555
(1)
2
2
999
8.
2
123456712345661234568
1111
1111
9．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
61 22042
30567290
11111
11
10.＋＋＋＋＋＋
8128
254
508
1016
2
三、解答题。(每题10分，共3 0分)
1．求分母是63的所有最简真分数的和。
2．求小于1000的既能被3整除，又有约数5的所有自然数的和。
3．王师傅5月1日开 始加工零件，第一天加工10个，以后每天都比前一天多加工2
个，那么到5月31日加工多少个零件？ 这一个月一共加工了多少个零件？

第二章 分数应用题
永丰小学开展 “献爱心”活动，号召每位同学向希望小学捐出自己的零花钱。六(1)班
小明捐出零用钱的
1 1
，小亮也捐出零用钱的。你能知道，他们俩谁捐的钱多吗？肯定有
22
同学认为两人 捐的钱一样多。实际上，这一题有三种可能：第一种，如果小明的零用钱比小
亮的多，那么小明的捐款多 ；第二种，如果小明的零用钱比小亮的少，那么小明的捐款少；
第三种，如果小明的零用钱和小亮的一样 多，那么两人的捐款一样多。上面这个问题之所以
1
”是对于某个标准量而言的，
2< br>1
也就是说，是“谁”的几分之几，这里“谁”就是单位“1”。那么小明零用钱的和小亮
2
1
零用钱的是相对不同的单位“1”而言的，由此造成两人捐款的多少取决于两人本身原有
2
存在三种可能性，实际上是由分数应用题的特点而决定的。“
零花钱的多少。因此在 解决分数应用题时，明确单位“1”是非常关键的，否则就要出现错
误。在日常生活、生产劳动中，我们 会经常需要利用分数应用题的解题方法解决实际问题。
这一章，我们一起来探讨一下分数应用题的解题规 律。
第一节 分数应用题的基本类型
探究目标
1.理清分数应用题的解题思路，明礴单位“1”，以及具体数量与分率的对应关系。
2．体验对分数应用题的探究过程，加深对分数应用题的认识，总结分数应用题的解题规律。
3．渗透灵活应用分数应用题解题方法意识，提高解答分数应用题的能力。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
分数应用题的一般题型可以分为以下两种类型：
1．求一个数的几分之几是多少？
2．已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
讨论：实际上，分数应用题的基本解题思路和 我们所学的倍数应用题的解题思路是一致
的。我们可以用下面两题为例说明：
(1)梨树20棵，桃树棵数是梨树的两倍。桃树多少棵？
要求桃树多少棵，就要求梨树棵数的两倍是多少，用“20×2”计算，这就是倍数应用
题。

1
。桃树多少棵？
2
11
要求桃树多少棵，就是要求梨树棵数的是多少，用“20×”计算，这就是分数应
22
(2)梨树20棵，桃树棵数是梨树的
用题。
在解答分数应用题时，首先要找出题目 中的关键句进行分析，通过分析关键句，确定把
什么看作单位“1”，找出解题的数量关系式，再根据一 个数乘以分数的意义列式解答。如
1
”，把梨树棵数看作“1”，关系式是：“梨
2< br>11
树棵数×＝桃树棵数”。要求桃树多少棵，就用“梨树的棵数×”，要求梨树棵数，
22
1
就用“桃树棵数÷”。
2
上面第(2)题中关键句是“桃树棵树是梨树的
分数应用题在工农业生产和 实际生活中应用十分广泛。这一类应用题的变化很多，但只
要抓住关键句进行分析，弄清其中的单位“1 ”，明确数量关系式，认真思考，也不难发现
其中的解题规律。
建议：在解答基本的 分数应用题时，要抓住题目中的关键句进行分析。首先明确“1”，
如果单位“1”已知，用乘法计算： 如果单位“1”未知，要先求出单位“1”，用除法或列
方程计算；其次，在列式时要考虑具体数量和分 率之间的对应关系。
11
，正好是4升，第二次又用去这桶油的，还剩多少升？
34
11
[完全解题] 由于其中的两个分率“”和“”都是把这桶油的总 数作为“1”，我
34
1
们要先求出这桶油一共多少升？根据题意可以知道，一桶油的 正好是4升，可以求出这
3
例1 一桶油，第一次用去
桶油的总数：
4÷
1
＝12(升)
3
要求还剩多少升，我们可以先求出还剩这桶油的几分之几：
1－
则还剩多少升可以这样计算：
12×
115
－＝
3412
5
＝5(升)
12
答：还剩5升。
[技法点睛] 该题关键在于找出“第一次用去4升”和几分之几对应。求还剩多少升，
就是求这桶油 的几分之几是多少。请你想一想，你认为求“还剩多少升？”还可以怎样列式？
例2 某工 厂计划生产一批零件，第一次完成计划的丢
三次完成450个，结果超出计划的
13
， 第二次完成计划的，第
27
1
，计划生产零件多少个？
4
[完全解题] 把“计划生产的零件个数”当作“1”，根据题意，我们首先要求出450
个零件占计 划任务的几分之几。实际上“450个零件”可以分为两部分：一是完成剩下的任

131
－)；二是超出计划的“”。那么计划生产零件的个数就是：
274
131
450÷(1－－＋)
274
9
＝450÷＝1400(个)
28
务(1－
答：计划生产零件1400个。
[技法点睛] 我们在解答时关键在于找出具体数量的对应分率。这道例题我们也可以设
“计划生产零 件x个”，用方程的方法解答，你试试看！
例3 王师傅四天完成一批零件，第一天和第二天 共做了54个，第二、第三和第四天共
做了90个。已知第二天做的个数占这批零件的
[完全解题] (54＋90)÷(1＋
＝144÷1
1
。这批零件一共有多少个？
5
1
)
5
1

5
＝120(个)
答：这批零件一共有120个。
[技法点睛] 把这批零件的总数看作单 位“1”，而54＋90＝144(个)对应的分率应为
1
”，因此，可以求出这批零件的总数 。
5
11
例4 六(1)班男生的一半和女生的共16人，女生的一半 和男生的共14人。六
44
这批零件的总数单位“1”和第二天做的“
(1)班共有学 生多少人？
[完全解题] 根据题意：
1
2
1
“男生的
4
3
“男生的
4
3
“男生的
4
“男生的
1
”＝16(人)
4
1
”＋“女生的”＝14(人)
2
3
”＋“女生的”＝30(人)
4
333
”加上“女生的”也就是男生与女生和的，即全班人数的是30人。
444
11
(16＋14)÷(＋)
24
3
＝30÷
4
”＋“女生的
＝40(人)
答：六(1)班共有学生40人。
[技法点睛]本题关键在于我们要理解：“男生的
女生和的

33
”加上“女 生的”也就是男生与
44
33
，即全班人数的是30人。如果能够理解上面的推理过程 ，问题就迎刃而解了。
44

创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1． 一个粮食仓库，原来存有一批粮食，运走
来存粮的
2
后，又运来5.6吨，这时现有存 粮是原
3
4
，粮库原有存粮( )吨。
5
B．12 C．42 A.9.6
2．一种石英表，先涨价
A.50
11
，然后降价，这时售价49.5元，原价( )元。
1010
B．49.5 C．40.5
3．小红读一本书，第一天读了全书的
本书共有( )页。
A.36
21
，第二天读了余下的，两天共读30页，这
34
C．40 B．55
4．车间有52名工人，后来又调进4名女工，这时女工人数是男工人数的
间原有女工( )人。
A.32 B．24
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．把甲班人数的
3
，这个车
4
C．20
1
调入乙班后，两班人数相等，原来乙班人数是甲班人数的 。
5
81
2．一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的后，超过中点1千米，甲、乙两地全程
155
是 千米。
3．两袋大米，乙袋比甲袋重12千克。如果从甲袋倒入乙袋6千克，这时甲袋大米重 量
5
。两袋大米原来共有 千克。
8
1
4．两桶 油，甲桶油的重量是乙桶油的2倍，甲桶油用去6千克，乙桶油用去1.5千
2
是乙袋大米的< br>克后，两桶油剩下的一样重。甲桶油原来有千克，乙桶油原来有 千克。
三、解答题。(每题20分，共60分)
1．一辆汽车，从车站开出时坐满了人，途 中到达某站，有
上车，这时有6位乘客没有座位，这时车内有乘客多少人？
2．两堆 煤，从甲堆煤运走
的
1
的乘客下车，又有21人
3
13
，乙 堆煤运走一部分后剩下，这时甲堆重量是乙堆重量
45
3
，甲堆原有120吨，乙堆原 有多少吨？
5
3．一条水渠，第一天挖了25米，第二天挖了余下的
2
，这 时剩下的与挖好的相等。
5
这条水渠有多长？

第二节 单位“1”的转化
探究目标

1．根据题意，能够转化题中的单位“1”，统一单位“1”。
2．根据“甲 数的几分之几等于乙数的几分之几”这种类型的关键句，转化出甲、乙两数之
比来解答分数应用题。 < br>3.善于发现题中的不变量，抓住不变量进行分析。利用“不变量”作为中间条件进行解答；
以不 变量作为单位“1”，转换题中的关键句，统一单位“1”，然后再进行解答。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
我们在解答分数应用题时，经常会发现，有的 时候在同一道题目中出现不同的单位“1”；
有的时候在一些分数应用题当中，会出现一些变化量，造成 题目中单位“1”的量无法确定，
为解题增加了难度；我们在解答分数应用题时，有时也会发现“甲数的 几分之几等于乙数的
几分之几”这种类型的关键句。诸如此类，我们在解题的时候，必须通过一定的转化 确定题
目中的单位“1”。
当题目中出现变化量，造成题目中单位“1”的量无法确 定的时候，我们要善于发现其
中的不变量，抓住不变量进行分析。有的时候，可以先求出不变量，然后利 用其作为中间条
件进行解答；有的时候，则应以不变量作为单位“1”，转换题中的关键句，统一单位“ 1”
然后再进行解答。当发现“甲数的几分之几等于乙数的几分之几”这种类型的关键句而无法
确定单位“1”时，我们可以先根据关键句转化出甲、乙两数之比来计算。
例1 甲、乙、 丙、丁四人共植树60棵，甲植树的棵数是其余三人的
数是其余三人的
1
，乙植树的棵
2
11
，丙植树棵数是其余三人的，丁植树多少棵？
34
[完全解题] 题目中出现三次“其余三人”，但“其余三人”所包含对象的不同，因此，
三个单位“ 1”是不同的，这就是我们所说的单位“1”不统一。我可以把四人的总植树棵数
1
”，可以理 解为甲植树棵数占1份，其余三
2
111
1
人占2份，那么甲植树棵数占总棵 数的＝。同理，乙植树棵数占总棵数的＝，
123
13
4
11
丙 植树棵数占总棵数的＝。这些过程就是所谓的转换单位“1”，使单位“1”统一
145
作为 单位“1”，“甲植树棵数是其余三人的
为“总棵数”。
那么，求丁植树多少棵，就是求60棵数的（1－
60×(1－
＝60×
111
－－）是多少。
345
11
1
－－)
12
13
14
13

60
＝13(棵)
答：丁植树13棵。
1
的人参加“义务劳动”，临时又有两人主动参加，使 实际
5
1
参加“义务劳动”的人数是余下人数的，原计划抽调多少人参加“义务劳动” ？
3
1
11
[完全解题] 2÷(－)×
5
13
5
例2 五(1)班原计划抽调

11
×
205
1
＝40×
5
＝2÷
＝8(人)
答：原计划抽调8人参加“义务劳动”。
[技法点睛] 题目中的“数是余下人数的
1
”是以全班人数为单位“1”，而“实际参加义务劳动的人
5< br>1
”是以余下人数为单位“1”。根据这句话，你能知道实际参加义务劳动
3
的 人数占全班人数的几分之几吗？如果能够理解得出实际参加义务劳动的人数占全班人数
的几分之几，这题 就能够独立解决了。
例3 玩具厂三个车间共同做一批玩具。第一车间做了总数的
2
，第二车间做了1600
7
个，第三车间做的个数是一、二车间总和的一半，这批玩 具一共有多少个？
[完全解题] 解法一：第三车间是一、二车间总和的一半，那么第三车间的个数是三个
11
＝。
123
11
1600÷（1－－)
712
8
＝1600÷
21
车间总数的
＝4200(个)
答：这批玩具一共有4200个。
1211
(×＝)，
2727
111
加上第二车间的（1600×＝800)，那么，我们可以理解为“第 三车间做了，又做了
227
解法二：第三车间是一、二车间总和的一半，也就是第一车间个数的
800个。”
(1600＋1600×
＝2400÷
1221
)÷(1－－×)
2772
4

7
＝4200(个)
答：这批玩具一共有4200个。
[技法点睛] “第三车间做的个数是一、二车间总和的 一半”，这一句话可以用上面两
种方法来转换单位“1”，从而明确统一的“1”后进行解答。
例4 五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的
1
多18 ，这五个偶
4
数的和是多少？
[完全解题] 五个连续偶数：A、B、C 、D、E，中间一个数C是这五个数的平均数，也
就是说“C是五个数之和的
11
”， 还可以说“C是A与E之和的”。那么，“第三个数比
52

第一个数与第五个数 的和的
18。”
18÷(1－
＝18÷
11
多18 ”，可转换为“第三个数比第三个数的两倍的多
44
1
×2)×5
4
1
×5
2
＝36×5
＝180
答：五个连续偶数的和是180。
[技法点睛] 如果我们以五个连续偶数的和作为单位“ 1”，那么第三个数占总和的几
分之几，第一个数与第五个数的和占总和的几分之几？你能做出这道题吗 ？
例5 甲、乙两组共有54人，甲组人数的
人？
11
与乙组 人数的相等，甲组比乙组少多少
45
11
和乙组人数的相等。”这句话，我们可以改写 成下面的等式：
45
11
甲组人数×＝乙组人数×
45
111111
根据乘法交换率，我们可以认为甲组人数是，乙组人数是(×＝×)。那
545454
么，
甲组人数：乙组人数＝
11
：＝4：5
54
54
54×＝6(人)
54
答：甲组比乙组少6人。
[技法点睛] 我们在解答分数应用题时，有时也会发现“甲数的 几分之几等于乙数的几
分之几”这种类型的关键句。一般情况下，我们可以先根据关键句转化出甲、乙两 数之比来
23
和乙的相等。”根据这句话，你能用几种方法求出甲与乙的比？
34
21
例6 一个长方形的周长是130厘米。如果长增加号，宽减少， 得到新的长方形的
73
计算。“甲的
周长不变。求原来长方形的长、宽各是多少厘米？
[完全解题] 长方形的长增加
那么，
2121
，宽减少，而周 长不变，说明长的和宽的相等。
7373
1217
：＝×＝7：6
3732
7
130÷2×
67
7
＝65×
13
长：宽＝
＝35(厘米)

130÷2×
＝65×
6

67
6

13
＝30(厘米)
答：原来长方形的长是35厘米，宽是30厘米。
例7 学校图书馆原有文艺书和科技书共5400本，其中科技书比文艺书少
1
，最近又
5< br>买来一批科技书，这时科技书和文艺书本数的比是9：10。图书馆买来科技书多少本？
[完全解题] 根据题意，题目中的科技书的本数在变化，而文艺书的本数是不变量。我
们可以先求出文艺书本数：
5400÷(1－
＝5400÷
1
＋1)
5
9

5
＝3000(本)
根据“这时科技书和文艺书本数的比是9：10”，我们以“文艺书300 0本”为条件求
出现在科技书的本数。
3000÷10×9＝2700(本)
最后用现在科技书2700本减去原来科技书本数，求出原来科技书多少本？
2700－3000×(1－
1
)＝300(本)
5
答：图书馆买来科技书300本。
[技法点睛] 在一些分数应用题当中，会出现一些变化 量，造成题目中单位“1”的量
无法确定，为解题增加了难度。这种情况，我们要善于发现其中的不变量 ，抓住不变量进行
分析。有的时候，可以先求出不变量，然后利用其作为中间条件进行解答。
例8 甲、乙两人原来的钱数的比是3：4，后来甲给乙50元，这时甲的钱数是乙的
甲、乙两人原来 各有多少元钱？
[完全解题] 根据题意：原来甲的钱数是乙的
1
。2
31
，甲给乙50元后，甲的钱数是乙的，
42
说明甲、乙两人的钱数 都发生了变化，而甲、乙两人钱数的和是不变的。因此，我们抓住“甲、
乙钱数和”这个不变量，把它作 为单位“1”，那么“甲、乙原来钱数的比是3：4”，转化
为“甲原来的钱数占两人总钱数的
甲的钱数占两人钱数总和的
在的钱少50元。那么，
50÷(
1
3
”。“这时甲的钱数是乙的”，可转化为“现在
2
34
1
”。根据题目所说 “甲给乙50元”，可知甲原来的钱比现
12
1
3
－)＝525(元)
34
12
3
525×＝225(元)
34
4
525×＝300(元)
34

