使学生在一个大的情境背景 下学习，思路连贯，层层递
进，通过自主探索顺利达成目标。
在具体教学内容的编排上，将实 验教材安排的4个例题缩减为3
个例题，保留“根据平面示意图，用方向和距离描述某个点的位置；根据方向和距离描述，在图上确定某个点的位置；描述简单的路线”
等主干知识，不再单独设置例题 让学生体会位置关系的相对性（互
为参照点描述点的位置关系），而是将这一知识渗透在教学“描述简< br>单的路线”的例题及练习五的部分练习题中（如练习五中的第3、4、
8、9、10题）。
二、教材具体例题分析
例1：根据平面示意图，用方向和距离描述某个点的位置。
本例的内容主要是帮助学生了解距离和方向的具体含义，会根据
两点的相对位置说出其中一个点在另一个 点的什么方向上，以及距
离该点有多远。特别需要让学生明确确定点是以什么作为参照物，
是根 据什么来确定这个点的？
教材以电视播报台风警报作为情境引入，直接给出标出台风中心
和A 市的方位图，让学生利用图示理解台风中心“位于A市东偏南
30°方向、距离A市600 km”所表 示的含义。“位于A市东偏南30°”就
是以A为顶点，以正东方向为起始边，向南旋转30°所在射线 的方
向，同样，“位于南偏东60°”方向， 就是以A为顶点，以正南方向
为起始边，向东旋 转60°所在射线的方向。显然，“东偏南30°”与“南
偏东60°”表示的是同一条射线。但在实际 生活中，我们一般先说与
点（或物体）所在方向离得较近（夹角较小）的方位。教材的图示
中用 一条线段表示100 km，由于学生还没学习比例尺，只要能说出
6条这样的线段相连表示600 km就可以了，不必涉及比例尺。
例2：根据方向和距离描述，在图上确定某个点的位置。
本例中的图保留了例1中台风的行进轨迹，承上启下，为例3学
习路线图打下基础。会根据某点相对于参 照点的方向与距离在方位
图上找到该点，这是本例的教学重点。教材借助同学之间的对话，
明确 要在图上标出点应先做什么？（确定方向），再干什么（表示
距离），需要注意什么等。同时，编者对参 照点、量角、用图上1
cm表示多少实际距离等操作方面的关键点也做了很好的渗透与强
调。 结合以上编排，教材先示范如何确定B点，再要求学生自行确
定C点。
例3：描述简单的路线。

教材呈现了台风从生成地出发、经过四次方向改变的 大致路径，
让学生用数学的语言来描述简单的路线图。例3的路线图中包括了
例1和例2中台风 的移动路线，体现了情境的整体性和知识的综合
性。
路线图描述的不仅仅是两个点的静态关系 ，而是物体在多个点
之间的运动关系。除了整条路线的起点和终点之外，其他点都既是
某一段路 线的终点，也是下一段路线的起点。教材通过学生对话的
方式，给出了分段描述的示范，使学生明白方向 与距离的描述是具
有相对性的，并掌握在描述每一段路线时要注意的几个关键点：起
点在哪儿？ 终点在哪儿？沿着什么方向？移动了多少距离？
需要特别说明的是，教材删除了实验教材的例3安排的 内容：
让学生体会位置关系的相对性（即互为参照点描述点的位置关
系）。因此，在本例教学中 ，要在引导学生正确描述的基础上，特
别强调描述每一段路线时要注意的几个关键点，在充分感受体验方
向与距离的描述具有相对性的同时，再结合练习五中的相关习题
（如习题3、4题等），引导学 生在自主建构知识的基础上，进一步
加深拓展并落实这一学习难点。
本单元的教学重点、难点是精确描述位置与路线，以及两个点
位置的相对性。
《位置与方向（二）》重难点突破
一、 精确地描述位置与路线
突破建议： < br>1．关注学生已有生活经验与知识，创设问题情境，在“认识冲
突”中引导学生逐步掌握知识。在 三年级时，学生已经能用东、南、
西、北等八个方位名词描述物体的位置，认识简单的路线图；本课时继续学习用方向和距离两个条件确定位置，从原有一个大概方向
的范围精确到具体的一个点上，对 学生来说仍有一定难度。因此，
在教学时，教师利用教材呈现的台风来袭情境，先让学生尝试在平
面图上指出台风中心的位置，然后制造冲突认知，引导学生发现“东
南方向”是一个大概的方向范围， 无法精确地找到物体位置。接着用
“你能描述出它的具体位置吗？”“有了方向，位置确定了吗？”等问
题，逐步引导学生理解方向和距离的具体含义，经历用方向和距离
确定位置这一知识的形成过程 。
2．以问题为导向，借助操作活动，理解“方位角”的含义。在用
方向与距离描述物体位置 时，方向的确定有点复杂，一方面学生对
量角方法可能产生遗忘，另一方面测量的角度需考虑哪个方位与 物

体所在方向离得较近（夹角较小），对量角器摆放有一定影响。因
此，教学时 教师可针对学生的学情适时提问与追问，借助有趣的操
作活动，将静态角度转变为动态角度，帮助学生充 分理解方向角度
的形成。例如，用肢体动作表出东偏北30°的方向。让学生先面向正
东方向， 伸出两臂，左臂慢慢向北偏出约30°。通过这样的活动，让
学生对“方位角”有更深刻的认识，更有利 于用方位和距离确定物体
位置这一技能的形成。
3．运用观察比较，发展学生的空间观念，促 进方法的理解内
化。位置与方向的内容是发展学生空间观念的一个重要学习平台。
因此，教学时 要不断地引导学生去观察、比较、想象，内化知识理
解，掌握确定位置的方法，发展空间观念。例如，教 师在教学例1
后“做一做”时，可以先让学生描述小明家附近各建筑物的位置，再
比较它们位置 之间的区别与联系，使学生加深对方向与距离的理
解，直观感悟用方向与距离确定物体位置的科学性和唯 一性。并可
进一步延伸拓展，让学生思考像这样所有同方位或等距离的物体在
平面图上会呈现怎 样的图象，产生直观的认识。
4．融入生活情境，提升综合应用能力。数学是对现实生活数学
化的抽象与概括，而“位置与方向”的内容更是与生活紧密联系，因
此，教学时要不断结合生活实际，促 使学生将所学知识融入生活、
应用于生活，在现实情境中发展学生的方位感，培养学生的空间观
念。例如，教师可以引导学生以所在教室为观测点找一找自己家的
方位，设计一张“校庆”游园活动示意 图等，让学生在现实情境中感
受方向与日常生活的密切联系，激发学生的学习兴趣。有条件的学
校可以让学生走出课堂，在校园内选择若干个建筑物，借助指南
针、测绳等工具，通过从观测点测定方位 、距离进行记录，再引导
学生绘制成校园平面示意图，让学生在活动中经历将实际问题抽象
成数 学模型的过程，提升综合应用能力，发展空间观念。
二、体悟两个点位置的相对性
突破建议：
1．在自主探究、合作交流的基础上加强教学指导，帮助学生掌
握正确的 方法。对于学生而言，要用数学语言进行精确的描述，还
是存在一定困难。教师要在学生自主探究、合作 交流的基础上加强
必要的教学指导，对于确定位置与方向要注意的几个关键点（起点
在哪儿，终 点在哪儿，沿着什么方向，移动了多少距离等），在进
行本单元教学的初始就要逐步加以渗透与强化，逐 步帮助学生构建

起确定位置与方向的整体结构性知识。让学生在充分感受、体验方
向与距离的描述具有相对性的同时，初步建立坐标观念。
2．利用情境体验，感悟位置关系相对性。 物体之间的位置是相
对的，物体之间的位置关系是随着观测点的变化而变化的。教师要
认识到这 个知识的理解对学生而言仍是有一定难度的。教学时，可
以引导学生利用情境体验的方式，从不同的观测 点确定位置，使学
生在思考、想象中感悟到物体之间位置关系的相对性。例如练习五
中第4题， 教师可以先让学生独立完成书上小刚家与学校位置关系
的练习，通过想一想、说一说、演一演交流自己的 想法，再让学生
观察讨论两个物体间的相对位置关系有什么特点，进而引导学生发
现在描述两个 物体的相对位置时，它们的观测点不同，所以方向相
对，角度相同，距离相等。
《分数除法》教材分析
本单元是在学生已经掌握了分数乘法的意义、分数乘法计算
及其应用以及整数除法的意义、解方程等知识的基础上学习分数除
法。通过本单元的学习，学生 一方面完成了分数加、减、乘、除的
学习任务，比较系统地掌握了分数的四则计算，掌握了解决相关实< br>际问题的方法；另一方面也进一步加深了对乘除法关系的理解，体
会知识的内在联系，为解决有关 分数的实际问题提供更多的支持；
同时也为后面学习比和比例、百分数等知识打下坚实的基础。本单元的内容主要包括：倒数的认识、分数除法的意义与计算以及解决
相关的实际问题。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书<数学>六
年级》，下同）的主要区别
（一）倒数的认识
新版教材将“倒数的认识”由原实验教材的“分数乘法”单元移
至 “分数除法”单元，并独立编排为一小节，作为分数除法的准备内
容。主要是出于以下几方面的考虑：其 一，由于分数除法的基本方
法是“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，因此认识倒
数的概念以及熟练求出一个不等于0的数的倒数，是学习分数除法
的重要的知识基础；其二，这样编排， 使本单元的知识呈现更有逻
辑性、整体性，更符合学生的认知规律以及学生学习知识的逻辑顺
序 。
（二）分数除法的意义及计算方法
我们知道：分数除法的意义与整数乘 法的意义相同，就是乘
法的逆运算。但由于分数乘法的含义有了扩展，分数除法作为其逆

运算，具体含义也自然有了扩展。因此，教学分数除法的意义，可
以用“同数连加”的实际例子 引出两道除法题来说明，也可以用“求一
个数的几分之几是多少”的实际例子引出除法题来说明。在具体 讨论
分数除法的意义时，实验教材重视相关知识的类比，帮助学生理解
所学知识。采用整数与分 数对比、乘法与除法对比的方式，揭示出
分数除法的意义与整数除法的意义相同。而新版教材对于除法意 义
的教学，仅从编排上看，不再单独设置例题，只在练习中加以渗
透，如教材练习七第1题根据 乘法算式写出两道除法算式，第2题
先看清左右两题之间的关系，写出得数。通过练习，使学生体进一< br>步体会到乘除法的互逆关系，明确分数除法的意义。但从分数除法
计算方法的探寻过程看：教材结 合实际情境，引导学生列出算式，
通过折纸和画图的数形结合方法及分析，推理出正确的计算结果。显然，这分析的过程既是对分数除法意义和算理的理解过程，也是
分数除法计算方法的探寻与归纳过 程。教材将分数除法的意义教学
与分数除法的计算方法教学有机地融合在一起，在充分利用分数乘
除法意义互逆关系的基础上，进一步帮助学生理解算理，掌握计算
方法。
（三）用分数除法知识解决实际问题
分数除法的实际问题主要有两种情况：一种是利用已学的 数
量关系直接列式解决实际问题，与分数除法计算方法同步教学。如
例2，利用路程、时间、速 度的数量关系直接列式，只是具体数据
变成了分数；另一种是数量关系涉及“一个数的几分之几”或需用 抽
象的“1”解决较为复杂的实际问题，首先要理清数量关系，然后通过
列方程等方法解决问题 。例如本单元新增的例6的“和倍、差倍”问
题，例7的用抽象的“1”解决问题。利用“已知一个数的 几分之几是多
少，求这个数”的基本数量关系，借助数量之间的等量关系，列出方
程解决问题。 只是这里的几分之几不是直接给出的，需要通过寻找
数量与对应分率之间的关系计算得到，显然，解决问 题的过程自然
变得相对复杂。这既是对过去列方程解决问题的扩展，也为后面解
决百分数的实际 问题做准备。
（四）把“比”的内容单独设置一个单元
新教材将“比”单独设置为本书的第四单元，在“分数除法”单元完
成后进行教学。
二、教材例题分析
（一）倒数的认识
例1：倒数的认识

