慈善的意思-自我介绍作文400

容斥原理
这一讲我们主要学习“包含”和“排除”有关的问题，这样的问题 在生活中有不少，例如正常的爱
好，有人喜欢足球，有人喜欢篮球，有人篮球足球都喜欢，有人都不喜欢 。
这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题。研究这种问题通
常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡图），这样的示意图又叫做文氏图。
如右图所示，如果要计算三 个部分的总数，直接计算
AB
就会算多了，而多算的正好是部分
③，只要把多算的减 掉就可以了。上述分析总结成公式就是：
A、B总数=ABA、B重叠

这个公式就是两个对象的容斥原理。


例1、
（1）一群小 朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜
欢吃芥末的有2 0人，那么两种都喜欢吃的有多少人？
（2）暑假里，小高和默默一起讨论金陵十八景。他们发现十八 景中的每一处都有人去过，而且有无
处是两人都去过的。如果小高去过其中的十二景，那么默默去过其中 的几景？
（3）在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫 》，并且有
8人是两部动画片都看过的。已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看 过这
两部动画片中的一部？

练习1、
四年级同学参加语文、数学考试， 每人至少有一门功课的成绩是优秀。其中语文优秀的有42人，数
学优秀的有56人，语文、数学都优秀 的有15人，请问四年级共多少名同学？


例2、渔乡小学举行长跑和游泳比赛， 共305人参加。有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有
120名男生和70名女生参加游泳比 赛，有110名男生两项比赛都参加了。请问：只参加游泳而没参
加长跑的女生有多少人？



第
1
页 共 1 页

练习2、某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生。已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女
生有多少人？


例3、三位基金经理投资若干支股票，张经理买过其中66支， 王经理买过其中40支，李经理买过
其中23支。张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都 买过的有13支，李经理和张经理
都买过的有9支，三人都买过的有6支。请问：这三位经理一共买过多 少支股票？

实际上就是三个对象包含与排除问题,三个对象的容斥原理如下:

A、B、C总数=ABCA、B重叠B、C重叠C、A重叠A、B、C重叠
< br>练习3、卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖。已知
三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米和27平方分米，其中第一块是第二块桌布重叠的
面 积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，而第一块和第三块重叠了4平方分米。如
果三块重 叠的部分等于2平方分米，那么这块桌布的面积是多少？


例4、课间，王老师出 了三道脑筋急转弯让学生做，其中只答对第1道题的人有10人，只答对第2
道题的人有6人，只答对第 3导题的人有4人，至少答对两道题的学生有8人，还有5名同学一道
题也没有答对，请问：
（1）王老师的班上有多少名学生？
（2）若既答对第1题又答对第2题的同学有4人，三道 题都答对的有1人，那么答对第3道题的同
学有多少人？

练习4、某学校有学生1 000人，现有《中国少年报》、《少年文艺》和《数学报》三种报刊，其中只
订阅一种报刊的有600 人，只订阅两种报刊的有200人，三种报刊都订阅的有50人，请问：这个学
校有多少人没有订报？

挑战极限：
四年级一班有46名学生参加3项课外活动。其中有24人参加了数学 小组，20人参加了语文小组，
参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的4倍，又是 3项活动都参加人数的8

第
2
页 共 2 页

倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的3倍， 既参加数学小组又参
加语文小组的有10人。请问参加文艺小组的人数是多少？


例6、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会乒乓球。那么，这个班至
少有多少学生这三项运动都会？
分析：题目要我们求至少有多少人三项都会，那么也就是要只 会两项的尽量多，此时文氏图很难进
行分析，不妨画一下线段图试试吧！

作业：
一个班有50个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，请问：语文、数学两种课外书都借的有多少人？

六一班有学生46人，其中骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，请问两样
都不会的有多少人？

许、王、原三位老师走进一家蛋糕店，发现这里的每一种糕点至少被她 们中的一个人吃过。她们分
别数了一下，许老师吃过其中的15种，王老师吃过其中的10种，原老师吃 过其中的6种，有8种
糕点许、王两老师都吃过，有5种糕点许、原两老师都吃过，有3种糕点王、原两 老师都吃过，有
2种糕点这三位老师都吃过。那么这个面包店有多少种糕点？

五年 级共有110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至
少参 加2个小组的有80人，参加了三个小组的有20人。那么五年级有多少人没有参加小组？

五年级共有150人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，30人只参加了数学小组，
既参加语文也参加英语小组的人有35人。那么五年级有多少人没有参加小组？

第
3
页 共 3 页