答：甲原来有225元，乙原来有300元。
[技法点睛] 在一些分数应用题当中，会出 现一些变化量，造成题目中单位“1”的量
无法确定，这种情况下，我们可以以不变量作为单位“1”， 转换题中的关键句，统一单位
“1”然后再进行解答。想一想：如果以乙现在的钱比原来多50元，找出 对应分率来解答，
你会列式吗？
例9 两种商品的价格比是7：3，如果它们的 价格都上涨70元，那么他们的价格比是
7：4。甲商品原来的价格是多少元？
[完全解题] 两种商品的价格都上涨70元，发生了变化，而且它们的总价格也变化了。
但是我们可 以发现，由于两种商品涨价幅度相同，所以涨价后两种商品的价格差不变。我们
可以把价格差这个不变量 作为单位“1”。那么，“甲、乙两种商品的价格比是7：3”，转
化为“原来甲的价格相当于价格差的
价格相当于价格差的
7
”，“它们的价格之比是7：4”转化为“现在甲的
7 3
7
”。
74
77
－)
34
7
＝70÷
12
70÷(
＝120(元)
120×
7
＝210(元)
4
答：甲商品原来的价格是210元。
[技法点睛] 抓住不变的量作为单位“1”，这样题目中就有了统一的单位“1”，就能
够顺利地分析解答问题啦！
例10 一个最简分数的分子、分母之和为49，分子加上4，分母减去4后，得到新的分数可以约简为
3
，求原来的分数。
4
3
”可知新分数分子、 分母之比为3:4，我们可以先求出现在分子、
4
[完全解题] 根据题意，分子、 分母之和不变，现在新分数分子、分，母的和也是49，
且根据“新分数约简为
分母各是多少。
3
＝21
34
4
49×＝28
34
49×
那么，原来分子、分母可以逆推出来。
21－4＝17
28＋4＝32
答：原来的分数是
17
。
32
[技法点睛] 实际上本题的关键在于分子和分母的和没有变化，我们就可以以分子和分
母的和49作为单位“1”，根 据现在分子和分母分别所占的分率求出现在的分子和分母即可。
创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)

1．一个最简分数，分子、分母的和是40，若分子、分母都减去2，得到新的 分数值为
求原来这个分数是( )。
5
，
7
13
17
C．
19
23
31
2．某工厂男职工比全厂职工总数的多60人，女职工是男职工人数的，这个工厂
53
A．
19

21
B．
共有职工( )人。
A．100 B．300 C．400
3 ．学校进行一次数学讲座，听众中每2个人中有1个六年级学生，每4个人中有1个
五年级学生，每6个 人中有1个四年级学生，还有5位是教师。这次讲座共有听众( )
人。
A．55 B．60 C．120
4．学校有故事书占全校图书的
32
，又买进400本故事书，这时故事书占总数的。原
53
C．800
来共有( )本图书。
A．2400 B．2000
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．某图书馆有科技书和文艺书共630本， 其中科技书占
这时科技书占总数的
1
，后来又买了一部分科技书，
5
3
。又买来科技书 本。
10
91
2．有一堆糖果，其中 奶糖占，再放入16块水果糖后，奶糖就只占。那么这堆糖
204
果中奶糖 块。
3．一堆煤，已烧的吨数和未烧的吨数比是1：5，如果再烧120吨，已烧的吨数是未烧的吨数的
3
，这堆煤有 吨。
5
12
相当于乙书架存书的，甲书架比乙书架多存书
45
4．甲、乙两个书架，甲书架存书的
120本，两个书架共有存书 本。
三、解答题。(每题20分，共60分)
1．某校男生人数的
113
比女生人数的多50人，男生人数的相当于女生人数的2倍。
434
11
65
，第一个数是第二个数的，第二数个是第三个数的，三个
33
99
2
3该校男、女生各有多少人？
2．三个分数的和是
分数各是多少？
3． 甲、乙两个书架共有书102本，从甲书架拿出24本放入乙书架，则乙书架本数的
正好是甲书架的
第三节 逆推问题及其解法
3
，乙书架原有多少本书？
4

探究目标
1．正确理解逆向思维的应用题，学会反向思考。
2.掌握解方程法、倒推法和表格法解决逆推问题。
探究过程 参与一下”做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
逆推也就是我们常说的倒推。我们在分析问题 时带需要反向思考。在解答分数应用题时，
也经常出现这种需用逆向思维解决的应用题。一般情况下比较 简单的可采用方程解，特殊情
况下，我们采用逆推法反而比较容易解答，有些还可以借助表格进行逆推。
例1 甲、乙各存款若干元，甲拿了存款的
11
给乙后，乙再拿出现有存款 的给甲，这
54
时他们各有180元。他们原来各有存款多少元？
[完全解题] (见下表中箭头所示)


甲拿出
甲
？(150)
乙
←？(210)
甲、乙的和
180＋180＝
360
360
11
120÷(1－)＝150→
360－150＝210
55
1
180÷(1－)＝
1
乙拿出
↑360－240＝120→
4
4
240


180 ↑180
360
360
11
后是180元，乙拿出之 前有存
44
11
款：180÷（1－)＝240(元)，这时甲有存款360－240 ＝120(元)，即甲拿出后剩下120
45
1
元，那么甲拿出之前(即甲原有存款) 存款为：
5
1
120÷（1－)＝150(元)
5
现在甲、乙都是180元，和是360元。那么乙拿出
乙原有存款：
360－150＝210(元)
答：甲原有存款150元，乙原有存款210元。
[技法点睛] 这道题利用了表格来进行推断，步骤比较清析。今后在解决类似问题时，
大家可以借用 表格来理清自己的思路。
例2 山顶有棵桃树，一只猴子去偷吃桃子，第一天偷吃了
当天现有桃子的
少个？
[完全解题] 采用逆推法，根据第九天偷
桃子：
10÷(1－
1
，以后 8天，分别偷了
10
11111
、、…、，偷了9天，树上只剩下10个桃子。树上原 有桃子多
98732
1
，剩下10个桃子，可求出第八天后剩下的
2
1
)＝20(个)
2

如此类推，可分别求出第七天后，第六天后，……，第一天后以及原来的桃子个数：
1
)＝30(个)
3
1
30÷(1－)＝40(个)
4
1
40÷(1－)＝50(个)
5
20÷(1－
……
90÷（1－
1
)＝100(个)
9
答：树上原有桃子100个。
[技法点睛] 想一想：设原有桃子x个，你会列方程解答吗？
例3 一堆西瓜，第一次卖出总数的
又卖出余下的
11
又4个，第 二次卖出余下的又2个，第三次
42
1
又2个，还剩2个，这堆西瓜共有多少个？
2
1
[完全解题] 根据第三次卖出余下的又2个，还剩2个，可求出第二次卖出余下的
2
个数：(如下图)

(2＋2)÷(1－
根据第二次卖出余下的
数：(如下图)
1
)＝8(个)
2
1
又2个，还剩8个(上面所求的)，可以求出第一次余下的个
2

(8＋2)÷(1－
根据第一次卖出总数的
个数：(如下图)
1
)＝20(个)
2
1
又4个，还剩20个(上一步所求出的)， 可以求出原有西瓜的
4

(20＋4)÷(1－
1
)＝32(个)
4
答：这堆西瓜共有32个。
[技法点睛] 本题是用典型的倒推法来解 答的，在分步倒推时借助线段图帮助理解，这
样能够降低思维难度。想一想：如果这题用方程解，你能做 出来吗？比一比，哪种方法更好？

例4 小王看一本小说，第一天看了全书 的
11
还多16页，第二天看了全书的少2页，
86
还剩下88页。这本书共 有多少页？
[完全解题] 根据题意，这本书的总页数为单位“1”，我们可以设这本书共 有x页。
那么第一天看的页数为
x＋16，第二天看的页数为
1
8
1
x－2。根据“第一天看的页数＋第二
6
天看的页数＋剩下的88页＝这本书总页数” 来列方程：
x＋16＋

1
8
1
x－2＋88＝x
6
7
x＋102＝x
24
7
x－x＝102
24
x＝144
答：这本书共有144页。
[技法点睛] 我们在解答应用题的时候，经常会遇到逆解的题 目，我们可以选择用方程
解答，对分数应用题也不例外。在列方程解分数应用题时，我们应当注意以下两 点：其一，
我们一般设单位“1”为x；其二，找准等量关系式来列方程。
例5 某校五年级共有学生152人，选出男生的
1
和5名女生参加科技小组，剩下的
11< br>男、女生人数刚好相等。五年级男、女生各有多少人？
[完全解题] 如下图：

由于题目中男生人数是单位“1”，那么可以设男生人数为x人，那么女生人数为(152
－x)人。
根据“剩下男、女生人数相等”，我们可以列方程来解答：
1
x＝152－x－5
11
10
x＝147－x
11
21
x＝147
11
x－
x＝77
答：五年级男生有77人，女生有75人。
[技法点睛] 根 据剩下的男、女生人数相等，我们可以推出，原来女生人数相当于男生
的(1－
1
)又 5人，如下图：
11

那么，如果男生有x人，则女生人数为(
152，”你能列方程解答吗？
10
x＋5 )人。根据“男生人数＋女生人数－＝
11
11
比乙班参加人数的
54
例6 甲、乙两班共有62人参加科技小组活动，甲班参加人数的
少2人。甲、乙两班各有 多少人参加科技小组活动？
[完全解题] 题目中存在甲、乙两班人数两个单位“1”，我 们假设其中一个班的人数
为x，另一个班的人数可以用(62－x)表示，并且根据“乙班人数的
11
－2＝甲班人数的”
45
来列方程。
设甲班有x人参加科技小组活动，乙班有(62－x)人参加科技小组活动。
11
x＝(62－x)×－2
54
111
x＝13－x
524
111
x＋x＝13
542

x＝30
62－30＝32(人)
答：甲班有30人参加科技小组活动，乙班有32人参加科技小组活动．
[技法点睛] 想一想：你还可以列出几种方程来解答？

创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1． 小英三天看完一本故事书，第一天看了全书的
1
还少4页，第二天看了全书剩下的
3< br>1
还多14页，第三天看了90页。这本故事书共有( )页。
2
A．222 B．306 C．612
2．饲养场养了白猪、黑猪共500头，白猪占
购进( )头白猪。
A．400
22
，后来又购进一批白猪，这时白猪占，
53
C．360 B．140
3．甲、乙两人各有钱若干，已知甲的钱数是乙的4倍 ，当甲花去
1
后，又花去余下的
3
1
，如果这时甲给乙7元钱，甲、 乙两人的钱数正好相等。甲原来有( )元钱。
3
A．72 B．108 C．45
4．某工厂有工人135人，其中男工人数的
24
与女工人数的之和为98人，男工有( )
35
C．75
人。
A．80 B．60
二、填空题。(每题5分，共20分)

1. 甲、乙两堆煤共有44吨，从甲堆运走它的
甲堆煤原有 吨。
1
，乙堆运来 10吨后，两堆现在一样重，
5
1
放到第二筐中，然后再
11
2．某个商店买进两筐苹果共200千克，如果从第一筐中取出
从第二筐中取出
1
放入 第一筐中，这时两筐一样重，原来第一筐苹果重 千克。
11
1
3．甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲的钱数是乙的，原
2
来乙有 元钱。
4．甲、乙两堆煤共140吨，当甲堆运走
比是6：5，原来甲堆煤有 千克。
三、解答题。(每题20分，共60分)
1
，乙堆运走10吨时，甲、乙两 堆煤的吨数
4
11
又半个卖给第一位顾客，把余下西瓜的又半个卖给第二
22
1
位顾客，这样，他把所余西瓜的又半个卖给了以后的各位顾客，卖给第七个人以后，正
2
1．小贩把他所有的西瓜的
好全部卖完，小贩原有西瓜多少个？
2．有A、B、C、D、E五筐苹果，各筐苹果的数量不等，如果把B筐苹果的一半搬入A
筐内，C筐苹 果的
111
搬入B筐内，D筐苹果的搬入C筐内，E筐苹果的搬入D筐内，最
346< br>后五筐苹果都是30千克，每筐苹果原来各有多少千克？
3．(《小学生数学报》江苏 省首届小学生探索与应用能力竞赛决赛试题)如图1，线段
将一张正方形纸分成面积相等的两部分。这张 正方形纸对折后，得到图2；将图案沿对称轴
对折，得到图3。已知图3所覆盖桌面的面积占长方形纸面 积的
方厘米。长方形的面积是多少平方厘米？
3
，阴影部分面积为6平
10

图1 图2 图3

第四节 工程问题基本类型
探究目标
理清工程问题的解题思路，掌握工程问题的特点，会根据基本数量关系式正确解答。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
工程应用题属于分数应用题中的一种类型，它 是研究工作效率、工作时间和工作总量之
间关系的应用题。在工程问题中，常常把工作总量看作单位“1 ”，工作效率则用每天完成
工作总量的几分之几来表示。
例如，一项工程，甲单独做 需20天完成，乙单独做需25天完成。根据条件，我们可以
把这项工程看作单位“1”，甲单独做需2 0天完成，那么甲的工作效率就是每天完成这项工
程的
1
1
，同理，乙的工作 效率就是。
20
25

在解答工程问题时，一般采用下面三个基本数量关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
比如上例中，求甲、乙合做两天完成几分之几？
(
求甲、乙合做几天可以完成？
1÷(
1
19
＋)×2＝
20
2550
11
1
＋)＝11（天）
20
25
9
工程问题中讲述的某项工程一般都未给出具体的数量，首 先在解题时关键要把一项工程
看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需工作时间的倒数来表示 ，并结合有关工程
问题的三个基本数量关系式来列式解答。
例1 一条公路，甲独 修需24天完成，乙独修需30天完成。甲、乙两队先合修若干天
后，乙队停工休息，甲队继续修了6天 完成。乙队修了多少天？
[完全解题] 要求乙队修了多少天，实际上就是要求甲、乙两队 合修的天数，应该用“工
作总量÷工作效率＝工作时间”来解答。这里的工作量应是单位“1”减去后来 甲6天的工
作量。
甲、乙两队先合修若干天的工作量：
1－
13
×6＝
244
甲、乙合修的天数，即乙队修的天数：
31
1
÷（＋)＝10(天)
424
30
答：乙队修了10天。
[技法点睛] 我们也可以根据“甲、乙合修的工作量十甲队修6天的工作量＝1”用方
程来解答。
设乙队修了x天。
11
1
＋)x＋×6＝1
24
30
24
33
x＝
404
(
x＝10
例2 修一条公路，甲队单独修20天可以完成，乙队单独修30天可以完成。现 在两队
合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天？
[完全解题] 我们把这条公路看作单位“1”，可以分成两部分：一部分由甲队修，另一部分由乙队修。根据题意，甲队休息2.5天，说明甲队修了14－2.5－11.5(天)，可以先求出甲队11.5天修了这条公路的几分之几：
1
×(14－2.5)＝40
20
剩下的就是乙队修这条公路的几分之几：
1－
2317
＝
4040
最后，我们根据“工作总量÷工 作效率＝工作时间”可以求出乙队实际修的天数，也就

求出乙队休息的天数：
17
1
÷
40
30
3
＝14－12
4
1
＝1(天)
4
1
答：乙队休息了1天。
4
14－
[技法点睛] 想一想：这题也可以用列方程来解答，你会做吗？试一试。
例3 运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需12小时，丙需要15小时。有同样的
仓库A和B， 甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮
助乙搬运，最后同时搬完两 个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？
[完全解题] 我们可以先不考虑具体是怎样搬运 的，可以先从总体上看，甲、乙、丙三
人同时搬这两个仓库的货物，即两个单位“1”，那么，我们可以 先求出甲、乙、丙搬完货
物共用的小时数：
2÷(
＝2÷
111
＋＋)
101215
1