教材首 先安排了几组有代表性的乘积为1的乘法算式，使学生通过
计算、观察、讨论等活动，寻找归纳它们的共 同特点，导出倒数的
定义。并用实例突出理解“互为倒数”的含义。然后引导学生思考互
为倒数 的两个数有什么特点？为例1的学习做好铺垫。
例1教学求倒数的方法。教材首先安排找倒数 的活动，初步
体验找倒数的方法。接着总结找倒数的方法。具体分三种情况加以
讨论：求分数的 倒数；求整数的倒数；1和0的倒数的问题。练习
六第5题通过学生对话讨论形式判断“的倒数是0.7 5”的合理性问
题，进一步揭示互为倒数的本质：只要两个数的乘积是1，那么这
两个数就互为 倒数，与这两个数是整数、分数、小数无关。
（二）分数除法
例1：分数除以整数
教材以折纸活动为载体，利用数形结合的方法帮助学生直观
理解 分数除以整数的算理。教材分两个层次编排：先解决分数的分
子能被整数整除的情况；再引出分子不能被 整数整除的情况。第一
个问题是分子能被整数整除的情况，有两种思考方法：一是利用整
数除法 的意义，将分数除法转化为整数除法理解并计算；二是利用
分数的意义，将问题转化为求的来理解计算。 在此基础上提出
第二个问题，凸显方法一的局限性与方法二的一般适用性。教材这
样编排的意图 ，一是让学生在折一折、涂一涂的过程中逐步发现体
悟分数除法的计算方法；二是引导学生经历从特殊到 一般的探索过
程，从中领悟把一个数平均分成几份，求其中的一份，就是求一个
数的几分之一是 多少，同时渗透转化的数学思想。在此基础上，教
材提出问题：“根据上面的折纸实验和算式，你能发现 什么规律？”
旨在启发学生通过思考总结出一般的计算方法。
例2：一个数除以分数
本例研究一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数
除以分数两种情况。根据教 材提供的情境，显然“路程÷时间＝速度”
这一数量关系成为列式的依据。由于学生对这一数量关系比较 熟
悉，所以列出分数除法算式不会感到困难，这有利于把教学重点集
中于计算方法的探索与理解 。

理解的算理是本例的重点。教材采用画线段图的直观方
式呈现推算 的思路：由于1小时里有3个小时，所以可以先求出
小时走了多少千米，即先求出小时走的2 km的一 半（即）。
有了直观图的支持，降低了学生对中每一部分含义的理解难
度，顺利完成从“除以一 个分数”到“乘以这个分数的倒数”的转化。
有了整数除以分数的算理的铺垫，教材在教学时 ，没
有呈现线段图，而是通过提问“为什么写成”，引导学生通过迁移
类推，自行阐述算理。
最后教材以提问的方式，引导学生总结分数除法的一般算
法，并启发学生用自己的方式表示这一算法。
例3：分数混合运算
分数混合运算的顺序问题已在“分数乘法”单元解决了 ，学生
在此学习分数混合运算，既是分数四则运算的综合应用，也为后面
学习利用分数四则运算 解决实际问题打下基础。教材提供了两种不
同的解决方法，体现了不同的分析思路。先分步列式，再列综 合算
式解答。对于不带括号的分数乘除法混合运算，既可以从左至右按
步骤计算，也可以直接转 化为分数连乘后同时约分计算。
例4：“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问
题
本例中所要解决的问 题是分数乘法中“求一个数的几分之几
是多少”的逆向问题。这类问题如果用算术方法解，较难理解，学 生
往往难以判断哪个量是单位“1”，数量关系也较复杂。因此，教材依
据“儿童体内的水分约 占体重的”，根据分数乘法的意义，利用已有
知识画线段图，找到等量关系，列出方程并解出方程。这样 思考问
题的思路与相应的分数乘法问题完全一致，只是参与列式的是未知
数而已，这就大大降低 了学生理解的难度。
“回顾与反思”部分中检验结果的合理性是相应乘法数量关系
的 二次应用。同时，对有效信息选取的反思，以及对列方程方法、
价值的体会，也是学生反思的重点。

例5：“已知比一个数多（或少）几分之几是多少，求这个
数”的实际问题
本例是“ 求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的逆向
问题，是以例4为基础，把条件稍做改变，形成稍复 杂的问题。显
然，用算术方法解决这样的实际问题，抽象程度更高，思维难度更
大。教材借助小 女孩的设问，引导学生通过画线段图，并给出了完
整的图示，为学生分析、理解等量关系提供直观辅助。 让学生经历
从“多（或少）几分之几”到“是几分之几”的转化，找到等量关系，列
出形如的方 程；同样，教材利用小男孩的分析，借助线段
图，引导学生找到“一个数加（或减）增加部分等于增加（ 或减少）
后的数”这个更容易理解的数量关系，列出形如的方程。因
此，教材选择符合学生顺向 思维的思路，给出多样化的解题方法。
例6：“和倍、差倍”问题
本例中 包括两个未知量，题中给出了这两个未知量之间的两
种关系，要求学生根据这样的关系列方程解答。由于 这两种关系
中，一种是两个量之间的倍数关系，另一种是两个量之间的和或差
的关系，因此，这 样的问题过去被称为“和倍问题”“差倍问题”。
教材以篮球比赛上、下半场得分为素材，引 出含有两个未知
数的实际问题。在这里两个未知量是指上半场得分、下半场得分，
两种关系是指 上半场得分+下半场得分=42以及下半场得分是上半场
得分的一半，或者上半场得分是下半场得分的2 倍。
教材给出了两种解法，区别在于先设哪个量为未知数，然后
利用两个量的数量关 系，用代数式表示出另一个量。
例7：可用抽象的“1”解决的实际问题
教材利用修路这一“工程问题”来引入，使学生经历发现和提
出问题、分析和解答问题的过程。例如，学 生会认为题中缺少解题
的信息，此时，教师追问：缺少什么信息呢？学生会回答：不知道
公路长 多少千米。这样就很自然地引导学生假设公路总长为某个具
体的长度，把新问题转化为旧问题，加以解决 。通过学生之间的交
流，发现虽然假设的公路具体长度不同，得到的结果却是相同的，
使学生产 生探究原因的欲望。通过分析，发现不管公路总长是多
少，两队每天修的长度分别占总长度的和是不变的 ，这也是能

得到相同结果的内在原因。此基础上，进一步抽象，可用“1”来表示
公路总长。
采用“工程问题”引出可用抽象的“1”来解决的问题，但并非是
对工 程问题进行系统教学，而是要建立一种数量关系的模型。要让
学生经历利用自主探究解决问题的过程，掌 握用假设、验证等方法
解决问题的基本策略，让学生体会模型思想。
在教学中特别要 注意：不必要求学生死记硬背“工作时间=工
作总量÷工作效率”等数量关系，可用线段图帮助学生理解 数量关
系，学生只要会用具体的语言描述出来就可,并非说明用“1”表示总
长的方法是最优的 方法，在此例之后仍然允许学生用假设具体量的
方法解决问题。
本单元的教学重点是 ：体会分数除法的意义；理解并掌握分
数除法的计算方法；会解决一些和分数除法相关的实际问题。教学
难点是：探索与理解分数除法的意义及计算方法；用分数除法解决
问题。
《分数除法》重难点突破
一、理解和掌握分数除法的意义、分数除法的计算方法
突破建议：
1．重视分数除法意义的教学。虽然现行教材删除了原实验教材有关分数除法意义教学的例题，但并不代表弱化了对分数除法
意义的教学。因为运算意义既是建 立计算法则的基础，又是判断在
什么场合应用这种运算的依据。基于以上认识，对分数除法意义的
理解应该成为分数除法教学的首要环节。在教学中，可通过练习七
第1题（根据一个分数乘法算式自主 独立写出相应的两个除法算
式）、第2题（先看清左右两题的关系，再写出结果），引导学生
通 过分数乘法算式与分数除法算式的对照，明确这些算式都是已知
积与一个因数，求另一个因数。由此得出 分数除法的意义与整数除
法的意义相同，都是乘法的逆运算。
2．引导学生通过操作 、观察线段图等方式，直观理解算
理。教学不仅要使学生“知其然”，更要使他们“知其所以然”，因此 教
师应该舍得花时间让学生经历计算方法的探索过程，这也是课程改
革理念在计算教学中的具体 表现。
例如教学例2，可采用画线段图的直观方式呈现推算的思
路：由于1小时里有 3个小时，所以可以先求出小时走了多少

千米，即先求出小时走的2 km的一半（即） 。并适时追问：“
小时是把1小时平均分成几份，取了其中的几份，有几个小时？”
“求出1份 的路程，就能求出3份的路程，而已知2份的路程，该怎
么求其中的1份？”结合线段图分析，帮助学生 通过对算理的理解，
降低对中每个步骤含义的理解难度，使学生直观地看到由“除
以一个分数” 到“乘以这个分数的倒数”的转化过程。
3．引导类推，促进迁移，通过自主探究总结出分数 除法的
计算方法。对于分数除法的计算方法，教材安排了分数除以整数、
整数除以分数以及分数 除以分数三类，内容由易到难、由简单到复
杂逐步提升，各个例题既独立成题又相互联系，既承前启后又 互为
完善。这为学生自主学习探索分数除法计算方法提供了可能。此
外，无论是哪种类型的分数 除法，在具体计算方法的推理时，都是
结合分数的意义和直观图，实现分数除法由“除以一个分数（整< br>数）”到“乘以这个分数（整数）的倒数”的转化。因此，在教学中，
要注重引导学生通过迁移类 推，充分运用原有的知识经验自行探究
分数除法的计算方法。例如，在教学例2中分数除以分数这一题< br>时，教师应放手让学生自己尝试，使学生在学习整数除以分数的基
础上通过迁移类推，掌握分数除 以分数的计算方法。反馈时，重点
让学生说一说“”的理由，必要的时候也可以让学生画示意图说
明，使得他们对算理的理解更为深刻。
二、用分数除法解决问题
突破建议：
1．引导学生在充分地阅读与理解的基础上，通过合理猜
想，理清数量关 系。完整地呈现例题信息，引导学生充分阅读，找
出已知量与未知量，分析关键的信息，是正确解决问题 的前提与基
础。
如例5中两个量之间的数量关系比较复杂，通过引导学生充
分阅读，可弄清楚是把爸爸的体重看作单位“1”，两人比较，小明的
体重轻，轻的部分相当于爸爸体重 15等份中的8份。在列数量关系
时，再结合前面所学的分数乘法知识，形成顺向迁移，降低思维的难度。又如教学例7，通过阅读引导学生自主表达“单独修”“合修”等
关键信息的含义，并鼓励学 生合理估计合修所用的天数，一方面加

