关于春雨的作文-祖国在我心中作文

【课题】 6．1 数列的概念
【教学目标】
知识目标：
（1）了解数列的有关概念；
（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．
能力目标：
通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．
【教学重点】
利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是
否为数列中的一项．
【教学难点】
根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．
【教学设计】
通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数
列和无穷数列．讲解数列的通项（一般 项）和通项公式．
从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成
的一列数 ．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能
否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次 序”，比如我们随便写
出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243， 3，就
都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们
的排列“次序”不一 样，因此是不同的数列．
例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后
者 是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向
应用．
例2是巩固性题目, 指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应
关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了 难度,学生

容易接受.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教
师
行
为
*揭示课题
6．1 数列的概念．
*创设情境 兴趣导入
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…． (1 )
将2的正整数指数幂从小到大排成一列数
为
2,2
2
,2
3
,2
4
,2
5
,L
学
生
行
为
了
解
观
看
课
件
思
考
自
我
分
析
教
学
意
图
从< br>实
例
出
发
使
学
生
自
然
的< br>走
向
时
间
介
绍
播
放
课
件
质
疑
． (2 )
引
0
5
当
n
从小到大依次取正整数时，
cosn
的值
导
排成一列数为
-1，1，-1，1，…． (3 )
取无理数

的近似值（四舍五入法），依照
有效数字的个数，排成一列数为
3，3.1，3.14，3.141，
分
析
知
识
飞机
飞机

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
点
时
间
3.1416，…． (4)
*动脑思考 探索新知
【新知识】
象上面的实例那样，按照一定的次序排成的
一列数叫做数列．数列中的每 一个数叫做数列
总
结
归
纳
仔
思
考
理
解
记
忆
带
领
学
生
分
析
引
导
式
启
发
学
生
得
出
结
果
10
的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，
细
各项按照其位置依次叫做这个数列的 第1项
分
（或首项），第2项，第3项，…，第
n
项，…，
析
其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，
讲
解
n
，分别叫做对应的项的项数．
关
只有有限项的数列叫做有穷数列，有无
键
限多项的数列叫做无穷数列．
词
【小提示】
数列的“项”与这一项的“项数”是两个不
同的概念．如数 列（2）中，第3项为
2
3
，这一
项的项数为3.
【想一想】
上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些
语

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
是无穷数列?
【新知识】
由于从数列的第一项开始，各项的项数依
次与正 整数相对应，所以无穷数列的一般形式
可以写作
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
n
，L
．
(nN
g
)

简记作{
a
n
}．其中，下角码中的数为项数，
a
1
表
示第1项，
a
2
表示第2项，…．当
n
由小 至大依
次取正整数值时，
a
n
依次可以表示数列中的各
项，因此，通 常把第
n
项
a
n
叫做数列{
a
n
}的通< br>项或一般项．
*运用知识 强化练习
1.说出生活中的一个数列实例．
2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4，
3，2，1 ”是否为同一个数列？
3.设数列
{a
n
}
为“-5,-3,-1,1,3, 5，…” ，
指出其中
a
3
、
a
6
各是什么数？
提
问
巡
视
指
导
思
考
口
答
及
时
了
解
学
生
知
识
15

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
掌
握
得
情
况
时
间
*创设情境 兴趣导入
【观察】
6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到
大依次排列出的正整数．
质
疑
引
导
分
思
考
参
与
分
析
引
导
启
发
学
生
思
考
25

a
1
1
，
a
2
2
，
a
3
3
，…，
析
可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这
个规律可以用
表示．利用这个规律，可 以方便地写出数列中
的任意一项，如
a
11
11
，
a20
20
．
6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到
大顺次排列出的2的正整数指数幂．

a
1
2
a
3
2
3
，…，
，
a
2
2
2
，
可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
好是这项的项数．这个规律可以用
表示，利 用这个规律，可以方便地写出数列中
的任意一项，如
a
11
2
11
，
a
20
2
20
．
*动脑思考 探索新知
【新知识】
一个数列的第
n
项
a
n
，如果能够用 关于项
数
n
1
的一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项 公式.
总
结
归
纳
仔
细
思
考
归
纳
理
解
记
忆
带
领
学
生
总
结
35
数列（1）的通项公式为
a< br>n
n
，可以将数列
分
（1）记为数列{
n
}；数列 （2）的通项公式为
析
a
n
2
n
，可以将数列（2）记 为数列
{2
n
}
.
讲
解
关
键
词
语
*巩固知识 典型例题



说观通50

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
察
思
考
主
动
求
解
观
察
思
考
求
解
领
会
思
考
求
解
教
学
意
图
过
例
题
进
一
步
领
会
注
意
观
察
学
生
是
否
理
解
知
识
点
时
间
例1 设数列{
a
n
}的通项公式为
1
a
n

n
2
明
强
调
引
领
，
写出数列的前5项．
分析 知道数列的通项公式， 求数列中的某
一项时，只需将通项公式中的
n
换成该项的项
讲
数，并 计算出结果．
解
1111
；
a
2
2
1
2
2
2
4
1111
．
a
4

4

；
a
5

5

32
2
16
2
a
1

解
；
a
3
11

2
3
8
；
说
明
引
领
例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出
数列的一个通项公式.
分
1111
(1)5,10,15,20，…； (2)
,,,,
…；
2468
析
（3）?1，1，?1，1，…．
强
分析 分别观察分析各项与其项数之间的关
调
系，探求用式子表示这种关系．
解 （1）数列的前4项与其项数的关系如下
表：
项数
n

项
a
n

1
5
2
10
3
15
4
20
含
义
说
明

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
反
复
强
时
间
关系
由此得到，该数列的一个通项公式为
a
n
5n
．
调
（2）数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
项
a
n


关系
1


2


3


4
由此得到，该数列的一个通项公式为
a
n

1
．
2n
（3）数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
项
a
n

关系
1
?1

2
1

3
?1

4
1
由此得到，该数列的一个通项公式为
a
n
(1)
n
．
【注意】
由数列的有限项探求通项公式时，答案不一
定是唯一的．例如，
a
n
(1)
n
与
a
n
cosn
都 是例2

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
（3）中数列“?1，1，?1，1，…．”的通项公
式．
【知识巩固】
例3 判断16和45是否为数列{3
n
+1}中的
项,如果是,请指出是第几项.
分析 如果数
a
是数列中的第
k
项，那么
k
必须是 正整数，并且
a3k1
.
解 数列的通项公式为
a
n
3n1
.
将16代入数列的通项公式有
163n1
，
解得
n5N
*
．
所以，16是数列
{3n1}
中的第5项．
将45代入数列的通项公式有
453n1
，
解得
n
44
N
*
，
3
所以，45不是数列
{3n1}
中的项．

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
思
考
了
解
动
手
求
解
教
学
意
图
可
以
交
给
学
生
自
我
发
现
归
纳
时
间
*运用知识 强化练习 启65
1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列
发
引
的前4项：
导
n
（1）
a
n
32
； （2）
提
a
n
(1)
n
n
．
问
2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数
巡
列的一个通项公式：
36
视
（1）?1，1，3，5，…； (2)

