你被写在我的歌里-德薄能鲜

MBA备考：解析几何中的基本公式
1、 两点间距离：若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB

2、 平行线间距离：若
l
1
:Ax

By

C
1

0,
则：
d
(x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2

l
2
:Ax

By

C
2

0

C
1
C
2
AB
22

注意点：x，y对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离：
P(x

,y

),l:AxByC0

则P到l的距离为：
d
Ax

By

C
AB
22

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：


ykxb


F (x,y)0
2
消y：
axbxc
0
，务必注意
 0.

若l与曲线交于A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)

则：
AB(1k
2
)(x
2
x
1
)
2

5、 若A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)
，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为

，
x
1
x
2
x
1
x
2


x
x



1
2
则

，特别地：

=1时，P为AB中点且


yyyy
22

y
1

y
1


1 2


变形后：

xx
1
yy
1

或
x
2
xy
2
y
1 11

6、 若直线l
1
的斜率为k
1
，直线l
2
的斜率为k
2
，则l
1
到l
2
的角为
,(0,)

适用范围：k
1
，k
2都存在且k
1
k
2

－1 ，
tan
k
2
k
1

1k
1
k
2
若l
1
与l
2
的夹角为

，则tan
k
1
k
2

，
(0,
]

2
1k
1
k
2
注意：（1）l
1
到l
2
的角，指从l
1
按逆时针方向旋转到l
2
所 成的角，范围
(0,)

l
1
到l
2
的夹角：指 l
1
、l
2
相交所成的锐角或直角。
（2）l
1

l
2
时，夹角、到角=

。
2
（3）当l
1
与l
2
中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。


7、 （1）倾斜角

，
(0,)
；
（2）
a
,
b夹角

，
[0
，
]
；
（3）直线l与平面
的夹角，[0，
]
； （4）l
1
与l
2
的夹角为

，

[0，
]
，其中l
1
l
2
时夹角

=0；
2 11



2

2

（5）二面角
,(0,]
；
（6）l
1
到l
2
的角
，(0，)

8、 直线的倾斜角

与斜率k的关系
a) 每一条直线都有倾斜角

，但不一定有斜率。
b) 若直线存在斜率k，而倾斜角为

，则k=tan

。
9、 直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
（1）若l
1
，l
2
均存在斜率且不重合：①l
1
l
2

k
1
=k
2

②l
1

l
2

k
1
k
2
=－1
（2）若
l
1
:
A
1
xB
1
yC
1

0,
若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零
① l
1
l
2

l
2
:
A
2
xB
2
yC
2

0

A
1
B
1
C
1
；


A
2
B
2
C
2
② l
1

l
2

A
1
A
2
+B
1
B
2
=0；
③ l
1
与l
2
相交

A
1
B
1

A
2
B
2
A
1
B
1C
1
；

A
2
B
2
C
2
④ l
1与l
2
重合

注意：若A
2
或B
2
中 含有字母，应注意讨论字母=0与

0的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
3 11

斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式：
yy

k
(
xx

)
（1）斜率不存在：
xx


（2）斜率存在时为
yy

k
(
xx

)< br>
两点式：
yy
1
xx
1


y
2
y
1
x
2
x
1


截距式：
xy
1
其中l交x轴于
(a ,0)
，交y轴于
(0,b)
当直线l在坐标轴上，截
ab
距相等时 应分：
（1）截距=0 设y=kx
（2）截距=
a0
设
即x+y=
a

一般式：
AxByC0
（其中A、B不同时为零）
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程 （1）标准方程：
(xa)(yb)r
，
(a,b)圆心，r半径
。
（2）一般方程：
xyDxEyF
0
，（
DE4F0)