强估算意识的培养，另一方面帮助学生更清晰地理 解各数量之间的
关系，为顺利解决问题做好知识与思维策略方面的准备。
2．彰显数 形结合的思想，培养学生利用画图策略帮助思考
的能力。例如类似于例7中的抽象的“1”既可以是“一 项工程”，也可
以是“一段路程”“一池水”等，当学生无法发现习题中的情境与例7中
工程问 题的内在联系时，可通过画线段图或示意图表示数量关系，
引导学生直观地发现相关习题与例7“工程问 题”的数量关系在本质上
是完全相同的。从而使他们明白利用画示意图来分析数量关系是解
决问 题的重要策略，增强学生自觉运用这一策略的意识。
3．开展充分的自主探究与合作交流，引 导学生经历问题解
决的全过程。教学时，要根据教材提供的一般步骤，借助线段图或
主题图展开 充分的讨论交流，理清条件与问题分别是什么，条件与
问题之间存在怎样的联系，可以建立怎样的等量关 系等，回顾与反
思环节可引导学生从多角度进行验证，如检验方程的解、检验是否
符合题中的数 量关系等。通过学生的自主探究与合作交流，经历解
决问题的全过程。
如例7的教学 ，在“阅读与理解”环节，学生在明确“单独修”
“合修”等词义的基础上会发现并提出“条件不够无法 解答”的问题，这
可以引导学生大胆质疑，大胆假设尝试解决；在“分析与解答”环
节，学生通 过假设不同的总路程，发现总路程长不同，算出的合修
天数是相同的。可再次引导学生思考：总天数和总 路程有关系吗？
为什么总路长改变了，得到的总天数却不变？通过交流讨论，发现
两队每天修的 长度占总长度的几分之几是不变的。因此，很自然地
想到可以把道路长度假设为“1”，使学生亲历这一 从具体数量逐步抽
象的过程，有利于提高解决问题的能力。从另一方面来说，让学生
经历这样的 过程也远比给予现成的结论有价值得多。
《比》教材分析
本单元是在学生已经理解了 除法的意义与基本性质、分数的意
义与基本性质，以及分数与除法的关系等知识，掌握了分数乘除法的计算方法，会解答分数除法实际问题的基础上进行教学的。内容
包括比的意义、比的基本性质、化 简比、按比分配解决实际问题
等。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书<数学>六
年级》，下同）的主要区别
为了突出“比和比例”的独立性、重要性，新版教材把这部分内
容从“分数除法”中拆分出来，编成一个 独立单元。比的知识是学习

比例相关知识的必要基础。因此，把比单独设为一个单元，有 利于
学生从量与量之间的关系这一角度去认识比，而不仅仅从运算的角
度去理解比，有助于培养 学生的代数思想。在具体内容的编排上，
新版教材没有明显的变化。
二、教材例题分析
（一）认识比的意义及其各部分名称
教材精心选取了“神舟”五号这一现实素材作为载体，先 给出两面
长方形小旗的尺寸相关数据，引导学生讨论长与宽的关系：怎样用
算式表示它们长和宽 倍数的关系？在此基础上直接指出：可以用比
来表示它们之间的关系，由此引出同类量的比。如果仅从形 式上
看，比是除法关系的另一种表示方式，这为学生认识比和除法、分
数之间的关系奠定了基础 。
接下来，教材介绍飞船的运行路程与时间，用除法表示出飞
船进入运行轨道后的速 度。在此基础上，直接指出还可以用比来表
示路程和时间的关系，引出非同类量的比。使学生进一步认识 比的
意义以及比和除法的关系。
教材在教学了可以用比来表示两个同类量或不同类量 相除的
关系的基础上，直接抽象出比的意义：两个数的比表示两个数相
除。这一意义是后面求比 值、推导比的基本性质的理论基础。
接下来，给出比的写法、各部分名称以及比值的概念，并根据分数
和除法的关系，给出比的分数形式的写法。并根据小精灵的问题，
进一步沟通比和除法、分数的 联系。
比和除法、分数有着密切的联系，但又不完全等同，比更强
调的是量与量之间 的倍比关系的直接描述，有时并不关注具体比值
是多少，而除法、分数更多的是强调两个量之间的一种运 算关系，
通常也会关注运算的结果。此外，我们用比可以同时表示两个、三
个甚至更多的量之间 的倍比关系，而除法、分数一般只能表示两个
量之间的倍比关系。
（二）比的基本性质 教材在第49页“做一做”第3题对商不变性质和分数的基本性质
进行了回顾，在此基础上，启发学 生根据比和除法、分数的关系思
考：“在比中有什么样的规律？”首先通过比较比值，直接看出6:8< br>和12:16这两个比的比值相等，同时也能看出这两个比的比值和
3:4的比值也是相等的。接 下来，让学生探究两个比的比值相等的
内在原因。教材给出了根据比和除法的关系类推的过程，再让学生

根据比和分数的关系自主探究。在此基础上，概括出比的基本性
质。
（三）化简比
例1：运用比的基本性质化简比。化为最简整数比的常用方法是
比的前 项、后项同时除以它们的最大公约数；化简分数比、小数比
的常用方法是把分数比、小数比转化为整数比 ，再化简。把分数
比、小数比转化为整数比的方法，思路比较统一，易于理解与掌
握。但化简方 法也可以是灵活多样，只要能化成最简单的整数比，
都是允许的。教材在具体编排上，就是根据化简方法 的两个层次由
易到难逐次提升编排的。第（1）题仍采用“神舟”五号的问题情境，
给出两面旗 的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简整数比。其中
15:10的化简给出了完整的过程，并启发学生思 考为什么这样化
简；180:120的化简则让学生自己完成。化简的过程便于学生感悟
化简的 必要性，即能使量与量之间的关系更加简明、清晰。两个最
简整数比的比值相等，也渗透了图形按比例缩 放的相似变换思想。
第（2）题的两个比中的前项、后项分别出现了分数和小数，教材同
样提出 了启发学生思考比的化简方法的问题，把前项或后项不是整
数的情况首先转化为前项、后项都是整数的情 况，再利用第（1）题
的方法自行完成。
（四）按比分配解决实际问题
例2：“平 均分”是按比分配的一种特殊情况，也是解决按比分配
的问题的主要方法。解决按比分配的问题，主要有 三种方法：一是
把比的前项、后项看作分得的份数，先求出每一份，即把此问题转
化为整数的“ 归一问题”来解决；二是求出前项、后项分别占总数的
几分之几，即把问题转化为求一个数的几分之几是 多少，用分数乘
法解答；三是用比例知识来解答。教材介绍了前两种方法，而且一
般以第二种方 法为主，因为学生理解了比和分数的关系，并会利用
分数乘法解决问题，对这种方法比较容易理解和接受 ，也有利于加
强知识之间的联系。
本例让学生解决按比分配的实际问题，这一类问题 与“和倍
问题”实质相同。教材创设了一个日常生活中比较常见的配制清洁剂
稀释液的问题情境 ，便于学生理解。
教材按问题解决的三个步骤编排，旨在使学生经历问题解决
的完整 过程，尤其是养成审题和反思的习惯。在问题情境图和解答
过程中都借助直观图，使学生清楚地看到量与 量之间的关系，理解
稀释瓶上标明的比表示的含义。

“回顾与反思” 环节，重新借助比的意义，看浓缩液体积与水
的体积之比化简后是否与题目中所给信息相符。
本单元的教学重点是理解比的意义，比的基本性质，按比分配
解决实际问题。
《比》重难点突破
一、理解比的意义
突破建议：
1．引导学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程。要
让学生真正理解比的意义，是具有一定的难度 的。教学时，应充分
挖掘学生的生活经验和学习经验，通过情境设计引发学生思考和讨
论，在已 有的“长方形长和宽之间的关系”描述的基础上，引出同类
量的比，结合“路程与时间的关系”认识不同 类量的比。在理解了比
的现实背景的基础上逐步抽象出比的概念，理解比的意义。
2 ．让学生感悟比与除法、分数之间的联系与区别，贯通新
旧知识，进一步深入理解比的意义。比与除法、 分数有着密切的联
系，所以应当充分利用学生原有的知识基础，引导学生联系相关知
识进行类比 和推理。例如，比的前项、后项、比值与除法中的被除
数、除数、商以及分数的分子、分母、分数值形成 对应关系等，通
过学生自己的思考、分析、解答，这不仅有利于加深对比的意义的
理解，也能加 深对除法与分数概念的理解，促进比与除法、分数的
知识之间的融会贯通。在此基础上，应结合具体的练 习与创设现实
的情境，进一步明确比与除法、分数之间的区别，以进一步揭示比
的意义的本质。 例如比更强调的是量与量之间的倍比关系的直接描
述，有时并不关注具体比值是多少，而除法、分数更多 的是强调两
个量之间的一种运算关系，通常也会关注运算的结果。此外，我们
用比可以同时表示 两个、三个甚至更多的量之间的倍比关系，而除
法、分数一般只能表示两个量之间的倍比关系。
二、理解掌握比的基本性质
突破建议：
1．引导学生利 用已有知识进行比的基本性质的推导。商不
变性质和分数的基本性质都是学生学过的知识，比与除法、分 数之
间的关系也已经形成进一步的理解，因此，教学要激发学生对已有
知识的回忆，唤起对先前 知识学习的经验与方法，引导学生自主探
索，并逐步抽象概括出比的基本性质，建立起新的知识结构。例 如
在教学比的基本性质时，可直接提出问题：6:8和12:16的比值相
等吗？如何证明？组 织学生自主探索、合作交流，利用已有知识进

