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高中数学第二章平面解析几何初步2.1.1数轴上的基本公式练习
（含解析 ）新人教B版必修2

对应学生用书P45



1．下列各组点中，M点一定位于N点右侧的是( )
A．M(－x)与N(x) B．M(x)与N(x＋a)
C．M(x)与N(x) D．M(2x)与N(2x－1)
答案 D
解析 A项，x的符号不确定，∴－x与x的大小关系不确定，故不能确定两点的相 对位
置．B项，由于a的值不确定，故不能确定x与x＋a的相对位置．C项，x与x的大小关系
不确定，故不能确定x与x的相对位置．D项，∵2x>2x－1对任意实数x都成立，∴点M一
定位 于点N的右侧．



2．关于位移向量说法正确的是( )
A．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量
B．两个相等的向量的起点可以不同
C．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量
→
D．AB的大小是数轴上A，B两点到原点距离之差的绝对值
答案 B
→
解析 一个点的坐标没有大小，每一个实数对应着无数个位移向量．|AB|＝|x
B
－x
A
|，不
→
一定为|AB|＝
|
|x
B
|－|x
A
|
|
．故选B．



→
3．若A(a)与B(－5)两点对应的向量AB的数量为－10，则a＝______，若 A与B的距离
知识点三
数轴上两点间距离公式
知识点二
向量及其有关概念
32
32
32
知识点一
数轴上的点的坐标

为10，则a＝______．
答案 5 5或－15
解析 ∵AB＝x
B
－x
A
，|A B|＝|x
A
－x
B
|，
∴－5－a＝－10，解得a＝5．
|－5－a|＝10，解得a＝5或a＝－15．
4．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)．
(1)当AP＝2BP时，求x；
(2)当AP＞2BP时，求x的取值范围；
(3)当AP＝2PB时，求x．
解 由题意，可知AP＝3－x，BP＝3－2＝1．
(1)当AP＝2BP时，有3－x＝2，解得x＝1．
(2)当AP＞2BP时，有3－x＞2，解得x＜1．
(3)由AP＝2PB，可得3－x＝2(－1)，解得x＝5．




对应学生用书P45
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．零向量有确定的方向
B．数轴上等长的向量叫做相等的向量
→
C．向量AB的坐标AB＝－BA
→
D．|AB|＝AB
答案 C
解析 零向量的方向是任意的，数轴上等长的向量方向不一定相同，不一定是相等向量；
→ →
向量AB的坐标AB＝－BA，正确；AB为负数，|AB|＝AB不正确．


2．数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)，则有：
→→→
①A B＋AC＝0；②AB＋BC＝0；③BC>CA；④|AB|＋|AC|>|BC|．
其中，正确结论的个数为( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

答案 C
解析 由数轴上的点A(－2)，B(3)，C(－7)得，AB＋AC＝5－5＝0，①正确；
AB＋BC＝5－10＝－5，②不正确；
BC＝－10>CA＝5，③不正确；
→→→
|AB|＋|AC|＝5＋5＝10＝|BC|，④不正确．
3．已知数轴上 两点A，B，若点B的坐标为3，且A，B两点间的距离d(A，B)＝5，则点
A的坐标为( )
A．8 B．－2
C．－8 D．8或－2
答案 D
解析 已 知B(3)，记点A(x
1
)，则d(A，B)＝|AB|＝|3－x
1
|＝ 5，解得x
1
＝－2或x
1
＝8．
4．数轴上点P(x)，A(－8)，B(－4)，若|PA|＝2|PB|，则x等于( )
16
A．0 B．－
3
1616
C． D．0或－
33
答案 D
解析 ∵|PA|＝2|PB|，
16
∴|x＋8|＝2|x＋4|，解得x＝0或－．
3
5．当数轴上的三 个点A，B，O互不重合时，它们的位置关系共有六种情况，其中使AB
→→→
＝OB－OA和 |AB|＝|OB|－|OA|同时成立的情况有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
答案 B
→→→
解析 AB＝OB－OA恒成立，而|AB|＝|OB| －|OA|成立，则只有点A在O和B中间，共有
2种可能．
二、填空题
6．已知A(2)，B(－3)两点，则AB＝________，|AB|＝________．
答案 －5 5
解析 AB＝－3－2＝－5，|AB|＝|－5|＝5．
→→→→
7．在数轴上，已知AB＝2，BC＝3，CD＝－6，则AD＝________．
答案 －1
→→→→
解析 AD＝AB＋BC＋CD＝2＋3－6＝－1．