1
,
1
,
指

1
9
,
1
，…； (3)
1
,
3
,
5
12246
,
7
，….
8
2
导
3. 判断12和56是否为数列
{n
如果是，请指出是第几项．
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
n}
中的项，
质
疑
归
纳
强
调
回
答
及
时
了
解
学
生
知
识
掌
75
数列、项、项数分别是如何定义的？
结论：
按照一定的次序排成的一列数叫做数< br>列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始
的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置
依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
握
情
况
时
间 < br>第3项，…，第
n
项，…，其中反映各项在数
列中位置的数字1，2，3，…，
n
，分别叫做各
项的项数．
*归纳小结 强化思想
引回
忆
反
思
动
手
求
解

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
导
*自我反思 目标检测 提检
验
学
生
学
习
效
果
85
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何问
进行学习的？你的学习效果如何？ 巡
判断22是否为数列
{n
2
n20}
中的项，如果视
是,请指出是第几项．
指
导
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．1 A组（必做）；
6．1 B组（选做）
(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的
数列实例

说
明
记
录
分
层
次
要
求
90

【教师教学后记】
项目
学生知识、技能的掌
是否能利用知识、技能解决问题；
握情况
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
学生的情感态度
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以
克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面．
【课题】 6．2 等差数列（一）
反思点
学生是否真正理解有关知识；
【教学目标】
知识目标：

（1）理解等差数列的定义；
（2）理解等差数列通项公式．
能力目标：
通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等差数列的通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的定义、等差 数列的通项公式.重点
是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推
导．等差 数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:
a
n1
a
n
d< br>(常
数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.
教材中等差数列 的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代
的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的 正确性还应该
用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项
的巩固性题目 ,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个
量：
a
1
,d,n,a
n
,
只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
了
解
观
看
课
件
思
考
自
我
分
析
教
学
意
图
从
实
例出
发
使
学
生
自
然
的
走
向时
间
*揭示课题
6．2 等差数列．
*创设情境 兴趣导入
【观察】
将正整数中5的倍数从小到大列出，组成
数列：
5，10，15
介
绍
播
放
课
件
质
，
疑
引
导
，
分
析
0
5
20，…． （1）
将正奇数从小到大列出，组成数列：
1，3，5，7
9，…． （2）
观察数列中相邻两项之间的关系，
知
识
点
引
导
式
启
发
发现：从第2项开始，数列(1)中的每一项
与它前一项的 差都是5；数列（2）中的每一项
与它前一项的差都是2．这两个数列的一个共
同特点就是从第 2项开始，数列中的每一项与
它前一项的差都等于相同的常数．

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
学
生
得
出
结
果
时
间
*动脑思考 探索新知
如果一 个数列从第2项开始，每一项与它
前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数
列叫做等差数列 ．这个常数叫做等差数列的公
差，一般用字母
d
表示．
总
结
归
纳
仔
细
思
考
理
解
记
忆
带
领
学
生
分
析
10
由定义知，若数列

a
n

为等差数列，
d
为公
分
差，则
a
n1
a
n
d
,即

析
讲
（6.1）
解
关
键
词
语
*巩固知识 典型例题 说观通45

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
察
思
考
主
动
求
解
教
学
意
图
过
例
题
进
一
步
领
会
等
差
数
列
通
项
公
式
时
间
例１ 已知等差数列的首项为12，公差
明
强
为?5，试写出这个数列的第2项到第5项．
调
解 由于
a
1
12,d5
，因此
引

a2
a
1
d12

5

7
；
领
a
3
a
2
d7

5< br>
2
；
讲
解
说
明
*运用知识 强化练习 提动
手
求
解
及
时
了
解
学
25
1. 已知

a
n

为等差数列 ，
a
5
8
，公差
d2
，
问
试写出这个数列的第8项
a
8
．
2. 写出等差数列11,8,5,2,…的第10项.
巡
视
指

教 学
过 程
教
师
行
为
导
学
生
行
为
教
学
意
图
生
知
识
掌
握
得
情
况
时
间
*创设情境 兴趣导入
你能很快地写出例1中数列的第101项吗?
显然，依照公式（6.1）写出数列的第101
项,是比较麻烦的，如果求出数列的通项公式，
就可以方便地直接求出数列的第101项．
质
疑
引
导
分
析
思
考
参
与
分
析
从
实
际
事
例
使
学
生
自
然
的
走
向
30

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
知
识
点
时
间
*动脑思考 探索新知
总思
考
归
纳
理
解
记
忆
带
领
学
生
总
结
问
题
得
到
等
差
数
列
通
项
公
式
35
结
设等差数列

a
n

的公差为
d
，则
归
a
1
a
1
,
纳
仔

．．．．
细
．．
分
依此类推,通过观察可以得到等差数列的
析
通项公式
a
n
a
1


n1

d.
讲
解

关
键
词
语
(6.2)
知道了等差 数列

a
n

中的
a
1
和
d，利用公式
（6.2），可以直接计算出数列的任意一项.
在例１的等差数列
{ a
n
}
中，
a
1
12
，
d5
，
所以数列的通项公式为

a
n
12(n1)(5)175n
，
数列的第101项为

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
引
导
启
发
学
生
思
考
求
解
时
间

a
101
175101488
．
【想一想】
等差数列的通项公式中,共有四个量：
a
n
、
a
1
、
n
和
d
，只要知道了其中的任意三个量，就
可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该
分别采用什么样的计算方法？
*巩固知识 典型例题
例2 求等差数列
．．
1,5,11,17,
．
的第50项.
解 由于
a
1
1,da
2
a
1
5

1

6,
所以
通项公式为
即
a
n
6n7.

故
3
说
明
强
调
引
领
讲
解
说
观
察
思
考
主
动
求
解
观
察
思
通
过
例
题
进
一
步
领
会
注
意
45
50
1
例3 在等差数列
a
n

中,
a
100
48,
公差
d ,
求
明
首项
a
1.

引

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
考
求
解
领
会
思
考
求
解
教
学
意
图
观
察
学
生
是
否
理
解
知
识
点
时
间
1
解 由于公差
d,
故设等差数列的通项公式
领
3
为
由于
a
100
48
，故
1
48a
1
(1001)
，
3
分
析
强
调
含
义
解得
【小提示】
本题目初看是知道2个条件，实际上是3个
说
条件：
n100
，
a
n
48,
d
1
．
3
明
例4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三
个人在年龄恰好构成一个等 差数列,他们三人
的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄
的4倍还多5岁,求他们祖孙 三人的年龄.
分析 知道三个数构成等差数列，并且知
道这三个数的和,可以将这三个数设 为
ad
,
a
,
ad
,这样可以方便地求出
a< br>,从而解
反
复
强
调
决问题.
解 设 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为
ad
,
a
,
ad
,其中
d
为公差

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
则
解得
从而
答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、
40岁和65岁.
【注意】
将构成等差数列的三个数设为
ad
,
a
,
ad
,是经常使用的方法.
*运用知识 强化练习
练习6.2.2
1.求等差数列
2
,1,
8
,…的通项公式与第
5
启
发
引
导
提
问
巡
5
思
考
了
解
动
手
求
解
可
以
交
给
学
生
自
我
发
现
归
纳
60
15项． < br>2.在等差数列

a
n

中，
a
5
0
，
a
10
10
，求
a
1
与
公差
d
.
3.在等差数列

a
n

中，
a
5
3
，
a
9
15
，判
视
断－48是否为数列中的项，如果是,请指出是
指
第几项.
导

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
小
组
讨
论
回
答
理
解
强
化
教
学
意
图
及
时
了
解
学
生
知
识
掌
握
情
况
以小组
讨论师
生共同
归纳的
形式强
调重点
突破难
点
时
间
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
等差数列的通项公式是什么？
结论：
等差数列的通项公式
质
疑
归
纳
强
调
70
*归纳小结 强化思想
引回
忆
反
思
动