行类比推理。在具体例证的基础上，再引导 学生归纳出一般性的基
本性质，并注意到相关的限制条件：同时乘或除以的数不能是0。
2．灵活应用比的基本性质。在化简比时，要基于比的前
项、后项数据的特点，灵活应用比的基本性质选 择化简的方法。有
时会利用比的基本性质，把非整数的比转化为整数比，再化简；但
也有的可直 接利用比的意义，把比转化成分数，求出比值，把比值
转化成最简分数。但这种方法只适用于化简两个数 组成的比，对于
三个数组成的连比就不适用。因此，利用比的基本性质化简更是一
般的方法。在 特殊方法与一般方法的比较中，灵活选择合理运用，
既加强了学生思维的发散性，体会到方法的多样性， 也加深了学生
对比的基本性质的理解，进一步揭示了比的基本性质的本质。
三、按比的分配解决实际问题
突破建议：
1．认真审题，理清关系，揭示 问题的实质。按比的分配解
决实际问题（例2），这实际上是“平均分”方法的延伸和拓展。就问
题与提供的信息条件来看，三个量（即稀释液、浓缩液和水的体
积）之间存在两种关系：一是浓缩液和 水的体积之间的关系，二是
浓缩液体积+水的体积=稀释液体积。弄清这些关系，有助于正确理
解500 mL表示哪个量以及稀释瓶上所示各个比的意义。
2．重视直观模型的作用，学会 各种数学语言的转换。用图
示直观地表示比的具体含义，对于引导学生理解这个比表示的是哪
两 个量之间的关系，是一种什么样的关系，如何进一步表示各部分
量与总量的关系，具有十分重要的意义。 同时，借助直观图引导学
生运用数学语言转换各种信息，进行多元表征，有助于从本质上帮
助学 生理解数量关系，提高提出问题、分析问题、解决问题的能
力。例如，教材例2中“按1:4的比配置一 瓶500 mL的稀释液”，指
的就是“浓缩液体积有1份，水的体积有4份，稀释液的体积有5
份”，这有助于学生对教材介绍的两种解答进行理解。又如“每个橡
皮艇上有1名救生员和7名游客” ，也就是说“救生员和游客的人数
比是1:7”，将题目提供的两个数量关系用比的形式加以抽象概括，
以进一步认清问题的结构特征，为正确解答提供清晰的解题思路。
《圆》教材分析
本单元的内容是在学生已经学习了长方形、正方形等平面图
形以及它们的周长、面积计 算，直观的认识圆的基础上进行教学
的，是小学阶段的最后一个认识平面图形的单元。圆这个平面图形< br>与以往学习的平面图形有显著的不同，长方形、正方形、三角形、

平行四边形、梯 形等都是直线图形，而圆是曲线图形。由此，教学
将从对直线图形的研究过渡到对曲线图形的研究，这对 学生而言是
一种跨越与挑战。因为无论是研究曲线图形的思想还是方法，与直
线图形相比，都有 显著的变化和提升。因此，通过对圆的研究教
学，不仅要让学生掌握圆的一些基础知识，还要让学生感受 与体悟
“化曲为直”“等积变换”“极限”等数学思想方法，以促进与发展学生的
数学思想方法 和问题解决的能力。本单元的内容主要有：圆的认
识、圆的周长、圆的面积、扇形的认识等。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年
级》，下同）的主要区别
（一）改变圆的各部分名称的引入方式，用圆规画圆引出圆
的各部分名称，继而研究圆的性质。实验教材 在引入圆时，先让学
生利用圆形杯盖、圆柱体物体、三角板上的圆孔描出圆，再把圆剪
下来，通 过多次对折等方式引出圆心、半径、直径等概念；在认识
了圆的半径和直径的特点之后，再专门教学用圆 规画圆的方法。考
虑到学生在生活中已经具备初步的用圆规画圆的知识，本次修订
时，对于“你 能想办法在纸上画一个圆吗”这一问题，教材同时给出
了用杯盖、三角尺上的圆孔、圆规画圆的方法，符 合真实的学情。
接下来，利用圆规画圆的方法引出圆心、半径、直径等概念，水到
渠成，这样的 引入方式也能更好地体现圆“一中同长”的本质特征。
接下来，通过让学生用圆规画几个大小不同的圆， 探讨直径、半径
的特点，在这一过程中，使学生进一步熟练掌握用圆规画圆的方
法。
（二）增加圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小的内容。
“圆，一中同长也”，这是《墨子》中对圆的 定义。只要确定了“中”和
“长”，圆的位置与大小就确定下来了。圆心决定圆的位置、半径决
定圆的大小这一事实，过去虽然没在教材中明确指出，但实际上学
生已经在自觉应用了。例如，用圆规画 圆时，不可避免地会遇到“针
尖定在哪儿”“画多大的圆”等问题，如果要画半径是3 cm的圆，针尖
到纸边缘的距离必须大于3 cm，才能在纸上画出一个完整的圆来。
在本册教 材中，接下来还编排了利用圆设计图案的内容，在设计图
案的过程，学生会时时处处遇到“要画一个多大 的圆”“这个圆的圆心
应该在哪儿”等问题。因此，教材增加这一部分内容，能帮助学生在
应用 知识的过程中更好地认识圆的数学特征。
（三）降低圆的对称性的篇幅，新增利用圆设计图案 的内
容。由于在“轴对称图形”的相关内容中，已经对圆的对称性有过比

较充分 的探讨，所以，本单元不再单独编排圆的对称性的例题，只
在相关练习中加以巩固。
在修订过程中，新增了利用圆设计图案的内容。先让学生模
仿教材上提供的步骤，画出美丽的图案，再放 手让学生试着画出教
材上提供的图案。在这一过程中，需要用到用圆规画圆的方法，需
要观察这 些图案是由哪些图形组成的，是如何组成的。需要学生对
圆心位置的确定、半径大小的确定、圆的对称性 等知识加以综合应
用。一方面，帮助学生进一步了解圆的特征；另一方面，使学生充
分体会数学 的对称美、和谐美。
例如，下面左图中大圆内部的每个“水滴”是由三个半圆围成
的 ，其中两个半圆的直径是大圆半径的一半，还有一个半圆的直径
是大圆的半径，除此之外，还要关注这些 半圆的圆心位置在哪里。
右图中，大圆的内部有八个小圆，这些圆的直径都是大圆的半径，
依次 排列在大圆的八等分线上，互相重叠，形成了美丽的图案。

教学时，还可以让学生 自由创作出更多的作品。此外，还可
以借助这些图案，复习轴对称、平移、旋转等图形变换的知识。由< br>于这一内容的操作性、综合性、探究性都很强，也可以把它设计成
一个“综合与实践”活动。
（四）增加求圆与外切正方形、内接正方形之间面积的内
容。在“圆的面积”部分，增 加了解决实际问题的内容，即求圆与外
切正方形、内接正方形之间的面积。要求学生利用图形之间的关< br>系，灵活计算这两部分的面积，并在“讨论”环节进一步得出更为一
般化的结论。
要计 算正方形的面积，首先要求出正方形的边长，这是比较常规的
思路。例如，求圆的外切正方形的面积时， 观察到正方形的边长和
圆的直径相等，所以很容易求出来。但在求圆的内接正方形的边长
时学生 却遇到了困难，圆的直径和正方形的对角线相等，但没有办
法直接求出正方形的边长。此时，教材引导学 生改变观察角度，把
正方形分割成两个三角形，这两个三角形的底是圆的直径，高是圆
的半径， 很容易求出其面积。在解决几何问题时，有时换一个角度

看问题，会发现一个全新的世界 。经历这样的问题解决过程，有助
于提高学生多角度分析问题的意识和能力。
解决了圆半径是1 m的特殊问题后，教材在“回顾与反思”环
节，进一步讨论两个圆的半径都为的情况 ，使学生发现，圆的外
切正方形面积是，外切正方形与圆之间的面积是,内接正方
形的面积是， 圆与内接正方形之间的面积是。这些结果中
隐藏着很多有意思的数学事实，如：外切正方形的面积始终是 内接
正方形面积的2倍，外切正方形与内接正方形之间的面积正好是
,即和内接正方形的面积相 等，等。

（五）“扇形”由选学变为正式教学内容。扇形的内容是学习
扇 形统计图的必要基础，根据《义务教育数学课程标准（2011年
版）》对相关内容的调整，此次修订把 这部分内容由选学变为正式
教学内容。
二、教材例题分析
（一）圆的认识
1．圆的各部分名称、圆的性质
“你能想办法在纸上画一 个圆吗？”，教材呈现用茶杯盖、三
角尺上的圆洞等圆形物体进行描摹以及用圆规画圆的情境。学生在< br>课外应该都尝试过用圆规画圆，但是如何画得标准，画得轻松，还
需教师进一步指导。利用圆规画 圆，引出圆的各部分名称。一方
面，与前面的活动自然衔接；另一方面，画圆的过程非常切合“圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合”这一几何学的定义。通过这
一过程引出圆心、半径、直径等 概念，将动手操作、观察思考、概
念引出融为一体，自然流畅。
对圆特征的认识，分 四个层次编排：首先，让学生将画好的
圆折一折、画一画、量一量，发现沿着任意一条直径对折，两边可
以重合，说明了圆是轴对称图形。第二，通过对折痕的观察和想
象，让学生理解半径和直径都有 无数条。第三，通过测量与比较，
让学生认识到同一圆内所有的半径都相等，所有的直径也都相等，

并且直径的长度是半径的2倍。第四，结合画圆的经验，理解圆心
可决定圆的位置， 半径可决定圆的大小。
2．利用圆设计图案
这是一个实践性内容。在画圆 设计图案过程中，涉及充分利
用圆的对称性，需要学生学会确定某个圆或半圆的圆心和半径，这
也是圆心和半径分别确定圆的位置与大小的最直接应用。此外，还
需要学生添加一些辅助线。因此，这样 的活动体现了很强的综合
性。
通过教学，既可以让学生进一步熟练用圆规画圆的技能，促进学
生对圆的特征的进一步认识，又能让学生在用尺规画出漂亮图案的
过程中提高动手操作的能力， 学会欣赏数学的美，培养热爱数学学
习的情感。
（二）圆的周长
1．圆的周长计算公式的推导
教材从“要在圆桌和菜板的边缘箍上一圈铁皮，求铁皮的长度”这一学生熟悉的实际情境引入，帮助学生理解圆的周长的概念。
学生已经具备了测量 一般图形（物体）周长的技能，因此，
面对“分别需要多长的铁皮”的问题，引导学生得出了绕、滚、围 等
策略的测量方法。显然，在解决实际问题的过程中，学生感受到了
方法的多样性和“化曲为直 ”的转化思想。更重要的是，圆周长概念
的内涵，就在这样的过程中得以清晰化、直观化。教材在此基础 上
提出“除了上面的方法，还可以怎样求圆的周长呢？”要求学生跳出
绕、滚、围等策略的测量 方法，找到一种更为一般化的方法。通过
“圆的周长和圆的大小有关系，圆的大小取决于……”，启发学 生将问
题解决的方向放在从圆本身的特征去想办法突破。引导学生通过测
量几组圆的直径和周长 ，自主发现周长和直径的比值是一个固定
值，从而引出圆周率的概念，并总结出圆的周长计算公式。 < br>在这个内容中，教学的重点是让学生利用实验的手段，通过测
量、计算、猜测圆的周长和直径的关 系、验证猜测等过程，理解并
掌握圆的周长计算方法。
2．例1:计算圆的周长 < br>本例是一个与圆的周长计算有关的实际问题。通过学生经常看到
或使用的自行车引出问题，能让学 生体会到数学知识的广泛应用。
自行车的后轮半径是33 cm，它滚一圈能走多远，那就是求它的周< br>长。这样的问题，是“化曲为直”思想的应用──用曲的车轮周长计
量自行车前进的距离。第二个 问题带有更强的现实性，“小明从家到