8．数轴上的点A(3a＋1)总在点B(1－2a)的右侧，则a的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 因为A(3a＋1)在B(1－2a)的右侧，所以3a＋1＞1－2a，所以a＞0．
三、解答题
9．已知数轴上的点P(x)的坐标分别满足以下情况，试指出x的各自的取值范围．
(1)|x|＝2；(2)|x|＞2；(3)|x－2|＜1．
解 (1)|x|＝2表示与原点距离等于2的点，
∴x＝2或x＝－2．
(2)|x|＞2表示与原点距离大于2的点，
∴x>2或x<－2．
(3)|x－2|<1表示与点P(2)的距离小于1的点，
∴1→→
10．在数轴上，已知AB＝3，BC＝－2，
→→→
(1)求|AM＋BC＋MB|；
(2)若A(－1)，线段BC的中点为D，求DC．
→→→→→→
解 (1)|AM＋BC＋MB|＝|AM＋MB＋BC|
→→
＝|AB＋BC|＝1．
→→
(2)由于A(－1)，AB＝3，BC＝－2，
得x
B
－x
A
＝3，x
C
－x
B
＝－2，
即x
B< br>＝3＋x
A
＝2，x
C
＝x
B
－2＝0．
所以线段BC的中点D的坐标为1．∴DC＝－1．

►2．1．2 平面直角坐标系中的基本公式



对应学生用书P47









知识点一
两点间距离公式

1．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．4 B．－4或2
C．－2 D．－2或4
答案 D
解析 a－1
2
＋6－2
2
＝5，∴a＝4或－2．
3
1
2．已知△ABC的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)和C

，

，则△ABC的形状是( )

22

A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
答案 C
解析 ∵d(A，B)＝[1－－1]＋0＝2，
d(B，C)＝
22

1
－1

2
＋

3

2
＝1，

2


－0



2

1
－－1

2
＋

3

2
＝3，

2


－0



2

22
d(A，C)＝
2
∴|AC|＋|BC|＝|AB |，
∴△ABC为直角三角形．故选C．



3．已知点A( x，5)关于点C(－3，－2)的对称点是B(1，y)，则点P(x，y)到原点的距离
是( )
A．4 B．13 C．15 D．130
答案 D
x＋1
－3＝，


2
解析 根据中点坐标公式，得

5＋y
－2＝，


2


x＝－7 ，
解得



y＝－9.
知识点二
中点坐标公式

2


∴|PO|＝－7
2
＋－9＝130．
4．已知点P(a＋3，a－2)在y轴上，则点P关于原点的对称点的坐标为________．
答案 (0，5)
解析 由点P(a＋3，a－2)在y轴上，得a＋3＝0，

a＝－3，∴a－2＝－5，
即点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为P′(0，5)．



5．用坐标法证明▱ABCD的对角线相交且平分．
解 取AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图)．

知识点三
坐标法的应用

设A点，B点，C点的坐标分别为A(－a，0)，B(a，0)(a>0)，C(b，c)，
由平行四边形的性质知D点的坐标为(－2a＋b，c)．再设AC，BD的中点分别为E(x
1，y
1
)，
F(x
2
，y
2
)，


由中心公式得

0＋c
y＝


2，
1
－a＋b
x
1
＝，
2

－a＋bc
即E，．
22
a－2a＋b
x＝，


2

0＋c


y＝
2
，
2< br>2

－a＋bc
即F，．
22
∴点E与点F重合，
∴▱ABCD的对角线相交且平分．





对应学生用书P47
一、选择题

1．点A(2，－3)关于坐标原点的中心对称点是( )
A．(3，－2) B．(－2，－3)
C．(－2，3) D．(－3，2)
答案 C
解析 设 所求点的坐标为B(x，y)，则由题意知坐标原点是点A，B的中点，则


－3＋y


2
＝0，
2＋x
＝0，
2




x＝－2，
解得


y＝3.


