午饭食谱-二八佳人打一字

东方之子辅导学校 2118836
解析几何常用公式（景斌汇编）
（内部资料仅限东方之子学校学生使用）
1.倾斜角（
0

180
）
2.斜率（刻画直线对于x轴的倾斜程度）
（1）
ktan

(

90

)
(2)
k
y
1
 y
2
x

x
1
x
2


1
x
2
【
tan

在
(0,

2
)
、
(

2
,

)
上单调递 增】



3.直线的方程：
（1）斜截式：
ykx b
（不能表示斜率不存在的直线
xx

）
（2）点斜式：(yy
0
)k(xx
0
)
（不能表示斜率不存在的直线< br>xx

）
（3）两点式：
yy
1
xx
1
y

x
（不能表示
xx

,yy
0
两种直线）
2
y
1
x
2

1
（4）截距式：
x
a

y
b
1
（不能表示y=kx，
xx

,yy
0
三种直线）
（5）一般式：
AxByC0
（其中A、B不同时为零）
4.两直线位置关系的判定与性质定理列表如下：


l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0

l< br>2
:A
2
xB
2
yC
2
0

平 行
k
1
k
2
且
b
A
1
B
1
C
1
1
b
2

A


2
B
2
C
2
重 合
k

A
1
B
1
C
1
1
 k
2
且
b
1
b
2
A


2
B
2
C
2
垂 直
k
1
k
2
1

A
1
A
2
B
1
B
2
0


5. 到角和夹角：
设
l:yk
1
xb
1
,l: yk
2
xb
2
，
（1） 到角
(0,
)
：
l
1
依逆时针方向旋转到与
l
2
重合时所 转的角
当k
1
，k
2
都存在且k
1
k
2

－1时，
l
k
2
k
1
1
到< br>l
2
的角为

，则
tan


1 k
；
1
k
2

1

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
（2）夹角
(0,]
：
l
1
和
l
2
相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角，简称夹角
2
当k
1
，k
2
都存在且k
1
k
2

－1时，
l
1
与
l
2
的夹角为
，则
tan


6.点到直线的距离公式
点P
x
0
,y
0

到
l:AxByC0
的距 离
d
7.平行线间距离公式
两平行线
AxByC
1
0
与
AxByC
2
0
之间的距离为
d
k
2
k
1

1k
1
k
2
Ax< br>0
By
0
C
AB
22
.
C
1
C
2
AB
22
.
8.若A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，P（x，y）P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为

，


x

AP
xx
1
yy
1< br>


定比



，则

xxyy
PB
22

y


x
1
x
2
1

y
1
y
2
1
9.两点间距离：若
A(x
1
,y
1
) ,B(x
2
,y
2
)
，则
AB(x
2
 x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2< br>
特别地：
ABx
轴， 则
ABx
1
x
2


ABy
轴， 则
ABy
1
y
2

10.直线系方程
（1）平行直线系
AxByC0
与
Ax ByC
1
0

（2）垂直直线系
AxByC0
与
BxAyC
1
0

（3）过已知点的直线系
A
1
xB
1
yC
1


(A
2
xB
2
yC
2
)0
（不包括
A
2
xB
2
yC
2
0
）
11.线性规划
（1） 二元一次不等式表示平面区域
如果
Ax
0
By
0
C0
（A>0）则点
(x
0
,y
0
)
在直线右侧；如果
Ax
0
By
0
C0
（A>0）则 点
(x
0
,y
0
)
在
直线左侧；如果
Ax
0
By
0
C0
（A>0）则点
(x
0
,y
0
)
在直线上
（2）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的 最值问题，统称为线性规划；满足线性约束
条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫 可行域
12.圆
（一）圆方程常见形式：
（1）标准式：(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
（R>0），其中（a，b）为圆心，r为半 径；

2

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D
2
E
2
D
2
E
2< br>4F
（2）一般式：x+y+Dx+Ey+F=0,配方得：
(x)(y)

224
22

xrcos

a
（3）参数式：(x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2
（R>0）的参数式为：

，

为参数

[0,2

)


yrsin

b
圆与二元二次方程一一对应，这些二元二次方程方程特征为：
（1）二次项中无xy交叉项；
（2）x
2
，y
2
项前面系数相等；
（3）x，y的一次 项系数D，E及常数项F满足D
2
+E
2
-4F>0
（二）直线< br>AxByC0
与圆
(xa)
2
(yb)
2
r
2
的位置关系有三种
若
d
AaBbC
A2
B
2
，
dr相离
，
dr相切
，< br>dr相交

（三）圆与圆的位置关系
圆C
1
：
(xa
2
1
)
2
(yb
1
)
2r
1
圆C
2
：
(xa
2
2
)(yb
2
)
2
r
2
2

（1）
C
1
C
2
r
1
r
2
相离 （ 2）
C
1
C
2
r
1
r
2
外切
（3）
r
1
r
2
C
1
C
2< br>r
1
r
2
相交 （4）
C
1
C
2
r
1
r
2
内切
（5）
C
1C
2
r
1
r
2
内含

外离 外切
相交 内切








3

内含

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13圆锥曲线
（一）椭圆与双曲线
1.第一定义
椭圆：若F
1
F
2
是两定点，P为动点，且
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
（
a为常数）则P点的轨迹
是椭圆（当
PF
1
PF
2
2 aF
1
F
2
时，则P点的轨迹是线段）
双曲线：若F
1
F
2
是两定点，
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
（
a
为常数） ，则动点P的轨迹是双曲线
（当
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
时，则P点的轨迹是射线）