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
导
*自我反思 目标检测 提检
验
学
80
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何问
进行学习的？你的学习效果如何？ 巡

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
手
求
解
教
学
意
图
生
学
习
效
果
培
养
学
生
总
结
反
思
学
习
过
程
的
能
力
时
间
写出等差数列

1
，
3
，1，
7
，…
55
5
视
指
导
的通项公式，并求出数列的第11项．
*继续探索 活动探究 说记分90

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
录
教
学
意
图
层
次
要
求
时
间
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学
习指导6．3（选做）
(3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例
【教师教学后记】
项目
学生知识、技能的掌
明
反思点
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
握情况
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
学生的情感态度
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以
克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况
在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】 6．3 等比数列（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等比数列的定义；
（2）理解等比数列通项公式．
能力目标：
通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的通项公式．
【教学难点】
等比数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点
是等比 数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．
等比数列与等差数列在内容上相类似，要 让学生利用对比的方法
去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是
推导 通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”
的特点:
a
n1< br>q
(常数).
a
n

例1是基础题目,有助于学生进 一步理解等比数列的定义.与等差
数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全< br>归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要
给学生讲.等比数列的通项公 式中含有四个量：
a
1
，
q
,
n
,
a
n
, 只有
知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、 例３
都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比
数列问题常用的方法.
从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是
a
,a,aq
比 较好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于
a
3
,
很容易
q< br>将
a
求出.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教
师
行
为
*揭示课题
6．3 等比数列．
*创设情境 兴趣导入
【观察】
介
绍
播
放
学
生
行
为
了
解
观
看
教
学
意
图
从
实
例
出
0
5
时
间

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
课
件
思
考
自
我
分
析
教
学
意
图
发
使
学
生
自
然
的
走
向
知
识
点
时
间
某工厂今年的产值是1000万元，如果通过
课
件
技术改造，在今后的5年 内，每年的产值都比
质
上一年增加10%，那么今年及以后5年的产值
疑
构成下面的一个数列（单位：万元）：
引
1000,10001.1,100 01.1
2
,10001.1
3
,10001.1
4
,10001.1
5
.

导
不难发现，从第2项开始，数列中的 各项
分
都是其前一项的1.1倍，即从第2项开始，每
析
一项与它的前一项的比都等于1.1．
*动脑思考 探索新知
【新知识】
如果一个数列从第2项开始，每一项与它
前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列
总结
归
纳
仔
思
考
理
解
记
忆
带
领
学
生
分
析
引
导
式
10
叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的
细
公比，一般用字母
q
来表示．
分
由定义知，若

a
n

为等比数列，
q
为公比，
析
则
a
1
与
q
均不为零，且有
a
n1
q
，即
a
n
讲

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
启
发
学
生
得
出
结
果
时
间
解

a
n1
a
n
q
．
关
(6.5)
键
词
语
*巩固知识 典型例题 说观
察
思
考
主
动
求
解
通
过
例
题
进
一
步
领
会
15
例１ 在等比数列
{a
n
}
中，
a
1
5
，
q3
，求
明
a
2
、
a
3
、
a
4
、
a
5
．
强
调
解
【试一试】
你能很快地写出这个数列的第９项吗？
引
领
讲
解
说
明
*运用知识 强化练习
练习6.3.1
1．在等比数列

a
n

中，
a
3
6
，
q2
，试
提
问
巡
动
手
求
及
时
了
25

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
解
教
学
意
图
解
学
生
知
识
掌
握
得
情
况
时
间
写出
a
4
、
a
6
．
2．写出等比数列
3,6,12,24,
……的第５项
与第6项．
视
指
导
*创设情境 兴趣导入
如何写出一个等比数列的通项公式呢？
质
疑
引
导
分
析
思
考
参
与
分
析
学
生
自
然
的
走
向
知
识
点
30
*动脑思考 探索新知
总思带35

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
考
归
纳
理
解
记
忆
教
学
意
图
领
学
生
总
结
问
题
得
到
等
差
数
列
通
项
公
式
引
导
启
发
时
间
与等差数列相类似，我们通过观察等比数
结
归
列各项之间的关系，分析、探求规律．
纳
设等比数列

a
n

的公比为
q
，则
仔
……
细
【说明】
a
1
a
1
1a
1
q
0

分
依此类推，得到等比数列的通项公式： （6.6）
析
知道了等比 数列

a
n

中的
a
1
和
q，利用公式
讲
（6.6），可以直接计算出数列的任意一项.
【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量：
a
n
、
a
1
、< br>n
和
q
，只要知道了其中的任意三个量，就
解
关
键
词
语
可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该
分别采用什么样的计算方法？

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
学
生
思
考
求
解
时
间
*巩固知识 典型例题
例2求等比数列
的第10项．
解 由于
a
1
1
，
q
1
，
2
故，数列的通项公式为

a
n
a
1
q
n1
说
明
强
调
引
领
讲
观
察
思
考
主
动
求
解
观
察
思
考
求
解
领
通
过
例
题
进
一
步
领
会
注
意
观
察
学
生
45
50

1

1




2

n1
1(1)
n1

1




2

n1
(1)
n

12
n1
，
解
说
明
所以

a
10
(1)
10
1
2
101
< br>1
．
512
引
例3 在等比数列

a
n

中，
a
5
1
，
a
８
< br>1
，
领
8
求
a
13
．
解 由
a
5
1,a
8

有
1a
1
q
4
， （1）
分
1
8
析
强

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
会
思
考
求
解
观
察
思
考
求
解
领
会
思
考
教
学
意
图
是
否
理
解
知
识
点
反
复
强
调
注
意
观
察
学
生
是
时
间
1
a
1
q
7
， （2）
8
调
含
义
说
明
（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得
1
q
3
,
8
由此得
q
1
2
1
．
2
引
领
分
析
强
调
含
将
q
代人（1），得
a
1
2
4
,
所以，数列的通项公式为
1
a
n
2
4
()
n1
．
2
故
1

1

．
a
13a
1
q2

2
8

25 6

2

124
12
义
说
明
【注意】
本例题求解过程中，通过两式相除求出公比
的方法是研究等比数列问题的常用方法．
【想一想】
在等比数列

a
n

中，
a
7

1
，
q
1
．求
a
3
时，
93
否
理
解
你有没有比较简单的方法？
【知识巩固】

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
知
识
点
时
间
例4 小明、小 刚和小强进行钓鱼比赛，他
们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已
知他们三人一共钓了1 4条鱼，而每个人钓鱼数
量的积为64． 并且知道，小强钓的鱼最多，
小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条
鱼？
分析 知道三个数构成等比数列，并且知道
这三个数的积,可以将这三个数设为
,a,aq
, 这
样可以方便地求出
a
,从而解决问题.
解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为
a
,a,aq
．则
q
a
q
反
复
强
调
解得
a4,

a4,




或

1

q.
q2,


2

当
q2
时
此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8.
当
q
时
此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2.
1
2