故选C．
2222
2．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且a＋b－c＋d＝0，则( )
A．原点一定是线段AB的中点
B．A，B一定都与原点重合
C．原点一定在线段AB上，但不是中点
D．以上结论都不对
答案 D
解析 由 a＋b－c＋d＝0得 a＋b＝
c＋d，即A，B两点到坐标原点的距离相等，所以原点在线段AB的垂直平分线上，故
选D．
3．已知A(1，3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值时的点P的 坐
标是( )
A．(4，0) B．(13，0)
C．(5，0) D．(1，0)
答案 B
22
222222

解析 如图，点A (1，3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B交x轴于点P，
即为所求．利用待定系数 法可求出一次函数的表达式为：
113
y＝x－，令y＝0，得x＝13．
44
所以点P的坐标为(13，0)．
4．已知A，B的坐标分别为(1，1)，( 4，3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )

A．20 B．12 C．5 D．4
答案 C

解析 如图，作 点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，由平面几何知识得|PA|＋|PB|的
最小值为|A′B| ＝
1－4
2
＋－1－3
2

＝9＋16＝5．
5．如果一条平行于x轴的线段的长为5，它的一个端点是(2，1)，那么它的另一个端点
是( )
A．(－3，1)或(7，1) B．(2，－3)或(2，7)
C．(－3，1)或(5，1) D．(2，－3)或(2，5)
答案 A
解析 由线段平行于x轴知，两个端点的纵坐标相等，都是1，故可设另一个端点为(x，
1)，则|x－2| ＝5，所以x＝7或x＝－3，即端点坐标为(7，1)或(－3，1)．
二、填空题
6． 已知点M(2，2)平分线段AB，且A(x，3)，B(3，y)，则x＝________，y＝_____ ___．
答案 1 1
解析 “点M(2，2)平分线段AB”的含义就是点M是线段AB 的中点，可以用中点坐标公
式把题意转化为方程组进行求解．∵点M(2，2)平分线段AB，
x＋3


2
＝2，
∴

3＋y

2
＝2，



x＝1，
解得
< br>
y＝1.



7．已知A(1，5)，B(5，－2)，则在坐标轴上与A，B等距离的点有________个．
答案 2
3
22
解析 若点在x轴上，设为(x，0)，则有(x－1)＋ 25＝(x－5)＋4，∴x＝；若点在y
8
3
22
轴上，设为(0，y)， 则有1＋(5－y)＝25＋(－2－y)，∴y＝－．
14
8．已知点A(5，2a－1) ，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于________．
1
答案
2

1

1

2
49
2222
解析 |AB| ＝(5－a－1)＋(2a－1－a＋4)＝2a－2a＋25＝2

a－

＋，所以当a＝
2

2

2
时，|AB|取得最小值．
三、解答题
9．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中 点都在坐标轴上，求点
C的坐标．
解 设点C(x，y)．由直线AB与x轴不平行，可设边 AC的中点为D，BC的中点为E，则
1
DE綊AB．
2
线段AC的中点D 的坐标为

线段BC的中点E的坐标为


3＋x
，
7＋y

，

2

2

－2＋x< br>，
5＋y

．
2


2

3＋x
若点D在y轴上，则＝0，所以x＝－3，此时点E的横坐标不为零，点E要在坐标
2
轴上只能在x轴上，
5＋y
所以＝0，所以y＝－5，即C(－3，－5)．
2
7＋y
若点D在x轴上，则＝0，所以y＝－7，此时点E只能在y轴上，
2

即
－2＋x
＝0，
2
所以x＝2，此时C(2，－7)．
如图所示．
综上可知，符合题意的点C的坐标为(2，－7)或(－3，－5)．
10．已知正三角形A BC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|＋|PB|＋|PC|最小，并求
出最小值．
222

解 以正三角形的一边所在直线为x轴，此边中线所在直线为y轴建立坐标系，如图．
3


a

a


则A

－，0

，B

，0

，C

0，a

．

2

2


2

设P( x，y)，则有
|PA|＋|PB|＋|PC|
3

2

a

22

a

222

＝

x＋

＋y＋

x－

＋y＋x＋
y－a



2

2

2

5
2
3

2

2222
＝3x＋3y －3ay＋a＝3x＋3

y－a

＋a，
4
6

∴当P

0，


< br>222


3

2222
a

时， |PA|＋|PB|＋|PC|有最小值a．
6