2222
222
xy
1

aa
DE
( ,)圆心,
r
22
D
2
E
2
4F< br>
2
4 11

11、直线
A xByC0
与圆
(xa)
2
(yb)
2
r< br>2
的位置关系有三种
若
d
AaBbC
AB
22
，
dr相离0

dr相切0

dr相交0

12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，< br>O
1
O
2
d

dr
1
r
2
外离4条公切线

dr
1
r
2
外切3条公切线

r
1
r
2
dr
1
r
2
相交2条公切线< br>
dr
1
r
2
内切1条公切线

0dr
1
r
2
内含无公切线


外离 外切
5 11

相交 内切 内含

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆
定义Ⅰ：若F
1
，F
2
是两定点，P为动点，且
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
（
a
为常数）则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F
1
为定点，l为定直线，动点P到F
1
的距离与到定直 线l的距离之比为常数e（0轨迹是椭圆。

x
2< br>y
2
标准方程：
2

2

1
(a b0)

ab
定义域：
{xaxa}
值域：
{x byb}

长轴长=
2a
，短轴长=2b
焦距：2c
a
2
准线方程：
x
c
6 11

a
2
a
2
)
，
PF
2
e(x)
，
PF
焦半径：
P F
1
e
(
x
1
2aPF
2
，acPF
1
ac
等（注意涉及焦半径①用
cc
点P坐标 表示，②第一定义。）
注意：（1）图中线段的几何特征：
A
1
F
1

A
2
F
2
ac
，
A
1< br>F
2

A
2
F
1
ac

B
1
F
1

B
1
F
2
B2
F
2
B
2
F
1
a
，
A
2
B
2
A
1
B
2
a
2b
2
等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与
a,b,c
有关。
（2）
PF
、三角形面积公式将有关线段
PF
2c，有 关角
F
1
PF
2
结合起来，
1
F
2中经常利用余弦定理
1
、
PF
2
、
．．．．．．．．． ．．
建立
PF
1
+
PF
2
、
PF
1

PF
2
等关系
（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：


xacos
； < br>ybsin

（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在 y轴上时，其相应的性质。

二、双曲线
（一）定义：Ⅰ若F
1
，F
2
是两定点，
PF
1
PF
2
2aF1
F
2
（
a
为常数），则动点P的轨迹是双曲线。
Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。
（二）图形：
7 11

（三）性质
x
2
y
2
y
2
x
2
方程 ：
2

2

1
(a0,b0)
2
< br>2
1
(a0,b0)

abab
8 11

定义域：
{xxa或xa}
； 值域为R；
实轴长=
2a
，虚轴长=2b
焦距：2c
a
2
准线方程：
x
c

a
2
a
2
)
，
PF
2
e(x)
，
PF1
PF
2
2a
；
焦半径：
PF
1
e
(
x
cc
注意：（1）图中线段的几何特征：
AF
1

BF
2
ca
，
AF
2

BF
1
ac

a
2
a
2
a
2
a
2
或a或c
顶点到准线的距离：
a
；焦点到准线的距离：
c

cccc
2a
2
两准线间的距离=
c
x
2
y
2
x
2
y
2
b
（2）若双曲线方 程为
2

2

1

渐近线方程：
2

2
0
yx

a
abab
xy
xy
b
若渐近线方程为
y
x

0

双曲线可设为
2

2


ab
a
ab
22
x
2
y
2
x
2
y
2
若双曲线与
2

2

1
有公共渐近线，可设为
2< br>
2


abab
（
0
，焦点在x轴 上，
0
，焦点在y轴上）
（3）特别地当
ab时离心率
e
可设为
x

y

；
2 2
2

两渐近线互相垂直，分别为y=
x
，此时双曲线为等轴双曲 线，
（4）注意
PF
将有关线段
PF
1
F
2
中结合定义
PF
1
PF
2
2a
与余 弦定理
cosF
1
PF
2
，
1
、
PF< br>2
、
F
1
F
2
9 11

和角结合起来。
（5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。
二、抛物线
（一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
（二）图形：


（三）性质：方程：
焦点：
(
y
2
2px,(p0),p焦参数
；
p
,0)
，通径
AB2p
；
2
10 11

p
；
2
ppp
焦半径：
CFx


,
过焦点弦长
CDx
1< br>x
2

x
1

x
2

p

222
p
注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦 点到准线的距离=
p
；通径长=
2p

2
准线：
x
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
y
（2）抛物线
y

2px
上的动点 可设为P
(

,y

)
或
P
(2
pt
2
,2
pt
)或
P
(x

,y

)其中y

2
2px


2p
2
2



11 11