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
由于 小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故
小明钓了2条鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了
8条鱼．
【注意】
将构成等比数列的三个数设为
,a,aq
，是
经常使用的方法．
*运用知识 强化练习
3
a
q
启思
考
了
解
动
手
求
解
可
以
交
给
学
生
自
我
发
现
归
纳
60
2
1.求等比数列
,2,6,
.的通项公式与第7
发
项．
2.在等比数列

a
n

中，
a< br>2

1
,
a
5
5
, 判断
25
125
是否为数列中的项，如果是，请指出是第
引
导
提
问
巡
视
指
导
几项.
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
质
疑
回
答
及
时
70

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
理
解
强
化
教
学
意
图
了
解
学
生
知
识
掌
握
情
况
时
间
等比数列的通项公式是什么
结论：
归
纳
强
调
*归纳小结 强化思想
引回
忆
反
思
动
手
求
解

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
导
*自我反思 目标检测 提检
验
学
生
学
习
效
80
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何问
进行学习的？你的学习效果如何？
8< br>巡
1
已知等比数列
{a
n
}
中,
a
4
1,a
7

,求
视
a
11
．
指
导
解答1 由已知条件得
解方程组得
a
1
8
q
1
，
2
果
培
因此

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
养
学
生
总
结
反
思
学
习
过
程
的
能
力
时
间
11
．
a
11
8()
10

2128
解答2 由

1
1q
3
得
q
1
．所以
82
111
．
a
11
()()
4

82128
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；
教材习题6．3B组（选做）
(3)实践调查：用等比数列的通项公式解决
生活中的一个问题
【教师教学后记】
说
明
记
录
分
层
次
要
求
90

项目
学生知识、技能的掌
反思点
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
握情况
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
学生的情感态度
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以
克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算
【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；

（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．
能力目标：
通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．
【教学重点】
向量的线性运算．
【教学难点】
已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要
条件．
【教学设计】
从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问
题引入概念．
向量不 同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有
方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有 向线段的长度叫做向
量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向
量不能 比较大小，记号“
a
＞
b
”没有意义，而“︱
a
︱＞︱b
︱”才是
有意义的.
教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算． 向量的
加法有三角形法则与平行四边形法则.
向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加 法来定义的.即
a
-
b
=
a
+(-
b
)， 它可以通过几何作图的方法得到，即
a
-
b
可表示为从向
量
b
的终点指向向量
a
的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向
量平移至同一起点.
实数

乘以非零向量
a
，是数乘运算，其结果记作

a
，它是一个

向量，其方向与向量
a
相同，其模为
a
的

倍．由此得到
a∥ba

b
．对
向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量
a
、
b
”与“
0
”等
条件.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教
师
行
为
*揭示课题
7.1 平面向量的概念及线性运算
*创设情境 兴趣导入
如图7－1所示，用100N的力，按照不同
的方向拉一辆车，效果一样吗？

①
学
生
行
为
了
解
观
看
课
件
思
考
自
我
分
析
教
学
意
图
从
实
例
出
发
使
学
生
自
然
的
走
向
时
间
介
绍
播
放
课
件
引
导
分
析
图7－1
0
3

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
知
识
点
时
间
*动脑思考 探索新知
【新知识】
在数学与物理学中，有 两种量．只有大小，
没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时
总
结
归
纳
仔
思
考
理
解
记
忆
带
领
学
生
分
析
引
导
式
启
发
学
生
得
出
结
果
10
间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方
细
向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移
分
等．
析
平面上带有指向的线段（有向线段）叫做
讲
解
平面向量，线段的指向就是向 量的方向，线段
关
的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向
键
线段的 起点叫做平面向量的起点，有向线段的
词
终点叫做平面向量的终点．以
A
为起 点，
B
为
语
uuur
终点的向量记作
AB
．也可 以使用小写英文字
母，印刷用黑体表示，记作
a
；手写时应在字
母上面加箭头 ，记作
a
．

r

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
B


A

a

图7－2
向量的大小叫做向量的模．向量
a
,
AB
的
模依次记作
uuuur
a
，
AB
．
uuur
模为零的向量叫做零向量．记作0，零向
量的方向是不确定的．
模为1的向量叫做单位向量．
*巩固知识 典型例题 说观
察
思
考
主
动
求
解
通
过
例
题
进
一
步
领
会
13
例1 一架飞机从
A
处向正南方向飞行
明
强
200km，另一架飞机从
A
处朝北偏东45°方向
调
飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用
引
有向线段表示两架飞机的位移．
领
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相
讲
等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位
解
说
移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
b

A

为图7-3中的有向线段
a
与
b
．
a

图
明
强
调

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
7-3
*运用知识 强化练习
含
义
提思
考
口
答
及
时
了
解
学
生
知
识
18
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位
问
巡
向量
视
N
(小方
指
E
B
格为
M
导
1)．
A
L
Z
Q
图7?4
T
H
C
D
F
K
P
G
掌
握
得
情
况
*创设情境 兴趣导入
观察图 7?4
uuuur
uuur
中的向量
AB
与
MN
， 它们所在的
播
放
课
件
质
疑
观
看
课
件
自
我
从
实
例
出
发
使
20
uuur
u uur
直线平行，两个向量的方向相同；向量
CD
与
PQ
所在的直线 平行，两个向量的方向相反．

教 学
过 程
教
师
行
为
引
导
分
析
学
生
行
为
分
析
教
学
意
图
学
生
自
然
的
走
向
知
识
点
时
间
*动脑思考 探索新知
【新知识】
方向相同或相反的两个 非零向量叫做互相
平行的向量．向量
a
与向量
b
平行记作
a

b
．
规定：零向量与任何一个向量平行
．

总
结
归
纳
仔
细
思
考
归
纳
理
解
记
忆
带
领
学
生
总
结
23
由于任意一组平行向量都可以平移到同 一
分
条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向
析
量
．
【想一想】
图7?4中，哪些向量是共线向量？
讲
解
关

教 学
过 程
教
师
行
为
键
词
语
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
*动脑思考 探索新知
【新知识】
图7?4
uuuur
uuur
中的平行向量
A B
与
MN
，方向相同，
总
结
归
纳
仔
思
考
归
纳
理
解
记
忆
思
考
归
纳
理
解
记
忆
28
uuur
uuur
模相等；平行向量
HG
与
TK
， 方向相反，模相等．
我们所研究的向量只有大小与方向两个要
细
素．当向量
a
与向量
b
的模相等并且方向相同
分
时，称向量
a
与向量
b
相等，记作
a
=
b
．也
析
就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这
讲
解
种性质的向量叫做自由向量．

关
与非零向量
a
的模相等，且方向相反的向量
键
叫做向量
a
的负向量，记作
a
．
词
规定：零向量的负向量仍为零向量．
显然，在图7－4
uuuuruuu ur
uuuruuur
中，
AB
=
MN
，
GH
= －
TK
．
语

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
观
察
思
考
主
动
求
解
观
察
思
考
求
解
领
会
思
考
求
解
教
学
意
图
通
过
例
题
进
一
步
领
注
意
观
察
学
生
是
否
理
解
知
识
点
时
间
*巩固知识 典型例题 说+
33
例2 在平行四边形
ABCD
中（图7－5），
O
明
强
为对角线交点
．