4
＝8(小时)
根据题意，甲、乙、丙都搬运8小时，甲在A仓库搬运8小时，那么仓库货物中 有一部
分是甲搬8小时的工作量，另一部分则是丙帮助甲搬了几分之几：
1－
最后我们根据丙在A仓库搬运了
11
×8＝
105
1
，就可以求出丙帮助甲搬运的小时数：
5
11
÷＝3(小时)
515
答：丙帮助甲搬运了3小时。
例4 一项工程，如果单独做，甲需10天完工，乙需15天 完工，丙需20天完工。现
在三人合做，中途甲先休息一天，乙再休息三天，而丙一直工作到完工为止。 这样一共用了
几天？
[完全解题] 根据“甲的工作量十乙的工作量十丙的工作量＝1”我们可以用方程来解。
设一共用了x天。
111
×(x－1)＋×(x－3)＋x＝1
101520
3
13
x＝1
10
60

x＝6
答：这样一共用了6天。
[技法点睛] 我们也可以用假设的思 路来解决这个问题。假设甲、乙的工作天数都是和
丙工作的天数一样，那么，三人完成的工作量应该是：

11
×1＋×3
1015
11
＝1＋＋
105
3
＝1
10
1＋
用完成的工作量除以效率和，就能求出一共用的天数：
1
3111
÷(＋＋)＝6(天)
10101520
例5 某市举办花展，新建了一个喷水池。单开甲水管一小时可将喷水池注满，单开
乙水管40分钟可以将喷水 池注满，两管同时开10
21
分钟后，注入水4吨，喷水池能装水
53
多少吨 ？
[完全解题] 这道题中包含工程问题和分数应用题两个方面的问题。要求能装水多少吨 ，
必须先求出4
管齐开10
1
吨对应的分率是该水池的几分之几，这就应该运 用工程问题的方法求出两水
3
2
分钟注满水池的几分之几：
5
12
1
(＋)×10
5
60
40
1
52
＝×
24
5
13
＝
30
1
13
已注喷水池的是4吨，可以求出喷水池能装水的吨数：
3
30
1
13
4÷＝10(吨)
3
30
答：喷水池能装水10吨。
例6 加工一批零件，甲独做需3天完成。乙独做需4天完成。两人同时加工，完成任
务时，甲比乙多 做24个，这批零件共有多少个？
[完全解题] 我们可以仿照例5，先求出甲比乙多做的24个占这批零件的几分之几：
1112
＋)＝(天)
347
1112
(－)×
347
112
＝×
127
1
＝
7
1
根据甲比乙多做了这批零件的，求出零件的总数：
7
1
24÷＝168(个)
7
1÷(

[技法点睛] 根据题意，我们先求出甲、乙两人的工作效率比：
11
:＝4：3
34
甲、乙工效比为4：3．二人共同完成这批零件 ，那么两人的工作量之比为4：3，即这
批零件共有7份，甲完成了其中的4份，乙完成其中的3份，可 以得出，到完成任务时，甲
3
4
，乙做了这批零件的。那么，
7
34
43
24÷(－)
77
1
＝24÷
7
做了这批零件的
＝168(个)
创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1．一条公路，甲独修需24天完成，乙独修 需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，
乙队停工休息，甲队继续修了6天完成。甲队修了( )天。
A.10 B．16 C．22
2 ．两队挖一条水渠。甲独挖需8天完成，乙独挖要12天完成。现在两队同时挖了几天
后，乙队调走，余 下的甲队在3天内完成。乙队挖了( )天。
A．9 B．6 C．3
3．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。中途甲请假2天，乙请假 若
干天，从开工到完成工程共用了16天。乙请假( )天。
A．2 B．7 C．9
4．一项工程，甲、乙合做6天完成了
等。乙的工作效率是( )。
A．
511
。单独做，甲完成与乙完成所需的时间相
6 32
C．
1

18
B．
1

12
1

3
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．两列火车同时从两地相对开出。快车行完全程需要20小时，慢车行完全程需要30
小时，开出15 小时后两车相遇。已知快车中途停留4小时，慢车中途停留 小时。
2．某工程队预 计30天修完一条水渠，现有18人修12天后完成工程的
1
，如果要提
3
前 6天完工，还要再增加 人。
3．修一条公路，甲队独做要用40天，乙队单独做要 用24天，现在两队同时从两端开
工，结果在距中点750米处相遇。这条公路长 米。
4．轮船以相同的速度航行，从A城到B城需要3天，从B城到A城需要4天。小木筏
从A城飘流到B城，需要 天。
三、解答题。(每题20分，共60分)
1．加工一批零件，甲独做需3天完成，乙独做需4天完成，两人同时加工，完成任务
时，甲比乙多做2 4个，这批零件共有多少个？
2．加工一批零件，甲、乙合做2－1天可以完成。由甲先做1 6天，然后乙再做12天，
还剩下这批零件的
2
没有完成。已知甲每天比乙多加工3个 零件，这批零件共有多少个？
5

3．两车同时从A、B两地出发，相 向而行。经过4小时相遇后，甲车继续行驶3小时到
达B地，乙车每小时行24千米。A、B两地全长多 少千米？

第五节 工程问题典型题例
探究目标
1．体验一些典型的 工程问题的探究过程，加深对互程问题的认识，抓住本质特点，总结出
工程应用题的解题规律。
2．引导探讨和工程问题相对应的综合性问题，渗透灵活应用工程问题的解题规律的意识，
提高解答工 程二奶题的能力。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
建 议：在解答一些稍复杂的工程问题时，我们会发现一些典型的题例，根据不同的类型，
要学会运用常见的 数学思想方法，如假设、转化、替换法等来帮助自己解题。比如说，有的
题目中讲述的是两人合做，我们 可以假设成独做的形式来解题，有时候甲做的工作可以替换
成乙做。为了解题的方便，工作的先后顺序、 工作方式可以改变，这种改变，不会影响问题
的实质和解题的结果。
有些稍复杂的分 数应用题，如行程问题，其实质也是工程问题，我们要善于抓住问题的
本质特征，把它们看做工程问题来 解；有些稍复杂的应用题是包含行程问题、分数问题与工
程问题的综合性题目，需要我们能认真分析，综 合运用各种方法来进行解答，有时也可以借
助比和比例的方法来帮助解答。
例1 甲、乙两队合做工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工
程的
1
，两队单独完成工程各需要多少天？
5
[完全解题] 题目中甲队单独做6天，乙队单独做 4天，而各自的工作效率不知，无法
解答，我们可以把他们俩独做变成合做，如右图：

甲、乙两队合做4天，甲队再做2天，一共完成了
可以先求出合作4天的工作量：
1
。由于效率和已知，这样我们就
5
11
×4＝
246
那么甲队做2天的工作量为：
11
1
－＝
56
30
甲队的工作效率为：
11
÷2＝
3060
乙队的工作效率为：
11
1
－＝
24
60
40

答：甲队单独完成工程需60天，乙队单独完成工程需40天。
例1 一项工程，甲先单独 做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全部工程的一半，
已知甲、乙工作效率的比是2：3。如果由乙 单独做，需要多少天才能完成？
[完全解题] 如下图，根据题意，我们可以得出甲工作( 2＋7)＝9(天)，乙工作7天一
共完成工程的
1
。
2

根据甲、乙工效的比2：3，可以知道，完成同样的工作量，甲、乙所用的时间比是3：
2，也可以理解成完成同样的工作量，乙所用的时间相当于甲的
作量可以替换乙工作的天数为：
9×
2
。那么题目中甲9天的工
3
2
＝6(天)
3
这样，当完成工程的一半时，就可以看成乙用7＋6＝13(天)一共做的，完成工 程的一
半要用13天，那么乙完成这项工程的天数也就能求出来了。
13×2＝26(天)
答：需要26天才能完成。
[技法点睛] 想一想：根据完成同样的工作 量。乙所用的时间相当于甲的
2
，可以把
3
乙做7天的工作量替换成甲工作， 你利用这种思路再独立解答一下。
例3 一项工程，甲独做需12小时完成，乙独做需15 小时完成，丙独做需18小时完
成。如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由丙接替乙 工作1小时，再由
甲接替丙工作1小时……三人这样交替工作，那么完成这项工程，一共需用多少小时？
[完全解题] 甲、乙、丙轮流工作1小时，也就是3小时，我们可以看做一个循环，先看看完成这项工程大约需几次循环：
111
＋＋)
121518
37
＝1÷
180
32
＝4(次)
37
1÷(
可以得出，完成这项工程需4个多循环，我们可以先求出4个循环的工作量，剩下的工
作量再分步考虑：
1－(
剩下的
111
378
＋＋)×4＝1－＝
121518
4545
8
，甲先工作1小时，还剩下：
45

117
8
－＝
45
12180
乙再工作1小时，还剩下：
171
1
－＝
18015
36
剩下的
1
丙再完成，还需的时间为：
36
1
1
÷＝0.5(小时)
36
18
因此，完成这项工程的总时间可以理解为4个循环，每个循环3小对，再加上2.5小时：
4×3＋1＋1＋0.5＝14.5(小时)
答：完成项工程，一共需用．14.5小时。
例4 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入的水量是例 定的。打开甲管，
8小时可以将满池水放 空，打开丙管，12小时可将满池水放空。如果打开甲、乙两根水管，
4小时可以将水放空。如果打开乙 、丙两根水管，要几小时方能把满池水放空？
[完全解题] 根据题意，解答这题其实应考 虑渗水量的问题，我们不妨假设每小时的渗
水量为a，那么甲管每小时排水量为：＋a(
＋a， 乙管每小时排水量为：
1
8
111
为一池水的)，丙管每小时排水量为：< br>8812
11111
＋a－(＋a)＝－＝
48488
那么乙、丙两管每小时排水量为：
115
＋＋a＝＋a
81224
其中“a”可以把每小时渗水量排出，即几小时渗入的水和几小时排出的水正好相等。
因此，只要求单位 “1”里有几个
5
，即可求出几小时把水排空：
24
54
1÷＝4(小时)
245
答：要4詈小时方能把满池水放空。
例5 客车从甲站开往乙站需要8小时，货车从乙站开 往甲站需要12小时一两鲕车同
时从两站相对开出，据中心点39千米处相遇。甲、乙两站相距多少千米 ？
[完全解题] 这道题是有关行程方面的问题，但它实际上需用工程问题的方法来解答。
用工程问题的方法解答：
1124
＋)＝（小时）
8125
1241
39÷(×－)
852
1
＝39÷
10
1÷(
＝390(千米)
答：甲、乙两站相距390千米。
[技法点睛] 本题也可以用两车速度比的方法来解答，你自己试一试。
例6 两枝粗细、长短都不同的蜡 烛，长的一枝可以点4小时，短的可以点6小时，将

它们同时点燃，两小时后，两枝蜡烛 所余下的长度正好相等。原来短蜡烛的长度是长蜡烛的
几分之几？
[完全解题] 根据题意，我们可以用工程问题的方法来思考。把长、短两枝蜡烛分别看
作单位“1”，每小时各自燃烧 自己的
烛剩下自己的
111
、，那么两小时后，长蜡烛剩下自己的，短蜡
46 2
2
。
3
长蜡烛的
由此，根据两枝蜡烛所余下的长度正好相等得出：
12
一短蜡烛的
23
那么长蜡烛和短蜡烛之比：
2121
:＝×＝4：3
3232
3
3÷4＝
4
3
答：原来短蜡烛的长度是长蜡烛的。
4
创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1．一项工程，两队合做每天能完成全部工程 的
天后，可以完成全部工程的
9
。甲队单独做3天，乙队再单独做5
407
。如果全改成乙队独做，( )天可以完成。
8
A．25 B．10 C．15
2．某项工程由甲先单独做63天 ，再由乙单独做28天即可完成。如果两人合做，需48
天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙单 独完成，那么还需要( )天。
A．112 B．84 C．56
3．一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队先做若干 天后，
由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲队做了( )天。
A．20 B．15 C．20
4．一辆客车和一辆货车同时从甲 、乙两站相对开出，经过6小时相遇。相遇后两车以
原速度继续前进，客车又用4小时才到达乙地。货车 还要行( )小时才能到达甲地。
A．9 B．15 C．11
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．一项工作，如果单独做，甲按 规定时间可提前2天完成，乙要超过规定时间3天才
能完成。现在合做2天后，剩下的由乙继续单独做， 刚好在规定的时间完成。若合做，完成
这项工程需要 天。
2．甲、乙两队 合做一项工程，20天可以完成。现在甲队做6天，乙队做8天后，完成
这项工程的
11
。两队单独做完全工程各需要 天。
30
3．一项工程，甲独做需12小 时，乙独做需18小时，如果甲先做1小时，然后乙再做
1小时，再由甲接替做1小时……两人如此交替 工作，完成任务时共用 小时。
4．一项工程，由甲队单独做6天可以完成。甲队3 天的工作量，乙队要4天完成。两
队合做了2天后由乙队独做，乙队还需 天才能完成。

三、解答题。(每题20分，共60分)
1．甲、乙、丙合修一段围 墙。甲、乙合修6天修好围墙的
下的
1
，乙、丙合修2天修好余
3
1
，剩下的三人又合修5天才完工。共得到报酬180元，按个人完成的工作量的多少
4
来合理分配，每人应得多少元？
2．蓄水池有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满 一池水，单开甲管需要3
小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需 要6小时。
现在池内有
1
池水，如果按照甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序，轮流各 开1小时，多
6
少时间后水开始溢出水池？
3．(第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 小学组复赛试题)甲、乙两人从A地到B地，甲
前三分之一路程的行走速度是5千米／小时，中间三分之 一路程的行走速度是4.5千米／小
时，最后三分之一路程的行走速度是4千米／小时；乙前二分之一路 程的行走速度是5千米
／小时，后二分之一路程的行走速度是4千米／小时。已知甲比乙早到30秒，A 地到B地
路程是多少千米？

本章测试卷
(满分100分)
一、填空题。(每题4分，共24分)
51
，丙是乙数的1倍，甲数是丙数的 。
62
52
2．某班男生人数的等于女生人数的，男生人数占全班人数的 。
63
1
3．一个长方形的长减少，要使它的面积不变，宽应增加 。
6
1
4．把甲班的人数的调入乙班后，两班人数相等，原来乙班人数是甲班人数的 。
5
1
5．把一个正方形的一边减少，另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来正方形
5
1．甲数是乙数的
面积相等。原来正方形面积是 。
6．有甲、乙两桶水， 把甲中的
1
倒入乙后，这时两桶的重量之比是1：2，那么原来两
4
桶水重量 之比是 。
二、选择题。(每题4分，共16分)
1．一件大衣如卖140元，可赚40%，如卖120元，可赚( )。
A.20% B．25% C．30%
2．一水池有3根进水管，要灌 满一池水，单开A管需5小时，单开B管需6小时，单
开C管需10小时。现在空池，按A、B、C、A ……的顺序各打开1小时注水。水池注满时，
打开的是( )。
A.A管 B．B管 C．C管
3．甲、乙两车从A、B两地相向而行 ，4小时后相遇，继续前进，甲车又用3小时到达
B地时，乙车还需( )小时到达A地。

A．3 B．5
1

3
C．2
1

3
4．某人上班时步行，回家时乘 车，在路上一共用1.5小时，如果上、下班全部乘车，
全程只需0.5小时，如果上、下班都步行，全 程需( )小时。
A.4 B．2.5 C．3.5
三、解答题。(每题12分，共60分)
1．一批零件，师傅单独做，13天可完成 ，现在由师徒合做完成，徒弟每天加工25个，
师傅做了这批零件的
3
，这批零件共多 少个？
4
2．一项工程，由甲、乙合做12天可以完成。现在由甲、乙合做4天后， 余下的先由甲
独做10天，再由乙独做5天，正好完成这项工程。求甲、乙单独做各需多少天才能完成？
3．甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲给乙60元，这时甲的钱是乙的
乙原来共有多少钱？
4．甲、乙两个容器共有药水2000克，从甲中取出
共剩下1400克药水，两容器原 来各有药水多少克？
5．有甲、乙、丙、丁四桶酒，现将乙中的
1
。求甲、< br>2
11
，从乙中取出，结果两个容器
34
11
并入甲，再把丙 中的并入乙，把丁中的
23
1
并入丙，这时四桶中的酒都是30升，求每桶原来各装酒 多少升？
4

