屈原的千古名句-关于新闻的作文

求通项公式的几种方法
山东 徐美春 聂洪玉

数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法．


一、观察法
已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．
例1 观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．
2122345
（1）
1，，，
； （2）
，，，
．
325381524
n1
2
解：（1）
a
n
< br>； （2）
a
n
(1)
n
．
2
(n1)1
n1

二、由

a
n

的前
n
项和
S
n
与
a
n
间的关系，求通项

已知数列

a
n

的通项公 式，可以求出

a
n

的前
n
项和
Sn
a
1
a
2
a
3
La
n< br>；反过来，
若已知

a
n

的前
n
项和
S
n
，如何求
a
n
呢？
∵S
n< br>a
1
a
2
La
n1
a
n
，S
n1
a
1
a
2
La
n1
(n≥2)
，
当
n1
时，
a
1
S
1
；当
n≥2
时，
a
n
S
n
S
n1
，

S
1
(n1)，
故
a
n



SS (n≥2).
n1

n
此处应注意
a
n
S
n
S
n1
并非对所有的
nN

都成立，而只对当
n≥ 2
且为正整数时成
立，因此由
S
n
求
a
n
时必须分
n1
和
n≥2
两种情况进行讨论．
例2 设数列
a
n

的前
n
项和
S
n
 3gn
2
n(nN

)
，求数列

a
n

的通项公式．
解：当
n1
时，
a
1
S
1
31
2
12
；
当
n≥2
时，
a
n
S
n
S
n1
3n
2< br>n3(n1)
2
n16n4
．
此式对
n1
也适用．
a
n
6n4(nN

)
．
点评：
利用数列的前
n
项和
S
n
求数列的通项公式
a
n
时，要注意
a
1
是否也满足
a
n
S
n
S
n1
(n≥2)
得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段 形式写出．

三、利用公式求通项公式
已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．
例3 等差数列 的前
n
项和记为
S
n
，已知
a
10
30 ，a
20
50
，求通项
a
n
．
解：
∵a
10
a
1
9d30
， ①

a
20
a
1
19d50
， ②
②－①，得
10d20，d2
．代入①，得
a
1< br>12
．
a
n
2n10
．


四、利用递推关系，求通项公式

根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求
通项公式．
例4 根据下列条件，求数列的通项公式
a
n
(nN

)
．
（1） 数列

a
n

中，
a
2
23，a
n
a
n1
3(n≥2)
；
（2） 数列

a
n

中，
a
1
1，a
n 1
a
n
3n
；
（3） 数列

a
n

中，
a
1
1，a
n1
a
n

a
n
．
n1
解：（1）因为
a
2
a
1
3
，所以
a
1
a
2
33< br>．
又
a
n
a
n1
3
，所以

a
n

成等差数列，公差为
3
．
所以
a
n
3(n1)33n
．
（2）因为
a
n1
a
n
3n
，所以
a
2
 a
1
31
，
a
3
a
2
32
，
a
4
a
3
33
，
L
，
a
n
a
n1
3(n1)
．
将上面n1
个式子叠加，得
a
n
a
1
3(123 Ln1)3
(n1)n3

(n
2
n)
，
22
333
所以
a
n
1(n
2
 n)n
2
n1
．
222
aa
n2
（3 ）由
a
n1
a
n

n
，变形为
n1

，
an1
n1
n
a
aa
3
4n1
．

2

，
3
，L，
n

a1
2
a
2
3a
n1
n
将上面的式子叠乘，得
a
n
n1
．

a
1
2
1a
n
(n1)
．
2

五、两式相减，消项求通项
例5 数列

a
n

满足
a
1
2a
2
3a
3
Lna
n
n(n1)(n2)
，求
a
n
．
解：由题意
a
1
2a
2
3a
3
L(n1)a
n 1
(n1)n(n1)(n≥2)
，

又
a
1
2a
2
3a
3
Lna
n
n(n1)( n2)
，
两式相减，得
na
n
3n(n1)
．
a
n
3(n1)
．
又
n1
时，也适合上 式，
a
n
3(n1)
．

总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律．