依山尽-财务费用分析

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图

［学习目标］

1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边
心距以及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式：

n是圆心角度数，R是扇形半径，
l
是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开
是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高
r底面半径 h圆柱高
4. 圆锥侧面积
圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周
长。

5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母
线，它们相等。
6. 了解圆锥 由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和
母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角 形，解
决圆锥的有关问题。
7. 圆柱
圆柱的侧面展开图是两邻边分 别为圆柱的高和圆柱底面周
长的矩形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，
若 圆柱的底面半径为r，高为h，则：
。
，

8. 圆锥
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个
圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展 开后是一个扇形，
这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。
因此，圆锥的 侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所
示，若圆锥的底面半径为r，母线长为
l，则

［重点、难点］

。
扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。

【典型例题】
例1. 已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以 B为
圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形
BCE被矩形所截剩余部 分的面积。

图1
解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心，
BC为半径的圆上，
∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°
∴



例2. 已知扇形的圆心角150°，弧长为
为____________。
，则扇形的面积
解：设扇形的面积为S，弧长为
l
，所在圆的半径为R，
由弧长公式，得：
∴

由扇形面积公式，，故填。

点拨：本题主要考查弧长公式
。

和扇形面积公式
例3. 已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为
__________。（弓形的弧为劣弧）。
解：∵弓形弦长等于半径R
∴弓形的弧所对的圆心角为60°
∴扇形的面积为。
三角形的面积为。
∴弓形的面积为。
即。故应填。
点拨：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面
积与三角形 面积的和或差。本题若没有括号里的条件，则有两种
情况。

例4. 若圆锥的母线与底面直径都等于a，这个圆锥的侧面积
为_____________。
解：∵圆锥的底面直径等于a。
∴底面半径为，
∴底面圆的周长为
又∵圆锥的母线长为a，
。
∴圆锥的侧面积为。
故应填
点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面
积公式

例5. 如 图2所示，OA和OO
1
是⊙O中互相垂直的半径，B在
上，弧的圆心是O
1
，半径是OO
1
，⊙O
2
与⊙O、⊙O
1
、OA都 相
求得。
切，OO
1
＝6，求图中阴影部分的面积。

图2
解：设⊙O
2
与⊙O、⊙O
1
、OA分别切于点D、C、E，设⊙O
2
的半径为r，连结O
1
O
2
，O
2
E，过点O
2
作O
2
F⊥O< br>1
O于F，连结O
1
B、
OB、OO
2
。
∵O
1
O＝6，
 ∴



∴

又∵



，

∴



∴
又∵


，

，
，
（舍去）
是等边三角形
，

∴扇形
∴
和扇形的面积相等且都等于。 < br>所组成的图形面积为扇形O
1
BO和扇形OO
1
B
的面积之和 减去三角形O
1
OB的面积，即：

又∵扇形OAO
1
的面积为：
∴阴影部分的面积为：

点拨：本题比较复杂，考查的知识面比较多，要正确作辅助
线，找出解题的思路。

例6. 在半径为2的圆内，引两条平行弦，它们所对的弧分别
为120°和 60°，求两弦间所夹图形的面积及周长。
解：分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况：
①如图3所示，由题意，

图3
则∠AOB＝120°，∠COD＝60°
又∵AB∥CD，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD

又∵∠AOC＋∠BOD＝180°
∴∠AOC＝∠BOD＝90°
∴
又∵



故所求面积为



又∵∠AOC＝90°，

∴
同理
，
又∵△OCD是等边三角形，

∴CD＝OC＝OD＝2
又∵
∴所求的周长



②如图4所示，由第一种情况，得所求面积：

图4






所求周长

点拨：要注意本题的两种情况，另外，弧长公式和扇形以及
弓形的面积求法要求正确掌握，熟练运用。

例7. 如图5所示，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆
与外接圆组成的圆环的面积。（答案保留）
（1999年广州）

图5
解：设正方形外接圆、内切圆的半径为R、r，面积为
。

∵

∴。
常见错误：此题最容易产生的问题是找不出正方形边长 的一
半与两圆的半径之间的勾股关系。即不会运用圆内接正方形与圆
外切正方形的性质来解题。 这一点读者应认真体会。

例8. 如图6所示，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝BC＝CA＝
6cm

图6
（1）求证：∠OBC＝30°；
（2）求OB的长（结果保留根号）；
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留）。
解：（1）AB＝BC＝CA，∴∠A＝60°
∴∠BOC＝120°，又∵OB＝OC，

∴∠OBC
（2）过O作OD⊥BC于D，
∵OB＝OC，BC＝6cm，

∴
∵，
∴
（3）∵


∴
即阴影部分面积是。

常见错误：此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件，
从而无法证明∠ OBC＝30°；当然，解直角三角形失误，求扇形
面积时公式记错产生的错误，也是考试中的常见错误 ，应引起警
惕。

例9. 一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧
面积。
点悟：如图7所示 ，欲求圆锥的侧面积，即求母线长
l
，底
面半径r。由圆锥的形成过程可知，圆锥的高 、母线和底面半径
构成直角三角形即Rt△SOA，且SO＝10，SA＝
l
，OA＝ r，关键找
出
l
与r的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系
即。
，

