洗耳恭听的意思-大众广告背景音乐

解析几何中的基本公式
1、
两点间距离：若
A(X
i< br>,y
」，
B(X
2
,y
2
)
，则
A B
特别地:
AB x
轴,
AB y
轴,
则
AB
则
AB
2、
平行线间距离：若h:
Ax By &
C
1 -
C
2
=0,
1
2

: Ax By C
2

= 0
则：
d


注意点：x，y对应项系数应相等。
3、
点到直线的距离：
P(x ■, y ), 1:

Ax By C = 0

则P到1的距离为：

Ax By C
低
2
+B
2

d
4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式:

y = kx 十
b
:F(x,y)=O
消y：
ax
2

bx • c = 0
，务必注意厶
• 0.
若I与曲线交于A
(x
1
, y
1
), B(x
2
, y
2
)
则：
AB = (1 k
)(X
2
-xj

22
5、若A
(X
1
,yJ, B(X
2
, y
2
)
，P(x，y
)o
P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为
，特别地:
■ =1时，P为AB中点且
% +小
2
「
2



y
变形后:
X
2
「X

y
2
一 y

6、若直线l
1
的斜率为k1
,直线l
2
的斜率为k
2
,则h到1
2
的角 为〉，二三(
0
，二)
适用范围：k
1
, k
2
都存在且k
1
k
2=
— 1 ,
k^ - k
1
1 k
1

k
2

若i
i
与1
2
的夹角为日，则
tan
日=
kl
_
k
2
，濮
（
0,
上］
1 k
1
k
2

2
注意：（1） l
i
到1
2
的角，指从丨
1
按逆时针方向旋转到1
2
所成的角，范围
（
0,
二
）
1
1
到1
2
的夹角：指 I
i
、1
2
相交所成的锐角或直角。
TT
（2） 1
1
_1
2
时，夹角、到角二一。
一 2
（3） 当1
1
与1
2
中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、 （ 1）倾斜角〉，：乂三
（
0,
二）
；
（2）
a,b
夹角
二
-［0,
二］；
（3） 直线I与平面：
•的夹角1, ［0,，］
；
（4） 1
1
与1
2
的夹角为 ——［0, — ］，其中I
1
I
2
时夹角；
（5
）二面角
2卅三
（
0,
二
］
;
(6) 1
1
到 1
2
的角二 v • (0,二)

直线的倾斜角:-与斜率k的关系
a） 每一条直线都有倾斜角:，但不一定有斜率。
b） 若直线存在斜率k，而倾斜角为
9、
直线l
i
与直线
I
2
的的平行与垂直 l
2
:
①
ll2：±?
k
i
=k
2
（1）若 l
i
，
均存在斜率且不重合

② h | 12 =
(2)
若
l
k
i
k
2
=— 1
A
1
X
B
1

y C^ 0,
l
2

: A
2
X
B
2
y C
2

= 0
1
1
B
1
、B
2
都不为零
若
A

1
、A
2
、
①1 I1I2U
②1
〔
1 _ 12 =
③1

A
1
A
2
B
1
—
C
1
H
B
2
C
2
A
1
A
2
+
B
1
B
2
=0；
h
与 l
2
相交 1
A
-■
1B1

A
2
B
2

I
l
与l
2
重合=
A
1
A
2
C
1
；
------ ?
C
注意：若A
2
或B
2
中含有字母，应注意讨论字母 =0与=0的情况。 直线
10、 名
称 斜截
式:
方程的五种形式
方程
y=kx+b
注意点
应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式:
（1）斜率不存在：x = X，
（2）斜率存在时为
y-y
二
k（x-x）
两点式:
y - 力 _ x - X
1
y
2
一 y
1
X
2
- X
1
截距式:
其中I交
X
轴于
（a,0）
，交y轴于
（
0,b）
分：
（1）截距=0 设y=kx
X v
(2)截距=
a = 0
设
即 x+y=
a
般式:

a a
A
X
By 0
（其中

A、B不同时为零）
11、确定圆需三个独立的条件

圆的方程
(1) 标准方程：
(
x-a)
2

• (y-b)
2
= r
2
,
(a, b)——圆心，r
——半径。
(2) 一般方程：
x
2

y
2

Dx Ey F =0
, (
D
2

E
2

-4F . 0)


12、 直线
Ax By • C = 0
与圆
（
x - a）
2

• （y -b）
2

=r
2
的位置关系有三种
卄
Aa + Bb +C
丄亠
右
d =—— I
,
d > r =相离二也< 0
2
JA
2
+B
2

-4F
d = r =相切 u ■■: = 0
d ::: r ：=相交 u .■: - 0
13、 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 0仆。
2
,半径分别为口，①
O
1
O
2
=d
d •
R
• r
2
二外离二4条公切线
d =匚• r
2
=
外切：=3条公切线
A - r
2
c d c几十r
2
二 相交二2条公切线
d = » -r
2
二内切二1条公切线
0 c d c
A
- r
2
二内含二无公切线
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆
定义
I：
若F
1
, F
2
是两定点，P为动点，且
PF
1
+ PF^2^|F
1
F
2