调
uuur
（1）找出与向量
DA
相等的
D

C

引
O
向量；
领
B

A

uuur
图7－5

（2）找出向量
DC
的负向
讲
量；
uuur
（3）找出与向量
AB
平行的向量
．
解
说
分析 要结合平行四边形的性质进行分
明
引
析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模
领
相等；两个向量互为负向 量，它们必须是方向
强
相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相
调
反．
解 由平行四边形的性质，得
uuur
uuur
（1）
CB
=
DA
；
uuuruuuruuur
uuur
DCCDDC
（2）
BA
=,；
ruuur
uuuruuur
uuu
uuuruuur
（3 ）
BA

AB
,
DC

AB
，
CD< br>
AB
．
含
义
说
明

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
反
复
强
调
时
间
*运用知识 强化练习 启思
考
了
解
动
手
求
解
可
以
交
给
学
生
自
我
发
38
1． 如图，

ABC
中，
D
、
E
、F
分别是三边
发
引
的中点，试写出
导
uuuru uur
（1）与
EF
相等的向量；（2）与
AD
共线的向
提
量
．

问
巡
视
指

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
现
归
纳
时
间
A

D

B

E

（练习题
第1题图
F

A

B

O
E

D

C

导
F

C

（图－8）
第2
1
题图



2．如图，
O
点是正六边形
ABCDEF
的中心，
试写出
uuuruuur
（1）与
OC
相等的向量； （2）
OC
的负向量；
uuur
（3）与
OC
共线的向量．
*创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（
A
处）出发，向正南方向
行走500
m
到达超市（
B
处），买了文具后，又
沿着北偏东60°角方向行走200
m
到达学校（
C
播
放
课
件
质
观
看
课
件
自
我
分
析 < br>从
实
例
出
发
使
学
生
自
然< br>的
42
处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效
疑
果是从家（
A
处）到达了学校（
C
处）．

A
引
导
分


200
m
500
m
C
B




析
图7－6

走
向

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
知
识
点
时
间
*动脑思考 探索新知
uuur
位移
AC
uuur
uuur
叫做位移
AB
与位移
BC
总
的和 ，记作
结
归
纳
B
思
考
归
纳
理
解
记
忆
带
领
学
生
总
结
50
uuur
uuu
r
r
uuu
AC
=
AB
+
BC
．

b
a

b

a
A

a
+
b

C
仔




细
分
析
讲
uuur
AB
图7－7
< br>一般地，设向量
a
与向量
b
不共线，在平面
上任取一点
A
(如图7－6)，依次作
uuuruuur
BC
=
b
， 则向量
AC
叫做向量
=
a
,
解
a
与向量
b
的和，记
关
键
uuur
AB
作
a
＋
b
，即
a
＋
b
=
（7．1）
＋
uuur
BC
=
uuur
AC
词

语
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求
向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．
观察图7－7可以看到：依照三角形法则进

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
行向量
a
与 向量
b
的加法运算，运算的结果仍
然是向量，叫做
a
与
b< br>的和向量．其和向量的
起点是向量
a
的起点，终点是向量
b
的终点．
【做一做】
给出两个不共线的向量
a
和
b
，画出它们的
和向量．
【想一想】
（1）
a
＋
b
与
b
＋
a
相等吗？请画出图来说明．
（2）如果向量
a
和向量
b
共线，如何画出
它们的和向量？

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
思
考
归
纳
理
解
记
忆
教
学
意
图
带
领
学
生
总
结
时
间
*动脑思考 探索新知
如图7－9所示，
ABCD
为平行四边形，由
r
uuur
uuu
于
AD
=
B C
，根据三角形法则得
总
结
归
纳

仔
细
55
D

A

图7－9

C

uuuruuur
uuuruuuruuur
AB
＋< br>AD
=
AB
＋
BC
=
AC

B

这说明，在平行
分
四边形
ABCD
uuur
中，

AC
所
析
uuuruuur
表示的向量就是
AB
与
AD
的和．这种求和方法叫
讲
解
做向量加法的平行四边形法则
．

关
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验
键
证，向量的加法具有以下的性质：
词
（1）
a
＋0 = 0＋
a
=
a
；
a
＋（?
a
）= 0；
语
（2）
a
＋
b
=
b
＋
a
；
（3）（
a
＋
b
）＋
c
=
a
＋（
b
＋
c
）．
*巩固知识 典型例题 说观
察
思
考
主
注
意
观
察
学
62
例3 一艘船以12 kmh的速度航行，方向
明
强
垂直于河岸，已知水流速度为5 kmh，求该船
调
的实际航行速度
．

引

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
动
求
解
观
察
思
考
求
解
领
会
思
考
求
解
教
学
意
图
生
是
否
理
解
知
识
点
反
复
强
调
时
间
解 如图7－10所示，
AB
表
uuur
示船速，
AC< br>为水流速度，由向量
uuur
领
D

B

讲
解
uuur
加法的平行四边形法则，
AD
是船
C

A

图7－10
说
明
的实际航行速度，显然
uuur
AD
uuur
2
uuur
2
ABAC
=
12
2
5
2
=13．
引
又
tan CAD
CAD6723

2
12
，利用计算器求得
领
5
．
分
即船的实际航行速度大小是13kmh，其方
析
讲
向与河岸线(水流方向)的夹角约
6723

．
解
*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7
说
－11）．设物体的重力为
k
，两条绳子与垂线的
明
夹角为

，求物体受到沿两条绳子的方向 的拉
力
F
1
与
F
2
的大小．
分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所
成的角都是

，所以
F
1
F
2
．解决问题不考虑
其它因素，只考虑受力的平衡，所以
F
1< br>F
2
k
.

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
解 利用平行
四边形法则，可以
得到
F
1
F
2
2 F
1
cos

k
F
2

F
1

k

图7－11
，
所以

F
1
【想一想】

k
2cos

．
根据例题4的分析，判断在单杠上悬 挂身体
时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受
力最小？
图7-12
*运用知识 强化练习
练习7.1.2
1． 如图，已知
a
，
b
，求
a
＋
b．

启
发
引
导
提
问
巡
视
思
考
了
解
动
手
求
解
可
以
交
给
学
生
自
我
65

教 学
过 程
教
师
行
为
指
b

学
生
行
为
教
学
意
图
发
现
归
纳
时
间
a

b

a

（1）
第1题图

（图1－15）
（2）
导
2．填空（向量如图所
示）：
（1）
a
＋
b
=_____________ ,
（2）
b
＋
c
=_____________ ,
（3）
a
＋
b
＋
c
=_____________ ．
3．计算：
uuuruuuruuuruu ur
uuur
BCCDOBBC
（1）
AB
＋＋； （2）＋＋
uuur
CA
．
*创设情境 兴趣导入
在进行数学运算的时候，减去一个数可以
看作加上这个数的相反数．
质
疑
引
导
分
析
思
考
参
与
分
析
引
导
启
发
学
生
66

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
思
考
时
间
*动脑思考 探索新知
与数的运算相类似，可以将向量
a
与向量
总
结
归
纳
仔
细
分
思
考
归
纳
理
解
记
忆
带
领
学
生
总
结
68
b
的负向量的和定义为向量
a
与向量
b
的差
．
即
a
?
b
=
a
＋(?
b
)．
设
uuuruuur
a
=OA
，
b

OB
，则
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
OAOBOA(OB)= OABOBOOABA
．
即
（7．2）
uuuruuur
OAOB
=
uuur
析
BA

