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第一讲 和倍问题
和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个
数的
应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线
段图的方法来表示
两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
例1
甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和
乙班各有图书多少本？
分析 设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲
班和乙班图书本数的和相当于乙班图
书本数的4倍.还可以理解为4份的
数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后
再求甲
班的图书本数.用下图表示它们的关系：
解：乙班：160÷（3+1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）
或
160-40=120（本）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
这道应用题解答完了，怎样验算呢？
可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；
再把甲班
的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作
对了.注意验
算决不是把原式再算一遍。
验算：120＋40=160（本）
120÷40=3（倍）。
例2
甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的
图书是乙班图书的2倍？
分析 解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条<
br>件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、
乙两班图书总和是不变
的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么
甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据
解和倍问题的方法，
先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给
乙
班多少本书（见上图）。
解：①甲、乙两班共有图书的本数是：
30＋120=150（本）
②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：
2＋1＝3（倍）
③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）
④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）
综合算式：
（30＋120）÷（2+1）=50（本）
50-30=20（本）
答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。
验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）
（120-20）+（30+20）＝150 （本）。
例3
光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生
各有多少人？
分析 把
女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40
人，如果用男、女生人数总和760人再加
上40人，就等于女生人数的4
倍（见下图）。
解：①女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）
②男生人数：200×3-40=560（人）
或 760-200=560（人）
答：男生有560人，女生有200人。
验算：560＋200=760（人）
（560+40）÷200=3（倍）。
例4 果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树
的2倍多12棵，
苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
分析 下
图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20
棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标
准、作为1份数容易解答.又
知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样
多
了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变
为552+20-1
2=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。
解：①梨树的棵数：
（552＋20-12）÷（1＋1＋2）
=560÷4=140（棵）
②桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）
③苹果树的棵数：
140-20=120（棵）
答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。
例5 549是甲、乙、丙、丁4个
数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙
数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多
少？
分析 上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，
也
就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2
之后是丙的2倍，甲加上2之后也
是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以
先求出丙数，再分别求出其他各数。
解：①丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）
=549÷9
=61
②甲数是：61×2-2=120
③乙数是：61×2＋2=124
④丁数是：61×4=244
验算：120+124＋61+244=549
120＋2=122 124-2=122
61×2＝122 244÷2＝122
答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.
习题解答
1.①小明的本数：120÷（2＋1）=40（本）.②小强的本数：40×2=80
（本）。
2.①杏树的棵数：（340-20）÷（3＋1）=80（棵）.②桃树的棵数：
80×
3＋20=260（棵）。
3.①长方形的宽：（30÷2）÷（2＋1）=5（厘米）.②长方形的长：
5×2=10（厘米）。
③长方形的面积：10×5=50（平方厘米）。
4.①甲、乙两水池共有水：
2600＋1200=3800（立方米）
②甲水池剩下的水：
3800÷（4+1）=760（立方米）
③甲水池流入乙水池中的水：
2600-760=1840（立方米）
④经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）。
5.①甲、乙两桶油总重量：
470+190=660（千克）：
②当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：
660÷（2+1）=220（千克）：
③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。
6.①变化后的绳子总长
95-7＋8=96（米）.②第二条绳长：
＋1+1）=32（米）。
③第一条绳长：32＋7=39（米）。
④第三条绳长：32-8=24（米）.
÷（1 96
第二讲 差倍问题
前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具
体、形象，使我们能比
较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和
倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。
“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。
差倍问题的解题思路与和倍问
题一样，先要在题目中找到1倍量，再
画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相
除后得
到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。
例1
甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙
班各有图书多少本？
分析 上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3
倍，那么甲
班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80
本”，即2倍与80本相对应，可以理解为
2倍是80本，这样可以算出1
倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。
解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）
②甲班的本数： 40×3=120（本）
或40＋80=120（本）。
验算：120-40＝80（本）
120÷40=3（倍）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
例2 菜站运
来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，
剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运
来的白菜和萝卜各是多少千克？
分析 这样想：根据“菜站运来的白莱
是萝卜的3倍”应把运来的萝
卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两
种
蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.
从
上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可
以先求出运来的萝卜是多少千
克，再求运来的白菜是多少千克。
解：①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）
②运来白菜：
750×3=2250（千克）
验算：
2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）
750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）
答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。
例3 有两根同样长的绳子，第一根截去12米，
第二根接上14米，这时
第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？
分析 上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，
第二根绳子又接上1
4米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后
的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米
），正好相当于第一根绳子剩
下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了
，
那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。
解：①第一根截去12米剩下的长度：
（12+14）÷（3-1）＝13（米）
②两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）
答：两根绳子原来各长25米。
自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求
两根绳子原来各有多长.