第三章 比
有这样一个故事，有一位老人要把 17只羊分给他的三个儿子，大儿子分得总数的一半，
11
，小儿子分得总数的。该怎样分呢？ 如果按照我们所学的分数应用
39
1
题的方法，将会出现17×＝8.5只的情况。于 是聪明的老人借来一只羊，这样总数是18
2
二儿子分得总数的
只。
1
＝9(只)
2
1
二儿子：18×＝6(只)
3
1
小儿子：18×＝2(只)
9
大儿子：18×
总数：9＋6＋2＝17(只)
老人又把多出的1只还给了人家。这是古代有名的算术题。
其实现在我们可以用比的方法加以解决。
三个儿子分得羊的只数比为：

111
：：＝9:6:2
239
因此大儿子分得9份，二儿子分得 6份，小儿子分得2份，一共是9＋6＋2＝17(份)，
共17只羊，所以每份为17÷17＝1(只 )。大儿子分得9×1＝9(只)，二儿子分得6×1＝6(只)，
小儿子分得2×1＝2(只)。

本章就是利用这种比的意义及按比例分配的方法解决生活中的实际问题。在解题 过程中，
要能积极动脑，找准题中各数量的比，求出各部分量占总数的几分之几。只要善于观察和实践，你将有新的收获。

第一节 比的意义和性质
探究目标
1．掌握比的意义和比的基本性质，知道比同除法、分数之间的关系。
2. 能灵活运用比的意义及比的基本性质解决生活中的实际问题。
3.提高学生的分析、综合、概括的能力。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
例 一个容器内已注满水。现有大、中、小 三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把
小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球 一起沉入水中。现在知道每次
从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的
1
，第三 次是第一次的2.5倍。求三个球
3
的体积比。
建议：1．找出三个球的体积，根据各自的体积写出三个球的体积比。
2．分清每次溢出的水的体积与球的体积之间的关系。
3．写出的比要化成最简单的整数比。
讨论：1．设小球的体积为1份，这样就可以根据第二次、第三次溢出的水的情况分别
得出中球和大球的体积。
2．第二次溢出的水是小球的3倍，在溢出水之前，容器中的水空了 1份，所以中球的
体积是3＋1＝4(份)。同样，第三次的大球和小球也如此。
证 明：设小球的体积为1份，第一次把小球沉入水中，容器将溢出1份的水。第一次溢
出的水是第二次的< br>1
，所以第二次溢出的水是3份。第二次是把小球取出，把中球沉入水
3
中的， 所以中球的体积是3＋1＝4(份)。第三次溢出的水是第一次的2.5倍，所以第三次溢
出的是2.5 份，第三次是取出中球，把小球和大球一起沉入水中的，那么小球和大球的体积
一共是2.5＋4＝6. 5(份)，大球的体积就是6.5－1＝5.5(份)。所以，大、中、小三个球的
体积比是：5.5： 4：1＝11 2 8 2 2。
例1 两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶子中酒精与 水的体积比是3：1，而另一个
瓶子中酒精与水的体积比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，求混合液中 酒精与水的体积之
比是多少？
[完全解题] 求混合液中酒精与水的体积之比是多 少，只要求混合液中酒精与水分别是
3
，
13
414
13
水占；另一个瓶子中酒精，水占。两瓶酒精溶液混合后，酒精为＋
1414
1313< br>14
3119
1
＝，水为＋＝，所以混合液中酒精与水的体积之比为：
20
13
1420
319
：＝31：9
20 20
多少即可。因为两个瓶子相同，所以设每瓶中酒精溶液为1，则一个瓶子中的酒精占
答：混合液中酒精与水的体积之比是31：9。
[技法点睛] 本题必须将两个瓶子中的酒 精溶液的数量看作相等才能进行解答。解题时，
不能将一个瓶子的酒精看作3，水看作“1”，另一个瓶 子的酒精看作4，水看作“1”。

例2 小军行走的路程比小红多
的速度比。
11
，而小红行走的时间却比小军多，求小军与 小红
410
1
，即小红走的路程是4份，小军所走路程为1
4
[完全解题] 小军行走的路程比小红多
＋4＝5(份)；小红所用的时间比小军多
1
，即小军所用的时间为10份，小红所用的时间为
10
10＋1＝11(份)。而路程除以时 间即为速度，可先求出两人的速度，所以小军和小红的速度
比为：
[(1＋4)÷10]:[4÷(10＋1)]
＝
14
：
211
＝11：8
答：小军与小红的速度比为11：8。
[技法点睛] 这是一道复比 的题目，先要分别求出小军和小红的速度，再求出他们的速
度比。为使解题方便，可以将比转化成份数解 答。
例3 甲、乙两个长方形，它们的周长相等，甲的长与宽之比是3：2，乙的长与宽之 比
是7：5，求甲与乙的面积之比。
[完全解题] 甲、乙两个长方形的周长相等 ，设每个长方形的周长为2。甲长方形的长
327
327
＝，宽为2÷2×＝；乙长方 形的长为2÷2×＝，宽为
32
5
23
5
75
12< br>5
5
2÷2×＝。根据长与宽即求出两个长方形的面积，所以甲与乙的面积之比为：
75
12
3275
(×)：(×)
551212
35
6
＝：
25
144
6
144
＝×
25
35
864
＝
875
为2÷2×
答：甲与乙的面积之比为864：875。
[技法点睛] 与例1相类似，本题必须在两个 长方形周长相等的前提下才能解答，所以
先假设了两个长方形的周长都是2。
例4 有甲、乙、丙三只水杯和一只空水桶，用甲杯向桶内舀水30次后，桶内水的体
积占水桶容量的
21
，再用乙杯向桶内舀10次水后，水桶余下容量又缩小了；再用丙杯向
52
桶内舀 30次，恰好使水桶装满。问甲、乙、丙三只水杯的容积之比是多少？
2
，所以甲杯的容量< br>5
21213
1
为÷30＝；乙杯舀10次后，水桶余下的容量缩小了，即(1 －)×＝，所以
525210
75
332331
乙杯的容量是÷10＝；丙杯 的容量为(1－－)÷30＝÷30＝。所以甲、
1
[完全解题] 设水桶的容量为1，甲杯30次的容量占水桶容量的

乙、丙三只水杯的容积之比是：








31
1
：：
75
100100
493
＝：：
300300300

＝4：9：3
答：甲、乙、丙三只水杯的容积之比是4:9:3。
[技法点睛] 本题的基本思路是，设 一个标准量为“1”，再根据每次舀水的情况算出
每只水杯的体积，这种解决问题的思路，在比中经常会 用到。
例5 (2002·我爱数学少年夏令营)有一辆车子，其前轮周长为5
51
米，后轮周长为6
123
米，则前进多少米，才能使前轮转的圈数比后轮转的圈数多9 9圈？
[完全解题] 根据题意，前轮周长与后轮周长的比是5
51
：6 ＝65：76。即前轮转
123
76圈后轮转65圈，前轮比后轮多转了76－65＝11(圈 )，要比后轮多转99圈，需要前进的
米数是：
5
5
×76×(99÷11)＝3705(米)
12
[技法点睛] 本题关键是找出前轮周长与后轮周长的比，得出相同时间内前轮比后轮多
转的圈数。
例6 (2000·南京市数学冬令营)有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度< br>之比是6:5。如果将甲钉子的
2
钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度比是5:4，而它们 留在墙
3
外的部分一样长。问甲、乙、丙的长度比是多少？
[完全解题] 甲与乙的长度之比是6:5，可以设甲的长度是6，乙的长度就是5，甲钉
22
钉入墙内，那么 墙内部分长是6×＝4，墙外部分是6－4＝2。甲与丙钉入墙内的
33
4
长度比是5 :4，丙钉入墙内的长度是4×＝3.2，而它们留在墙外的部分与甲一样长，所
5
子的
以丙钉子的长度是2＋3.2＝5.2。
甲、乙、丙的长度比是6：5：5.2＝30 2 25：26。
[技法点睛] 本题关键是先求出丙钉子的长度，为了便于考虑，可以将两个数量的比，
看作整的份数。
例7 (2003·小学数学奥林匹克决赛)袋子里红球与白球数量之比是19：13。放入若干
个红球 后，红球与白球数量之比是5：3；再放入若干个白球后，红球与白球数量之比是13：
11。已知放入 的红球比白球少80个，那么原先袋子里共有多少个球？
[完全解题] 放入红球后，白球 的数量不变19：13＝57：39，5：3：65：39。设原来
有红球57x个，白球39x个，则 第一次放入了(65－57)x＝8x个红球。因为13：11＝65：55，
所以第二次放入了(55 －39)x＝16x个白球。已知放入的红球比白球少80个，则
16x－8x＝80
x＝10
原先袋子中共有球(39＋57)×10＝960(个)。
[技法点睛] 本题主要是将两个比分别扩大一定的倍数，然后根据相同的份数，找出对
应关系。

创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1．在一种盐水中，盐占
1
，盐与水的比为( )。
25
A.1：25 B．1: 26 C．1: 24
2．青菜和芹菜的单价比是3：7，而质量之比是5：4，那么它们的总价比是( )。
A.8：11 B．15：28 C．12:35
3. 甲、乙两人赛跑，甲跑的路程比乙多
( )。
A．5:3
11
，乙用的时间比甲多，两人的速度比是
34
C．3:4 B．16：15
4．一个长方形与一个正方形的周长比是6:5，长方形的长是宽 的
7
倍，长方形与正方
5
形的面积比是( )。
A．5:7 B．7：5 C．42：25
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．把100克纯酒精装在一个玻璃瓶中，正 好装满。用去10克后，加满蒸馏水，又用去
10克后，再加满蒸馏水。这时瓶里蒸馏水与酒精之比是 。
2．两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的
这两个长方形的面积比是 。
3．参加课外活动的男生人数的
是 。
4．有一个长 方形与正方形的周长相等，长方形的宽是长的
11
，相当于小长方形面积的，
645
5
与女生人数的恰好相等，男生和女生人数的比
17
21
1< br>，长方形面积与正方形面
10
积的比是 。
三、解答题。(每题20分，共60分)
1．(2003·河北省香河县小学六年级 数学竞赛)有甲、乙、丙三个长方体，它们的长之
比是2:2:3，宽之比是3:5:6，高之比是6： 2:5。如果丙的体积是90立方厘米，那么，甲、
乙两个长方体的体积之和是多少立方厘米？
2．(2002·重庆市沙坪坝区小学数学竞赛)三个容积相同的瓶子装满酒精溶液，酒精与< br>水的比分别是3:2，3:1，4:1。当把三瓶酒精混合时，酒精与水之比是多少？
3．(2 001·江苏省吴江市小学数学竞赛)甲、乙两个水果店梨的千克数之比是5:4，甲
店卖出45千克， 乙店运进45千克。那么这两店梨的千克数之比为5:7，甲店原有多少？

第二节 按比例分配
探究目标
1．掌握用按比例分配的方法解决有关比的应用题。
2．能 灵活掌握应用题中有关变量与不变量的关系，并能解决这类问题，初步形成辩证唯物
主义思想。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
例 某校六年级三个班人数如下表：
(1)班 (2)班 (3)班

45人 50人 48人
现有429棵树苗，如果按照各班人数进行分配，每个班级各应分得多少棵？
建议：1．要仔细观察表格，找出三个班级人数之间的关系。
2．运用按比例分配的思想，找出每个班分得的树苗各应该占总数的几分之几。
讨论：方法1：可以根据表中三个班的人数，求出人数比，再根据人数比按比例分配。
方法2：可以根据表中三个班的人数，先求出1个人应分得的树苗，再算出一个班应分
得的树苗。
证明：(1)(2)(3)三个班人数的比是45：50：48，总份数为45＋50＋48＝ 143,(1)班分
得的树苗占总数的
这样可以得到：
455048
；(2 )班分得的树苗占总数的；(3)班分得的树苗占总数的。
143143143
45
＝ 135(棵)；
143
50
(2)班分得的树苗是429×＝150(棵)；
143
48
(3)班分得的树苗是429×＝144(棵)。
143
(1)班分得的树苗是429×
例1 一个长方体的棱长总和 是216厘米，它的长、宽、高之比是4：3:2。长方体的表
面积和体积各是多少？
[完全解题] 长方体的棱长可按长、宽、高分成三类，所以长、宽、高的和是216÷4
－54(厘 米)，根据长、宽、高的比是4:3:2可知长方体的长是54×
宽是54×
4
＝24 (厘米)，
432
32
＝18(厘米)．高是54×＝12(厘米)。
432432
长方体的表面积为：
(24×18＋94×12＋18×12)×2
＝936×2
＝1872(平方厘米)
长方体的体积为：
24×18×12＝5184(立方厘米)
答：长方体的表面积和体积分别是1872平方厘米和5184立方厘米。
[技法点睛] 本题将长方体按长、宽、高分类时，一定要注意用216÷4，因为这是长
方体12条棱的总长。
例2 育英小学六年级学生分三批去参观科技馆。第一批和第二批的人数比是5：4，第二批与第三批的比是3：2，已知第一批比第二、三批人数的总和少15人。求六年级参观的
有多少 人？
[完全解题] 第一批和第二批人数的比是5：4，即(5×3)：(4×3)＝15 ：12。第二批
和第三批人数比是3:2，即(3×4)：(2×4)＝12：8。由此可知，第一批、 第二批、第三批
153
＝，第二批、第三批的人数和占总
151287
1 284341
人数的＝，第一批比第二批、三批人数总和少总数的－＝，正好少15
151 287777
的人数比是15：12：8。第一批占总人数的
人，所以六年级参观的人数是：

15÷
1
＝105(人)
7
答：六年级参观的有105人。
[技法点睛] 这是一道连比的实际应用题，要能根据其中一个中间量(第二批)找出这三
批参观人数的比。
例3 小明读一本故事书，已读的页数和未读的页数之比是1 ：5，如果再读30页，则
已读的和未读的页数比是3：5，这本书一共有多少页？
[完全解题] 一本书，已读的页数和未读的页数之比是1：5，可知已读的页数占总页
数的
331
1
，如果再读30页，则已读的页数占总页数的，比原来多了总页数的－＝
3 586
15
5
，正好是30页，所以这本书的总页数是：
24
5
30÷＝144(页)
24
答：这本书一共有144页。
[技法点睛] 由于读的页数在变化，已读的页数与未读的页 数在不断变化，但是全书总
页数不会变化，所以，本题关键是确定总页数为单位“1”。
例4 甲、乙两桶油共130千克，从甲桶倒出
原来甲、乙两桶分别有油多少千克？
2给乙桶后，甲桶与乙桶油的比为7：6，
7
2
给乙桶后，甲、乙两桶油仍然共是1 30千克，这时甲、乙
7
2
7
两桶油的比是7：6，所以，这时甲桶油为13 0×＝70(千克)，由于甲桶倒出了，故
7
76
25
甲桶这时的油相当于 原来油的1－＝，所以甲桶原有的油为：
77
5
70×＝98(千克)
7
[完全解题] 从甲桶倒出
乙桶原有的油为：
130－98＝32(千克)
答：原来甲、乙两桶分别有油98千克、32千克。
[技法点睛] 因为是从甲桶倒入乙桶，所以两桶油得总量不变，可以倒过来，先求出两桶油得数量比是7:6时甲桶油得重量，再求出原来两桶油各是多少。
例5 某团体有 100名会员，男会员与女会员的人数之比是14：11，会员分成三个组，
甲组人数与乙、丙两组人数 之和一样多，各组男会员与女会员人数之比是甲：12：13、乙：
5：3、丙：2：1，那么丙组有多 少名男会员？
[完全解题] 因为甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，所以甲组人数为100÷2＝
50(人)，根据题意可知：
14
＝56
1411
12
甲组男会员人数是：50×＝24
1213
全体男会员人数是：100×
乙、丙两组男会员人数是：56－24＝32