讲
解
关
观察图7－13可以得到：起点相同的两个
向量
a
、
b
，其差
a
－
b
仍然是一个向量，叫做
键
词
语
a
与
b
的差向量，其起点是减向量
b
的终点，
终点是被减向量
a
的终点．

B

b
a
-
b

a
A


O


强思注70

图7－13

*巩固知识 典型例题

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
考
求
解
领
会
思
教
学
意
图
意
观
察
学
生
是
否
理
解
知
识
点
时
间
例5 已知如图7－14（1）所示向量
a
、
b
，
调
含
请画出向量
a
－
b
．
义
a

b

A
图7－14
a

O

b

B

说
明

（2） （1）


考
求
解
解 如图7－14（2）所示，以平面上 任一
点O
uuur
uuuruuur
为起点，作
OA
=a
，
OB
=
b
，连接
BA
，则向
量< br>BA
为所求的差向量，即
uuur
BA
=
a
－
b ．
【想一想】

当
a
与
b
共线时，如何画出
a
－
b ．

*运用知识 强化练习
uuuruuur
1．填空：（1）
A B
AD
=_______________，
uuur
uuur
（2）
BC
BA
=______________，
启
发
引
导
提
问
巡
视
思
考
了
解
动
手
求
解
可
以
交
给
学
生
自
我
72
（3）
ODOA
=______________．
2．如图，在平行四
边形
ABCD
uuur
uuur
中，设
AB
=
uuuruuur
a
,
AD
=
b
，试用
a
,
b

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
发
现
归
纳
时
间
表示向量
AC
、
BD
、
DB
．

uuur
uuuruuur
指
导
*创设情境 兴趣导入
观察图7－15
共线，并且
uuur
OC
＝3
a
．
uuur
可以看出，向量
OC
与向量
质思
考
参
与
分
析
引
导
启
发
学
生
思
74
a
疑
引
导
分
析
a

a

O A
a

B
图7?15
a


C
考
总
结
归
思
考
归
纳
理
解
记
忆
带
领
学
生
分
析
引
导
78
*动脑思考 探索新知
一般地，实数

与向量
a
的积是一 个向量，
记作

a
，它的模为
纳

|a||||a|

仔
（7．3）
细
若
|

a|
0，则当

＞0时，
a
的方向与
a
分
的方向相同，当

＜0时，

a
的方向与
a
的方
析

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
理
解
记
忆
教
学
意
图
启
发
学
生
得
出
结
论
时
间
向相反
．
由上面定义可以得到，对于非零向量
a
、
b
，
讲
解
关
当

0
时，有
a∥ba

b

键
（7．4）
词
一般地，有
0
a
= 0,

0 = 0 ．
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运
算，容易验证，对于任意向量
a
,
b
及任意实数

、

，向量数乘运算满足如下的法则：
语
【做一做】
请画出图形来，分别验证这些法则．
向量加法及数乘运算 在形式上与实数的有
关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括
号、移项、合并同类项等变形 ，可直接应用于
向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数
的运算的意义是不同的
．
*巩固知识 典型例题 强思
考
求
注
意
观
81
例6 在平行四边形
ABCD
中，
O
为两对角线
调
含
uuuruuur
交点如图7－16，
AB
＝
a
，
AD
＝
b
，试用
a
,
b

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
解
领
会
思
考
教
学
意
图
察
学
生
是
否
理
解
知
识
点
时
间
表示向量
AO
、
OD
．
分析 因为
AO1
AC
,
OD
1
BD
，所以需要
22
uuur
uuur
首先分别求出向量
AC
与
BD
.
uuuruuur
义
uuuruuuruuuruuur
说
明

解
图7－16

求
解
uuur
AC
＝
a
＋
b
,
uuur
BD< br>＝
b
?
a
，
因为
O
分别为
AC
，
BD
的中点，所以
uuur
1
uuur
1
＝
1
a
＋
1
b
，
AOAC
（
a
＋
b
）
222 2
uuur
r
1
uuu
1
OD
＝（
b < br>?
a
）
BD
＝
22
＝?
1
a
+
1
b．

22
22
uuuruuur
的线性组 合，或者说，
AO
、
OD
可以用向量
1
例6中，
a
＋
1
b
和?
1
a
+
1
b
都叫做向量
a
，
22
ba
，
b
线性表示
．

一般地，

a
＋

b
叫做
a< br>,
b
的一个线性组
合（其中

,

均为系 数）．如果
l
＝

a
＋

b
，
则称
l
可以用
a
，
b
线性表示
．

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量
的线性运算
．

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
思
考
了
解
动
手
求
解
教
学
意
图
可
以
交
给
学
生
自
我
发
现
归
纳
时
间
*运用知识 强化练习
1． 计算：（1）3（
a
?2
b
）－2（2
a
＋
b
）；
（2）3
a
?2（3
a
?4
b
）＋3
（
a
?
b
）．
uuuruuur
启
发
引
导
提
83
2．设
a
,
b
不共线，求作有向线段
OA
，使
OA
问
＝
1
（
a
＋
b
）．
2
巡
视
指
导
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
质
疑
回
答
及
时了
解
学
生
知
识
掌
85
向量、向量的模、向量相等是如何定义的？ 归
结论：
当一种量既有大小，又有方向，例如力、
速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）
向量的大小叫做向量的模．向量
a
,
AB
的
模依次记作
a
，
uuuur
AB
．
纳
强
调
uuur

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
握
情
况
时
间 < br>a
与向量
b
的模相等并且方向相同时，称
向量
a
与向 量
b
相等，记作
a
=
b
．

引回
忆
反
思
动
手
求
解
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
导
*自我反思 目标检测 提检
验
学
生
学
习
效
果
88
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何问
进行学习的？你的学习效果如何？
计算：
uuur
uuuruuuruuuruuuruuur
巡
视
（1）
AB
＋
BC
＋
CD
； （2）
OB
＋
BC
＋
CA
．
指
导
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；
7．1 B组（选做）
(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活
中的一些问题
【教师教学后记】
项目
说
明
记
录
分
层
次
要
求
90
反思点

学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌
是否能利用知识、技能解决问题；
握情况
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
学生的情感态度
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以
克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】7.2 平面向量的坐标表示
【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运
算的坐标表示；

（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.
能力目标：
培养学生应用向量知识解决问题的能力.
【教学重点】
向量线性运算的坐标表示及运算法则.
【教学难点】
向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的
关键.
【教学设计】
向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先
将向量的起点放置在坐标原点（ 一般称为位置向量）．设
x
轴的单位向
量为
i
，轴的单位向量为j
．如果点
A
的坐标为（
x
，
y
）,则
uuur
OAxiyj
，
uuuruuur
将有序实数对（< br>x
，
y
）叫做向量
OA
的坐标．记作
OA
= （
x
，
y
）．
例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要 强调此时起
点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐
标就是向量的坐 标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识
巩固性例题．要强调与公式的对应．
在研 究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形
法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示 ，向量的坐标等于原点
到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式
（7. 8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是
关于“起点在任意位置的向量的坐标表 示”的巩固性例题．要强调“终

点的坐标减去起点的坐标”．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教
师
行
为
*揭示课题
7.2 平面向量的坐标表示
*创设情境 兴趣导入
【观察】
设平面直角坐标系中，
x
轴的单位向量为
i
,
uuur
学
生
行
为
了
解
思
考
自
我
分
析
教
学
意
图
从
实
例
出
发
使
学
生
自
然
的
走
时
间
介
绍
质
疑
引
导
0
5
y
轴的单位向量为
j
，
OA
为从原点出发的向量，
分
点
A
的 坐标为（2，3）(图7－17)．则
图7－17
uuur
uuuur
OM2i
，
ON3j
．
析
由平行四边形法则知

