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正余弦定理的应用——三角形面积公式

一、教学内容解析
本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一
章节。
1. 教材内容
本节内容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进< br>一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新
的三角形面积公式 ，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角
形面积实际问题的求解过程。
2.教学内容的知识类型
在本课教学内容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概 念属于
概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和
余弦定理 求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解
决问题的研究模式，以及从直观到 抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。
3.思维教学资源与价值观教育资源
已知三 角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分
析问题——解决问题的研究思维；生活 实际问题求解三角形面积，是培养数学建
模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激 发学生学习数学
的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。

二、学生学情分析
主要从学生已有基础进行分析。
1. 认知基础：从学生知识最 近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和
高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的 关系。现在进一步探
究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。
2.非认知基础：通过小 学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生
具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。 具备相当的日常生活经验，
能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。


三、教学策略选择
《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养 的教学,特别重视

情境的创设和问题的提出。史宁中教授曾指出:“设计情境和提出问题 的目的是
启发学生思考,设计情境和提出问题的根基是数学内容的本质”。
基于此，本节课我 的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效
问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习氛 围，充分调动学生的兴趣与积极
性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中，分析问题、解决问题 ，收获
数学自信。
1、教学方法的选择
本课结合幻灯片、实物投影等多媒体技术的 教学手段，选择观察发现式、问
题启发式、合作讨论式的教学方法。依据的学生认知规律，创设具体问题 ，用问
题串起教学，这样的设计也体现了发现问题——提出问题——解决问题的研究模
式，不断 激发学生学习数学的兴趣，树立了学生的自信，激发探索欲望。在师生
互动、生生互动中，体验知识与方 法的生成过程，形成学生主动参与，自主与合
作探究的课堂气氛，为不同认知基础的学生提供相应的学习 机会和适当帮助。
2、学习反馈的分析
通过课堂小结反馈学生的知识、方法、思想、学法上 的收获。通过三道当堂
小测题目反馈学生对运用正弦定理和余弦定理求三角形面积掌握程度。

四、教学目标设置
本课教学以《普通高中数学课程标准（2017年版）》为基本依据，以“ 数
学育人”作为根本目标设置。
1.主题目标 突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过 形与数的结合，
感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。
2.单元目标 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。
3.细化目标
为了达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下：
（一）能通过分析 问题、解决问题推导出三角形两边及其夹角面积公式，会
运用正弦定理、余弦定理节求三角形面积。
（二）经历从生活实际问题抽象出数学模型并求解的过程，发展学生数学建
模素养，收获数学自信。
（三）体会数学来源于生活，提高数学学习兴趣；通过数学史知识扩展，领
略数学魅力。

五、教学重点难点
1. 教学重点及突出重点

本节重点在于运用正弦定理和余弦定理求三角形面积。
为了突出重点设置了三 个层次的题目：首先是推导出三角形面积公式后的跟
踪训练，熟练三角形面积公式；其次是通过例一及例 一练习题来重点加强用正弦
定理求三角形面积公式；最后通过生活实际问题探究强化余弦定理求三角形面 积
公式知识。此外，在课堂小测中再次突出重点准备了三道题强化重点。
2.教学难点及难点突破
难点1：例一中如何灵活选用正弦定理和余弦定理求解三角形面积。
难点1突破
设置为例题，注重分析过程，剖析思路并详细板书过程，帮助学生理解。从
问题出发，抓住面积公式，要计算面积就要知道三角形的两边及其夹角，明确要
求的元素；联系题目， 已知两角和其中一角的对边，属于正弦定理问题；代数求
解，代入具体数值求值。数学题的解题过程其实 就是运用所学知识把已知条件和
所求联系起来的过程，这中间注意培养学生运用“联系”的思想方法。
难点2：生活实际问题的解决——能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际
问题。
难点2突破
合作探究——把本该是例题的题作为探究题目，在例一认真讲解的基础上，
放心大胆交由学生合作探究解题，引导学生在探究中解决问题，加深印象，最终
收获数学自信。

