(4)若A=｛a， b｝，则B=｛a｝或B=｛b｝或B=，故共有8对适合题意.

随笔：

随笔：

拖6若Ａ＝{2,a-1,a2-3a-1},B={a+1,a+3,

答案:
∵A∩B=｛2，3｝，∴(1)若a-1=3，则a=4，此时A=｛2，3｝，B =｛5，7，18｝与条件不符，舍去；
2
(2)若a-3a-1=3，则a=-1或a=4 (舍去)，由a=-1得，A=｛2，-2，3｝，B=｛0，2，3｝，综合知a=-1.

【错解】∵Ａ∩Ｂ＝｛９｝，∴９∈Ａ，
∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
【易错分析】先根据Ａ∩Ｂ＝｛９｝知９∈Ａ，从而求出a值，再进行检验．
【正解】∵Ａ∩Ｂ＝｛９｝,∴９∈Ａ,
从而2a-1=9或a=9，解得a=5或a=±3 .当a=5时，A=｛-4，9，25｝，B=｛0，-4，9｝，∴Ａ∩Ｂ=｛-4，9｝，这与已知Ａ∩Ｂ= ｛9｝矛盾，
舍去.当a=3时，B=｛-2，-2，9｝与集合中元素的互异性矛盾，舍去，当a=- 3时,经检验符合题意，∴a=-3.
2
(２)忽视集合中元素的属性
【例题1 0】已知集合M=｛y|y=x+1,x∈R,｝N=｛y|y=-x+1,x∈R｝,则M∩N是( )．
A.｛0,1｝B.｛(0,1)｝C.｛1｝D.
2


x0

yx1
【错解】由

得

,选B
2
y1

yx1


22
【易错分析】选 B错的原因在于没有先研究(判断)集合元素的属性、意义、错误地认为交集为两曲线的交点（两方程的公共解） ．
【正解】∵M=｛y|y=x+1,x∈R｝=｛y|y≥1｝,N=｛y|y=-x+1,x∈R ｝=｛y|y≤1｝,∴M∩N=｛1｝,选C.
22
方法技巧
1.利用韦恩图巧解数集的交、并、补运算
【例题11】设全集U＝｛不大于20的质数｝, 且A∩(C
U
B)=｛3,5｝,(C
U
A)∩B=｛7,19｝,(CU
A)∩(C
U
B)=｛2,11｝,求集合A、B.
【解析】U=｛2,3,5,7,11,13,17,19｝
由(C
U
A) ∩(C
U
B)=C
U
（A∩B）=｛2，11｝知，
A∪B=｛3 ，5，7，13，17，19｝，将它们及已知条件的有关数据填入韦恩图中（如图1-3-6）
A
2
+2},当Ａ∩Ｂ={2，3}时，求实数a.
拖7已知集合Ａ＝{x|y＝x+2},B={y|y=-x2+2x+5},则Ａ∩Ｂ＝．
22
答案:
A=｛x|y=x+2｝=｛x|x≥-2｝，B=｛y|y=-x+2 x+5｝=｛y|y=-(x-1)+6｝=｛y|y≤6｝，∴A∩B=｛t|-2≤t≤6｝.

随笔:

拖8已知全集U＝{a,b,c,d,e,f,g},(CUA)∪(CUB)={a,b,c,f,g },(CUA)∩B={c,g},(CUB)∩A={b},求集合Ａ、Ｂ．

图1-3-6
答案:
∵(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)=｛a，b，c，e，f，g｝，∴A∩B=｛d｝，依题 设条件画出文氏图如下图，∴A=｛b，d｝，B=｛c，d，g｝.

8题图 9题图

由图可知，Ａ＝｛３，５，１３，１７｝，Ｂ＝｛７，１３，１７，１９｝．
【思路点拨】本题若用逻辑推理法，将需要一一验证它的元素应属于哪个集合，很麻烦，今后若遇到与自然数或 整数有关的有限集的子、
交、并、补的运算问题，借助文氏图将已知条件对号填数，显然既直观又清晰， 是一种很好的方法．
２．利用数轴求解不等式表示的子、交、并、补运算
对于不等式表示的 集合，由于集合元素的个数无穷多，不宜用文氏图求解，应借助数轴，以形助数可使复杂问题简单化．〖〗〖〗【 例题12】
已知全集U=｛x|x≤4｝,集合A=｛x|-2＜x＜3｝,B=｛x|-3＜x≤3｝ ,求（C
U
Ａ）∩Ｂ，Ａ∪（C
U
Ｂ），（C
U
Ａ）∪（C
U
Ｂ）．
【解析】把全集U及集合Ａ、Ｂ在数轴上表示如下：

