小学奥数数论之分解质因数(一)(教师版)
海东人事考试信息网-贫困生申请表
5-3-4.分解质因数(一)
教学目标
1.
2.
能够利用短除法分解
整数唯一分解定理:让学生自
己初步领悟“任何一个数字都可以表示为
△
☆
△
☆
...△<
br>☆
的结构,而且
表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
(1).质因数:如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数.
(2).互质数:公约数只有1的两个自然数,叫做互质数.
(3).分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.
例如:<
br>30235
.其中2、3、5叫做30的质因数.又如
1222322
3
,2、3都叫做12的质因数,
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,
在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分
解质因数往往是解数论题目的突破口,
因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
(4).分解质因数的方法:短除法
212
例如:
26
,(┖是短除法的符号)
所以
12223
;
3
二、唯一分解定理
a
3a
1
a
2
p
2
p
3
任
何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即:
np
1
a
1
a
2
a
k
为自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分
解式.
a
k
p
k
其中为质数,
例如:三个连续自然数的
乘积是210,求这三个数.
分析:∵210=2×3×5×7,∴可知这三个数是5、6和7.
三、部分特殊数的分解
111337
;
100171113;
1111141271
;
1000173137
;
1
99535719
;
1998233337
;
1
200733223
;
200822225
1
;
10101371337
.
例题精讲
模块一、分解质因数
【例 1】 分解质因数20034=
。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】2004年,第2届,走美杯,决赛,5年级,决赛,第2题,10分
【解析】
原式
23
3
753
【答案】
23
3
753
【例 2】
三个连续自然数的乘积是
210
,求这三个数是多少?
【考点】分解质因数
【难度】1星 【题型】填空
【解析】
210
分解质因数:
210
2357
,可知这三个数是
5
、
6
和
7
。
【答案】
5
、
6
和
7
【例
3】 两个连续奇数的乘积是
111555
,这两个奇数之和是多少?
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 所以和为
6
68
.本讲
111555
分解质因数:
111555335376
7
(
3337
)
(
567
)
333335
,
不仅要求学生熟练掌握分解质因数,而且要注意一些技巧,例如本题中的111337
。
【答案】
668
【巩固】
已知两个自然数的积是35,差是2,则这两个自然数的和是_______.
【考点】分解质因数
【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2005年,希望杯,第三届,四年级,二试,第8题
【解析】 35=1×35=5×7,5、7差2,两个自然数的和是5+7=12
【答案】
12
元
【例 4】
今年是2010年,从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是
【考点】分解质因数
【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2010年,学而思杯,6年级,1试,第3题
【解析】
1112131716
,
1213142184,所以是2184
【答案】
2184
【例 5】
如果两个合数互质,它们的最小公倍数是126,那么,它们的和是 .
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2009年,迎春杯,五年级,初赛,第3题
12623
2
7
,因为两个数互质且都是合数,所以这两个数只能为
9
和
14
,
它们的和为
23
.
【解析】
1
。
【答案】
23
【例 6】 4个一位
数的乘积是360,并且其中只有一个是合数,那么在这4个数字所组成的四位数中,最大
的一个是多少
?
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将360分解质
因数得
360222335
,它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一
个
是合数,所有该合数必至少为
633
个质因数的积,又只有3个2相乘才能是一
位数,所以这4
个乘数分别为3,3,5,8,所组成的最大四位数是8533.
【答案】8533
【例 7】
已知5个人都属牛,它们年龄的乘积是589225,那么他们年龄的和为多少?
【考点】分解质因数
【难度】2星 【题型】解答
【解析】
基本思路与上题一样,重点还是在“1”这个因数的使用上,所以分解因数得到
589225113253749
,五个人的年龄和为125岁。
【答案】125岁
【例 8】 如果两个自然数的和与差的积是23,那么这两个
自然数的和除以这两个数的差的商是
___________。
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】<
br>2010
年,第
8
届,希望杯,
4
年级,初赛,
4<
br>题
【解析】 根据题意列式子如下:
ab
ab
23
,因为
23
分解质因数是
1
与23
,所以
ab23,ab1
,
根据和差关系算出
a
12
,
b11
,所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23,
【答案】
23
【例 9】
2004720
的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积,这三个连续自然数之和最小是多少?
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 首先分解质因数,<
br>20047202222357167
,其中最大的质因数是167,所以
所要求
的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.
165351
,<
br>166283
,
16822237
,
169131
3
,所以
165166167
,
166167168
,167168169
都没有4个2,不满足题意.说明
167不可行.尝试
3
341672
,
335567
,
336222237<
br>,
3343353362222235767167
,包括了
2004720
中的所有质因数,所以这组
符合题意,以此三数之和最小为100
5.