学校1 km，轮子大约转了多少圈？”学生必须 通过计算，才能解决这
个问题。得出的相关结果也能加强学生的生活经验。
（三）圆的面积
1．圆的面积计算公式的推导
把圆分割成若干等份后拼成 近似的长方形的方法，学生很难
自主发现，因此，教材直接给出明确的提示，让学生把圆分成若干
等份，拼一拼。接下来的过程，则主要交给学生自主探索。
教材让学生通过观察，看到拼出 的是近似的长方形（或平行
四边形），随着分的份数越来越多，拼出的图形越来越接近于长方
形 ，体会“无限逼近”的极限思想。这个近似的长方形的长和宽与圆
的周长、半径有着紧密的联系。引导学 生通过观察、对比，利用圆
与长方形之间的关系，自行推导出圆的面积计算公式。
2．例1:计算圆的面积
本例是在学生推导出了圆面积计算公式以后，用此公式解决
本节开头的实际问题。求的是“铺满草皮需要多少钱”，这一问题比
“求草皮面积是多少”更有现实意义 、更自然。要求铺满草皮需要多
少钱，首先要求出圆形草皮的面积。
3．例2：求圆环的面积
本例是求圆环的面积，教材通过插图帮助学生了解什么叫圆
环，理解求圆环的面积是用外圆面积减去内圆面积。教材给出了两
种算法：3.14×6
2－3.14×2
2
和3.14×（6
2
－2
2
）。教材 也有意引导学
生根据乘法分配律，采用相对简便的算法，这样，可以大大减少计
算的繁杂程度， 减少计算出错的可能性。
4．例3：圆与内接正方形、外切正方形之间面积的计算。
例题以中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计
为情境，直观清晰地提 出了需要解决的数学问题──求正方形与圆
之间的那部分面积。两个图中的圆大小相同，但正方形位置与 大小
都不同。很自然地引出一个问题：中间部分的面积与圆的面积有没
有关系？有什么样的关系 ？例3给出一个特殊的圆半径，先解决特
殊问题，在“回顾与反思”部分再讨论一般性的规律。
“分析与解答”引导学生根据图示寻找正方形与圆之间的关
系。第一个图，很容易看出 正方形的边长就是圆的直径；第二个
图，正方形的边长不知道，不能用边长的平方直接计算面积。此时，就需要转换思路，将正方形看成两个底是圆的直径、高是圆的
半径的三角形（或四个小三角形） 。

在前面的解题环节，学生发现正方形与圆之间的面积与圆的
半径是 有关的，那到底有什么样的关系呢？因此，在“回顾与反思”
这一环节，需要继续延伸讨论，进一步探讨 一般化的结论。让学生
利用刚才的方法，得到一个代数式的结果。把=1 m代入，与前面
的结果相符，以此检验这个代数式的正确性。
（四）扇形的认识
教材结合图示，以直接介绍的方式，揭示了“弧”“扇形”“圆心
角”等术语的含义。 事实上，扇形就是弧和圆心角所组成的图形。
《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和 这两边
所截一段圆弧围成的图形叫做扇形。扇形的大小与圆心角的大小紧
密相关，也与所在圆的 半径大小有关。教材上还列出了两类特殊的
扇形：半圆为弧的扇形对应的圆心角是180°，圆为弧的扇 形对应
的圆心角是90°。
本单元的教学重点是圆的认识以及圆的周长、面积计算及其
应用，教学难点是圆的面积公式的推导。
《圆》重难点突破
一、圆的认识
突破建议：
1．为学生提供丰富的圆的素材。数学上的圆是抽象后的产
物，与生活中所见到的圆形物体既有联系，又 有区别。由此，教学
时应提供丰富的圆的生活素材，利用多媒体或事物展示的同时，适
时描述刻 画数学上的圆，也可以让学生介绍举例数学上的圆，以进
一步帮助学生建立圆的表象，为学生学习后续知 识打下良好的基
础。
2．加强用圆规画圆的方法指导，突出数学要素，帮助学生加深对圆的本质特征的认识。教学时要对学生画圆方法进行具体指
导，在规范的方法示范的同时，引 导学生画出位置、大小各不相同
的圆，并着重指明画圆方法中的一些数学要素：圆规的“脚尖”“两脚< br>之间距离”在画圆时起什么作用？以揭示圆的本质，帮助学生清楚地
认识到圆的圆心和半径分别决 定圆的位置与大小。
3．加强动手操作活动，引导学生自主探索圆的特征。教学
时， 应以问题导向为主线，放手让学生有序展开活动，通过折一
折、画一画、量一量等方式，建立清晰的表象 ，探究圆的各种特
征。例如：“圆有多少条半径？”“半径与直径的长度有什么样的关
系？”“ 圆心决定什么”“半径又决定什么？”，等。最后，在学生探究

的基础上，引导学生对圆 的有关概念和基本特征进行归纳和整理，
以形成系统的、科学的概念体系。
二、圆的周长公式推导、圆的周长计算
突破建议：
1．以问题为导向，组 织学生合作与交流，自主归纳圆周长
计算公式。教学圆的周长，首先可根据“怎样求出圆桌和菜板边缘所
箍铁皮的长度？”引导学生自己想出各种方法，再动手试一试。教师
对“绕”“滚”方法进行必 要的指导的同时，组织学生讨论比较这些方法
的异同，使学生明白这些方法都是将一个未曾学过的曲线图 形的长
度转化为可以直接测量的直线线段的长度，渗透“化曲为直”的转化
思想。进而，在“还 可以怎样求圆的周长？”这一问题的引领下，引
导学生讨论：圆的周长和什么有关？圆的周长与半径（直 径）到底
又怎样的关系？我们又该怎样去研究？再次激发起学生探究的欲
望，提升学生的思维层 次，促进学生有的放矢寻求更为一般化的求
圆周长的方法，为学生自主归纳圆周长的计算公式做好了策略 与技
术上的准备。
2．引导学生理解题意，正确灵活地解决问题。简单地利用
圆周长计算公式进行计算对学生来说并非一件难事，难的是学生对
于具体的情境中不理解题意，不知怎 样使用公式。为此，在教学中
要引导学生采取读一读、说一说、画一画、想一想等多种方法理解
题意。例如呈现例1后，先引导学生思考“轮子滚动一周可以走多
远”求的是什么。再把这一问题和之前 的将圆形物体放在直尺上滚动
测量周长进行对比。这样既渗透了“化曲为直”的思想，又揭示了问
题的实质，使学生最终顺利利用公式解决问题。
三、圆的面积公式推导、圆面积计算及其应用
1．激发学生原有知识经验，促进正迁移，实现 圆面积公式
的推导。圆这一单元的学习是学生小学阶段学习平面图形的最后一
部分内容。尽管知 识的学习内容与先前的平面图形有显著区别，但
许多概念和思维的策略、推理的方式存在密切的联系。因 此，教学
时要充分激发学生原有的知识经验，为学习新知提供铺垫与准备。
例如新课一开始，就 可围绕“怎样计算一个圆的面积呢”引导学生回
忆已学过的一般图形的面积的含义，促进对圆面积概念的 理解。同
时，再引导学生回顾以前研究的多边形面积时，我们是采取怎样的
办法，将多边形转化 为已学的图形来求面积，为学生学习圆面积公
式的推导提供思维策略的支撑。在此基础上提出“是否也可 以把圆转
化为已学的图形呢？”，后续的教学便顺理成章，水到渠成，有利于

学 生展开自主探索、合作交流，进而抽象概括归纳出圆的面积公
式。
2．借助有关圆知 识的学习，在“做”的过程和“思考”的过程中
体悟掌握“转化、推理、极限”等数学思想方法。圆这一 单元的学
习，除了有关圆知识的概念、公式、计算外，还包含着“化曲为直”
“转化”“推理” “极限”等数学思想方法，因此在教学时在理解掌握知识
的同时，更要让学生充分感受和掌握这些数学思 想方法，以体现数
学教学的本质。
借助有关圆知识的学习，充分展示学生“做”的过 程和“思考”
的过程，是渗透数学思想方法、引导学生体会掌握的有效途径。例
如在要求学生用 剪开后的近似于等腰三角形的小纸片拼一拼时，提
出“你发现了什么”，引导学生对比圆与长方形，发现 形变的过程面
积不变，再通过寻找长方形的长、宽与圆的周长、半径的关系，推
导圆的面积算公 式，这一过程，就很好地培养了学生的推理能力。
利用信息技术手段，展示把圆分成32份、64份甚至 更多份的情
况，让学生直观地看到图形的变化趋势，并不断启发引导学生展开
想象。经历这些过 程，学生自然地感受体会到极限的思想，也积累
了一定的活动经验。又如在教学例3时，当学生经历问题 解决的全
过程，在顺利解决外切正方形与圆之间的面积时，接着求圆与内接
正方形之间面积，发 现无法直接求出圆内正方形的边长，怎么办？
引导学生思考：能与正方形发生关系的只有圆的直径与半径 ，该如
何充分利用这些已知信息呢。在比照、观察、分析中发现，直径恰
好是正方形的对角线， 虽然仍然不能求出长方形的边长，但添上这
根辅助线后发现可以把正方形的面积转化为两个三角形的面积 之
和，对比三角形与圆的关系，这两个三角形的底和高又分别是圆的
直径与半径，问题便得到解 决。经历利用问题中的可用信息“顺藤摸
瓜”，一点点找到解题线索的过程，便是学生感悟转化、推理、 抽象
的过程。学生提出问题、分析问题、解决问题的能力也得到有效提
升。
《百分数（一）》教材分析
百分数在生活中有着广泛的应用，人们常用百分数对事 物进
行描述、分析、统计、比较。虽然学生在日常生活中已经大量接触
了百分数，但是对百分数 的意义以及其应用价值的认识还处于模糊
阶段。本单元在学生学习了整数、分数、小数相关知识的基础上 ，
正式认识百分数。百分数表示的是一个数是另一个数的百分之几，
因此，它是一种特殊的分数 ，有关百分数的计算与应用都可以由分