图1-3-7
(1)由数轴可知C
U
Ａ＝｛x|x≤-2或3≤x≤4｝
C
U
Ｂ＝｛x|x≤-3或3＜x≤4＝

图1-3-7
(2)（C
U
Ａ）∩Ｂ＝｛x|-3＜x≤-2或x=3＝，如图1-3-7（２）所示．
随笔：

拖9设全集U＝{x|1＜x＜7＝,A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤6},求（CUＡ ）∩Ｂ．
答案:
在数轴上表示U，A，B如图示，则C
U
A=｛x|1＜ x＜2或5＜x＜7＝∴(C
U
A)∩B=｛x15＜x≤6＝(如图阴影部分).

随笔：

随笔：



图1-3-7
(3)在图1-3-7（３）中易知
Ａ∩（C
U
Ｂ）＝｛x|x≤-3或-2＜x≤4且x≠3｝．

（C
U
Ａ）∪（C
U
Ｂ）＝C
U
（Ａ∩Ｂ）＝C
U
Ａ＝｛x|x≤-２或３≤x≤４｝．
【思路点拨】在进行不等式集合的运算时，利用数 轴十分直观，其中交集是两部分重叠的部分，并集是所有连在一起的部分（即折线扫过
的所有部分）．
３．利用重要结论“Ａ∩Ｂ＝ＡＡＢ”及“Ａ∪Ｂ＝ＡＢＡ”解题
【例题13】设Ａ＝｛x∈ R|x+4x=0｝,Ｂ＝｛x∈R|x+2(a+1)x+a-1=0,a∈R｝，
（１）若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求实数a的值．
（２）若Ａ∩Ｂ＝Ａ，求实数a的值．
【解析】（１）由已知有A=｛0,-4｝,
∵A∪B=A，∴B
∴B可能为
①当Ｂ＝
A,即B｛0,-4｝,
222
，｛0｝,｛-4｝,｛0,-4｝四种情况.
时，则方程x+2(a+1)x+a-1=0无实根，
22
22
∴Δ＝4(a+1)-4(a-1)=8a+8＜0，即a＜-1;
②当Ｂ＝｛０｝时，Δ＝0且a-1=0，∴a=-1;
③当Ｂ＝｛－４｝时，Δ＝0且(-4)+2(a+1)(-4)+a-1=0，a无解;
④当Ｂ＝｛０，－４｝时，由根与系数的关系有
22
2

8a 80


2(a1)4,解得a1
，解得a=1．

a
2
10

综合可知a≤-1或a=1．
随笔：

拖10已知Ａ＝{x|x2-ax+a2-19=0}，Ｂ＝{x|x2-5x+6=0}，且Ａ，Ｂ满 足下列三个条件：①Ａ≠Ｂ，②Ａ∪Ｂ＝Ｂ，③
a的值．

（Ａ∩Ｂ），求实数
答案:
易知B=｛2，3｝，由A∪B=B，知A
又∵(A∩B)∴A=｛2｝或A=｛3｝，
22
B，即A=B或AB，而A≠B，∴AB
当A=｛2｝时，将2代入x- ax+a-19=0，得a-2a-15=0
∴a=-3或a=5，经检验a=-3时，A=｛2，－ 5｝与A=｛2｝矛盾；a=5时，A=｛2，3｝与A=｛2｝矛盾.
当A=｛3｝时，有a-3a-10=0，∴a=5或a=-2.
经检验，a=-2时，A= ｛3，-5｝与A=｛3｝矛盾，a=5时A=｛2，3｝与A=｛3｝矛盾.
故不存在实数a使集合A，B满足已知条件.