1
【答案】1005
【例 10】
A是乘积为2007的5个自然数之和,B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A、B两数之差的
最大值是 。
【考点】分解质因数
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】<
br>2007
年,第
12
届,华杯赛,五年级,决赛,第
8
题,<
br>10
分
2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×
1×1×3×669=1×1×1×1×2007
,所以
A
的可能值是
231
或
235
或【解析】
675
或
2011
,又
2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×200
7
,所以
B
的可能值是
230
或
234
或
674
或
2010
,
A
、
B
两数之差的最大值为<
br> 2011
-
230=1781
。
【答案】
1781
【例 11】 (老师可以先引入:小明一家
四兄弟,大哥叫大毛,二哥叫二毛,三哥叫三毛,那老四叫什么?)
大毛、二毛、三毛、小明四个人,他
们的年龄一个比一个大
2
岁,他们四个人年龄的乘积是
48384
。
问他们四个人的年龄各是几岁?
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 题中告诉我们,
48384
是四个人年龄的乘积,只要我们把
48
384
分解质因数,再按照每组相差2来
分成四个数相乘,这四个数就是四个人的年龄了。 <
br>4838428337
(223)(27)24(232)
12
141618
,由此得出这四个人的年龄分别
是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知,这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数,
当然这四个数不是奇数,一定是偶数。又因为
48384
的个位数字不是0,显然这四
个数中,没有
个位数字是0的,那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为
10
4
48384
,而
4838420
4
,
所以
可以断定,这四个数一定是12、14、16、18。也就是说,这四个人的年龄分别是12岁、14
岁、16岁、18岁。答:这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。
【答案】12岁、14岁、16岁、18岁
【例 12】 甲数比乙数大
5
,乙数比丙数大
5
,三个数的乘积是
6384
,求这三个数?
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将
6384
分解质因数,
638422223719
,则其中必有一个数是
19
或
19
的倍数;经试算,
恰好
1419246384<
br>,所以这三个数即为
14
,
1951427
,
19
5242223
,
19
,
24
.
一般象这种类型
的题,都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里
19
不符合要求,下一个该考虑
38
,再下一个该考虑
57
,依此类推.
【答案】
14
,
19
,
24
1
【例 13】
四个连续自然数的乘积是3024,这四个自然数中最大的一个是多少?
【考点】分解质因数
【难度】2星 【题型】填空
【解析】 分解质因数
30242
4
3
3
7
,考虑其中最大的质因数7,说明这四个自然数中必定有一个是7的倍
数.若为7,因3024不含有质因数5,那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10
仍含
有5,不行),经检验6、7、8、9恰符合.
【答案】9
【例
14】 植树节到了,某市举行大型植树活动,共有1430人参加植树,要把人数分成相等的若干队,且每队人数在100至200之间,则有分法( )。
A、3种
B、7种 C、11种 D、13种
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】2007年,第12届,华杯赛,五年级,初赛,第4题
【解析】 只要找到10
0到200之间可以整除1430的数即可。1430可分解成2,5,11,13的乘积,所以
可以按
每组110人,130人,143人分组,共有3个方案。所以答案为A
【答案】
A
【例 15】 a
、
b
、
c
、
d
、
e这五个无数各不相同,它们两两相乘后的积从小到大排列
依次为:3,6,15,18,
20,50,60,100,120,300.那么,这五个数中从小大
大排列第2个数的平方是___________。
A. 1 B. 3
C. 5 D. 10
【考点】分解质因数 【难度】5星
【题型】选择
【关键词】2006年,迎春杯,中年级,复试,2题
5
【解析】
D,解:设
abcde
。由
ab3,ac6
推知
c2
b
;由
ce120,de300
推知
dc5b
。
2
bcb2b2b
2
,
bdb5b5b
2
,cd2b5b10b
2
。在
15,18,20,50,60,100
中,满足
2:5:10
的
三个数是
20,50,100,
所以b
2
1001010
。
【答案】
D
【例 16】 a、b、c、d、e这五个数各不相同,他们两两相乘后的积从小到大排列依次为:0.