55
＝
538
22
丙组男会员占全组人数的＝
213
55
250
如果丙组男会员也是，则两组男会员应是50× ＝(人)，比两组男会员实际人
88
8
251
250
3
数少 了32－＝(人)，因为丙组男会员比原来少了－＝，所以丙组总人数为：
43824
8
31
÷＝18(人)
424
乙组男会员占全组人数的
丙组男会员人数则为：
18×
2
＝12(人)
3
答：丙组有12名男会员。
[技法点睛] 本题条件比较多，可以先理清思路，再逐层求出相应的条件。
例6 一段 路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3。某人走
这三段路所用的时间比依次 是4：5：6。已知他上坡速度是每小时3千米，路程全长是50
千米，问此人走完全程用了多少小时？
[完全解题] 路程全长是50千米，上坡、平路、下坡各段路程长的比依次是1:2:3，
11
＝8(千米)，由他上坡每小时行3千米可知，他上
1233
174 4
坡用的时间是8÷3＝2(小时)，而上坡用的时间占总时间的＝，所以此人
39456 15
由此可知，上坡的路程是50×
走完全程用的时间为：
2
答：此人走完全程用了10
745
÷＝10(小时)。
91512
5
小时。
12
[技法点睛] 本题的关键先求出上坡的路程，再根据上坡的速度求出上坡所需的时间。
例7 (2001· “华罗庚金杯”少年数学邀请赛)某市居民自来水收费标准如下：每户每
月用水4吨以下，每吨1.8元 (包括4吨)。当超过4吨时，超过部分每吨3元。某月甲、乙
两户共交水费26.4元，用水量之比是 5:3，甲、乙两户各应交水费多少元？
[完全解题] 如果两户居民用水均不超过4吨， 则最多交水费1.8×8＝14.4(元)，而
实际交水费是26.4元，超过部分的水费是26.4－ 14.4＝12(元)，即超过的水量是12÷3＝
4(吨)，那么两户的用水量一共是4＋4＋4＝1 2(吨)。
甲户的用水量是12×
5
＝7.5(吨)
8
甲户应交的水费是4×1.8＋(7.5－4)×3＝17.7(元)
乙户应交的水费是26.4－17.7＝8.7(元)
答：甲户应交水费17.7元，乙户应交水费8.7元。
[技法点睛] 本题关键是先算出 两户居民的用水量超过的部分，再求出一共的用水量，
再用按比例分配的方式分别求出每户的用水量。
例8 (2000·小学生数学报集训题)甲、乙两仓共存粮240吨，其中甲仓存粮的
1
与乙
3

1
相等。甲、乙两仓各存粮多少吨？
5
11
[完全解题] 根据甲仓存粮的与乙仓存粮的相等，可以列出
35
仓存粮的
等式：
11
＝乙仓存粮×，
35
11
甲仓存粮：乙仓存粮＝：＝3：5，
53
3
甲仓存粮是240×＝90(吨)，乙仓存粮是240－90＝150(吨)。
35
甲仓存粮×
答：甲仓存粮90砘，乙仓存粮150砘。
[技法点睛] 本题关键是根据其中存在的乘积相等的关系，写出相应的比例，再按比例
分配，求出各自的存粮。
创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1．(2004·小数报竞赛)一个三角形三个内角的度数比是1:4：5，这个三角形是( )
三角形。
A.锐角 B．直角 C．钝角
2．(2003·重庆市沙坪坝区数学竞赛)利群小学报名参加合唱团的男生与女生人数之比
是1:2， 录取的男生与女生人数之比是3:8，未录取的男生与女生人数之比是5:2，有14人
未录取，一共录 取( )人。
A．100 B．88 C．80
3．(2002·开平市小学六年级数学竞赛)甲、乙两数的比是5:7，乙、丙两数比是3: 4，
已知甲、乙两数和是84，则乙、丙两数的和是( )。
A.168 B．144 C．114
1

3
4．甲、乙两数的差是54，甲数与乙数的比8：5，甲、乙两数的积是( )。
A.2160 B.12960 C.702
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．(2002·吉林省第八届小学数学邀请 赛)某校合唱队与舞蹈队人数的比为3：2，如果
将合唱队员抽调10名到舞蹈队，那么这时的人数比为 7:8，原合唱队有 人。
2．有三桶油共重45千克，如果从第一、第二桶中都取 出2.5千克倒入第三桶，这时一、
二、三桶油重量之比是1：2：3。三桶油原来各有 千克。
3．某校原有科技书、文艺书共630本，其中科技书与文艺书的比是1：4。后来又 买进
一些科技书，这时科技书与文艺书的比是3:7，又买进科技书 本。
4．(“《小学生数学报》杯”江苏省首届小学生探索与应用能力竞赛初赛试题)《第五
次全国人口普查 主要数据公报》显示，祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的总
人口为126583万人。其 中男性为65355万人，这些人口中，男性与女性人口的整数比为 。
三、解答题。(每题20分，共60分)
1．有大、小两瓶油共重2.7千克，把大 瓶油的
1
倒给小瓶后，大瓶的油与小瓶的重量
4
比是3：2，求大、小瓶里原 来分别装有多少千克油？
2．植物园中菊花与月季花的盆数之比是31：5，兰花与睡莲的盆 数之比是40：9，月季

与睡莲的盆数之比是25：3。现在我们知道植物园中有200 盆兰花，试求出菊花的总盆数。
3．水池的水面上立着两根木桩，露出水面部分的长度比是1 0：1，当水面下降20厘米
后，露出水面部分的长度之比是5：2，求较短的木桩原来露出水面部分是 多少厘米？

本章测试卷
(满分100分)
一、填空题。(每题5分，共25分)
1．在8：15中，如果前项加上4，要使比值不变，后项要加上( )。
2．大圆A与小圆B 的一部分重叠(如右图)，重叠部分的面积是圆A的
那么圆A与圆B的面积比为( )。
11
，是圆B的，
53

3．一个长方形的周长是98分米，其中长与宽的比为4:3，这个长方形的面积是( )平方
分米。
4．一块长方形砖中长与宽的比是2:1，宽与高的比是2:1，长、宽、高共 35厘米，这块砖
的体积是( )立方厘米。
5．长方形草地被分为面积相等的甲、乙 、丙和丁四份(如右图)，其中图形甲的长和宽的比
是a：b＝2：1，其中图形乙的长和宽的比是( )。

二、选择题。(每题5分，共15分)
1．两个正方体的棱长比为1:2，这两个正方体的表面积的比为( )，体积比为( )。
A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16
2．修一条路，已修的与未修的比是1：5，又修了490米后，已修的与未修的比为3:1。
这时还剩下( )米未修。
A．110 B．210 C．310 D．410
3．已知甲数是乙数的3.2倍，甲数与甲、乙两数和的比是( )。
A.5:11 B.5:16 C.16:21 D.16:5
三、解答题。(每题20分，共60分)。
1．学校6个年级的平均人数是200人 ，其中低、中、高三个年级人数比为5:4:3，学
校高年级有多少人？
2．甲、乙两人的钱数比是3：1，如果甲给乙0.6元，则两个钱数比为2:1，两人共有
钱多少元？
3．甲、乙两种苹果，其单价比是5:4，重量比是2:3，现在把这两种苹果混合在一起，< br>成为100千克的混合苹果，单价定为4.4元。原来两种苹果的单价各是多少元？

第四章 圆的周长和面积
有一天，木匠艾布买提找巴依老爷要以前做工的工钱。
巴依老爷说：“艾布买提，如果你在3天内用12.56米的栅栏围成一个面积不小于25
平方米的羊圈，我就把所有的工钱给你；如果不能完成，就不给前面的工钱，还要把你家的

羊收走。”
这下可把艾布买提愁坏了，因为即使围成圆形的羊圈，面积也只有12.56平方米。
眼看2天 就要过去了，这可怎么办呢？正在这节骨眼上，阿凡提路过此地，听说这事儿
后，找到艾布买提，悄悄地 告诉他围羊圈的办法。
第三天到了，艾布买提胸有成竹地按照阿凡提教的方法围成了一个完全符 合巴依老爷要
求的羊圈，要回了自己的工钱。
阿凡提想出的是什么办法呢？要回答这个 问题，就要研究有关圆的周长和面积的问题。
等学完这章后，相信你们也能像阿凡提一样的聪明。
第一节 圆的周长
探究目标
1．能正确求圆的周长、弧长和扇形的周长，会求组合图形的周长。
2．能够运用作图的方法解决平面图形在运动过程中某个点经过的轨迹长度。
3.能抓住题目中问题的本质，建立所求问题和所学知识之间的联系，以便解决问题。
4．了解圆的周长在生活中的应用，初步培养运用数学知识解决实际问题的能力。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
例 有一天，老鼠杰瑞遇到猫汤姆，杰瑞撒 腿就跑，汤姆紧紧追赶，这时杰瑞跑到一个
圆形池塘边，连忙跳进水中。汤姆在岸上盯着杰瑞，在池边跟 老鼠跑，准备在杰瑞上岸时抓
住他。已知汤姆的速度是杰瑞的2.5倍，杰瑞有没有办法在他游上岸时， 不被汤姆抓住？
建议：1.画出一个示意图，借助示意图进行分析。
2．借助字母进行分析。
3．要帮助杰瑞想好逃生的策略：尽可能拉大和汤姆之间的距离，然后向猫的相反方向
逃生。
讨论：1．如果老鼠沿着池塘游，伺机上岸，那么无论老鼠游到哪儿，猫都会跟着跑，
只要老鼠一上岸， 就会被猫抓住。
2．如果老鼠跳下水后，沿着池塘的直径游，猫要跑半个圆才能到达对面，猫 跑的路程
是老鼠的1.57倍，而猫的速度是老鼠的2.5倍，那么等老鼠上岸时，猫已经在岸边等候了 ，
老鼠还是跑不了。
3．老鼠先游到池塘的中心，看准猫的位置，然后向和猫相反的方向游，可以逃生。
证明：老 鼠在O点，猫在A点，老鼠游向B点，距离是半径，而猫要跑圆周长的一半，
圆周长的一半是半径的3. 14倍，而猫的速度只有老鼠的2.5倍，所以当猫跑过来时，老鼠
已经顺利逃生。

例1 (2003·广东省部分市县小学六年级数学竞赛试题)已知AB＝120米，BC＝7 0米(如
下图)，从A到C有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短？

[完全解题] 可以分别计算三条线路的长度, 再进行比较。
线路①：(120＋70)

÷2＝95(米)

线路②：(120＋70)÷2×

＝95

(米)
线路③：120

÷2＋70

÷2＝95

(米)
所以三条线路一样长。
[技法点睛] 这道竞赛题实际是下题的变式题，将下题的思路作一介绍会有利于同学们
对例题的理解。
下图中大圆的周长与大圆中四个小圆周长的和相比，谁大？

设大圆的直径为D，四 个小圆的直径分别是d
1
、d
2
、d
3
、d
4，则有D＝d
1
＋d
2
＋d
3
＋d
4
。
因为大圆的周长为：
C＝

D
四个小圆周长的和为：
C＝

d
1
＋

d
2
＋

d
3
＋

d
4

＝

（d
1
＋d
2
＋d
3
＋d
4
）
＝

D
所以大圆的周长与四个小圆周长的和相等。
再看例题，事实上不需计算就可以判断出三条线路一样长。
例2 一个半圆形纸片的周长是20.56厘米，它的直径是多少厘米？
[完全解题] 本题可以考虑用方程来解答。
设半圆形纸片的直径是x厘米。
3.14×x×
1
＋x＝20.56
2
1.57x＋x＝20.56
2.57x＝20.56
x＝8
答：它的直径是8厘米。
[技法点睛] 解答这个问题有不同的思考方法，利用字母分析可以发现半圆形周长与直
径之间的倍数关系，分析如下：
半圆形周长＝圆周长的一半＋直径
＝
1

d＋d
2
＝

r＋2r
＝5.14r
即半圆形周长是半径的5.14倍，是直径的2.57倍，对于例题而言，可以用20.56÷ 2.57
＝8(厘米)，求得答案。
相对而言，用方程解答这类问题更具有一般性， 适用的范围也更广些。例如已知一个圆
心角是30度的扇形的周长是7.57厘米，求半径是多少厘米， 用方程解答的思路就比较容易。
设半径长x厘米。
2×3.14×x×
30
＋2x＝7.57
360

2
157
x＝7.57
300
x＝3
答：半径是3厘米。
例3 (2002·小学数学奥林匹克预赛试 题)在下图中，阴影部分的周长是多少厘米？(

取3.14。)

[完全解题] 首先分析阴影部分的周长是由以下部分组成的：
①直径为36厘米的圆周长的一半；
②半径为36厘米、圆心角为30°所对的弧的长度；
③长度为36厘米的线段。
分别求出各段的长度，再相加。
36×3.14÷2＝56.52(厘米)
36×3.14×2×33600＝18.84(厘米)
56.52－1－18.84＋36＝111.36(厘米)
答：阴影部分的周长是111.36厘米。
[技法点睛] 求阴影部分的周长首先将组成阴 影的各个部分的边线找出，把边线分为两
类：弧和线段。分别求出各个边线的长度再相加就可求得阴影部 分的周长。
求弧长的方法是：
l
＝
C
·n
360
上面公式中，
l
表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数。
例4 (2003·“《小学生数学报》”杯“江苏省第三届小学生探索与应用能力竞赛试
题 ”)下图中有6个完全相同的圆，其中A、B、C、D、E被固定在玻璃桌面上，第6个圆F
紧贴着A、 B、C、D、E这5个固定圆慢慢地沿顺时针方向滚动，滚动过程中不发生任何滑动。
当圆F再滚回到出 发点P时，它自身绕圆心旋转了多少圈？

[完全解题] 重点是分析圆F在绕圆B、C、D、E、A滚动时，分别滚动了的圈数。
如下图所示，圆F绕圆B、C、D、E、A，分别滚动了
有的圆半径相同，所以共转了
(11111
、、、、圈，因为所
26233
111112
＋＋＋＋)×2 ＝3(圈)
262333

[技法点睛] 通过实物演示 ，画图等方式可以直观地看到圆F的运动过程，这是在解决
关于圆的运动的有关问题时常用的方法。
例5 地球的赤道是个近似的圆形，赤道的半径约6371千米，假设有一根绳子沿地球赤道贴紧地面绕一周，现在将绳长增加6.28米，使绳子与地面之间有均匀的缝隙，请问缝
隙有多 宽？一只高4厘米的蜗牛能否从该缝隙间爬过？
[完全解题] 先将本题的题意整理一下： 将赤道和绳子所围成的圆看成两个大小不同的
圆，这两个圆组成了一个圆环，内圆半径是6371千米， 外圆周长比内圆周长多6.28米，求
环宽。如下图：

当然可以先算出内圆周长，再算出外圆周长，就可以求出外圆半径，环宽也就可以求出
来了。
这种方法的缺点是计算量大，过程繁杂，并且容易算错。
有简单的方法吗？可以借助字母来试一试。
设内圆半径为r，环宽为x，根据题意得：
2

×(x＋r)－2

r＝6.28
2

x＋2

r－2

r＝6.28
2

x＝6.28
x＝1
解答过程简单明了，计算简洁。解答的结果也使我们大吃一惊，如此大的一个环形，外
圆周长仅比内圆周长多6.28米，环宽竟达到1米！也就是说，绳子距地面1米高，别说是
蜗 牛，即使是人，也可以很从容地弯腰走过去。
[技法点睛] 上面的解答过程对同学们有两点启示：
1.巧妙地利用字母进行分析，进行解答，过程简洁、优美，感受到数学的魅力。
2．当已知环形内、外圆的周长差时，就可以求出环宽。环宽与内、外圆的周长差有关。
当环宽为1厘米时，内、外圆的周长相差6.28厘米；
当环宽为2厘米时，内、外圆的周长相差12.56厘米；
当环宽为3厘米时，内、外圆的周长相差18.84厘米；
内、外圆的周长差是环宽的2

倍。

例6 一条直线上放 着一个长方形1，它的长与宽分别是4厘米和3厘米，对角线长5
厘米。让这个长方形绕顶点A顺时针旋 转90度到达长方形2的位置，此时D点到达了E点
的位置。再让长方形2绕顶点E顺时针旋转90度到 达长方形3的位置，此时C点到达了F
点的位置。再让长方形3绕顶点F顺时针旋转90度到达长方形4 的位置，此时B点到达了
G点的位置。再让长方形4绕顶点G顺时针旋转90度到达长方形5的位置，此 时长方形1
的A点到达了H点的位置。求A点所经过的总路程。

[完全解题] 从长方形1到长方形2，A点的位置没有变化。
从长方形2到长方形3，A点经过的路程是半径3厘米、圆心角为90度的弧的长度。
从长方形3到长方形4，A点经过的路程是半径5厘米、圆心角为90度的弧的长度。
从长方形4到长方形5，A点经过的路程是半径4厘米、圆心角为90度的弧的长度。
根据公式，分别求出三段弧的长度，再相加就可以求出问题。