数的相关知识迁移过来。由于百分数与实际生活联 系紧密，学习百
分数对理解和判断生活中相关数据信息以及运用百分数解决日常生
活中的实际问 题有着重要的意义。本单元的内容包括百分数的意义
和读、写；百分数和分数、小数的互化；用百分数解 决问题等。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年
级》，下同）的主要区别
（一）把“百分数的应用”分成两部分。新教材的六年级上册
主要教学百分数的意义及一般性应用，把百 分数的特殊应用（如利
率、折扣、成数）移至六年级下册的教材中。两部分内容的着眼点
有所不 同，六年级上册的教学重点是利用知识的迁移，认识百分数
的意义及一般性应用；而六年级下册的教学重 点是了解百分数在生
活中一些特殊领域的应用，更强调对其实际意义的理解。
（二） 把百分数与分数、小数的互化与求百分率、求一个数
的百分之几是多少结合起来，注重在应用过程中自然 地引导学生把
百分数和分数、小数进行互化。新教材在编排百分数与分数、小数
的互化时进行了 新的尝试。结合“求一个数是另一个数的百分之几”
的问题（如求命中率）教学如何把分数、小数化成百 分数，结合“求
一个数的百分之几是多少”的问题教学如何把百分数化成分数或小
数。因为在求 一个数是另一个数的百分之几时，求出的结果或者是
分数的形式，或者是小数的形式，而题目要求以百分 数的形式呈现
结果，就自然产生了把分数和小数化成百分数的需要；在求一个数
的百分之几是多 少时，只有把百分之几化成分数或小数，才能进行
计算。这样编排，一是更能体现将百分数与分数、小数 进行互化的
必要性；二是大大缩减了例题的容量。
（三）增加用单位“1”解决的实 际问题。教材例5选取了“某
种商品4月的价格比3月降了20%，5月的价格比4月又涨了20%。< br>5月的价格和3月比是涨了还是降了？”这样一个既有趣又有挑战性
的教学问题。问题中没有提供 商品的具体价格，有利于激发学生的
探究兴趣，也有利于学生进一步掌握解决百分数应用问题的本质特< br>征，用单位“1”找准量率之间的关系，从而从更一般的意义上建立解
决问题的数学模型。
二、教材例题分析
（一）百分数的意义
教材从日常生活 中常见的百分数入手，呈现的三个实例中的
百分数包括百分号前面的数的是整数的、小数的、小于100 的、大
于100的，使学生认识各种情形的百分数。让学生说说还在什么地

方见 过这样的数，直接指出这样的数是百分数，并直接给出百分数
的意义，再让学生根据此意义描述实例中百 分数的实际含义。引导
学生找出相比的量是哪两个，这两个量之间有什么样的关系。这与
分数教 学中强调“量率对应”的思想是一致的。
由于百分数只能表示两个量之间的一种比的关系，在 生活中
也叫百分率或百分比，如“出勤率”“发芽率”等。由于百分数是一种
比，因此也可以从 比的角度解释相关概念。
接下来，教材呈现了前面所引出的三个百分数的读写，具有
一定的代表性（分别是整数、小数和大于100的数的情况）。
这样安排，体现了从生活中引 出数学知识的理念，让学生联
系百分数在生活实际中的广泛应用来理解其意义
（二）百分数、小数、分数的互化
例1：求一个数是另一个数的百分之几（分数、小数化成百
分数）
本例有两个教学目 标：一是会解决“求一个数是另一个数的
百分之几”的问题，二是在解决问题的过程中学会把分数、小数 化成
百分数的方法。这样编排，既凸显了转化的必要性，又把分数化成
百分数、小数化成百分数 整合在一起。
教材通过求投篮命中率的情境引入，并直接给出命中率的概
念，使学生 明白：要把最终结果化成百分数，再进行比较。根据“求
一个数是另一个数的几分之几”，列出除法算式 3÷5和4÷6。两种不
同的运算，产生了小数和分数的结果，很自然地产生“如何把小数和
分 数化成百分数”的需求。
教材选取的数据具有典型性。3÷5，4÷6这两个算式，3÷5< br>能得到有限小数，也能直接将分数结果化成分母是100的分数；4÷
6则无法除尽，需取近似值 ，且无法直接将分数结果化成分母是100
的分数。这些情况基本涵盖了小数、分数化成百分数的所有可 能
性。
在此基础上，再让学生理解生活中其他一些“百分率”的含
义，水到渠成。
例2：求一个数的百分之几是多少（百分数化成分数、小
数）
例2也有两个教学目标 ：一是会解决求一个数的百分之几是
多少的问题，二是在解决问题的过程中学会把百分数化成分数、小< br>数的方法。这样编排，既凸显了转化的必要性，又把百分数化成分
数、百分数化成小数整合在一起 。

教材注重将新知与原有知识进行沟通和联系，提示“求一个
数的百 分之几”和“求一个数的几分之几”意义相同，引导学生在已有
知识基础上寻找数量关系，正确列式。利 用两种不同的计算方法，
体现把百分数化成分数或小数的必要性。由于百分数无法直接参与
运算 ，需要利用它和分数、小数的关系，把它“等值转化”成分数或
小数，再进行计算。
百分数化成小数，先把百分数改写成分数是100的分数，再
根据小数的意义（或进行除法计算），改写 成小数。在此基础上，
观察到只要把百分数小数点左移两位，去掉百分号即可，这是把小
数化成 百分数的逆过程。百分数化成分数，也是把百分数先改写成
分数是100的分数，再约分化简。
（三）用百分数解决问题
例3：求一个数比另一个数多（或少）百分之几
本例是求一个数比另一个数增加（或减少）百分之几，是求
一个数是另一个数的百分之 几的延伸和发展，其数量关系和求一个
数比另一个数多（或少）几分之几是一致的。教材呈现了两种解决
问题的方法，拓宽学生的解题思路：①先求出实际比原计划增加的
公顷数，再求出增加的公顷数 是原计划的百分之几。 ②先求出实际
造林的公顷数是原计划的百分之几，再减去100%，就是实际造 林比
原计划增加了百分之几。为了帮助学生理解数量关系，教材利用线
段图直观表示出量与量之 间的关系，清晰地展示出谁和谁比，以谁
为标准。
接下来，教材指出：在实际生活中 ，人们常用“增加百分之
几”“减少百分之几”“节约百分之几”……来表示增加、减少的幅度。使学生理解：这些生活中的表述都可以归结为数学上的“求一个数比另
一个数多（少）百分之几”。
例4：求比一个数多（或少）百分之几的数是多少
例4是解决求比一个数多 （或少）百分之几的数是多少的问
题，这类问题的数量关系与求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题相同。由于有了相关知识基础，学生对解决此类问题不
会感到困难。
教材提供了两种基本的解法，体现不同的解题思路，使学生
看到每种解法中先算什么，再算什么，着重理 解“增加了12%”是增加
了谁的12%。
例5：用单位“1”解决实际问题

例5选取了“某种商品4月的价格比3月降了20% ，5月的
价格比 4月又涨了20%。5月的价格和3月比是涨了还是降了？”这
样一个既有趣又有挑战性的数学问题。问 题中没有提供商品的具体
价格，有利于激发学生的探究兴趣。
教材注重让学生经历发 现问题、提出问题、分析问题、解决
问题的全过程。在“阅读与理解”时发现按照“要求涨幅或降幅，就 要
知道前后的价格”的常规思路，遇到了“原来价格未知”的障碍，由此
产生假设原有价格的需 要。
在学生提出问题的基础上，自主发现可以假设商品原来的价
格为某个具体数值（ 比如100元）。这就将新的问题转化为已学过
的问题，利用旧知加以解决。教材以商品原价100元为 例，给出具
体解法。在解决的过程中，学生可以发现降价的20%和涨价的20%是
相对于不同 的量而言的，因此，虽然降价和涨价的相对比率相同，
降价和涨价的绝对数值却不同。
不同的假设，却可以得到相同的结果，这说明原价是多少并
不会影响结论。在此基础上，提出可以把商品 的原价假设成抽象的
“1”。这个“1”不是“1元”，但可以代表“1元”“100元”“1000元 ”……是一
个高度抽象的概念。
在“回顾与反思”阶段，引导学生进一步讨论：如果 用更为一
般的假设方法，把商品原价假设为元。此时5月的价格是，
和3月价格相比，，结论不 变，进一步验证了假
设法的合理性和有效性。
本单元的教学重点是百分数的意义；百分数、小 数、分数的互
化；用百分数解决实际问题。教学难点是用单位“1”解决实际问
题。
《百分数（一）》重难点突破
一、百分数的意义
突破建议：
1．丰富学习素材，激活学生已有生活经验。百分数在生活
中有着广泛的应用，但由于 百分数就是分数的比率的意义在生活中
应用的特殊例子，因此，教学中的学习素材既要注重从学生熟悉的
生活实际出发，激活学生已有生活经验，又要注重引导学生从丰富
的学习素材中多角度分析比较 理解百分数的实际含义。可以让学生
讨论：百分数为什么会在生活中这么广泛的应用？既然百分数是一< br>个分数，为什么不直接用分母是100的分数表示信息？用百分数有

什么好处？百 分数与分数之间有什么区别？引导思考百分数与分数
的联系与区别，加深学生对百分数的现实意义的理解 。
2．加强具体表征与分析比较，理解百分数的意义。教学时
仅仅是让学生说出或者 记忆“百分数表示一个数是另一个数的百分之
几”这一抽象表述，那是一种简单的机械学习和死记硬背， 应通过大
量的具体的实例，引导学生用文字的、图表的、动作的等多种具有
个性的表述方式，说 出百分数的具体含义。同时，再引入“百分率”
“百分比”等概念时，引导学生对百分数、分数、比进行 比较，帮助
学生理清百分数和分数、比的联系与区别。这样在新旧知识的比较
分析中，促进学生 自主构建知识体系，加深对百分数意义的理解。
二、百分数、小数、分数的互化
突破建议：
1．以问题解决为驱动，引导学生自主探索新知。结合解决
“求一个数的 是另一个数的百分之几”的问题，首先创设具体的问题
情境，借助数量关系的分析，进行列式计算。在此 基础上，在引导
学生感受体会将分数、小数化成百分数的必要性的同时，及时提出
“你能用百分 数表示吗？”这一现实问题，激发学生利用旧有知识进
行自主探索。并在学生自主探索过程中启发思考： 怎样将一个小数
化为百分数？什么样的分数可以直接写成百分数？对于分母不能直
接化成100 的分数，应该怎么办？怎样将百分数化为小数或者分
数？以问题驱动为主线，营造良好的合作交流的环境 ，帮助学生进
一步沟通分数、小数、百分数之间的关系，灵活掌握转化的方法。
2． 适当增加练习，熟练掌握百分数、小数、分数互化的方
法。开展丰富多彩的练习，是提高学生掌握百分数 、小数、分数互
化方法的有效途径。其一，开展专项练习，掌握某些特殊百分数与
小数、分数的 对应关系，可以大大提高在以后学习中的计算正确
率。例如，针对12.5%、25%、37.5%、4 0%、60%、75%、80%、87.5%
这些特殊的百分数，比较熟练地掌握它们与分数或小数的互 化结
果。其二，在具体的练习情境中，倡导进行多样化的互化方法，培
养灵活应用方法的能力。 例如将760÷2000的商写成百分数，既可
以是算出小数结果，再化成百分数；也可以是把除数和被 除数同时
缩小20倍，再直接改写成百分数等。这样，在引导学生对数、式、
数学信息的观察、 分析、比较的同时，灵活选择应用互化的方法，
既有利于提高学生综合解答问题的能力，又不失为培养学 生数感的
有效方法。
三、用百分数解决实际问题