3、0.6、1.5、1.8、
2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行,那么,
左起第2个数是_________。
(A)0.3 (B)0.5 (C)1 (D)1.5
【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择
【关键词】2006年,迎春杯,高年级,复试,2题
【解析】
C
,设<
br>abcde
。由题意知,
ab0.3
,
ac0.6
,推知
c2b
;由
ce12
,
de30
,推知305
dcc5b
,
bcb2b2b
2
,
bdb5b5b
2
,
cd2b5b10b
2
,在
1.5,1.8,2,5,6,10
中,
122
满足
2:5:10
的三个数是
2,5,10
,所以
10b
2
10
,
b
2
1
,
b1
。
【答案】
1
【例 17】 将1~9九个自然数分成三组,每组三个数.第一组三个数的乘积是48,第
二组三个数的乘积是45,
第三组三个数字之和最大是多少?
【考点】分解质因数
【难度】2星 【题型】解答
1
【解析】 分解质因数<
br>45335
,
4822223
,可知45只能是1,5,9的
乘积,而48可能是2,4,
6或2,3,8或1,6,8(舍去),则第三组的三个数可能是3,7,
8或4,6,7,其中和最大的是
37818
.
【答案】18
【例 18】 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米,它的体积是1998立方厘米,那么它的长、宽
、高的和的
最小可能值是多少厘米?
【考点】分解质因数 【难度】3星
【题型】解答
【解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时,它们相互越接近,和越小.如
3个数的积为18,则
三个数为2、3、3时和最小,为8.1998=2×3×3×3×37,37是
质数,不能再分解,所以2×3×3×3对
应的两个数应越接近越好.有2×3×3×3=6×9时,即
1998=6×9×37时,这三个自然数最接近.它们的
和为6+9+37=52(厘米).
【答案】52
【例 19】 一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数,它的
体积是39270立方厘米,那么这个长方体的表
面积是多少平方厘米?
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 39270=2×3
×5×7×11×17,为三个连续自然数的乘积,而34×34×34最接近39270,39270的约数中
接
近或等于34的有35、34、33,有33×34×35=39270.所以33、34、35为满
足题意的长、宽、高.则
长方体的表面积为:
2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33
×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米).
方法二:39270=2×3×5×7
×11×17,为三个连续自然数的乘积,考虑质因数17,如果17作为长、宽或
高显然不满足.当1
7与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立,再考虑质因数7,与
34接近的数32~36
中,只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度.而39270
的质因数中只剩下了
3和1l,所以这个长方体的大小为33×34×35.长方体的表面积为
2×(
3927++)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米).
333435
【答案】6934
【例 20】
如果两数的和是64,两数的积可以整除4875,那么这两个数的差等于多少?
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
1
【解析】 4875=3×5×5×5×13,有a×b为4875的约数,且这两个数的和为64.发
现39=3×13、25=5×5这两个
数的和为64,所以39、25为满足题意的两个数.那么它们
的差为39-25=14。
【答案】14
【例 21】 有两个整数,它们的和
恰好是两个数字相同的两位数,它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.
求这两个整数分别是多少?
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 两位数中,数字相同
的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个,它们中的每个数都
可以表
示成两个整数相加的形式,例如
331322313301617
,共有1
6种形式,
如果把每个数都这样分解,再相乘,看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数,显然太繁琐
了.可
以从乘积入手,因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666
、777、888、999,每
个数都是111的倍数,而
111373
,因此把
这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位
数相乘时,必有一个因数是37或37的倍数,但只
能是37的2倍(想想为什么?)3倍就不是两位数
了.
把九个三位数分解:
111
373
、
222376743
、
333379
、<
br>4443712746
、
5553715
、
66637
18749
、
7773721
、
88837247412
、
9993727
.
把两个因数相加,只有(
743
)
77
和(
3718
)
55
的两位数字相同.所以
满足题意的答案是74和3,
37和18.
【答案】74和3,37和18
【例 22】 如果一个数,将它的数字倒排后所得的数仍是这个数,我们称这个数为回文数.如年份数
1991,
具有如下两个性质:①1991是一个回文数.②1991可以分解成一个两位质数回文数和
一个三位质
数回文数的积.在1000年到2000年之间的一千年中,除了1991外,具有性质①和
②的年份数,
有哪些?
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这一千年间回文数年份共有10个,除去1991外,还有1001,1111,1221,
1331,1441,1551,1661,
1771,1881.符合条件②的两位质数只能是11,
所以符合条件②的只有三个,即
11
101
1111, 11
131
1441,11
15l
1661.
【答案】11
101
1111, 11
13
1
1441,11
15l
1661
【例 23】
有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是140.如果把所有这样的分数从小到大排列,那
1
么第三个分数是多少?
【考点】分解质因数 【难度】3星
【题型】解答
【解析】 有140=2×2×5×7,要保证分数最简即要让分子与分母是互质的,那
么两个质因数2必须同时位于分
子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是.