【说明】
可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值
uuuruuuuruu ur
OAOMON2i3j
．
向
知
识

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
点
时
间
上与向量终点的坐标是相同的．
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设
i
,
j
分别为
x
轴、
y
轴的单位向量，
uuuur
j
（1）设点
M(x,y)
，则
OMxi+y
（如图
仔细
分
析
讲
思
考
理
解
记
忆
引
导
式
启
发
学
生
得
出
结
果
10
7－18(1)）； < br>（2）设点
A(x
1
,y
1
)，B(x
2
, y
2
)
（如图7－18(2)），则
解
y
M
(
x
,
j
O
i
(1)
关
键
词
x

语
y
A
i
(2)
图7－18
uuuruuuruuur
ABOBOA(x
2
i+y
2
j)(x
1
i+y
1
j)
(x
2
x
1
)i(y
2
y
1
)j．
B
j
O
x

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
由此看到，对任一个平面向量
a
，都 存在着
一对有序实数
(x,y)
，

使得
axiyj
．
有序实数对
(x,y)
叫做向量
a
的坐标，记作

a(x,y)
．
如图7－17
uuur
所示，向量的坐标为
OA(2,3)．

如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为
M(x,y)
的向量的坐标为
如图7－18（2）所示，起点为
A(x
1
,y
1
)，
终 点为
B(x
2
,y
2
)
的向量坐标为
uuur< br>AB(x
2
x
1
，y
2
y
1
)．

（7．5）
*巩固知识 典型例题 说观
察
思
考
主
动
求
解
通
过
例
题
进
一
步
领
15
例1 如图7－19所示，用
x
轴与
y
轴上
明
强
的单位向量
i、j
表示向量
a、b
, 并写出它们
调
的坐标．
引
解 因为
领
a
＝
OM
＋
MA
＝5
i
＋3
j
，

所以
a(5,3)
．
uuuur
uuur
讲
解

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
会
时
间
同理可得
b(4,3)
．

【
想一
说
明
想】
观
察图7
uuuruuuur
图7－19
－19，
OA
与
OM
的坐标之间存在什么关系？
例2 已知点
P(2,1)，Q(3,2)
，求
标．
解
uuur
PQ(3,2)(2,1)(1,3),

uuuruuur
PQ，QP
的坐
*运用知识 强化练习
1． 点
A
uuur
的坐标为（－2，3），写出向量
OA
uuur
的线性组合表示向量
OA
．
提
问
巡
视
指
导
思
考
口
答
及
时
了
解
学
生
知
识
20
的坐标，并用
i
与
j
2． 设向量
a3i4j
,写出向量
a
的坐标．
3． 已知
A
，
B
uuuruuur
AB，BA
两点的坐标，求的坐标．
(1)
A(5,3),B(3,1);

(2)
A(1,2),B(2,1);

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
掌
握
得
情
况
时
间
(3)
A(4,0),B(0,3)．

*创设情境 兴趣导入
【观察】
观察图7－20，向量
uuuruu uruuuuruuuruuur
OA(5,3)
,
OP(3,0)
,< br>OMOAOP(8,3)
．可以看
质
疑
引
导
分
思
考
参
与
分
析
引
导
启
发
学
生
思
考
27
到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应
析
坐标的和．

图7－20
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设平面直角坐标系中，< br>a(x
1
,y
1
)
，
b(x
2
,y
2
)
，
总
结
归
思
考
归
带
领
学
35

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
纳
理
解
记
忆
教
学
意
图
生
总
结
时
间
则
 (x
1
x
2
)i(y
1
y
2
)j< br>．
纳
仔
细
所以
ab(x
1
x
2
,y
1
y
2
)
． （7．6）
分
析
讲
解
关
键
词
语
类似可以得到
ab(x
1
x
2
,y
1y
2
)
． （7．7）

< br>a(

x
1
,

y
1
)
． （7．8）
*巩固知识 典型例题 说观
察
思
考
主
动
求
解
通
过
例
题
进
一
步
领
会
45
例3 设
a
＝(1,?2),
b
＝(?2,3)，求下列向
明
强
量的坐标：
调
(1)
a
＋
b
， (2) ?3
a
， (3) 3
a
?2

引
b
．
领
解 (1)
a
＋
b
＝(1, ?2)＋(?2,3)＝
讲
(?1,1)
(2) ?3
a
＝?3×(1, ?2)＝(?3,6)
(3) 3
a
?2
b
＝3×(1, ?2) ? 2×(?2,3)
解
说
明

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
＝(3, ?6) ? (?4,6)＝(7, ?12)．
*运用知识 强化练习 启思
考
了
解
动
手
求
解
及
时
了
解
学
生
知
识
掌
握
得
情
况
*创设情境 兴趣导入
【问题】
前面我们学 习了公式（7.4），知道对于非
零向量
a、b
，当

0
时，有
引
导
分
析
观
思
考
参
与
分
析
引
导
启
发
学
生
思
60
55
已知向量
a
,
b
的坐标，求
a
＋
b
、
a
?
b、
?2

发
引
a
＋3
b
的坐标．
导
（1）
a
＝(?2,3)，
b
＝(1,1)；
提
（2）
a
＝(1,0)，
b
＝(?4, ?3)；
问
（3）
a
＝(?1,2)，
b
＝(3,0)．
巡
视
指
导
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共
察
线呢？
思

教 学
过 程
教
师
行
为
考
学
生
行
为
教
学
意
图
考
时
间
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设
a(x
1
,y
1
),b(x< br>2
,y
2
),
由
a

b
，有 < br>x
1


x
2
,y
1


y
2
,
于是
x
1

y
2


x
2
y
1
，即
总
结
归
纳
仔
细
思
考
归
纳
理
解
记
忆
带
领
学
生
总
结
67

x
1
y
2x
2
y
1
0
．
由此得到，对非零向量
a、 b
，设
分
a(x
1
,y
1
),b(x
2
,y
2
),
当
< br>0
时，有
析
讲

解
说

（7．9）
*巩固知识 典型例题

a∥bx
1
y< br>2
x
2
y
1
0．
观
察
思
考
主
动
求
解
通
过
例
题
进
一
步
领
会
70
例4 设
a(1,3),b(2,6)
，判断向量
a、 b
是
明
否共线．
解 由于 3×2?1×6＝0，
故由公式（7．9）知，
a∥b
，即向量
a、
强
调
引
领
分
析
讲
解
b
共线．

教 学
过 程
教
师
行
为
说
明
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
*运用知识 强化练习
判断下列各组向量是否共线：
（1）
a
＝(2,3)，
b
＝(1,)；
（2）
a
＝(1, ?1) ，
b
＝(?2,2)；
（3）
a
＝(2, 1) ，
b
＝(?1,2)．
3
2
启
发
引
导
提
问
巡
视
指
导
思
考
了
解
动
手
求
解
及
时
了
解
学
生
知
识
掌
握
得
情
况
75
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
向量坐标的概念？
任意起点的向量的坐标表示？
共线向量的坐标表示？
结论：
质
疑
归
纳
强
调
回
答
及
时
了
解
学
生
80

