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方阵问题


知识结构
一、 方阵问题
（1） 明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.
（2） 每边的个数＝总数÷
41
”；
（3） 每向里一层每边棋子数减少
2
；
（4） 掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。

例题精讲
【例 1】 小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计 队
伍中人数大概在
30
至
50
人之间，你能告诉他到底有多少人吗？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是:总数是从1
开始若干
个连续自然数的和，我们只要在
30～50
的范围内找出同时 满足这两个条件的数就可以得出总人
数．由于队伍可以排成方阵，在
30
至
5 0
人的范围内人数可能是
66=36
人或
77=49
人，又因为
3612348， 49123494
，所以总人数是
36
人．
【答案】
36
人


【巩固】 在一次运动会开幕式上， 有一大一小两个方阵合并变换成一个
10
行
10
列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 根据时间多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，并记住一些简单的平方数.
原来的小方阵 每行或每列人数都不会超过
10
人，大方阵人数应该
10
行
10列的方阵由
100
人组成，
在
50～
可取
64
或
81
，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有
64
人，小方阵有36
100
之间，
人．
【答案】大方阵有
64
人，小方阵有
36
人


【例 2】 同学们做操，小林站在左起第
5
列，右起第
3
列；从前 数前面有
4
个同学，从后数后面有
6
个同
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学．每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 带领学生画图求解．
一共有几行？列式：
4+6+1=11
（行）
一共有几列？列式：
5317
（列）
一共有多少人？列式：
11777
（人）
【答案】
77
人


【巩固】 一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他 的好朋友金丝猴．长颈鹿
数了数，金丝猴的左边有
4
只猴，右边也有
4
只猴，前面有
5
只猴，后面也有
5
只猴．小朋友，
你能算出有多少 只猴子在做操吗？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 一共有多少行？列式：
5+5+1=11
（行）
一共有多少列？列式：
4+4+1=9
（列）
一共有多少只猴子？
11999
（只）．
【答案】
99
人


【例 3】 四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行
8
人 ，每列
8
人的方阵，问方阵中共有多少学生？
如果去掉一行一列．还剩多少同学？

【难度】2星 【题型】解答 【考点】方阵问题
【解析】 可以根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到
8
行
8< br>列的实心方阵人数为：
88＝64
（人），去掉一行一列后，还剩
7
行
7
列，也可通过同样的方法得出总人数为：
77=49
（人）．
【答案】
8
行
8
列的实心方阵人数为
64
人，去掉一行一 列后，还剩
49
人。


【巩固】
100
名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 和前两题比仅仅是数量上的增加，此时可带领学生总结规律：去掉一行一列后要加上重复的那一
个． < br>100
名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，剩下的是
9
行
9< br>列的方阵，即剩下
81
人，减少
了
19

人．

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【答案】
19
人


【例 4】 学生进 行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉15人，问这个方阵共
有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由上题思路，带领学生进行逆向思维．学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了1 5
人，那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在
数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在15里面多加一个．现
在每行 的人数是：（15-1）÷2=7（人），共7×7＝49（人）．
【答案】49人


【巩固】 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉
13
人，问这个方阵共有
多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 每行：
(131)27
（人），总人数：
7749
（人）．
【答案】
49
人


【例 5】 二年级舞蹈队为全校做 健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行
一列，增加的人数正好是19人， 那么原来准备参加健美操表演的有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可先让学生自己画图实践，从3乘3的方阵变成4乘4的如何进行，掌握画法后再来思考这题．
因增加 的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是19人，因有
1
人是既在他所在的行，又在他所在的列．若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列
的人 数可求．参加健美操表演的人数可求．
列式：（19-1）÷2＝9 (人)，9×9＝81（人）
【答案】81人


【巩固】 某部队战士 排成方阵行军，另一支队伍共
17
人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有
多少战士？

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【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方 向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的
交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算， 也就是说现在每一排实际人数是
，因此可以求出总人数：
99＝
．
81< br>（人）