（２）∵Ａ∩Ｂ＝Ａ，∴Ａ
｛0,-4｝
Ｂ，即
22
2
2
B,∴0，-4必为B的元素，从而0和-4为x+2(a+1)x+a-1=0的两根，
∴


2(a1)4

a10
2
,解得 a=1.
【思路点拨】对于“Ａ∪Ｂ＝Ａ，Ａ∩Ｂ＝Ａ”分别转化为“ＢＡ，ＡＢ”求解是处理这类问 题的重要手段，与此有类似方法进行转

换的还有：
Ａ∩ＢＡ∩Ｂ≠；Ａ∩＝分Ａ＝和Ａ≠两种情形讨论；Ａ∪＝Ａ＝等.
名题活题创新探究
例题分析解答
【例题14】（全国高考题）设全集U＝｛(x，y)|x，y∈R｝，集合M =｛（x，y)|
A.B.｛(2，3)｝
y3
=1｝，N=｛(x，y)|y≠x+1｝，那么(CM)∩(CN)=( ).
x2
UU
C.(2，3)D.｛(x，y)|y=x+1｝
【解析】U表 示直角坐标平面上的所有点，M表示直线y=x+1上除去点（2，3）外的所有点，N表示直角坐标平面上除去 直线y=x+1外的所
有点，则M∪N表示直角坐标平面上除去点（2，3）外的其余点，从而（CU
M）∩（C
U
N）=C
U
（M∪N）=｛（2，3）｝，选B .
【思路点拨】（Ｃ
U
Ｍ）∩（C
U
Ｎ）是一个集合，因而不能选 Ｃ，因为（２，３）是一个元素，不是集合．类似这类问题，都应深刻理解各
个集合所表示的意义．
随笔：

随笔：


【例题15】已知集合Ａ＝｛(x,y)|y=ax+b｝，Ｂ＝｛(x,y)|y=3x+ 15｝，Ｃ＝｛(x,y)|x+y≤144｝，问是否存在实数a,b使得:(1)A∩B≠
,(2) (a,b)∈C同时成立？
【解析】假设存在实数a,b使得Ａ∩Ｂ≠
y=3x+15有解，
即方程3x-ax+15-b=0必有实数解，因此
Δ＝a-12(15-b)≥0,即a≥180-12b①
同时，a+b≤144,即a≤144-b②
联立①、②整理得(b-6)≤0,
∴b=6
将b=6代入①，②，分别得a≥108，a≤108，
∴a=108,a=±６3
将b=6，a=±６3代入方程组，解得x=±3,y=24，所 以存在实数a,b使得①，②同时成立．
【思路点拨】将A∩B≠
22
2
2 2
2
2222
22
2
2
222
且（a,b）∈C， 同时成立，故方程组y=ax+b
转化为方程组有解是破题关键，由此得一个二元二次不等式a≥18 0-12b，显然无法解决，只好通过180-12b及
2
2
144-b与a的大小关 系得出(b-6)≤0是解题的点晴之笔，请读者多加体会．
能力达标检测
１．设集合Ａ＝ ｛x∈Z|-10≤x≤-1｝，Ｂ＝｛x∈Z|-5≤x≤5｝，则Ａ∪Ｂ中的元素个数是( )．
A.11 B.10 C.16 D.15
答案:
C提示：A∪B=｛x∈Z|-10≤x≤5｝=｛-10，-9，-8，…，0，1，…，5｝
２．设集合Ａ＝｛x|x≥
A.x
3
3
｝,x=
2
7< br>，则下列关系中正确的是( )．
A A B.x∈A C.｛x｝∈A D.｛x｝
答案:
D提示：x=
27
＞
33
，∴x∈A， x是元素，A是集合，故A，C表示的不对

３．已知集合Ｐ＝｛x|x=n,n∈Z｝，Ｑ＝ ｛x|x=
n
2
,n∈Z｝，Ｒ＝｛x|x=
1
2
+n,n ∈Z｝，则下列正确的是( )．

C.Q=P∪R D.Q=P∩R
，n∈Z｝，R=｛x|x=
2nn
，n∈Z｝，Q=｛x|x=< br>22
2n1k
或x=，n∈Z｝=｛x|x=，k∈Z｝=Q.