突破建议：
1．有效利用已有知识，促进知识的正迁移。百分数问题与分数问题
在数量关系上 是一致的。在学习本单元用百分数解决问题时，学生
已经具备解决“求一个数比另一个数多（或少）几分 之几”和“求一个
数是另一个数的百分之几”的知识基础以及学习活动经验，教学时，
要充分利 用这些知识，有意识地帮助学生沟通百分数问题和分数的
相关问题，引导学生自主探究。
2． 利用线段图，直观呈现数量关系。教学时，可结合利用线段图，
引导学生说清“这里是谁与谁比”“以谁 为单位‘1’”“求得谁是谁的百分
之几”等，将图示与言语表征有机融合在一起，加以表达数量和数量
之间的关系，使学生对问题与已知条件之间的关系有更为清晰直观
的认识，从而进一步帮助学生 加深理解数量关系。
3．以问题为主线，引导学生经历问题解决的全过程，提高解决问题
的能 力。例5是有关用单位“1”解决有关问题的例题，是本单元教学
的难点。如何突破这个教学难点？要以 问题为主线，引导学生在解
决问题的过程中，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题
的 全过程。教学时，可以围绕“到底是涨了还是降了？变化的幅度是
多少？”这两个问题，以问题串的形式 展开教学。在“阅读与理解”环
节，思考：你知道了什么（谁与谁比，谁是单位“1”）？要求什么问< br>题？你会直接解答吗？有什么不理解的地方？在“分析与解答”环
节，思考：不知道3月的具体价 格，怎么办？当学生提出可以假设
具体的数据，通过假设不同的数据，对结果进行比较之后，可进一步思考：为什么假设的数据不同，结果却一样？如果假设价格为单
位“1”，结果是否还会一致？为 什么降价和涨价都是20%，商品的价
格却发生了变化？……这样，在问题的引领下，学生不断地探索与 思
考，掌握利用假设解决问题的方法，体会变中不变的思想。在“回顾
与反思”环节，进一步讨 论“如果3月的价格为元，结论是否一
致？”把解决方法推广到一般，使学生从数学本质上理解各种假设 法
的合理性以及内在一致性。
《扇形统计图》教材分析
本单元知识的学 习是在学生已经具备一定的统计知识的基础
上进行的。例如，学生已经经历过简单的收集、整理、描述和 分析
数据的过程；会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方
法收集数据；能用条形统 计图和折线统计图表示数据；能解释统计
结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流。此外， 学

生还学习了百分数的相关知识，认识了扇形。这两方面的内容为学
生学习本单 元的知识打下了坚实的基础。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年
级》，下同）的主要区别
截至本单元，学生已经学完了条形统计图、折线统计图、扇
形统计图这三种统计图。因此，本单元除了让 学生认识扇形统计图
（例1）之外，又新增了一道让学生根据不同的统计目的选择不同
统计图的 例题（例2），使学生从整体上认识三种统计图各自的特
点，理解这三种统计图在使用上各有什么优越性 和局限性，进一步
培养学生的数据分析观念。
二、教材例题分析
1．例1：扇形统计图
教材联系学生的生活实际，创设了学生在校园里参加各种体
育 活动的情境，为引入有关统计数据提供现实背景。通过统计表中
的数据提出对数据的进一步处理要求：你 能算出喜欢每种运动的人
数各占全班人数的百分之多少吗？以百分数意义的理解引出扇形统
计图 的教学。教材让学生将统计表中的数据填入未完成的扇形统计
图，让学生经历用面积大小不同的扇形表示 各部分数量占总数百分
比的过程，初步了解扇形统计图的特点。
在完成了扇形统计图 后通过三个问题的思考（即“上图中的
整个圆表示什么？”“用这样的统计图有什么好处？”“各个扇形 的大小
与什么有关系？”），进一步引导学生在观察的基础上得出扇形统计
图的特点：用扇形可 以清楚地表示出喜欢各种运动项目的人数占全
班总人数的百分比。
本例题教学只要求能看懂扇形统计图，会解决一些简单的问题，不
要求绘制扇形统计图。
2．例2：选择合适的统计图
条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点 各异，在实际
应用中的适用条件也不一样。例2基于三组校园树木数量相关数
据，通过不同的统 计内容让学生选择合适的统计图，在统计图的多
样化与优化中进一步认识各统计图的特点。同时体会对于 相同的统
计对象，当需要表达的信息不同时，选择的统计图也不同，让学生
进一步感受统计的价 值，发展数据分析观念。
第（1）小题统计的是树木总量在2007～2011年之间的变化
情况。既可用条形统计图，也可以用折线统计图。这一题对比的意

图在于让学生 体会条形统计图、折线统计图的特点，突出选择折线
统计图的一般条件，即表示数据变化趋势时用折线统 计图更直观。
第（2）小题统计的是各种树木占树木总量的百分比，既可
以用扇形统 计图，也可以用条形统计图表示。条形统计图只是直观
呈现了各种树木数量占总数的百分之几，而扇形统 计图能更直观、
有效地反映出校园树木数量的分布情况，突出选择扇形统计图的一
般条件：当需 要了解部分与整体之间的关系时，选择扇形统计图更
合适。
第（3）小题统计的是各 种树木的数量，教材中只出现条形
统计图，引导学生思考“为什么不用其他的统计图？”，在对比三种< br>统计图特点的基础上突出选择条形统计图的一般条件：当只需要表
示各项目的数据时，用条形统计 图就可以了。
本单元的教学重点是认识扇形统计图，难点是能根据实际需要
选择合适的统计图。
《扇形统计图》重难点突破
一、认识扇形统计图
突破建议：
1．在学生熟悉的现实生活情境中教学扇形统计图。借助教
材主题图或者因地制宜，根 据班级的情况实际调查引入，从学生非
常熟悉的生活情境展开教学，一则可以使学生体会到统计的真实意
义，二则有利于学生理解扇形统计图的特点与用途。此外，教学过
程中充分利用学生已有的知识 经验，更有利于学生加深对扇形统计
图的本质理解。例如，通过百分数意义引入扇形统计图，由数到形，引导学生根据百分数的意义理解扇形统计图中的每一部分的含
义，体会扇形统计图可以直观地描 述各部分占总体百分比的特点。
2．引导学生利用分数的意义理解扇形统计图的特点。扇形< br>统计图的模型和认识分数的意义所用的圆的模型完全一致，因此，
要充分利用已有知识促进学生迁 移类推。例如，整个圆表示全体人
数，相当于单位“1”，喜欢乒乓球的占30%，就相当于把整个圆平 均
分成100份，喜欢乒乓球的占了其中的30份。继而在学生理解每个
扇形具体含义的基础上 ，理解扇形统计图的特点。例如，不仅可以
直观比较各个扇形的相对大小，还能清楚地看出各部分与整体 之间
的关系。
3．注重从统计的意义和作用出发，体会扇形统计图的特点
和 用途。扇形统计图的优势是能够直观、清楚地反映出各部分数量
占总数的百分比。因此，在教学时，应该 通过比较、分析、应用等

活动过程，使学生体会到根据各种统计图的不同特点，从不同的 角
度反映数据的特征，从而从整体上对扇形统计图进行认识与理解。
二、根据需要选择合适的统计图
突破建议：
1．引导学生明确统计内容， 分析数据信息的特点，尝试用
统计图自主描述统计信息。教学例2，可同时呈现三个统计表，引
导学生分别观察三个统计表中的数据特点，并进行交流，明确各统
计表中数据所表达的信息，再结合引导 学生回忆不同统计图各自的
特点，让学生尝试用学过的统计图来表示每个统计表中的信息。这
样 ，一则可以清楚地了解学生的真实的学习状况，二则为接下来的
比较分析提供了现实的素材，便于有的放 矢地展开教学。
2．引导比较分析不同统计图的特点，使学生辩证合理地认
识不同统 计图的优点与不足。不同的统计图既有各自的特点，又有
共性的因素。如何克服学生的思维定式（认为一 张统计表的数据只
能用一种统计图来表示），全面地、整体地认识用统计图表示统计
表中的数据 的优势与不足？只有在实际教学中进行不断地对比辨
析，在辨别分析的过程中逐步体会与感受。例如，在 教学例2的第
（1）题时，由于受到思维定式的影响，或者学生会认为只能用折线
统计图表示。 此时，教师可以追问：可以用其他的统计图表示吗？
（比如条形统计图）使学生明确，虽然条形统计图在 表示变化趋势
时不如折线统计图那么直观，但也可以达到两个目标：第一，可以
把每年的树木总 量表示出来；第二，可以通过条形的起伏看出大致
的变化趋势。通过这一过程，使学生避免思维固化，能 更深刻地理
解有时不能简单地以对或错来比较不同的统计方法，只能说某种方
法相对好一些，某 种方法有一定的局限性。
3．引导学生根据不同的统计目的和数据特点，科学合理地
使用统计图。同一组数据信息，往往可以用不同的统计图表示，如
何根据不同的统计目的和数据特点，科 学合理地使用统计图？同样
需要引导学生认真分析，不断比较，在深刻理解不同统计图的特点
的 基础上，科学合理地做出选择。例如，教学例2的第（2）题，要
克服学生认为百分比只能用扇形统计图 表示这一思维定式，要引导
学生理解这样的数据也可以用条形统计图来描述。但条形统计图描
述 时，只能对各种树木所占百分比进行互相比较，而扇形统计图则
更具优势，还能直观地表示出每种树木数 量与树木总量之间的关
系。而教学第（3）题时，如果用折线统计图和扇形统计图来描述数
据， 则是不科学、不合理的。通过这样的对比，使学生看到，由于

统计内容的不同，选择不同 的统计图来描述数据时，有时是“好”与
“更好”的区别，有时却是“可以”和“不可以”的区别，进而 促进学生从
整体上深刻认识各种统计图的特点和适用条件。
《数学广角──数与形》教材分析
数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来 解决问
题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。
数与形相结合的例子在 小学数学教材与教学中随处可见。有些情
况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的 问
题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。例如，第109页
第2题（如下图），使学 生通过观察，发现第2个图比第1个图增
加2个小圆，第3个图比第2个图增加3个小圆，第4个图比第 3
个图增加4个小圆……这样依次下去，各个图形中的小圆个数分别是
1，3，6，10，…， 即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…如果是第个
图，小圆的个数是。等学生将来学习了等差 数列的有关
知识，就知道第个图形中小圆的个数是。

而有些情况下，是利用图形来 直观地解释一些比较抽象的数学原
理与事实，让人一目了然。尤其是对于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形
模型来教学分数乘法的算理，利用 线段图来帮助学生理解分数除法
的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配
律、完全平方公式等。

还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“ 形”的问题，也
可用“形”来解决“数”的问题。例如，解析几何中，函数图象与方程、
方程组 互为工具，互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反
比例关系图象也很好地反映了这样的思想。

本单元教材以“”
“”为例，引导学生认识利用数和形的结合
解决一些有趣 的数学问题。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年
级》，下同）的主要区别
新教材把《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》上册的
“鸡兔同笼”问题移至四年级下册，新编“ 数形结合”的内容。本册的数
学广角，编排了一个新的内容──数与形。
二、教材例题分析