六、教学过程设计
1、教学流程

教
师
活
动

创设情境

提出问题
问题驱动

引发学生思考


学
生
活
动
提升难度
例题分析
详细板书
帮助学生理解
生活实际
深入探究
数海拾贝
培养建模能力
课堂小结
当堂检测
高考提升
及时反馈问题
复习旧知

思考探究

得出结论

解决所提问题
理解例题
学习过程
跟踪训练
掌握解题方法
合作探究
建立模型
解决问题
增长数学见识
自主小结
认真自测
挑战自我
追求融会贯通
师
生
配
合
完
成
学
习
内
容





2、具体过程
步骤1：提出问题，引发思考（3min）

前面我们 学习了正弦定理和余弦定理，并利用这两个定理进行了解三角形的探索，
今天我们更进一步来探究三角形 面积的计算。
根据初中三角形全等判定的知识，我们知道：在三角形中两边和夹角确定，这个
三角形就是确定的。那么它的面积该如何求呢？
设计意图：
通过创设问题，形成思维撞针，激发深层次思考，揭示课题。

步骤2：复习旧知，新课准备（3min）
我们初中学习过的面积公式是什么？
直角三角形中的边角有什么关系？
那我们不妨从这两个方面入手，来具体探究一下已知两边和夹角求三角形面积的
问题。
设计意图：
复习初中三角形面积公式和直角三角形边角关系，并在这个过程中发 现方法，把
高用边和角表示，更有利于学生接受，并在潜移默化中教会学生运用联系的观点看问题，提高学生分析问题的能力，培养逻辑推理和数学建模素养。

步骤3：问题驱动，探索发现（6min）
给出问题，学生自主探究，再让学生分享探索过程，得出结论。把课堂还给学生。
探究一
如图，在
ABC
中，边
BC，CA，AB
上的高分别记为
h
a
，h
b
，h
c
。
问题1 你能用
ABC
边角分别表示
h
a
，h
b
，h
c
吗？
提示
h
a
bsinCcsinB


h
b

c
sin
A

a
sin< br>C

h
c
asinBbsinA

问题2 你能用边
a
与高
h
a
表示
ABC
的面积吗？
提示
S
ABC

111
ah
a
absinCacsinB

222
1
同理我们可以得出
S
ABC
bcsinA

2
结论，已知
ABC
中，
a，b，c，
所对的角分别为
A，B，C< br>，其面积为
S
,则：
S
ABC

111
absinCacsinBbcsinA

222
设计意图：

带着问题学习，让学生自己发现关系，引导其总结，能够激发学生的学习主动性 ，
建立数学学习自信，并且对知识印象深刻。

步骤4：解决问题，实践真知（2min）
经过前面同学们的探究，现在我们可以回答刚上课时老师的问题了。
学生回答问题：在三角形中两边和 夹角确定，这个三角形就是确定的。那么它的
面积该如何求呢？
实践出真知，来道题试试看：
练习1、在
ABC
中，已知
A30 ，b2，c23，
求
ABC
的面积？
参考答案
S
ABC

设计意图：
呼应开头，让学生经历提出问题，发现问 题，解决问题的过程，并在这个过程中
熟练公式，体会解决问题的快乐，建立数学自信。

步骤5：提升难度，例题学习（10min）
同学们成功的get到了用两边及其 夹角表示的三角形面积公式这个新技能，下面
让我们一起来看看这个题如何解。
例1 在ABC
中，已知
B60

，C45

，b4< br>，求
ABC
的面积？
解：
A180

(B C)180

(60

45

)75
< br>

sinAsin75

sin(45

30

)sin45

cos30

cos45< br>
sin30


根据正弦定理，

bcbsinC
46
，
c
，

3
sinBsinCsinB
1146621243
bcsinA4
.
22343
62

4
111
bcsinA2233

222
S
练习 在
ABC
中，已知
B45

,C120

,b2
，求
ABC
的面积？
参考答案
设计意图：
难度提升，把三角形面积公式和正弦定理相结合，学生要求解面积，先要同正弦
3-3
2

定理解三角形。通过此题帮助学生复习加深正弦定理，教会学生用联系的观点看问 题，
逐步分析问题解决问题，同时为接下来学生自主探究余弦定理相关面积问题做好铺垫。
讲练结合，例题讲完紧跟练习，及时巩固。