1
＝4.71(厘米)
4
1
2×3.14×5×＝7.85(厘米)
4
1
2×3.14×4×＝6.28(厘米)
4
2×3.14×3×
4.71＋7.85＋6.28＝18.84(厘米)
答：A点经过的总路程是18.84厘米。
[技法点睛] 研究物体运动 过程中的周长、弧长问题时，首先要通过实验来观察物体在
运动过程中的位置变化，然后在图形中用圆规 画出该点的运动轨迹，最后求出题目的所求问
题。
例7 (2002·重庆市沙坪坝 区小学六年级数学竞赛试题)两根同样长的铁丝，一根围成
正方形，一根围成圆(都不计接头)，结果正 方形的边比圆的半径长3(

－2)米。两根铁丝
共长多少米？
[完全解题] 由于正方形和圆是用两根同样长的铁丝围成的，因此正方形和圆的周长相
等。以此为等 量关系，可以列方程解答。
设圆的半径为x米，则正方形边长为[3(

－2)＋x]米。
2

·x＝[x＋3(

－2)]×4


x＝2x＋6(

－2)


x－2x＝6(

－2)
(

－2)x＝6(

x－2)
x＝6
两根铁丝共长：2

x·2＝2

x·6·2＝2 4x

＝75.36(米)
答：两根铁丝共长75.36米。
[技法点睛] 解题思路要灵活，利用题目中的等量关系列方程解决问题是常用的解题方

法。
例8 如下图，一个半径1厘米的硬币沿着长方形纸板的边缘滚动，长方形纸板长30
厘米，宽20厘 米，当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是多少厘米？

[完全解题] 当硬币沿纸板的长边或宽边滚动时，圆心经过的路程是条线段；当硬币沿
长方形的四个顶点转动时，圆心 经过的路程是四条弧。
四条线段的长度总和相当于长方形纸板的周长。四条弧拼在一起，恰好 可拼成一个半径
为1厘米的圆，只要求出圆周长就相当于求出四条弧的长度总和。
(30＋20)×2＝100(厘米)
3.14×1×2＝6.28(厘米)
100＋6.28＝106.28(厘米)
答：硬币的圆心经过的路程是106.28厘米。
[技法点睛] 解答该类问题的第一步是 得到圆心经过的轨迹，然后将轨迹进行分类并分
析每类轨迹的长度如何求出，最后进行解答。

创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1．(2004·第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)半径为25厘米的小铁环沿
着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，
小 铁环自身转了( )圈。
A.1 B．2 C.3 D.4
2．已知AB＝10厘米，下图中各圆的周长总和是( )厘米。

A．31.4 B．62.8 C．15.7 D．不可确定
3．环形的环宽是2厘米，外圆周长和内圆周长相差( )厘米。
A.2 B．4 C．6.28 D.12.56
4．一个半圆形纸片的半径是8厘米，它的周长是( )厘米。
A.25.12 B.50.24 C.33.12 D.41.12
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．下图中，已知圆的面积与长方形面积相等，圆的周长是12.56厘米，阴影部分周长
是 厘米。

2．下图中直角梯形的面积是60平方厘米，上、下底之和为20厘米，两腰之比为 3：5，
现挖去四个半径_样的扇形后，阴影部分的周长是 厘米。

3．把7根半径为10厘米的圆木捆成一排，至少需铁丝 厘米。
4．如下图，有一 只狗被缚在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚
狗的绳长20米；现狗从A点 出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑 米。

三、解答题。(每题20分，共60分)
1．等边三角形的边长是3厘米，再将三角形ABC沿一条直线翻滚30次，如下图，求A点经过的路程的长。

2．一个半径1厘米的硬币沿着三角形纸板的边缘滚动。三角形纸 板三条边的长度分别是6
厘米、7厘米和8厘米。当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是多少 ？
3．(2004·第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)“神舟五号”载人飞船载着航< br>天英雄杨利伟，于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞
天梦。飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行。请计算飞
船沿圆形 轨道飞行了多少千米？(地球半径为6371千米，圆周率取3.14。)

第二节 圆的面积
1．能根据公式求出圆的面积和扇形的面积。
2．能正确地解答组合图形的面积，并能利用割补、平移、旋转等方法解答阴影部分的面积。
3．能通过作图、实验等方法理解、解答平面图形在运动过程中经过部分的面积。
4．能综合运用所学知识解答生活中有关圆的面积的实际问题。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
在本章的开头，我们介绍了一个故事。在故事 中，巴依老爷要求艾布买提用12.56米的
栅栏围一个面积不小于25平方米的羊圈。正巧阿凡提路过 这儿，帮助艾布买提围成了一个
完全符合巴依老爷要求的羊圈。
那么阿凡提究竟想了什么新招呢？让我们也来想一想。
建议：1．尽量想不同的方法。
2．因为用材料即使拼成圆形也不能达到巴依老爷的要求，所以要尽可能利用实物作羊
圈的边线。
讨论：1．利用一面墙作边，用栅栏围成一个正方形羊圈。
2．利用一面墙作边，用栅栏围成一个半圆形羊圈。
3．利用两面墙作边，用栅栏围成一个扇形羊圈。
证明：1．如下图，利用一面墙作边，用栅栏围成一个正方形羊圈。

正方形羊圈的 边长是：12.56÷3≈4.2(米)，则正方形羊圈的面积小于25平方米，不符

合 要求。
2．如下图，利用一面墙作边，用栅栏围成一个半圆形羊圈。

半圆形羊圈的半径是：12.56÷3.14—4(米)，则羊圈的面积是：
3.14×4×4÷2＝25.12(平方米)。符合要求。
3．如下图，利用两面墙作边，用栅栏围成一个扇形羊圈。

扇形羊圈的半径是：12.56÷3×4÷2÷3.14≈2.67(米)。
扇形羊圈的面积是：3.14×2.67×2.67÷4×3≈16.8(平方米)。
不符合要求。
因此，按照第二种方法可以围成符合要求的羊圈，此时羊圈的面积大于25平方米。
例1 (2 001·重庆市沙坪坝区小学数学竞赛试题)下图中，大正方形边长是10厘米，小
正方形边长是6厘米 ，阴影部分的面积是多少平方厘米？

[完全解题] 可以将阴影部分分解成一个 弓形和一个钝角三角形，弓形的面积可以用半
径6厘米的
1
圆减去直角边为6厘米的等 腰直角三角形；钝角三角形的底是]0厘米，高是
4
6厘米；分别求出弓形面积和钝角三角形的 面积，再相加就可以求出阴影部分面积。

3.14×6
×
2
1
－6×6÷2
4
＝28.26－18
＝10.26(平方厘米)
10×6÷2＝30(平方厘米)
10.26＋30＝40.26(平方厘米)
答：阴影部分的面积是40.26平方厘米。
[技法点睛] 求阴影部分面积的基本方法有 两种：1．将阴影部分合理分解成若干个较
小的阴影部分，分别求出每个较小的阴影部分，再相加；2． 先求出整个图形的面积，再减
去空的部分的面积就可得到阴影部分面积。例题中的解法用了第一种方法， 同学们也可以用
第二种方法试一试。

例2 (2001·第八届“华 罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)下图中五个相同的圆的圆心
连线构成一个边长为10厘米的正五边形。 求五边形内阴影部分的面积。(

取3.14。)

[完全解题] 正五边形的内角和为：180°×(5－2)＝540°，所以每个内角的度数是
540°÷5＝108 °。阴影部分是由5个半径为5厘米、圆心角为108°的扇形组成，可以先
求出一个扇形的面积，再乘 5就是阴影部分面积。
3.14×5×
＝78.5×
2
108

360
3

10
＝23.55(平方厘米)
23.55×5＝117.75(平方厘米)
答：五边形内阴影部分的面积是117.75平方厘米。
[技法点睛] 题中的5个扇形是 完全相同的，因此可以用上述方法解答。如果扇形的半
径相等，而圆心角的度数不等，如下图：

则更为一般的方法是将三个扇形拼成一个大扇形，因为三个扇形的圆心角是三角形的三
个内角，所以拼成的大扇形的圆心角是180°，即恰好拼成一个半圆。
例3 (20 01·小学数学奥林匹克预赛试题)如下图，OA、OB分别是小半圆的直径，且OA
＝OB＝6厘米， ∠BOA＝90°，阴影部分的面积为多少平方厘米？

[完全解题] 两个阴影 部分都是不规则图形，通过观察可以发现，如果将阴影部分合理
割补，则阴影部分恰好可以拼成一个等腰 直角三角形。如下图：

那么阴影部分面积是：
6×6÷2＝18(平方厘米)。
答：阴影部分的面积为18平方厘米。
[技法点睛] 在求阴影部分面积时，经常 要用到割补、平移、旋转等方法，运用这些方
法的目的是将不规则的阴影部分转化为规则的阴影部分，从 而化难为易，解决问题。

例4 (2002·吉林省第八届小学数学邀请赛试 题)如下图，两个
1
圆扇形AOB与A′O′B′
4
叠放在一起，POQO′ 是面积为5平方厘米的正方形，那么叠合后的图形中阴影部分的面积为
多少平方厘米？(
取3.14。)

[完全解题] 图中的阴影部分具有对称性，只需求出阴影部分的一半，再乘2就可求得
阴影部分面积。

图中O′O既是正方形的对角线，又是扇形的半径。因为正方形面积等于对角线的平方除
以2，即 r×r÷2＝5，
2
可得 r＝10(平方厘米)

1
圆的面积是： 3.14×10÷4
4
＝31.4÷4
＝7.85(平方厘米)
所求阴影部分面积是： (7.85－5)×2
＝2.85×2
＝5.7(平方厘米)
答：叠合后的图形中阴影部分的面积为5.7平方厘米。
2
[技法点睛] 根据S＝

r求圆的面积，事实上有两条途径： 1．通过半径r来求圆的
2
面积；2.通过半径的平方，即r来求圆的面积。
例5 (2001·小学数学奥林匹克决赛试题)如下图，四边形AB＝CD是平行四边形，AD＝
8厘 米，AB＝10厘米，∠DAB＝30°，高CH＝4厘米，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧
DM、BN分别以AD、CB为半径，阴影部分的面积为多少平方厘米？(

取3.14，精确 到0.01。)

[完全解题] 因为四边形ABCD是平行四边形，AD＝8厘米，AB＝10厘米，∠DAB＝30°，
所以，
30
25

(平方厘米) ＝
360
63
3016
2

(平方厘米) S扇形DAM
＝S
扇形BCN
＝8×

×＝
3603 S
扇形EAB
＝S
扇形FCD
＝10×

×< br>2
因为平行四边形ABCD的高CH＝4厘米，所以，

SABCD＝10×4＝40(平方厘米)
从图中可以看出，扇形E AB与扇形FCD的面积之和减去平行四边形ABCD的面积，等于
曲边四边形DFBE的面积；平行四 边形ABCD的面积减去扇形DAM与扇形BCN的面积，等于曲
边四边形的面积。
阴影部分面积＝S
曲边四边形DFBE
－S
曲边四边形DMBN

＝(2S
扇形EAB
－S
ABCD
)－(S
ABCD
－2S
扇形DAM
)
＝2(S
扇形EAB
＋S
扇形DAM
－S
ABCD
)
16
25

＋

－40)
3
3
41
＝2×(×3.14－40)
3
列式为 2×(
≈5.83(平方厘米)
答：阴影部分的面积为5.83平方厘米。
[技法点睛] 本题的解答过程，实际运用了容斥原理。下面的图可以更清楚地看出容斥
原理的运用。

用S
扇形ABE
＋S
扇形BCN
＝S
A BCD
就可求得图中阴影部分，再乘2就是所求问题。
例6 (2004·第九届全 国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题)一个半径为1厘米
的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧 做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心
转动90度后(如下图)，小圆盘运动过程中扫出的面 积是多少平方厘米？(

取3.14。)

[完全解题] 阴影 面积可以分解为一个扇环和一个小圆，小圆的半径是1厘米。扇环的
圆心角是90°，环宽是2厘米，内 圆半径是4厘米，外圆半径是6厘米。
[

×(2＋4)—

×4]×
22
1

4
＝[36

－16

]×
＝20

×
1

4
1

4
＝5

(平方厘米)
5

＋12×


＝5

＋


＝6


＝18.84(平方厘米)
答：小圆盘运动过程中扫出的面积是18.84平方厘米。
[技法点睛] 对于物体运动过程中的面积问题，在解答时，应先利用作图的方法弄清物

体经过的部分，然后将其分解成各个基本图形，再进行解答。
例7 (2 001·浙江省小学数学夏令营试题)如下图，一只羊被7米长的绳子拴在正五边
形建筑物的一个顶点上 ，建筑物边长3米，周围都是草地，这只羊能吃到草的草地面积可达
多少平方米？(

≈3)

[完全解题] 先将羊在拉紧绳子后所能到达的区域表示为下图：

将能吃到草的区域分成5个部分，因为正五边形的每个内角是108°，所以扇形①的圆
心角是252°，半径是7米；扇形②和③的圆心角都是72°，半径是4米；扇形④和⑤的圆
心角都 是72°，半径是1米。
阴影面积是：
7×

×
2
7272
252
22
＋4×

× ×2＋1×

××2
360360
360
＝49

×0.7＋16

×0.4＋

×0.4
＝102.9＋19.2＋－1.2
＝123.3(平方米)
答：这只羊能吃到草的草地面积可达123.3平方米。
[技法点睛] 解答该类问题，必须注意绳子可以变形的特点，因此羊所能围成的区域应
是5个扇形， 而不仅是图中的扇形①。
例8 (2001·四川省小学生数学夏令营综合竞赛试题)下图是 三个同，心圆，圆心为P，
且PQ＝QR＝RS。S
1
是中间圆与外圆之间的圆环面积 ，S
2
是中间圆与小圆之间的圆环面积。那
么
S
2
＝ 。
S
1

[完全解题] 可以设PQ＝1，则
22
S
1
＝3×

－2×


＝5


22
S
2
＝2×

－1×


＝3


S
2
3

3
＝＝
S
1
5

5

[技法点睛] 通过 审题从而假设一个符合题意的数据，帮助自己解题的方法，可以称之
为假设数的方法。本题的解答过程中 ，将PQ的长度假设为1，也可以假设PQ的长度是2，3……
等，只要使得PQ＝QR＝RS即可。假 设数的时候，假设的数值要尽可能地利于计算。
创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1．(2000·广东省开平市小学数学竞赛 试题)一个圆的周长等于一个正方形的周长，那
么，这个圆的面积与正方形的面积比较，圆面积( )正方形面积。
A.大于 B．小于 C．等于 D.约等于
2．(2001·小学数学奥林匹克决赛试题)一个半圆形区域的周长等于它的面 积，这个半
圆的半径是( )。(精确到0.01，

取3.14。)
A.1.27 B.2.27 C.3.27 D.4.27
3．(2004·南京智力数学冬令营试题)半径为7单位的三个圆弧围成如下 图所示的区域，
其中AB弧与AD弧是四分之一圆，而BCD弧是一个半圆，则此区域的面积是( )平方单位。

A．7 B．14 C．49 D．98
4．(2004·第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)如下图，大、小两个半圆 ，
它们的直径在同一直线上，弦AB与小半圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米。图中阴
影部分的面积是( )平方厘米。(圆周率取3.14。)
A.56.52 B.18.84 D.113.04
二、填空题。(每题5分，共20分)
1.(2002·小学数学奥林匹克决赛试题)下图中，大圆半径为6，则其阴影部分的面积
为 。

C.37.68

2．(2002·四川省小学生数学夏令营试题 )三个同心圆，它们的半径之比是3:4:5，如
果大圆的面积是100平方厘米，那么中圆与小圆构成 的圆环的面积是 平方厘米。
3．(2002·南京小学生智力数学冬令营试题)已知正方形 ABCD的边长为10厘米，过它
的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用 直线连接起来，得到
下图。那么，图中阴影部分的面积为 平方厘米。(

取3.14。)

4.(2002·重庆市 沙坪区小学数学竞赛试题)下图中，圆的直径是8厘米，阴影部分的面
积是 平方厘米。

三、解答题。(每题20分，共60分)
1．(2002·江西省婺源县 小学数学竞赛试题)如下图，在直角三角形ABC中，已知AB
长为3厘米，AC长为4厘米。以三角形 的顶点为圆心的三个圆，半径长都是1厘米。求图
中阴影部分的面积是多少平方厘米？
2．(2002·“鲁外杯”数学通讯赛试题)下图是“鲁外”1号教学楼上的时钟，已知时
针与分 针分别长30厘米、40厘米，试求：时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差。
(
< br>取3.14。)