22
答案:
C提示：P=｛x|x=
2n12n
，n∈Z｝，2 n为偶数，2n+1为奇数，从而P∪R=｛x|x=
22
４．设Ａ＝｛(x,y)|4x+y =6｝，Ｂ＝｛(x,y)|3x+2y=7｝，满足ＣＡ∩Ｂ的集合Ｃ的个数为( )．
拖11设 集合Ａ＝{(x,y)|y=2x-1,x∈N}，Ｂ＝{(x,y)|y=ax
2
-ax+a ,x∈N}，是否存在整数a
≤m2-m≤x≤m,m＞0）．
，说明理由．（注意不等式|x|≤mx2
答案:
∵A∩B，∴A∩B≠，从而

y2x1

yaxaxa
N∴a=0舍去，
2
有解，即ax-(a+2)x+a+1=0①，有自然数解.
2
当a=0 时，方程①为－2x+1=0，∴x=
1
2
当a≠0时，Δ≥0即(a+2)-4a( a+1)≥0，∴a≤
22
4
3
即-
2323
≤a≤，∴a =±1或a=0(舍去)，经检验a=±1均满足题意，综合可知，
33
存在整数a=±1，使 A∩B.

随笔：

A.０ B.１ C.２ D.４
答案:
C提示：A∩B=｛(x，y)|4x+y=6
3x+2y=7=｛(1，2)｝只有一个元素，又C
2
A∩B，故C=或C=｛(1，2)｝.

2
５．已知集合Ｍ＝｛ a,a+1,-3｝，Ｎ＝｛a-3,2a-1,a+1｝，若Ｍ∩Ｎ＝｛-3｝，则a的值是( )．
A.－１B.０C.１D.２
答案:
A提示：由M∩M=｛－3｝知-3∈N.
∴a-3=-3或2a-1=-3或a+1=-3，解得a=0或a=-1.
当a=0时，M =｛0，1，-3｝，N=｛-3，-1，1｝与M∩N=｛-3｝矛盾，故a=-1.

６．已知集合Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ∪Ｂ＝Ａ∪Ｃ，那么下列各式中一定成立的是( )．
A.Ａ∩Ｂ＝Ａ∩ＣB.Ｂ＝ＣC.ＢＣ或ＣＢD.以上都不对
2
答案:
D提示：举反例，如A=｛3，4，2｝，B=｛1，2｝，C=｛1，4｝显然满足A∪B=A∪C，但A，B ，C都不满足.

７．设函数f(x),g(x)对任意实数都有意义，且f(x)≥0的解集 为｛x|1≤x＜2｝,g(x)≥0的解集为
为( )．
A.｛x|1≤x＜2＝B.ＲC.D.｛x|x＜１或x≥2＝
，则不等式f(x)·g(x)＞0的解集
答案:
D提示：f(x)·g(x)＞0等价于f(x)＞0
g(x)＞0或f(x)＜0
g(x)＜0
∵g(x)≥0的解集为，∴f(x)＞0

g(x)＞0的解集为.
又f(x)≥0的解集为｛x|1≤x＜2｝，则f (x)＜0的解集为｛x|x≥2或x＜1｝，g(x)≥0的解集为，则g(x)＜0的解集为R.
∴f(x)＜0
g(x)＜0
x∈R
x≥2或x＜1
x≥2或x＜1.

U若Ｍ∩Ｎ＝｛b｝，（C
U
Ｍ）∩Ｎ＝｛d｝ ，（C
U
Ｍ）∩（C
U
Ｎ）＝｛a,e｝，则下列结论正确的是( )． ８．已知全集U＝｛a,b,c,d,e｝，M、N
A.c∈M且c∈ＮB.c∈C
U
M且c∈N
C.c∈M且c∈C
U
ＮD.c∈C
U
M且c∈CU
Ｎ
答案:
C提示：画出韦恩图

8题图

９．已知集合Ｍ＝｛x|x-a=0｝，Ｎ＝｛x|ax-1=0｝，若Ｍ∩Ｎ＝Ｍ，则实数a＝( )．
A.１B.－１C.１或－１D.１或－１或０
答案:
C提示：M∩N=MMN.又M=｛a｝，∴N=｛a｝且a≠0，从而a=1，a=±1.

2
10.已知U=｛x∈R|-1≤x≤3｝，A=｛x∈U|-1＜x＜3｝，B=｛x∈R|x2- 2x-3=0｝，C=｛x|-1≤x＜3｝，则有( ).
A.C
U
A=BB.C
U
B=CC.C
U

2
答案:
A提示：C
U
A=｛x|x=-1或x=3｝，B=｛x |x-2x-3=0｝=｛-1，3｝.