171

2＝9
（人）
【答案】
81
人


【例 6】 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数 为60人．问方阵外层每边有多少人？这个方阵
共有五年级学生多少人？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据 四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数
41
，可以求出方阵最外层每边人
数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了．所以方阵最外层每边人数：
604116< br>(人)，整
个方阵共有学生人数：
1616256
(人)．
【答 案】方阵最外层每边人数
16
人，整个方阵共有学生人数
256
人．


【巩固】 校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为
36
人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共
有三年级学生多少人？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 引导学生找出与前四题区别，因为条件是方阵外层，所以有四个重复计算的人．
（法
1
）方阵外层每边有：，共
1010100
（人）． （364）410
（人）
（法
2
）方阵外层每边有：
36 4110
（人），共
1010100
（人）．
【答案】
100
人


【例 7】 新学期开始，手持鲜 花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边
13
人，彩车周围的少先 队员有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先让学生自己思考，待大家都有结果后，让学生思考一个问题：相邻两层差几 个人．外层
，内层
48840
人，共
88
人．
13 4448
人，内外相差
8
人（教师可举例说明）
【答案】
88< br>人


【巩固】 节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外 层的一层每边摆了
12
盆花，一共
3
层，
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一共用去多少盆花？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 让学生利用上题思考结果加以解决．
(法
1
)不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少
2
个， 每层的花盆就少
8
个，
因此可以依次求出每层花盆的个数．最外层有花盆
（< br>:
121
第二层有:
44836
(盆)，
）444
(盆)，
第三层有:
368=28
(盆)，共有:
44362 8=108
(盆)．
(法
2
)将三层花盆分成四块，形成四个相等的长方形 ．它们的长是个，宽是
3
个，
（123）
(123)327
个，即每个长方形中包括
27
个花盆，再将结果乘以
4
就得到总数是
108
个，于是
我们可以总结为:空心方阵中点的总个数=(最外层每边的个数- 层数)×层数×
4
．
(法
3
)也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵．
【答案】
108
盆


【例 8】
120
个棋子摆成一个三层空心方阵，最内层每边有多少棋子？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 棋 子一共三层，容易知道外层比中层多
8
个，内层比中层少
8
个，因此中层的棋 子数就是三层的
平均数为
1203=40
(个)，可以求出中层每边的棋子数，向里 一层，每边棋子数又减少
2
．中层总
数:
1203=40
(个) ．中层每边个数:
4041=11
(个)，内层每边个数:
112=9
(个)．
【答案】
9
个


【巩固】 将一个每边16
枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋
子？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 棋子总数为：
1616256
（枚），由于空心方阵总个数＝（每边个 数－层数）×层数×
4
，所以，
每边个数＝空心方阵总个数÷层数÷
4
＋层数，得出最外层每边有
20
枚棋子．
【答案】
20
枚棋子


【例 9】 有一群学生排成三层空心方阵，多
9
人，如空心部 分增加两层，又少
15
人，问有学生多少人？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 增加的两层人数为：
915=24< br>（人），这两层人数之差是
8
人，因此最里层有，
（248）28
（人）
现在的方阵共
5
层，那么最外层有
884=40
（人） ，知道最外层人数及层数就不难求出总人数
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是
105
人．
【答案】
105
人


【巩固】 一队战士排成三层空心方阵多出
16
人，如果空心部 分再加一层又少
28
人，这队战士共有多少人？
如果他们改成实心方阵，每边应有多少 人？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 把多余的
16
人放在方阵内部还少
28
人，可见方阵内部 增加一层，需要
1628=44
人，因此向外
三层的每层人数都可以求出．从内向外 每层人数依次是:第一层:
16288=52
(人)，第二
层:
162 828=60
(人)，第三层:
162838=68
(人)，总人数:52606816=196
(人)，因为
196=1414
，所以排成实 心方阵每边有
14
人．
【答案】这队战士共有
196
人，没边有
14
人


模块三、植树中的智巧趣题
【例 10】 今有12盆花要在平地上摆成6行，每 行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表
示花，用直线表示行．