图7
解：设圆锥底面半径为r，扇形弧长为C，母线长为
l
，
由题意得
∴
在Rt△SOA中，
①
②
由①、②得：。

∴所求圆锥的侧面积为


。
例10. 圆锥的轴截面是等腰△PAB，且PA＝PB＝3，AB＝2，M
是AB上一点，且PM＝2，那么在锥面上A、M两点间的最短距离
是多少？
点悟： 设圆锥的侧面展开图是扇形PBB'，A点落在A'点，
则所求A'、M之间的最短距离就是侧面展形图 中线段A'M的长度。
解：如图8所示，扇形的圆心角＝360°

图8
∴∠A'PB＝60°，在△A'PM中，过A'作A'N⊥PM于N，
则

∴，


【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、填表
（1）已知：正n边形边长为a
正n边形 中心角
n＝3
n＝4
n＝6

（2）已知：正n边形半径R
正n边形 中心角
n＝3
n＝4
n＝6



半径



边心距






半径



边心距




周长



面积



周长



面积

二、填空题：
1. 如果扇形半径长3cm，圆心角120°，则它的面积是
_____________cm。
2. 若圆锥母线长5cm，高3cm，则其侧面展开图的圆心角是
_____________度。
3. 若圆锥底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图面
积是_____________cm。
4. 有一圆柱状玻璃杯，底面半径3cm，高为8cm，今有一长
12cm的吸管斜放入 杯中，若不考虑吸管粗细，则吸管最少露出
杯口处的长度是_____________cm。
5. 用一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一圆
锥侧面，那么圆锥底 面半径是_____________cm。
6. 如图1，正方形ABCD边长为2，分别以A B、BC为直径在正
方形内作半圆，则图中阴影部分面积为_____________平方单位。
2
2

图1
7. 如图2，AB＝2cm，∠ AOB＝90°，AO＝BO，以O为圆心，
OA为半径作弧AB，以AB为直径做半圆AmB，则半圆 和弧AB所
围阴影部分面积是_____________cm。
2

图2
8. 若圆锥侧面积为
_____________cm。
9. 圆柱表面积为
_____________cm。
10. 矩形ABCD中，AC＝4c m，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋
转一周，得到圆柱表面积为_____________cm 。

三、解答题：
2
，母线长5cm，则圆锥的高为
，它的高 为2cm，则底面半径为

11. 已知扇形的半径为，它的面积恰好等于一个半径为
的圆面积，那么这个扇形的圆心角为多少度？
12. 如图3，已知半圆O，以AD为直径，AD＝2cm，B、C是半
圆弧的三等分点 ，求图中阴影部分面积。

图3
13. 已知如图，割线PCD过圆心O，且 PD＝3PC，PA、PB切⊙
O于点A、B，∠PAB＝60°，PA＝
形ACB的面积。
扇形计算公式
[编辑本段]扇形周长公式
因为扇形＝两条半径＋弧长
若半径为R，扇形所对的圆心角为n°，那么扇形周长：
C＝2R＋nπR÷180
[编辑本段]扇形面积公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积
就是圆面积S＝πR，所以圆心角为n°的扇形面积：
S＝nπR÷360
，AB与PD相交于E，求弓

比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的
周长：
C＝2R＋nπR÷180
＝2×1＋135×3.14×1÷180
＝2＋2.355
＝4.355(cm)＝43.55(mm)
扇形的面积：
S＝nπR÷360
＝135×3.14×1÷360
＝1.1775(cm)=117.75(mm)
扇形还有另一个面积公式
S=12lR
其中l为弧长，R为半径
本来S＝nπR÷360
按弧度制.2π=360度.因为n的单位为度.所以l为角度为n时
所对应的弧长.即.l=n×R
所以. s=n×R×π×R2π=12lR.
[编辑本段]扇形的弧长公式
l=(n180)*pi*r,l是弧长，n是扇形圆心角，pi是圆周率，r
是扇形半径

【试题答案】
一、填表：
（1）
正n边形 中心角
n＝3
n＝4
n＝6
120°

90°

60° a


（2）
正n边形 中心角
n＝3
n＝4
n＝6
120°
90°
60° R


二、填空题：
半径



6R

边心距

周长



面积



4a
6a

半径 边心距 周长
3a

面积

1. 2.
288 3.
4. 2 5.
10 6.
7. 1 8.
4cm 9. 3cm
10.

三、解答题：
11. 解：由题意，设所求圆心角为°，则


答：所求扇形圆心角为60°
12. 解：连结OB、OC
∵
∴

13. 解：连结OA、OB，在Rt△AEP中，∠PAB＝60°
∴∠APD＝30°
在Rt△OAP中，
∴∠AOP＝60°，OA＝4，PO＝8
∴∠AOB＝120°
∴
由题意，PD＝3PC
∴
PC＝4，PD＝12
∴CD＝8
由题意：

∴
∴OE＝3


∴
∴