2.第二定义
椭圆：若F
1
为定点，l为定直线，动点P到F
1
的距离与到定直线l的距离之比为常数 e（0则P点的轨迹是椭圆
双曲线：若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线
3.椭圆的标准方程及几何性质
标准方程
x
2
y
2
2
1(a0,b0)
中心在原
2
ab
点，焦点 在
x
轴上
x
2
y
2

2
1< br>(a0,b0)
中心在原点，
2
ba
焦点在
y
轴 上
范围
对称性
顶点
焦点
轴
离心率
axa
，
byb

aya
，
bxb

关于
x
轴、
y
轴、原点对称（原点为中心）
四个顶点A
1
、A
2
、 B
1
、B
2

F
1
(-c,0),F
2
(c,0) F
1
(0,-c),F
2
(0,c)
长轴|A
1
A
2
|=2a,短轴|B
1
B
2
|=2b
e< br>c

0e1

离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆（反 记法）
a
准线
a
2
x
=


c
a
2
y

c
通径

2b
2
通径长
a
b
2
焦准距
c
4

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4.双曲线的标准方程及几何性质

x
2
y
2
x
2
标准方程
a
2< br>
y
2
b
2
1(a0,b0)
中心在原
a
2

b
2
1
(a0,b0)
中心在原< br>点，焦点在
x
轴上
点，焦点在
y
轴上
范围
xa
或
xa

ya
或
ya

对称性
关于
x
轴、
y
轴、原点对称（原点为中心）
顶点 A(-a,0) B(a,0) A(0,-a), B(0,a)
焦点
F
1
(-c,0),F
2
(c,0) F
1
(0,-c),F
2
(0,c)
轴
实轴长|A1
A
2
|=2a,虚轴长|B
1
B
2
|=2b ,焦点在实轴上
离心率
e
c
a

e1

离心率越大，双曲线越开阔
a
2
准线
x
=

c


a
2
y
c

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧
渐近线
y
b
y
a
a
x

b
x

2
通径
2b
2
通径长 焦准距
b
ac

5.焦半径：
(1) 椭圆：
PF1
aex
0
或
PF
1
aey
0
（负半轴）
PF
2
aex
0
或
PF
2
aey
0
（正半轴）
焦半径范围
acPFac

（2） 双曲线：
PFex
0
a
（长）
PFex0
a
（短）焦半径范围
PFca

6.焦半径之积
椭圆：
|PF
222
2b
2
(1)
1
||PF
2
|aex
0

1cos

< br>（2）双曲线：
|PF
22
a
2
2b
2
1< br>||PF
2
|ex
0

1cos


7.焦点三角形面积
S
FPF
11

12
=< br>2
|F
1
F
2
||y
0
|
2|PF
1
||PF
2
|sin

b
2
tan
2
（椭圆）
S
F
11

1
P F
2
=
2
|F
1
F
2
||y
0< br>|
2
|PF
1
||PF
2
|sin
b
2
cot
2
（双曲线）
8.弦长公式：
AB( 1k
2
)[(x
1
1
x
2
2
)4x
1
x
2
]
(1
k
2
)[(y
1
y
2
2
)4y
1
y
2
]



5

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9.补充知识：
1具有共同渐近线的双曲线系
x
2y
2
x
2
y
2
b
若双曲线方程为
2< br>
2
1

渐近线方程：
2

2
 0
yx

a
ab
ab
xy
xy
b
若渐近线方程为
yx

0

双曲线可设为
2

2


ab
a
ab
22
x
2
y
2
x
2
y
2
若双曲线与
2

2
 1
有公共渐近线，可设为
2

2


abab< br>（
0
，焦点在x轴上，
0
，焦点在y轴上）
2等轴 双曲线：当
ab时
离心率
e2

两渐近线互相垂直，分别为y =
x
，此时双曲线为等
轴双曲线，可设为
x
2
y
2


3.优美椭圆和优美双曲线
x
2
y
2
51
（1）我们把离心率等于黄金比的椭圆称为优美椭圆，设
2

2
1

ab0

为优美椭圆，
ab
2
F、A分别为它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则有：

1

ABF90;

2

b
2
ac

x
2
y
2
51
（2）我们把离心率等于黄金比倒数即的双曲线称 为优美双曲线，设
2

2
1

ab0
为
ab
2
优美双曲线，F、A分别为它的左焦点和右顶点，B是它的虚轴的一个端 点，则有：

1

ABF90;

2
b
2
ac

3. 共轭双曲线：我们把“以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线”定义为原双曲线的
共轭双曲线
x
2
y
2
y
2
x
2

2
1
与
2

2
1

2
abba
特征1：具有共同渐近线
特征2：焦距相等
特征3：









6
11

2
1

e
1
2
e
2

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（二）抛物线
（一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线
即到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）
（二）图形：









（三）基本性质：方程：
y
2
2px,(p0),p为焦准距
；
p
焦点：
(,0)
，通径
AB2p
；
2
p
准线：
x
；
2
p
焦半径：
CFx
0
,
过焦点的弦长
CDx
1
x
2
 p
通径最短
2
y
注意：抛物线
y
2
 2px
上的动点可设为P
(

,y

)
或P
(x

,y

)其中y

2
2px


2p
2
（四）
抛物线的重要性质：
已知AB是抛物线< br>y
2
2px(p0)
的焦点弦，F为抛物线的焦点，A
(x
1
,y
1
)
B
(x
2
,y
2
)

p
2
（1）
y
1
y
2
p ,x
1
x
2


4
2
（2）|AB|=
x
1
x
2
p
p
2
（3）S△AOB =
2sin

2p
(

为直线AB与x轴的夹角
)

sin
2

（4）
2
11
为定值

P
AFBF
（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
（6）
ADB90

(直径所对的圆周角是直角)
（7）
A
'
FB
'
90


（8）连接焦点和准线上任意一点的线段被y轴平分（三角形中位线）

7