例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。
本例让学生计算从1开始的连 续若干奇数之和。在计算时，即使
不借助图形，也可以通过，，…发现规
律：从1开始，连续个 奇数之和，就是的平方。但把图形与算式
对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的 规
律显而易见（每个图都是一个大的正方形，第个图形中，大正方
形的每行、每列都有个小正方 形，因此，小正方形的总数是）,
有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“┓”形的小正方形
的个数分别是1，3，5，7，…)。每个图中都“隐藏”着一个等式，如
第个图中的等式就是 。从图形的角度直观
理解“正方形数”或“平方数”的特点，显然，使学生通过数与形的对
照， 利用图形直观形象的特点得到关于数的规律。
例2：等比数列之和等于1。
本例让学生计算
程中发现
，，
的得数。学生在计算的过
，… 加数有规律，即后一个加数是前一个加数的；和也有规律，每
次相加所得的和都等于1减去最后一个 加数；加数的项数越多，和
越接近1。
这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1。但这 个无限接
近于1的数到底是多少呢？教材利用“分数的认识”中的面积模型和
长度模型，在圆上 和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：
无限加下去，最终的得数为1。由此，教材借助图形解决 了比较抽
象的、复杂的、不好解决的问题。
但在实际教学中，即使有了图形的直观支持，仍有 学生对最终结
果为1这一事实不能理解，这也是非常正常的。可以有两种解释的
方法：第一种， 如果学生认为和为，教师可以追问：如果再加
上一项呢？加上，和就变成了。不管找到一个多么接近1的
数，总还能再加一项，得到一个比它更接近1的和，这恰恰是极限
思想的精髓所在。第二种，可 以利用反推的方法来使学生明白其中
的道理：

……
本单 元的教学重点是自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用
图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所 发现的规律。教学难
点是体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
《数学广角──数与形》重难点突破
一、自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来 解决一些
有关数的问题，并学会应用所发现的规律
突破建议：
1．引导学生数形结 合，从不同角度寻找规律。形的问题中包含
着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让 学生
通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出
发，让学生看看可以怎样 用图形来表示数的规律，也可以让学生寻
找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证 结
果，感受数学的魅力。例如，教学例1时，可从形引入，先让学生
说一说三幅图中分别有多少 个小正方形？你是怎么发现的？通过学
生的讨论，学生容易得出小正方形数为1
2
，2
2
，3
2
，…的结论；也可
以使学生看到三个图中的小正方形数还可 以分别表示成1，1+3，
1+3+5，…的结论。也可以从数引入，让学生通过计算，发现
1 +3=4，1+3+5=9，…有的学生可能很快发现4=2
2
，9=3
2
， …此时老师
可以引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比
照，看到这些连续的 奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是
图形中的什么。从而对规律形成更为直观的认识。
2．充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关
问题的直观性与简捷性。例2中，“无 限”的概念非常抽象，学生不
易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，
帮助学生深刻理解。比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或
者一个正方形，让学生根据分数的意义 表示出这些加数，使学生直

观地看到最终的结果是“1”。从而进一步感受到“化数为形 ”的直观、
形象、简捷特点。当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反
推的方法帮助学生 理解。
二、体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想
突破建议：
1 ．在学生经历发现模式、应用模式的过程中渗透数形结合、归
纳推理等数学思想。本单元教学通过数与形 的比照，引导学生从不
同角度探索规律。例如，通过观察与计算1，1+3，1+3+5，
1+ 3+5+7，…既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律
的基础上，通过推理，逐步抽象， 形成模式，再引导学生把规律应
用于一般的情形，解决问题。显然，这样的一个教学过程，既是学
生自主探究获取知识的过程，更是有机渗透数学思想方法的过程，
使学生在潜移默化的过程体会与领悟 推理和数形结合的思想。
2．在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的数学经验，培
养基 本的数学思想。例如，在例2教学中，让学生通过计算，发现
和越来越趋向于1，感受什么叫“无限接近 ”。虽然无法一一穷举所得
的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽”类推，使学生在
这一过程中体会推理和极限的思想。
六年级上册《总复习》教材分析
本单元教学是对本 学期所学内容的系统整理与复习。主要包括三
部分内容：一是成长小档案，二是数学复习活动，三是针对 全册所
学知识的综合练习。
一、成长小档案
“成长小档案”是对本册所学内容的回 顾和梳理，包括对数学知识
进行回顾和对学习中有趣的事情进行回忆两个方面。
教材通过“这 学期学习了什么？”的发问引导学生通过回忆的方式
描述这学期所学的内容，并以对话框的形式加以呈现 ：分数乘、除
法的计算方法以及比和百分数的知识、利用方向和距离确定点的位
置、圆的性质和 圆的周长和面积的计算、扇形统计图的认识及不同
统计图的特点。
教材通过“学习中最有趣的 事情是什么？”的发问引导学生对学习
中的有趣事情进行回顾。回顾的内容可以是发现知识的趣味性，也
可以是体会方法的巧妙，还可以是对学习方式的感悟。总而言之，
通过学生的合作交流、全面回 顾与反思，达到加深对数学知识之
间、数学与生活之间联系以及数学内在魅力的认识和理解，从而产

生更积极的数学学习情感，增强学习数学的兴趣和信心，掌握基本
的数学思想和方法 。
二、数学复习活动
“数学复习活动”环节中，教材安排了6道题目，这6道题目基本涵盖了本册教材涉及的主要内容。
第1题是针对分数乘、除法计算的巩固和提高，使学生进一步理
解分数乘、除法之间的关系。教材首先通过两组题目，突出分数
乘、除法之间的关系，即分数除 法是分数乘法的逆运算。然后对分
数乘、除法的计算方法进行了复习。值得一提的是，分数乘、除法属于分数的基本技能，有必要通过科学的练习提高学生的计算技
能。
第2题是联系比与分数、除法之间的关系，复习比的概念和求比
值的方法。
第3题是 综合复习解决有关分数、百分数、比的实际问题。用分
数乘、除法解决实际问题是这部分的教学重点。教 材把这些内容对
照编排，便于学生找到这几类问题的联系与区别，从而更好地掌握
解决问题的思 路，即先明确单位“1”，再看单位“1”是已知还是未知，
从而确定解决问题的方法。
教材 的编排方式有利于帮助学生理解用百分数、分数乘、除法解
决问题在结构、解题思路上的一致性，便于加 强知识间的联系，促
进学生形成良好的认知结构。由于百分数的概念是百分数解决问题
的基础， 因此在解决问题过程中要特别重视结合具体的问题情境复
习百分数的实际含义。
第4题是综合 复习用方向和距离确定位置的有关知识以及圆周长
和面积的实际问题。这是本学期在图形与几何领域的主 要学习内
容。
圆的认识包括圆的直径、半径、圆周率、扇形等概念、圆的对称
性、圆 的大小和位置以及圆的周长和面积的计算等内容，教材重点
复习了圆的周长和面积的计算。复习时要特别 重视帮助学生回顾计
算公式的推导过程，以加深对公式的理解和掌握；另外，要引导学
生在解决 具体问题时根据不同条件和问题灵活地选用计算公式。
第5题是根据给出的分数、百分数和小数倍的信 息，让学生提出
相关问题并解决，旨在提高学生的问题意识。在复习时提高学生发
现问题、提出 问题、分析问题、解决问题等诸方面的能力，这是教
学的核心。

第6题是针对 扇形统计图进行整理与复习。教材通过复习，旨在
帮助学生进一步体会扇形统计图能清楚地反映各部分数 量同总数之
间关系的特点，并能根据给出的信息解决一些问题，提高分析信
息、解决问题的能力 。
本单元的教学重点是帮助学生梳理知识间的联系，促进形成良好
的认知结构；提高计算的能 力以及结合实际问题，提高学生发现和
提出问题、分析和解决问题的能力。
六年级上册《总复习》重难点突破
一、梳理知识要领，完善知识结构
突破建议：
既要让学生掌握复习中所蕴含的知识概貌，又要让学生在复习过
程中明晰复习脉络，从而把握知 识点之间的联系，明晰核心知识和
重难点，还要通过复习使学生知晓基本的知识运用范围，以及对应的应用题型。例如：对分数乘、除法知识的复习，就要在理解运算
意义和分数乘、除法计算方法的基 础上，弄清楚分数乘法和分数除
法在计算方法上的联系与区别，以提高学生计算的正确率。
同 时，不仅要关注复习内容的基本概念、基本要点、基本规律、
基本原理等知识的梳理，更要关注对知识构 成的规则、方法、数学
思想等方面的进一步完善，从而夯实“四基”，构成纵横联系的知识
网络 ，促进学生建构良好的认知结构并建立认知体系。这有利于学
生日后对知识进行科学的存取，使复习成为 形成知识技能、积累数
学学习经验、有效研究问题的重要途径。例如：用方向与距离确定
位置的 知识，以八个方向的知识为基础，而用两个参数可以唯一地
确定平面上的一个点的原理，又与用数对确定 位置的方法具有内在
的一致性；百分数的应用与用分数乘、除法解决问题之间的联系则
体现了知 识的横向联系。
二、因材施教，强化指导
突破建议：
数学学习提倡学生自主学习 、合作学习、探究学习，但教师不能
忘却自己的责任。特别是在这类学习反思中我们应进行有效的引领，给予学生方法指导，给予必要的学习习惯培养的训练，促使学
生学会思考，达成“吃一堑长一智 ”的目的。从而让数学学习更具理
性，凸显智慧。
复习就是纠正学生学习过程的错误编码，在 复习过程中，要注意
兼顾各个发展水平的学生。针对不同层次的学生，要对症下药，因
材施教， 以学生实际遇到的困难与错误为基础，有的放矢地展开教

学，使学生对原先理解认识有偏 差、不全面、不到位的内容获得新
的认知发展，也使学生的知识体系得到必要的生长，从而形成更科学的建构。
三、夯实基础，拓展深度
突破建议：
数学教学一要把教材教厚， 二要把教材教薄，三要把知识变实，
更要把连接延长。因此，数学复习必须深挖知识结构，深究知识的< br>内在联系，以克服初次学习中不能完全理解的内容，弥补第一次学
习中不能深化的地方，延展初学 阶段无法拓展的部分，让复习成为
学生知识建构拓展加深的有效举措，也成为知识技能、经验思想等不断成熟的可靠方法。例如复习第4题时，在系统复习相关概念之
后，可重点复习圆的周长和面积计 算公式的应用。再次，引导学生
通过观察平面示意图，培养学生的读图能力，并融合用方向和距离
确定位置的内容，加强对学生的空间观念的培养。学生可以提出许
多开放性的数学问题并试着解决。
四、总结反思，升华学习
突破建议：
梳理知识体系、形成知识网络等是复习的最终 落脚点。因此，教
师在复习课的教学中就得强化知识的升华，一方面让学生更好地领
悟知识、掌 握规律,另一方面促进学生养成相应的解题规范和方法技
巧，更重要的是发展学生综合运用知识的能力， 提高灵活应用知识
的水平，还可以强化学习反思意识，促使学生学会调整自己，使有
效学习成为 终身学习的潜质。



感谢您的阅读，祝您生活愉快。