1122455775
,倒数第三小的是。
,,,
225
71405735227282252028
【答案】
5
28
【例 24】 纯循环小数
写成最简分数时,分子和分母的和
是
58
,则三位数
abc_________
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空
abc
【解析】 如果
直接把
转化为分数,应该是
,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们
999
将
999
分解质因数得:
9993
3
37
,这个最简分数的分母应小于
58
,而且大于
29
,否则该分
数就变成了假分数了,符合这个要求的
999
的约数就只有37了,因此,分母应当为
37,分子就是
abcabc21
,因此
abc2127567
. <
br>583721
,也就是说
999372737
【答案】5
67
模块二、分解质因式
【例 25】
三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍,求这三个质数.
【考点】分解质因式 【难度】2星
【题型】解答
【解析】 设这三个质数分别是
a
、
b
、
c
,满足
abc11(abc)
,则可知
a
、
b
、
c
中必有一个为11,不妨
记为
a
,那么
bc11
bc
,整理得(
b1
)(
c1
)
12
,又
121122634
,对应的
b2
、
c13
或
b3
、
c7
或
b4
、
c5
(舍去),所以这三个质数可能是2,11,13或3,7,11.
【答案】2、11、13或3、7、11
【例 26】
三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍,求这三个质数.
【考点】分解质因式 【难度】2星
【题型】解答
【解析】 设这三个质数分别是
a
、
b
、
c
,满足
abc7(abc)
,则可知
a
、
b
、
c
中必有一个为7,不妨记
c
9(舍去)或
b
3、为
a
,那么
bc7bc
,整理得
(b1)(
c1)8
,又
81824
,对应的
b
2、<
br>c
5,所以这三个质数可能是3,5,7
【答案】3、5、7
【例 27】 如图,长方形周长为
20
,面积为
24
。另一个长方
形,面积为
20
,周长为
24
。它的长是 ,
1
宽是 。
6
4
【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2008年,第8届,走美杯,3年级,决赛,第7题,10分
【解析】 周长为
24
则,长和宽的和为
24212
,因为
201202
1045
,因为
10212
,所以它的
长是
10
,
宽是
2
。
【答案】长是
10
,宽是
2
【例 28】 在面前有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质
数,那么这
个长方体的体积是多少?
【考点】分解质因式 【难度】3星
【题型】解答
【解析】
如下图,设长、宽、高依次为a、b、c,有正面和上面的和为ac+ab=209.
ac+ab=a×(c+b)=209,而209=11×19.
当a=11时,c+b=1
9,当两个质数的和为奇数,则其中必定有一个数为偶质数2,则c+b=2+17;
当a=19时,c+b=11,则c+b=2+9,b为9不是质数,所以不满足题意.
所以它们的乘积为11×2×17=374.
【答案】374
【例
29】 两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17,19可得到一个四位数1719,由19
,17
也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所
有这
样的四位数。
【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设这2个两位质数分别是
a
和
b
,则这个四位数是
100ab
,根据条件可知:
(
ab
)|(
200a2b<
br>),设
因此
ab
(100
ab
)
,即
2
200a2b
,化简得(
200k
)
a
(
k2
)
b
,
k
,则
200a2bk
(ab
)
ab
b200k
,其中
k
是整数,
a
和
b
均为两位质数,设
200kbm
,
k2
am
,则两式相加得
ak2
(
ab
)
m1
98
,注意到
a
和
b
都是质数即也是奇数,所以
ab是
198
的约数.
19823
2
11
,由于<
br>a
、
b
都是两位不同的质数,因为
1113ab8997<
br>中的偶数,所以
ab66
【答案】1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729
1
赠送一篇美文,舒缓一下心情:
1) 有一种情,相濡以沫温馨处处在,有一种意,海枯石烂温暖处处开,有一颗心,沧海桑田温情永不
变,有一句话,
相知相守爱你一万年,老婆我爱你永不变!
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也不好受,如果是我酿成了此错,希望你能原谅,如果不能原谅,我自己也无法原谅自
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,
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4) 家有娇妻真温馨,知心相爱常厮守,贤慧温
柔知我意,相守一世真幸福,一生至爱是我妻,甜蜜短信送我妻,
永不改变爱你意。
5)
家中红旗永不倒,外面野花不会采。春光明媚花朵艳,不及老婆温柔剑。服侍双亲多辛劳,相夫教子令人敬。烧的一手好饭菜,贤良淑德惹人羡。
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