（
a
为常数）
则P点的轨迹是椭圆。
定义
n：
若F
1
为定点，I为定直线，动点 P到F
1
的距离与到定直线I的距离之比为常数 e
贝
U
P点的轨迹是椭圆。
0

X y
标准方程：— 牙
=1 (a • b • 0)
a b
定义域：
｛x-a
込值域：
｛x-b^y^b｝
长轴长=
2a
，短轴长=2b
焦距：2c
a
准线方程：
x
二

2
c
2
a

焦半径
：
PF
」
=e(x +—
)
,
c
a

PF
2

=e(——-x)
,
PF, =2a— PF
2

,
a—PF,兰 a + c
c
2
等(注意涉及焦半径①用点 P坐标表示，②第一定义。)
注意：(1)图中线段的几何特征：
A
,
F
, =|A
2
F
|
=a—c
，
AF
2

=|人
2
只=a + c
2
B
i
F^ - B
1
F
2
- B
2
F^ - B
2
F
i
=a
，
I
A
2
B
2
= AB
2
二
a b
等等。顶点 与准线距离、焦点
与准线距离分别与
a,b,c
有关。
(2)
A
PF
1
F
2
中经常利用余弦定理.、三角形面积公式 将有关线段
PF
i
、
PF
2
、2c,有
关角
N F
1
PF
2
结合起来，建立
PF
i
+
PF
2
、
PF
i
* PF
2
等关系
x =
acos
日
(3)椭圆上的点有时常用到三角换元： 丿
、目
=bsi n
日
(4) 注意题目中椭圆的焦点在 x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴上时，其相 应的性

质。

、双曲线
（一） 定义
：i
若 F
l
, F
2
是两定点，
||PF
i
— PF2I =2a
C
|F
I
F
2 （
a
为常数），则动
点P的轨迹是双曲线。
n
若动点P到定点F与定直线I的距离之比是常数 e（ e>1），则动点P 的轨迹
是双曲线。


（二） 图形：

y
」
k
J = —X



h z
z
°


《A
芒及X

一

（三）性质
2 2
方程：笃-卑
-1 (a 0,b 0)
y
2
x
a b
a
2
‘
2

=1 (a 0,b 0)
b
2
定义域：
｛xx_a或x
乞
a｝
； 值域为R；
实轴长=
2a
，虚轴长=2b
焦距：2c
a
准线方程：
x
二

2
c
2
焦半径
：
PR =e(x+J
,
c
PF
2=
e(——x)
, I
PR—PF
2
〔=2a
;
c
2
a

注意：（1）图中线段的几何特征:
AR = BF
2
=c-a
,
AF
2
= BR =a + c
2
a

2
a

2
顶点到准线的距离:
a
c
或a
；焦点到准线的距离:
a c -
c
a

2
c
两准线间的距离
=
2a
2

2 2
2=
(2)若双曲线方程为
—2
a b
若渐近线方程为
1=
渐近线方程:
2 2
1-1=^
双曲线可设为
~2
x
a
y_
2
x
若双曲线与—
2 2
爲
=1
有公共渐近线，可设为
x
~2
2
2
a
b
a
y_
b

2
(■

0
，焦点在
x
轴上,
■ ::: 0
，焦点在
y
轴上)
(3)特别地当
a
= b时二离心率e = • 2 ：=两渐近线互相垂直，分别为
此时双曲线为等轴双曲线，可设为
x

- y
2
—；
2
(4
)注意.< br>PF
1
F
2
中结合定义
||PFj |PF
2
=2a
与余弦定理
cos RPF
?
，将有关
线段
PF
1
、

PF
2
、
F
i
F
2
和角结合起来。
(5) 完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。
、抛物线
(一)定义：到定点 F与定直线I的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点F的距离与到定
直线I的距离之比是常数 e( e=1)。

注意：
（1）几何特征：焦点到顶点的距离 =-;焦点到准线的距离=
p
;通径长=
2p
2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（三）性质：方程:
y
2

=2px,(p . 0), p -—焦参数
；
焦占：
八、、
（号
,0）
，通径
AB =2p
；
八、
♦
准线：


-f
；
焦半径:
CF =x°+
卫，过焦点弦长
CD
二 ％ 卫

2
X
2
卫二 ％
2 2
（
2
）抛物线宀细上的动点可设为
P
（詁
y）
或
P(2 pt
2
,2pt)或
P
(x $$ yj其中 y： = 2px~
X
2
p
2