小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的
差的对应关系.用除法求出1倍数，
也就是较小的数，再求几倍数。
解题规律：
差÷倍数的差=1倍数（较小数）
1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）
或：较小的数+差=较大的数。
例4 三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来
新书74本，三（
2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，
三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班
原有图书各多少本？
分析 两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，
即增加
了74本；三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图
书减少了96
本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相
差96+74＝170（本），也就是三（
1）班比三（2）班多了170本图书.又
知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这17
0本图书就相当
于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来
了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。
解：①后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？
74＋96=170（本）
②三（2）班剩下的图书是多少本？
170÷（3-1）=85（本）
③三（2）班原有图书多少本？
85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）
综合算式：
（74＋96）÷（3-1）＋96
＝170÷2+96
＝85＋96
=181（本）
验算：181+74=255（本）
181-96=85（本）
255÷85=3（倍）
答：两班原来各有图书181本。
例5 两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后
，第二
块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？
分析 已知两
块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，
因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的
布第二块比第一块多
31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比<
br>第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布
的长度即可求出（见
上图）。
解：①第二块布比第一块布多剩多少米？
31-19＝12（米）
②第一块布剩下多少米？
12÷（4-1）=4（米）
③第一块布原有多少米？
4+31=35（米）（两块布原有长度相等）
综合列式：
（31-19）÷（4-1）+31
=12÷3+31
=4＋31
=35（米）
验算：35-31=4（米）
35-19＝16（米）
16÷4＝4（倍）
答：每块布原有35米长。
习题八解答
1.一头牛重量是：4500÷（10-1）=500（千克）一只大象重
量：500
×10=5000（千克）。
2.杏树棵数：90÷（3-1）=45（棵）桃树棵数：45×3=135（棵）。
3.把第二块布剩下的米数看作1倍数：
（74-50）÷（3-1）＝12（米）
剪去的米数： 50-12=38（米）。
4.把甲校调走30人后的甲校人数看作1倍：
（30×2）÷（3-1）=30（人）
甲、乙两校原有教师各
30+30=60（人）。
5.甲筐重量：（19＋7）÷（3-1）＝13（千克）
乙筐重量：13×3=39
原有重量：13＋7=20（千克）。
6.甲数：（320+460）÷2＝390
乙数：390+320=710。
7.（25-14）÷（2-1）+25
=11÷1+25
=11+25
=36（米）.
第三讲 和差问题
和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多
少的应用题。
为了解
答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.
有些题目明确给了两个数的差，而有些应用
题把两个数的差“暗藏”起来，
我们管暗藏的差叫“暗差”。
例：“把姐姐的铅笔拿出3
支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”
这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差
3支。
再例：“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如
果认为姐姐的
铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟
弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下
3支，再加上他们原有的铅
笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里3×2=6支，就是暗差。
“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅
笔支数比弟弟多3×2
＋1＝7（支）。
例1
两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多
少千克？
分析 这样
想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝
158（千克）；假设第一筐重量和第二筐
相等时，两筐共重150-8＝142（千
克）.
解法1：①第二筐重多少千克？
（150-8）÷2=71（千克）
②第一筐重多少千克？
71＋8=79（千克）
或 150-71=79（千克）
解法2：①第一筐重多少千克？
（150+8）÷2＝79（千克）
②第二筐重多少千克？
79-8=71（千克）
或150-79=71（千克）
答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。
例2
今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？
分析 题中
没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，
那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁
）.不论过多少年，两人的年龄差
是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁
.根据
和差问题的解题思路就能解此题。
解：①爸爸的年龄：
[58＋（35-7）]÷2
=[58＋28]÷2
=86÷2
=43（岁）
②小强的年龄：
58-43＝15（岁）
答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。
例3
小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语
文和数学各得了几分？
分析 解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成
绩
之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中
给出了两科的平均成
绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.
解：①语文和数学成绩之和是多少分？
94×2＝188（分）
②数学得多少分？
（188+8）÷
2＝196÷2=98（分）
③ 语文得多少分？
（188-8）÷2=180÷2=90（分）
或 98-8=90（分）
答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.
例4 甲乙两校共有学生864人，
为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙
校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原
来各有学
生多少人？
分析 这样想：甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入<
br>乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多
32×2+48
＝112（人）. 112是两校人数差。
解：①乙校原有的学生：
（864-32×2-48）÷2＝376（人）
②甲校原有学生：
864-376=488（人）
答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。
小结：从以上4个例题可以看出题目给的条
件虽然不同，但是解题思
路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：
（和+差）÷2=较大数 较大数-差=较小数
或（和-差）÷2=较小数 较小数+差=较大数
也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.
下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。
例5
在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 9=5
分析 这样想：从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一
部分数字相加再减去一
部分字后差是5，也就是说1到9的和是45，而两
部分的差是5，先要求出这两部分数字，利用和差问
题的方法便可以求出。
（45-5）÷ 2=20，20+5=25
可求出其中几个数的和是25，而另外几个数的和是20.在组成和是
25的几个数前面添上“+”号，
而在组成和是20的几个数前面添上“-”
号，此题就算出来了。
例如：5+6+9=20可得到。
1+2+3+4-5-6+7+8-9=5
又如：5+7+8=20可得到。
1+2+3+4-5+6-7-8+9=5
又如：3+4+6+7=20可得到。
1+2-3-4+5-6-7+8+9=5
同学们，这道题你还有其他解法吗？试试看！
习题九解答
1.桃树的棵树：（150+ 20）÷2= 85（棵）梨树的棵树：150- 85= 65
（棵）
答：有桃树85棵，梨树65棵。
2.甲桶油重：（30+ 6×2）÷2=
21（千克）乙桶油重：30-21=9（千
克）
答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。
3.锡的重量：（500-100）÷2=
200（千克）铝的重量：500- 200= 300
（千克）
答：锡重量是300千克，铝的重量是200千克。
4.今年的产值：（96×2+10）÷2=101（万元）去年的产值：101-10=91
（万元）
答：今年的产值是101万元，去年的产值是91万元。
5.乙校原有人数：
[1245-（20×2+5）]÷2=600（人）
甲校原有人数：1245-600＝645（人）
答：甲校原有学生645人，乙校原有学生600人。
6.三个物体的总重量：31×3=93（千克）
甲物体的重量：（93-1）÷2=46（千克）
丙物体的重量：（93-46-2）÷（2+1）=15（千克）
乙物体的重量：
93-46-15=32（千克）
答：甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克。
7.甲队原有人数：
（285×2+ 24+198O）÷ 2=1287（人）
乙队原有人数：1287-594= 693（人）
答：甲队原有1287人，乙队原有693人。
8.解（略），答：甲班比丙班人数多，多2名学生.