立体几何公式 定理 公立 结论和二面角及其几何表示
幼儿园食谱-基金销售考试
空间的直线与平面
一．平面的基本性质：
知识点 图形表示 文字描述
符号表达
.
过直线外一点有且只有一
Aa
过A有且只有一条直
平行公理
条直线和这条直线平行。
线b，使得
ba
如果一条直线的两点在一
A
,B
AB
公理1
个平面内，那么这条直线上
的所有点都在这个平面内。
如果两个平面有一个公共
A
点，那么它们还有其他的公
公理2
---------------
共点
，这些公共点的集合是
l,且Al
一条直线。
． 经过不在同一条直线上的
公理3 不共线三点确定一个平面
． ． 三点有且只有一个平面。
平行于同一条直线的的两
ab,bcac
公理4
条直线互相平行。
． 经过一条直线和直线外的直线和直线外一点确定一个平
推论1
一点有且只有一个平面 面
经过两条相交直线有且只
推论2
两相交直线确定一个平面
有一个平面
经过两条平行直线有且只
推论3
两平行直线确定一个平面
有一个平面
空间图形的直观图画法 斜二测画法
如果一个角的两边和另一
ABC
=
EFG
等补角定理
个角的两边分别平行，那么
ABC
=180
0
-
EFG
这两个角相等或互补。
不同在任何一个平面的内
异面直线的定义
的两条直线叫做异面直线。
连结平面内与平面外一点
a
,A
,Aa
；
异面直线的判定定理
的直线，和这个平面内不经
B
,AB与a
是异面直线
过此点的直线是异面直线。
a与b是异面直线，a’b’，且a’与b’相交，则a’与b’的夹角
异面直线所成的角
就是a与b异面直线所成的角。
二．平行与垂直：
线面平行
（一）三者之间的互相转化： “线线平行
面面平行”
线面平行的判定
定理
如果不在同一个平面内的一条直
线和平面内的一条直线平行，那
么这条直线和这个平行平行。
a
,b
,ab
a
线面平行的性质
定理
面面平行的判定
定理
如果一条直线和一个平面平行，
a
,a
,
b
经过这条直线的平面和这个平面
ab
相交，那么这条直线和交线平行。
如果一个平面内有两条相交直线
分别平行于另外一个平面，那么
这两个平面平行。
a
,b
,abA
;
且
a
,b
两个平面平行的
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线
都平行于另一个平面，那么这两
个平面平行。
面面平行的性质
定理
直线与平面垂直
的判定定理
直线与平面垂直
的性质定理
两平面垂直的判
定定理
两个平面垂直的
性质定理
面面平行的判定
定理的推论
如果两个平行平面同时与第三个
平面相交，那么它们的交线平行。
,a
a
如果一条直线和一个平面内的两
条相交直线都垂直，那么这条直
线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平
面，那么这两条直线平行。
如果一个平面经过另一个平面的
一条垂线，那么这两个平面互相
垂直
如果两个平面互相垂直，那么在
一个平面内垂直于交线的直线垂
直于另一个平面。
如果一个平面内有两条相交直线
分别平行于另一个平面内的两条
直线，那么
这两个平面平行。
a
,b
,abA
;
且
a'
,b'
;
且
aa'
，
bb'
面面平行的性质
如果两个平面平行，那么其中一
个平面内的任何一条直线必平行
于另一个平面
,
a,
b
ab
（二）角度问题：
1.两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90°
).空间向量法；2.由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，
90°]；3.二面角：从一条
直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]
（三）二面角
二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空
间向量之法向量法（注
意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）性
二面角的平面角：以二
面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条
射线所成的角叫做二面角的
平面角。
α和β的二面角
α
A
原面
m
交线
O
原线
投影面
影线
A'
β
第一垂线
（三）平行中的“存在性 与 唯一性”
过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条。
过平面外一点作该平面的平行平面有且只有一条。
过异面直线中的一条作另一条直线的平行平面有且只有一个。
分别过两条异面直线中的一条作另一条的平行平面，那么这两个平行平面是存
在且唯一的。
（四）平行传递性：
平行于同一直线的两直线平行。
平行于同一平面的两平面平行。
一条直线与一平面同时平行于另
一平面，则该直线与另一平面平
行或在另一平面内。
若一直线与一平面同时平行与另
一直线,则另一直线与该平面平
行或在该平面内。
ab,bcac
,
a
<
br>,
a
,或a
ab,b
a
,或a