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
知
识
掌
握
情
况
时
间
一般地，设平面直角坐标系中，
x
轴的单位
向量为
i
, < br>y
轴的单位向量为
j
，则对于从原点
出发的任意向量
a
都有唯一一对实数
x
、
y
，使
得
axiyj
．有序实数对
(x,y)
叫做向量
a
的坐标，
记作

a(x,y)
．
向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标
减去原点到起点的向量的坐标.
对非零向量
a、 b
，设
a(x
1
,y
1
),b(x
2
,y
2
),
当

0
时 ，有
*归纳小结 强化思想
引回
忆
反
思
动
手
求
解

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
导
*自我反思 目标检测 提检
验
学
生
学
习
效
85
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何问
进行学习的？你的学习效果如何？ 巡
已知向量
a
,
b
的坐标，求
a
＋
b
、
a
?
b、
?2

视
指
a
＋3
b
的坐标．
a
＝(?2,3)，
b
=(1,1)；
导

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
果
时
间
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题7.2 A组（必做）；
7.2 B组（选做）
(3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例
【教师教学后记】
项目
学生知识、技能的掌
说
明
记
录
分
层
次
要
求
90
反思点
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
握情况
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
学生的情感态度
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以
克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】7.3 平面向量的内积
【教学目标】
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关
问题奠定基础.
能力目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．
【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式.
【教学难点】
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
【教学设计】
教材从某人 拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强
调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内 积又叫做数量积．
在讲述向量内积时要注意：
（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量 ，它的值为两向量的

模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；
（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.
教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：
（1）当<
a,
b
>＝0时，
a
·
b
＝|
a
||< br>b
|；当<
a
,
b
>＝
180
o
时 ，
a
·
b
＝
－|
a
||
b
|．可 以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向
量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的 相反数．
（2）|
a
|＝
aa
显示出向量与向量的模的关系，是 得到利用向量
的坐标计算向量模的公式的基础；
（3）cos<
a
,
b
>＝
ab
，是得到利用两个向量的坐标计算两个向
|a||b|
量所成角的公式的基础；
（4）“
a
·
b
＝0

a

b
”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个
向量内积坐标表示的重要 基础．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教
师
行
为
*揭示课题
7.3 平面向量的内积
介
绍
质
学
生
行
为
了
解
思
教
学
意
图
从
实
例
0
5
时
间

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
考
自
我
分
析
教
学
意
图
出
发
使
学
生
自
然
的
时
间
*创设情境 兴趣导入
F
疑
引
导
O
s
分
析
图7—21

如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某
人用100 N的力，朝着与水平线成
30
角的方向
拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人
做了多少功？
走
向
知
识
点
*动脑思考 探索新知
【新知识】
我们知道，这个人做功等于力与在力的方
向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设
总
结
归
纳
仔
思
考
理
解
记
忆
带
领
学
生
分
析
引
导
15
水平方向的单位向量为
i
，垂直方向的单位向
细
量为
j
，则
F
x
i + y j
Fsin30
o
iFcos30
o
j
，

分
析

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
式
启
发
学
生
得
出
时
间
即力
F
是水平方向的力与垂直方向的力的和，
讲
解
垂直方 向上没有产生位移，没有做功，水平方
关
向上产生的位移为
s
，即
键
W＝｜
F
｜cos
30
·｜
s
｜＝ 100×
＝500
3
（J）
3
·10
2
词
语
y
F
(
x
,
j
O
i
图7－22
这里，力
F
与位移
s
都是向量，而功W是
一个 数量，它等于由两个向量
F
，
s
的模及它们
的夹角的余弦的
乘积，W叫做向量
O
结
果
x

A
a

b

图7－23
B
F
与向量
s
的内积,
它是一个数量，又
叫做数量积．
如图7－23，设有两个非零向量
a
,
b
，作
OA
uuur

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
＝
a
, < br>OB
＝
b
,由射线
OA
与
OB
所形成的角叫 做
向量
a
与向量
b
的夹角，记作<
a
,
b >
．
两个向量
a
,
b
的模与它们的夹角的余弦之
积叫做向量
a
与向量
b
的内积，记作
a
·
b
, 即
uuur
a
(7.10)
·
b
＝｜a
||
b
|
c
os<
a
,
b
>
上面的问题中，人所做的功可以记作W＝
F
·
s.

由内积的定义可知
a
·0＝0, 0·
a
＝0．
由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
（1） 当<
a
,
b< br>>＝0时，
a
·
b
＝|
a
||
b
| ；当
<
a
,
b
>＝
180
时，
a
·
b
＝?|
a
||
b
|.
（2） cos<
a
,
b
>＝
ab
.
|a||b|
o
总
结
归
纳
仔
思
考
理
解
记
忆
带
领
学
生
分
析
反
复
强
调
30
（3） 当
b
＝
a
时，有<
a
,
a
>＝0，所以
a
·
a
细
＝|
a
||
a
|＝|
a
|
2
，即|
a
|＝
aa
.
分
（4） 当
a,b90
o
时，
a

b
，因此，
a
·
b
＝
析
abcos9 0
o
0,
因此对非零向量
a
，
b
，
讲< br>解

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
时
间
有
关
a
·
b＝0

a

b.

可以验证，向量的内积满足下面的运算律：
（1）
a
·
b
＝
b
·
a
．
（2） (

a
)·
b
＝

(
a
·
b
)＝
a
·(

b
)．
（3） (
a< br>＋
b
)·
c
＝
a
·
c
＋
b
·
c
．
注意：一般地，向量的内积不满足结合律，
即
键
词
语
a
·(
b
·
c
)≠（
a< br>·
b
）·
c
.
请结合实例进行验证.
*巩固知识 典型例题 说思
考
主
动
求
解
注
意
观
察
学
生
是
否
2
＝?.
2
40
例1 已知|
a
|＝3,|
b
|＝2, <
a
,
b
>＝
60
,求
明
强
a
·
b
．
调
解
a
·
b
＝|
a
||
b
| cos<
a
,
b
> ＝3×2×
引
cos
60
＝3．
领
例2 已知|a
|＝|
b
|＝
2
,
a
·
b
＝
2
,求
<
a
,
b
>．
2
解 cos<
a
,
b
>＝
ab
＝
|a||b|
22
理
解

教 学
过 程
教
师
行
为
学
生
行
为
教
学
意
图
知
识
点
时
间
由于 0≤<
a
,
b
>≤
180
，
所以 <
a
,
b
>＝
135
．
o
*运用知识 强化练习 提思
考
口
答
及
时
了
解
学
生
知
识
掌
握
得
情
况
45
1. 已知|
a
|＝7，|
b
|＝4，
a< br>和
b
的夹角为
问
巡
60
，求
a
·
b
．
视
2. 已知
a
·
a
＝9,求|
a
|．
指
3. 已知|
a
|＝2,|
b
|＝3, <
a
,
b
>＝
30
，求
导
(2
a
＋
b
)·
b．

*动脑思考 探索新知
设平面向量
a
＝(
x
1
,
y
1
),
b
＝(
x
2
,
y
2
)，i
，
j
分
别为
x
轴，
y
轴上的单位向 量，由于
i
⊥
j
，故
总
结
归
纳
仔
思
考
归
纳
理
带
领
学
生
总
60
i
·
j
＝0，又|
i
|＝|
j
|＝1，所以