步骤6：生活实际，深入探究（10min）
老师我们学的这些知识有用么，有用，现在就有一个问题等你解决？

好多同学说，
学生自主探究解决问题并请同学上黑板分享解题思路。
探究二
如图 ,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过
测量得到这个三角形区域的 三条边长分别为68
m
,88
m
,127
m
,这个区域的面 积是多
少？（只需列式不需要计算）
思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
提示：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式
求解。
解:设
a68m,b88m,c127m,
根据余弦定理的推论，
c
2
a
2
b
2
127
2
6 8
2
88
2


cosB

2ac212768

sin
B
1cos
2
B

1
应用
SacsinB
可解。
2
设计意图：
从生 活中挖掘、提炼素材,寻找实际背景和激趣元素,可以激发学生学习数学的兴
趣,体会数学在实际生活中 的应用意识,培养学生由实际问题抽象出数学问题的能力。引
导学生自主思考如何把生活实际问题化归为 数学问题，并利用余弦定理求解三角形面
积。通过化归过程体会数学建模的思想，提升数学思维。



步骤7：数海拾贝，延伸课堂（3min）
在 数学史上解三角形的问题中，如何由三角形的三边直接求出三角形的面积是
一个比较困难的问题，古希腊 数学家阿基米德、古希腊数学家海伦，还有我国南宋着
名数学家秦九韶都给出了求解公式，有兴趣的同学 可以阅读书21页进一步的学习。
Sp(pa)(pb)(pc)
，这里
p
1
(abc)
.——海伦公式
2

S1

22

c
2
a
2
b
2

ca


4

2





2


——秦九韶“三斜求积”公式


设计意图：
介绍数学史小知 识，增长学生见识，培养数学兴趣，感受数学史魅力。不仅语文
有诗和远方，在几千年文明中数学也有其 独特的魅力。

步骤8：小结提升，课堂自测（3+5min）

我们这节课的内容就到这，请大家说说这节课有什么收获。
同学们总结的很好，接下来检验一下你们是不是真的学会了。
课堂小测：
1、 在
ABC
中，已知
A60

,b1,c2,
则ABC
面积为（）.
2、在
ABC
中，已知
a3,b 13,c4
,则
ABC
面积为（）.
3、在
ABC
中，已知
A60

,b2,
ABC
面积为
23
，则
a
（）.
高考链接：（2017全国二卷理数17题）
4、ABC
的内角
A、B、C
所对的边分别为
a,b,c
，已知< br>sin(AC)8sin
2
(1)求
cosB
.
(2)若
ac6,
ABC
面积为2，求
b
.
设计意图：

梳理课堂所学，强化三角形面积公式。当堂检测学习效果， 及时反馈问题。个
别学生单独辅导，帮助学生真正融会贯通。见识高考真题，激发求知欲，为学有余力< br>学生加餐。


6.作业与板书
布置作业：
1、课本18页练习题1、2
2、配套练习册23页1-5

七、教学反思
1.本节课设计的亮点在于非常重视学生的思维活动和自主探究，把课堂还给学生，让学生成为主体，注重对学生思维的发展和培养。
板书设计：
课题
1三角形面积公式 学生分享探究
2例题一
B
,
2

2.本节课的知识推进采用螺旋上升的方式，题目设 置层次分明，逐渐增加
难度，符合学生认知规律，学习阻力小最后上升到高考题层面，激发学生学习斗志。
3.本节课设计课堂自测，及时反馈问题，帮助学生巩固知识，强化重点。
4.从高考要求来看，在题目设计上可以考虑更多元，题型更多，更贴近生
活实际。