【考点】植树中的智巧趣题
【解析】 六边形 每边3盆
【答案】六边形 每边3盆


【巩固】 今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请 你给出一种设计方案，画图时用点表
示花，用直线表示行．

【考点】植树中的智巧趣题
【解析】 五角星 每边3盆
【答案】五角星 每边3盆






【难度】4星 【题型】解答
【难度】4星 【题型】解答
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课堂检测

【随练1】 学 生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉
11
人，问这个方阵共< br>有多少人？
【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由上题思路，带领学生进行逆向思维．学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了< br>11
人，
那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一 样多，但在数的
时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在
11
里面多加一个．现在每行
的人数是：，共
6636
（人）．
（111）26
（人）
【答案】
36
人

【随练2】 四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行
8
人，每列
8人的方阵，问方阵中共有多少学生？
如果去掉一行一列．还剩多少同学？
【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可以 根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到
8
行
8
列的实心方阵人数 为：（人），
88＝64
去掉一行一列后，还剩
7
行
7
列 ，也可通过同样的方法得出总人数为：
77=49
（人）．
【答案】
8< br>行
8
列的实心方阵人数为
64
人，去掉一行一列后，还剩
49
人。


【随练3】 100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人？
【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 和前两题比仅仅是数量上的增加，此时可带领学生总结规律：去掉一行一列后要加上重复的那一
个． < br>100
名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，剩下的是
9
行
9< br>列的方阵，即剩下
81
人，减少
了
19
人．

【答案】19人



课后作业

【作业1】 军训的学生进行队列表演，排成了一个
5
行
5
列的正方形队列，如果去掉一行 一列，要去掉多少
人？
【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 一行一列各
5
人，顶点处重复．
5219< br>人，因为角上的一个同学被重复数了两次，所以要把
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多算的一次减掉．
【答案】
9
人

【作业2】 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．晶晶摆这个方阵共用 围棋
子多少个？
【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个．知道最外面一层每边放14个， 就可以求第二层及
第三层每边个数．知道各层每边的个数，就可以求出各层总数．最外边一层棋子个数：
(141)452
(个)，第二层棋子个数：
(1421)444(个)，第三层棋子个数：
(14221)436
(个)．摆这个方阵共用棋子 ：
524436132
(个)．还可以这样想：中空方
阵总个数＝(外层每边个 数一层数)×层数×4进行计算，得
(143)34132
(个)．
【答案】
132
个

【作业3】 一队战士排成三层空心方阵多出
16
人，如果空心部分再加一层又少
28
人，这队战士共有多少人？
如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？
【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 把多余的
16
人放在方阵内部还少
28
人 ，可见方阵内部增加一层，需要
1628=44
人，因此向外三
层的每层人数都可以 求出．从内向外每层人数依次是:第一层:
16288=52
(人)，第二
层:< br>162828=60
(人)，第三层:
162838=68
(人) ，总人数:
52606816=196
(人)，因为
196=1414
，所以排成实心方阵每边有
14
人．
【答案】这队战士共有
196
人，没边有
14
人
【作业4】 校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为
36
人，问方阵外层每边 有多少人？这个方阵共
有三年级学生多少人？
【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 引导学生找出与前四题区别，因为条件是方阵外层，所以有四个重复计算的人．
（法
1
）方阵外层每边有：，共
1010100
（人）． （364）410
（人）
（法
2
）方阵外层每边有：
36 4110
（人），共
1010100
（人）．
【答案】
100
人


【作业5】 三年级学生排成一个 方阵进行体操表演，最外一层的人数为
32
人，问方阵外层每边有多少人？
这个方阵共 有三年级学生多少人？
【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 每边：
(324)49
（人），总人数：
9981
（人）．
【答案】
81
人
【作业6】 希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图1中实线所示，从
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第1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。 小明的编号是28，他排在第3行
第4列，则运动员共有 人。
第2行
第1行
第1列
第2列
图1

【题型】填空 【考点】方阵问题 【难度】3星
【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，1试
【解析】 28号在第3行第4列， 那么前两行共有28-4＝24人，每行有24÷2＝12人，共有12×12＝144人。
【答案】
144
人


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