3.(2004·第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛 第二试试题)如下图所示，
在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作 半圆AEC和BFC。当
C点在什么位置时，图中两个弯月型(阴影部分)AEC和BFC的面积和最大 ？(提示：△ACB是
直角三角形。)


本章测试卷
(满分100分)
一、填空题。(每题5分，共25分)
1．圆的半径从6厘米减少到4厘米，面积减少( )平方厘米。
2．半圆形纸片的周长是10.28分米，半圆面积是( )平方分米。
3．将圆分成 32份相等的扇形，拼成一个宽为半径的近似长方形，已知长方形周长16.56

厘米， 圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
4．大圆半径是小圆的1.5倍，大圆面积比小圆面积大10平方厘米，大圆面积是( )
平方厘米。
5．圆内最大正方形的面积是20平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。
二、选择题。(每题5分，共15分)
1．下图中，阴影部分和正方形，( )面积大。
A.阴影部分 B．正方形 C.一样大 D.无法判断

2．下图3个图中，AB的长度均相等，( )幅图中阴影部分面积大。

D.一样大
① ② ③
A．① B．② C．③
3．下图中，线状阴影部分与点状阴影部分比，( )面积大。
A.线状阴影部分 B．点状阴影部分
C．一样大 D．无法比较

三、解答题。(每题20分，共60分)
1．已知AB＝50厘米，求图中各圆的周长总和。

2．求下图中阴影部分的周长和面积。

3．下图中长方形的宽为1厘米，以B点和C点为圆心，以宽为半径的扇形相交于G，
形成两个阴影部分。已知两个阴影部分面积相等，求长方形的长是多少厘米？

第五章 百分数应用题
在日常生活中，我们常常听到出勤率、收视率、 成活率等这样的词语，同学们都已知道，
这些都叫百分率，即表示一个数是另一个数的百分之几的数。有 关百分率的问题经常出现在
我们的周围。两杯糖水，比较哪一杯甜一些，这也是有关百分率的问题，实际 上是比较哪一
杯的含糖率高，我们可以称之为“浓度问题”。再比如说：随着社会经济的发展，商品竞争
意识越来越贴近我们的生活，在各大商场的“价格战”中经常会出现降价、打折等用语，这
也是 百分数问题中的一种。生产厂家则会经常说出利润、成本等有关百分数的用语，另外诸
如“利息、税率” 等词语更是为我们所熟悉。可见，有关百分数的问题和我们大家息息相关。
本章我们一起来探 讨百分率的应用问题。我们将其分成三个部分来研究：第一部分研究
有关百分数的基本问题，一个数是另 一个数的百分之几？第二部分研究有关“利润、成本、
折扣”方面的问题；第三部分研究关于浓度方面的 问题。希望通过对这些问题的研究和探讨
让大家能理解其相关特点，掌握这些问题的解题规律。
第一节 百分数应用题的一般类型
探究目标
1.求一个数是另一个数的百分之几 的应用题的解题思路：从问题入手，找出单位“1”，确定
谁和单位“1”对比，就用谁除以单位“1” 。
2.体验对不同类型的百分数应用题的探究过程，加深对百分数应用题特点的认识，总结出百
分数应用题的解题规律。
3.结合实际生活，灵活运用解题方法，提高分析及解决实际问题的能力。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
百分数应用题一般可以分为两种类型：
1．求一个数是另一个数的百分之几？
2．求一个数的百分之几是多少或已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
求一个数是另一 个数的百分之几的应用题，我们一般从问题入手进行分析，弄清把谁当
作单位“1”，谁和“1”比，就 用谁去除以单位“1”。这一类问题还包括有关“百分率”
的问题，如“出勤率”“出粉率”等。
求一个数的百分之几是多少或已知一个数的百分之几是多少，求这个数。像这种类型的
应用题和分数应用题的解题方法是一致的。首先要找出题目中的关键句进行分析，通过分析
关键句，确定 把什么看作单位“1”，找出解题的数量关系式，再根据一个数乘以分数的意
义列式、解答。
本节以上两部分为同学们提供了不同类型的例题，通过研究探讨，帮助大家总结百分数
应用题的解题方法 ，认识解题规律。
建议：我们在解答求一个数是另一个数的百分之几的应用题时，要从问题入 手进行分析。
如“求男生人数占全班人数的百分之几”，我们可以分析出三句话：①把全班人数当作单位
“1”，②男生人数和全班人数比，③男生人数除以全班人数。
例1 某商品降价1000元后，售价4000元，降价百分之几？
[完全解题] 求降价百分之 几，就是求降低的价格是原价的百分之几。那么，我们把原
价当作单位“1”，降低的价格和原价比，关 系式是：降价÷原价。
1000÷(1000＋4000)

＝1000÷5000
＝90%
答：降价20%。
[技法点睛] 求该商品打几折出售，你会吗？
例2 一项工程，甲独做需20天完成，乙独做需25天完成。甲的工作效率比乙的工作
效率高百分之几？
[完全解题] 求甲的工作效率比乙的工作效率高百分之几，就是求甲的工作效率比乙的工作效率多的部分是乙的工作效率的百分之几。那么，把乙的工作效率（
1
）当作单位“1 ”，
25
甲的工作效率比乙的工作效率多的部分(
1
1
－)和乙的工 作效率比，用甲的工作效率比
20
25
乙的工作效率多的部分除以乙的工作效率：
(
11
1
－)÷
25
20
25
1
1
÷
100
25
＝
＝25%
答：甲的工作效率比乙的工作效率高25%。
[技法点睛] 根据已知条件，还可以提出下面的问题，你试一试，做一做，再比一比异
同点。
(1)甲的工作时间比乙少百分之几？
(2)乙的工作效率是甲的百分之几？
(3)乙的工作时间比甲多百分之几？
例3 甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄大20 %，乙的年龄比丙的年龄大20%，甲
的年龄比丙的年龄大百分之几？
[完全解题] 根据题意，甲的年龄比乙的年龄大20%，那么甲的年龄是乙的120%(1＋
20%)，同理，乙的年 龄是丙的120%，那么甲的年龄是丙的120%(相当于乙)的120%。即
(1＋20%)×(1＋20%)＝144%
144%－1＝44%
答：甲的年龄比丙的年龄大44%。
[技法点睛] 同学们在思考这题时，可以把丙的年龄 看作“1”，乙的年龄就是丙的年
龄1.2倍，甲的年龄就是丙年龄的1.2倍的1.2倍。
例4 甲数比乙数多25%，乙数比甲数少百分之几？
[完全解题] 根据题意，甲数比乙 数多25%，我们可以这样来理解，甲数是乙数的
1＋25%＝125%＝
5
。
4
5

4
那么甲数可以看成5份，乙数可以看成4份。求“ 乙数比甲数少百分之几”，可以用乙
数比甲数少的部分除以甲数，即
(5－4)÷5×100%＝20%

答：乙数比甲数少20%。
[技法点睛] 如果列式为：25%÷(1＋25%)，你认为可以吗？为什么？
例5 某班某日有48人到校上课，2人病假，求出勤率。
[完全解题] “出勤率”也 就是出勤的人数是全班人数的百分之几？把全班人数看作
单位“1”，出勤率人数和全班人数比，用出勤 人数÷全班人数。我们一般这样列式
48
×100%＝96%
482
答：出勤率是96%。
[技法点睛] 想一想：缺勤率表示什么？怎么求？
例6 有两堆煤共136吨，某厂从甲堆中取走30%，从乙堆中取走
1
，这时乙堆剩下的< br>4
煤恰好比原来总数的62.5%少13吨，这个厂从甲堆中取走多少吨煤？
[完全解题] 根据“乙堆剩下的煤恰好比原来总数的62.5%少13吨”，可以求出乙堆煤
剩下的吨数：
136×62.5%－13＝72(吨)
根据“从乙堆中取走
1
”，剩下72吨，可以求出乙堆原有的煤为，即
4
72÷(1－
1
)＝96(吨)
4
那么，甲堆原有的煤为
136－96＝40(吨)
因此，求从甲堆中取走多少吨煤，就是求40吨的30%是多少，即
40×30%＝12(吨)
答：这个厂从甲堆中取走12吨煤。
[技法点睛] 百分数应用题和分数 应用题的解题思路是一样的。要善于抓住题目中的关
键句进行分析。首先明确单位“1”，如果单位“1 ”已知．用乘法计算；如果单位“1”未
知，我们要先求出单位“1”，用除法或列方程来解答。其次， 在列式时要考虑具体数量和
分率之间的对应关系。
例7 兴趣小学四年级学生比三 年级多25%，五年级学生比四年级少10%，六年级学生
比五年级多10%，如果六年级学生比三年级 多38人，那么，三至六年级共有学生多少人？
[完全解题] 根据六年级比三年级学生多 38人，我们要先求出六年级学生比三年级学
生多百分之几。以三年级的学生人数为单位“1”，则四年 级学生是三年级的(1＋25%)，五
年级学生为三年级学生的(1＋25%)×(1－10%)，六年 级学生为三年级学生的(1＋25%)×(1
－10%)×(1＋10%)。即
(1＋25%)×(1－10%)×(1＋10%)
＝
911
9919
5
××＝＝1
80
4
1010
80
所以三年级学生人数为

38÷(1
19
－1)
80
＝38÷
19

80
＝160(人)
四年级人数为
160×(1＋25%)＝200(人)
五年级人数为
200×(1－10%)＝180(人)
六年级人数为
180×(1＋10%)＝198(人)
三至六年级共有学生数为
160＋200＋180＋198＝738(人)
答：三至六年级共有学生738人。
[技法点睛] 想一想：如果假设三年级学生有x人，你能用列方程来解答吗？
例8 某厂原有两个操作车 间，现在要重新编为三个车间，将原一车间人数的
1
与原二
3
车间人数的25 %组成新一车间，将原一车间人数的25%与原二车间人数的
1
组成新二车间，
3余下的60人组成新三车间。若新一车间的人数比新二车间的人数多10%，问原一车间有多
少人？
[完全解题] “新一车间人数”＝“原一车间人数”×
1
＋“原二车间人数”×25%
3
1

3
“新二车间人数”＝“原一车间人数”×25%＋“原二车间人数”×
“新一、新二车间人数”＝“原一车间人数”×（
－25%)
11
＋25%)＋“原二车间人数”×（
33
1
那么，新一 、新二车间人数和相当于原来总人数的(原一、原二车间和)的(＋25%)，
3
新三车间人数 相当于原来总人数的(1－
1
－25%)，可以求出原来总人数为
3
60÷(1－
1
5
－25%)＝60÷
3
12

＝144(人)
新一、新二车间人数和为
144×(
1
＋0.25)＝84(人)
3
根据“新一车间人数比新二车间人数多10%”，可以求出新一车间、新二车间各有多少
人？
新二车间人数：
84÷(1＋1＋10%)＝40(人)
新一车间人数：
84－40＝44(人)
设原一车间有x人，原二车间有(144－x)人。

1
x＋(144－x)×25%＝44
3
1
x＝8
12

x＝96
答：原一车间有96人。
例9 14吨葡萄在新疆测得含水量 99%，运抵南京后测得含水量是98%，问葡萄运抵南
京后还剩几吨？(途中其他霉烂损失不计。)
[完全解题] 葡萄从新疆运到南京，失去一部分水分，葡萄的重量会减轻但是葡萄干的重量没有变。我们抓住这一“不变量”来解答。
葡萄干的重量为
4×(1－99%)＝0.04(吨)
葡萄干的重量0.04吨相当于运抵南京时总重量的(1－98%)。因此，葡萄运抵南京时，
还剩
0.04÷(1－98%)＝2(吨)
答：葡萄运抵南京后还剩2吨。
[技法点睛] 想一想：根据葡萄干的重量不变，你能用列方程的方法来解答吗？
创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1．某商品先后两次降价，第一次降价10%，第二次降价20%，现价相当于原价的( )。
A.70% B．88% C．72%
2．甲数比乙数多20%，乙数比丙数少20%，甲数相当于丙数的( )。
A.100% B．96% C．150%
3．桃树棵数比梨树棵数多吾，梨树棵数比桃树少( )。
A.40% B.33.3% C.50% D. 60%
4．有浓度为8%的盐水200克，需加入( )克水，才能成为浓度为5%的盐水。
A.6 B．600 C．120
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．甲车从A地开往B地需要8小时，乙车从A地开往B地需要10小时。甲车的速度比
乙车快 。

2．某校师生参加植树活动，共栽树125棵，有5棵没有成活，成活率为 。
3．甲、乙两人每人都有10张纸，甲给乙 张纸可以使乙的纸张数比甲多50%。
4．李先生1999年花3000元购得一种股票，这 种股票平均每年可增值50%。如果李先
生一直持有这种股票，最早到 年这些股票的总价值会超过30000元。
三、解答题。(每题20分，共60分)
1．一批粮食，第一次取出25吨，第二次取出余下的40%，还剩下一半。这批粮食原来
有多少吨？
2．乘火车从甲城到乙城，1998年初需要19.5小时，1998年火车第一次提速30% ，1999
年第二次提速25%，2000年第三次提速20%。经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火 车只需
多长时间？
3．甲工程队有600人，其中老工人占5%，乙工程队有400 人，老工人占20%，要使甲、
乙工程队中老工人所占的百分比相同，应从乙队中抽调多少名老工人和甲 队的年轻工人进行
一一交换？
第二节 利润问题
1．理清求利润、求成本、求利 润率等相关利润问题的解题思路，会根据百分数应用题的解
题方法来解答利润问题。
2结合生活实际，掌握利润问题的特点，总结解题规律。
3．通过探讨，充分认识利润问题的实际生活意义，提高解决实际问题的能力。
探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
利润问题也是一种常见的百分数应用题。商店 出售商品，总是期望获得利润。一般情况
下，商品从厂家购进的价格称为成本(也叫进价)，商家在成本 的基础上提高价格出售，所赚
的钱称之为利润，利润与成本的比称之为利润率。利润率通常用百分数来表 示。
利润率＝(定价－成本)÷成本
定价＝成本×(1＋利润率)
商品的定价按照期望的利润率来确定。
例如：某商品进价100元，以130元卖出(定价1 30元)，就可获利润30元，利润率就
是30%。(30÷100＝30%)
利润 问题与我们平时的生活实际联系十分紧密，只要大家能够结合生活实际来思考这种
问题，还是比较容易理 解的。这一节我们就具体探讨有关利润的问题。
建议：解答利润首先要理解以下的关系：
利润＝卖价(定价)－成本(进价)
利润率＝(定价－进价)÷进价
其次 ，在商品出售过程中，可能会出现降低利润(甚至亏本)减价出售的情况，减价也称
“打折”，减价20 %，就是按定价的1－20%＝80%出售，通常称之为打八折出售。
另外，有时利润问题需要根据题目中数量间的相等关系列方程解答。 ‘
例1 某商品按20%利润定价，然后8.8折卖出，共获得利润84元，求商品的成本是多
少元？
[完全解题] 把商品的成本看作单位“1”，则定价为成本的1＋20%＝120%，打8.8折
后，这时的卖价为
(1－1－20%)×88%＝105.6%
那么实际利润率为
105.6%－1＝5.6%
商品的成本为
84÷5.6%＝1500(元)

答：商品的成本是1500元。
[技法点睛] 我们也可以用方程来解这道题。设商品的成本为x元。根据“卖价－成本＝利润”这个等量关系来列方程。
x(1＋20%)×88%－x＝84
1.056x－x＝84
0.056x＝84
x＝1500
例2 某商品按定价的80%(八折)出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润是百
分之几？
[完全解题] 根据“能获得20%的利润”可知，在打八折后，实际的卖价是成本的120 %，
也就是说，原来定价的80%是成本的120%，那么原定价占成本的百分之几为
120%÷80%＝150%
因此，原期望的利润率是
150%－1＝50%
答：定价时期望的利润是50%。
[技法点睛] 想一想：设期望利润为x，你能列方程来解答吗？
例3 某商店进了一批 笔记本，按30%的利润定价。当售出这批笔记本的80%后，为了
尽早销完，商店把余下的笔记本按定 价的一半出售。销完后商店实际获得利润百分数是多
少？
[完全解题] 根据“按30%的利润定价”可以知道，定价相当于成本的百分率为
1＋30%＝130%
卖出80%后，卖得的价钱相当于成本的百分率，即
130%×80%＝104%
剩下20%的笔记本按定价的一半出售，卖得的价钱相当于成本的百分率，即
130%×50%×20%＝13%
这样，卖完后，实际卖价相当于成本的百分率，即
104%＋13%＝117%
因此，实际获得利润百分数为
117%－1＝17%
答：销完后商店实际获得利润百分数是17%。
[技法点睛] 这种类型的题目我们也可以 应用具体数据带入的方法来解答，想一想：如
果假设有100本练习本，每本成本10元，你能算出这道 题的答案吗？
例5 某商品按定价出售，每个可获得45元的利润。现在按定价打八五折出 售8个所
能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样。这种商品每个定价< br>多少元？
[完全解题] 原来每个获利45元。现在每个减价35元出售12个获得的利润为
(45－35)×12＝120(元)
根据题意，120元也就是按定价打八五折出售8个所能获得的利润，那么每个商品少赚
的钱数为
45－120÷8＝30(元)
因为打八五折出售，少赚了定价的15%(1－85%＝15%)，因此定价为
30÷15%＝200(元)
答：这种商品每个定价200元。
例5 某商场在迎亚运展销期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，可

盈利215元；如果减去定价的20%出售，亏损125元。此商品的购入价是多少元？
[完全解题] 第二种降价方法比第一种多降了定价的10%(20%－10%)，而导致第二种方
法 比第一种少卖了340元(215＋125＝340元)，说明定价的10%就是340元。因此该商品的
定价为
(215＋125)÷(20%－10%)－3400t元)
那么该商品的购入价为
3400×(1－10%)－215
＝3060－215
＝2845(元)
答：此商品的购入价是2845元。
例6 张先生向商店订购某一商品，每件定价100元 ，共定购60件。张先生对商店经
理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购3件。”商店经理算 了一下，如果减价4%，
由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润。这种商品的成本是多少元？
[完全解题] 根据“减价4%”，可得现在每件96元[100×(1－4%)＝96]； 由“每减价
1元，就多订购3件”，可得现在订购72件，即为
60＋3×4＝72(件)
设这种商品的成本为x元，根据“总利润一样”列方程为
(100－x)×60＝(96－x)×72
12x＝912
x＝76
答：这种商品的成本是76元。
创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1． 某商品按定价卖出可得利润960元，如果按定价的80%出售，则亏损832元。该商
品的购入价是( )元。
A.8000 B．3200 C．5120
2．某种商品的利润是20%，如果进货价降低20%，售价保持不变，那么商品的利润是
( )。
A．150% B．50% C．40%
3．一批商品，按期望获得50%的利润来定价。结果只销掉70%的商品，为尽早销掉剩下
的商品，商 店决定按定价打折出售。这样获得的全部利润，是原来所期望利润的82%。问：
打了( )折。
A.六 B．七五 C．八
4．甲、乙两 种商品成本共200元。甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，
后来两种商品都按定 价的90%出售，结果仍获利润27.7元。甲种商品的成本是( )元。
A．70 B．130 C．100
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．商店以 每双6.5元的价格购进一批凉鞋，售价7.4元。卖到还剩5双时，除全部成
本外还获利44元。这批 凉鞋共有 双。
2．某商品按每个利润5元卖出4个的钱数，与按每个利润20元卖 出3个的钱数一样多。
这种商品的成本是 元。
3．某商品按20%的利润定价，然后又打八折出售，结果亏损200元。这种商品每个成
本是 元。
4．文化商店用2400元进了一批篮球和足球，篮球比足球多15个，商店出售足球的 定

价是20元，篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获得利润820元。足球有 个，
篮球有 个。
三、解答题。(每题20分，共60分)
1． 商店以每副13元购进一批手套，售价为14.8元。卖出还剩5副时，除去这批手套
全部成本外，还获 利88元。这批手套共有多少副？
2．某书店出售一种挂历，每售出一本可获得利润18元。 售出善后，每本减价10元出
售，全部售完，共获利润3000元。书店共售出这种挂历多少本？
3．(“小学生数学报杯”江苏省首届小学生探索与应用能力竞赛初赛试题)银鹰国际商
厦采用“满300送50”的办法来促销，办法是这样的：购物满300元，赠送50元“礼券”，
不 足300的部分略去不计。如买720元商品，可获得两张50元(即100元)“礼券”，余下
的12 0元略去不计。“礼券”可在下次购物时代替现金，但使用礼券的部分不能再享受“满
300送50”的 优惠。一位顾客先用1000元购了A商品，得到“礼券”后，又用这些“礼券”
和280元现金购了 B商品。问：这位顾客在银鹰国际商厦购A、B两种商品相当于享受几折
的优惠？

第三节 浓度问题
探究目标
1. 理清稀释、蒸发以及两种溶液混合等相关浓度 问题的解题思路，会灵活运用各种方法来
正确解答浓度问题。
2．在探究例题的基础上，联系生活实际，掌握浓度问题的特点，总结解题规律。
3.体验探究过程，理解学习方法，提高解决实际问题的能力。

探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！
浓度问题是一种常见的百分数应用题。在日常 生活中．“糖水甜不甜？”等这些问题都
是有关浓度的问题。糖水甜的程度是由糖与水两者量的比值所决 定的。若水的量一定，则含
糖量越多，糖水就越甜。我们把糖与糖水的重量的比值称为糖水的浓度。即
糖水的浓度＝
糖
×100%
糖+水
当然，还有盐水的浓度 ，药水的浓度等。通常把糖、盐、纯酒精等称为溶质(被溶解的
物质)，把溶解这些溶质的液体称为溶剂 ，如水等。溶质和溶剂的混合液体称为溶液，如糖
水、盐水等。因此浓度就是溶质重量与溶液重量的比值 。
浓度＝
溶质重量
×100%
溶液重量
可见，浓度问题 是百分数应用题的一个重要部分，下面我们研究探讨一些与浓度有关的
应用题，一方面帮助我们熟悉浓度 的概念及其应用，同时也培养锻炼我们的思维，为今后的
学习和研究奠定基础。
建议：1．解答浓度问题，首先要理解浓度的含义及相关的数量关系式：
浓度＝溶质÷(溶质＋溶剂)
溶质＝溶液×浓度
2．在解答浓度问题时，要学会选择解题方法，如前面所说的“抓 不变量”“列方程解”
等方法在本问题中会经常用到。
3．在有些题目稍难的情况下，要学会分步分析、分步解答。

例1 浓度为25%的盐水60克，要稀释成浓度为6%的盐水，应该怎么做？
[完全解题] 要 把25%的盐水稀释成6%的盐水，必须加水。可见，水的含量变大，盐水
的量也随之增大，而惟一不变 的是盐的量。我们可根据前面所讲的用“抓不变量”的方法来
解答。盐的数量不变，我们先求出盐的重量 为
60×25%＝15(克)
在盐水中加入若干克水后，盐水的浓度变为6%，这 时盐水中盐的重量没有改变，仍然
是15克。根据“现在盐水的重量”×6%＝15(克)可以求出现在 盐水的重量。再用现在盐水
的重量减去原来盐水的重量就得到加入的水的重量，即为
15÷6%－60＝190(克)
答：应该加水190克。
[技法点睛] 想一想：根据题意，含盐量不变，也就是说现在的盐的克数等于原来的盐
的克数。
那么我们可以据此等量列方程来解，你看下面方程列得对吗？
设应加水x克。
60×25%＝(60＋x)×6%
例2 现有浓度为20%的糖水350克，要把它变成浓度为30%的糖水，需加糖多少克？
[完全解题] 根据题意，在浓度为20%的糖水中加糖，就改变了原来糖水的浓度。糖的
重量增加了 ，糖水的总重量也随之而增加，但水的重量并没有改变，我们就抓住这个“不变
量”来解答。
先求出原来糖水中水的重量为
350×(1－20%)＝280(克)
280克的 水也是现在糖水中的水的重量。根据“现在糖水重量×(1－30%)＝280”可以
求出现在的糖水重 量，用现在糖水重量减去原来糖水重量就可以求出加糖的重量为
280÷(1－3026)－350＝50(克)
答：需加糖50克。
[技法点睛] 想一想：根据水的重量不变这一关键条件，你能列方程来解答吗？
例3 有含盐8%的盐水40千克，要配制含盐20%的盐水100千克，需加入的盐水的浓
度为百分之几？
[完全解题] 根据题意，加入新盐水后，盐水总量为100千克，那么可求出加入的盐水
重量为
100－40＝60(千克)
要求加入的盐水的浓度，还必须求出加入的盐水60千 克中含盐的千克数。根据“含盐
8%的盐水40千克”，可以求出原盐水的盐的千克数，根据“含盐20 %的盐水100千克”可
以求出现在盐水中的盐的千克数。两者的差就是加入的盐水的盐的千克数，即为
100×20%－40×8%
＝20－3.2
＝16.8(千克)
那么加入的盐水的浓度为
16.8÷60×100%＝28%
答：需加入的盐水的浓度为28%。
例4 浓度为60%的酒精溶液20 0克，与浓度为30%的酒精溶液300克，混合后所得到
的酒精溶液的浓度是多少？
[完全解题] 要求混合后的溶液浓度，必须求出混合后溶液的总重量和所含纯酒精的重
量。

混合后溶液的总重量，即为原来两种溶液重量的和
200＋300＝500(克)
混合后纯酒精的含量等于混合前两种溶液中纯酒精含量的和
200×60%＋300×30%
＝120＋90
＝210(克)
那么混合后的酒精溶液的浓度为
210÷500×100%＝42%
答：混合后所得到的酒精溶液的浓度是42%。
例5 在100千克浓度为s0%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液，就
可以配制成浓度为25%的硫酸溶液？
[完全解题] 我们可以根据“50%溶液 的纯硫酸＋5%溶液的纯硫酸＝25%溶液的纯硫酸”
这个等量关系用方程来解答。
设需加入x千克的浓度为5%的硫酸溶液。
100×50%＋x×5%＝(100＋x)×25%
50＋0.05x＝25＋0.25x
0.2x＝25
x＝125
答：再加入125千克的浓度为5%的硫酸溶液。
[技法点睛] 根据题意，我们可以发现，原来100千克的硫酸溶液含有纯硫酸为
100×50%＝50(千克)
混合后这100千克的溶液浓度为25%，相对而言，纯硫酸少了25千克。即为
50－100×25%＝25(千克)
纯硫酸少25千克的原因是加入5%的硫酸溶液混合后 浓度变成了25%，相对而言，5%的
硫酸溶液中纯硫酸多了25千克。也就是说．加入的硫酸溶液的2 0%(25%－5%＝20%)是25千
克，那么加入的硫酸溶液的重量为
25÷(25%－5%)
＝25÷20%
＝125(千克)
例6 从装满200克浓度为50%的盐水杯中倒出40克盐水后，然后 再倒入清水将杯子倒
满。搅拌后再倒出40克盐水，然后再倒入清水将杯子倒满。这样反复三次后，杯中 盐水的
浓度是多少？
[完全解题] 根据题意可知，每次盐水杯中盐水的总重量为 200克，因此，我们可以分
别求出每次杯中的盐的重量和相应的浓度。
原来杯中盐的重量为
200×50%＝100(克)
第一次倒出的盐水中盐的重量为
40×50%＝20(克)
第一次倒出40克，再加入清水后，盐水浓度为
(100－40×50%)÷200×100%＝40%
第二次倒出的盐水中盐的重量为
40×40%＝16(克)
第二次倒出40克，再加入清水后，盐水浓度为
(100－20－16)÷200×100%＝32%

第三次倒出的盐水中含盐量为
40×32%＝12.8(克)
第三次倒出40克后，再加入清水，此时盐水浓度为
(100－20－16－12.8)÷200＝25.6%
答：反复三次后，杯中盐水的浓度是25.6%。
例7 甲、乙、丙三个杯中各盛有】0 克、20克、30克水。把A种浓度的盐水10克
倒入甲中，混合后取出10克倒入乙，再混合后又从乙 中取出10克倒入丙中，现在丙中的盐
水浓度为2%。A种盐水浓度是百分之几？
[完全解题] 混合后甲、乙、丙三个杯中应有的盐水分别是20克、30克和40克。根
据“现在丙 中的盐水浓度为2%”，可以求出现在丙杯中的盐的重量。又因为丙杯原来只有
30克水，它的盐是从乙 杯取出的10克盐水中的，由此可求出乙杯中30克盐水中共有多少
克盐。
(30＋10)×2%÷10
＝40×2%÷10
＝8%
(20＋10)×8%＝2.4(克)
而乙杯中盐是从甲杯中取出的10克盐水中的，由此又可以求出甲杯中盐水所含有的盐
的克数。
2.4克盐就是10克甲杯中盐水的所含盐的克数，那么甲杯中盐水的浓度为
2.4÷10＝24%
甲杯中所含盐的克数即10克A种浓度的盐水中盐的克数，则A种盐水的浓度为
20×24%÷10＝48%
答：A种盐水浓度是48%。

创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！
一、选择题。(每题5分，共20分)
1．要用含氨0.15%的氨水进行油菜施肥，现有含氨16%的氨水30千克，配制时需要加
水( )千克。
A.3170 B．3200 C．3230
2．在浓度为15%的200克糖水中，加入( )克水，就能得到浓度为10%的糖水。
A．100 B．300 C．400
3．一个容器内装满24升浓度为80%的酒精，倒出若干后用水加满，这时容器 内酒精的
浓度为50%。原来倒出浓度为80%的酒精( )升。
A.7.2 B．15 C．9
4．A.B、C三个试管中各盛有 10克.20克和30克水。把某种浓度的盐水10克倒入A
中，混合后到出10克倒入B中，再混合后 又取出10克倒入C中，现在C中的盐水浓度是
0.5%，最早倒入A中的盐水浓度是( )%。
A.2 B．6 C．12
二、填空题。(每题5分，共20分)
1．把含糖5%的糖水和含糖8%的糖水混合制成含糖6%的糖水600克，应取5%的糖水
克，8%的糖水 克。
2．有浓度为2.5%的盐水210克？为了制成浓度为3.5%的盐水，从中要蒸发掉 克
水。
3．把浓度为80%的盐水80克与浓度为40%的盐水40克混合，盐水的浓度是 。

4．现有浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克 ，混合后所得的酒
精溶液的浓度是 。
三、解答题。(每题20分，共60分)
1．从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水后，再倒清水将杯倒满。搅拌后< br>再倒出40克盐水，然后再倒入清水将杯倒满。这样反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
2．甲种酒中含纯酒精40%，乙种酒中含纯精36%，丙种酒中含纯酒精35%。将三种酒混
在一起得 到含纯酒精38.5%的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克。那么甲种酒有多
少千克？
3．甲容器中有8%的盐水300克，乙容器中有12.5%的盐水120克。往甲、乙两容器中
分别 倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒水多少克？

本章测试卷
(满分100分)
一、填空题。(每题4分，共40分)
1．山羊的只数和绵羊只数比为4：5，山羊比绵羊少 %．绵羊是山羊的 %。
2．甲数比乙数少20%，乙数比甲数多 %。
3．一种30%的盐水，加入3克盐和7克水后，盐水的浓度是 %。
4．一种商品，今年售价比去年降低25%，去年比前年降低20%，今年售价比前年降
低 %。
5．一种糖水的浓度是10%，12克糖需加水 克。
6．一种商品，进货价是250元，售价300元，这种商品卖出后所能获得的利润占成本
的 。
7．商店出售一种热水器，原价1040元，现价832元，打 折出售。
8．一本书的售价26元，这本书售出后可获得30%的利润，这本书成本是 。
9．甲、乙两堆煤，甲堆120吨，乙堆90吨，两堆都卖出同样多的煤以后，乙堆剩下的正好是甲堆的
1
，甲、乙各卖出 吨。
4
10.某厂 计划全年完成1600万元，上半年完成了全年计划的60%，下半年比上半年多完
成
1
，这样全年产值可超过原计划的 %。
8
二、解答题。(每题6分，共60分)
1．有一堆沙子，第一次用去35%，第二次用去余下的20%，第三次用去第二次剩下的75%，还剩15.6立方米，求这堆沙子原来有多少立方米？
2．某乡去年春季植树4 50棵，成活率为80%，去年秋季植树的成活率为90%。已知去年
春季比秋季多死18棵，问这个乡 去年一共种活多少棵树？
3．有浓度为8%的盐水200克，需稀释成浓度为5%的盐水，应加清水多少克？
4．有浓 度为8%的盐水200克，需加入多少克浓度为20%的盐水，才能成为浓度为15%
的盐水？
5．有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50%酒精的溶液，
先将乙杯中酒 精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。这时
乙杯中酒精溶液的浓度是多 少？
6．甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精