11.设A=｛x∈Z|x2-px+15=0｝， B=｛x∈Z|x2-5x+q=0｝，若A∪B=｛2,3,5｝，则A、B分别为( ).
A.｛3，5｝，｛2，3｝B.｛2，3｝，｛3，5｝
C.｛2，5｝，｛3，5｝D.｛3，5｝，｛2，5｝
答案:
A提示：由A∪ B=｛2，3，5｝知A与B中的元素只能是2，3，5中的数，又x
2
-px+15=0中的 两根之积为15，从而A=｛3，5｝，而
2
x-5x+q=0的两根之和为5，∴B=｛2， 3｝.

12.已知A、B、M、N为非空集合，A∩B=
A.B.｛｝.N
，M=｛A的真子集｝，N=｛B的真子集｝，则M∩N=( ).
答案:
B提 示：∵A、B非空且A∩B=，∴A，B无公共元素，∴M=｛A的非空真子集｝∪｛｝，N=｛B的非空真子集 ｝∪｛｝，∴M∩
N=｛｝.

13.设集合A=｛(x，y)|a
1
x+b
1
y+c
1
=0｝，B=｛(x，y)|a
2
x+ b
2
y+c
2
=0｝，则方程组a
1
x+b
1y+c
1
=0
a
2
x+b
2
y+c
2
=0的解集为，方程(a
1
x+b
1
y+c
1
) ·(a
2
x+b
2
y+c
2
)=0的解集是.(用A与B的 运算关系表示).
答案:
A∩B；A∪B.提示：在方程组中，解既要满足第一个方程又要 满足第二个方程，即解既属于A又属于B，所以解集为A∩B，对于方
程(a
1
x+b
1
y+c
1
)(a
2
x+b
2
y+c2
)=0的解，满足a
1
x+b
1
y+c
1
= 0或a
2
x+b
2
y+c
2
=0都行，所以解集为A∪B.

14.如图，U表示全集，则图中的阴影部分用含有A、B的集合表示为.

14题图
答案:
(A∩C
U
B)∪( B∩C
U
A).提示：依题图看，A中的阴影部分表示为A∩C
U
B，B中的 阴影部分表示为B∩C
U
A，整个阴影部分为两部分的并
集.

15.已知集合A=｛-1，|1-a|｝，B=｛a-1，2｝，若A∩B=，则实数a的取值范围是 .
答案:
a＜-1或－1＜a＜0或0＜a＜1. 提示：当a≥1时，A=｛-1，|a -1|｝=｛-1，a-1｝，A∩B=｛a-1｝不满足A∩B=，∴a＜1，从
而A=｛-1，1- a｝，欲使A∩B=，则1-a≠2且a-1≠-1，即a≠-1且a≠0，综合可知a＜1且a≠0且a≠-1 ，即a的取值范围为a＜-1
或－1＜a＜0或0＜a＜1.

16.已知集合A=｛x|m≤x≤2｝，若A∪R=R，则实数m的取范围是 .
++
答案:
m＞0提示：A∪R+=R+AR+=｛x|x＞0｝，借助数轴易得m＞0.

17.已知A =｛x|－2＜x＜4＝，B=｛x|x＜a＝，A∪B=｛x|x＜4＝，求a的取值范围.
答案:
B=｛x|x＜a＝，A∪B=｛x|x＜4＝，∵BA∪B，∴a≤4.从数轴上看 ，当-2＜a≤4时，A∪B=｛x|x＜4＝成立，当a＜-2时，A∪
B=｛x|-2＜x＜4或x ＜a＝≠｛x|x＜4＝，舍去.当a=-2时，B=｛x|x＜-2＝，A∪B=｛x|-2＜x＜4或x＜- 2＝≠｛x|x＜4＝，故a=-2舍去，
综上可知，a的取值范围为-2＜a≤4.

18.已知集合A=｛(x，y)|y=x｝，集合B=｛(x，y)|y=-x+m｝，m为实数，求A∩B .
2

m

yx
答案:
依题意，即

有解，将①代入②得，x=
2
2


yxm
2
22
，当m＞0时，x=±
2m
2，y=
m
2
，从而A∩B={(-
2m
2
，
m
2
)，
(
2m
2
，
m
2
)};当 m=0时，x=0，y=0，∴A∩B=｛(0，0)｝;当m＜0时，x无解，∴A∩B=.

19.某班有50名学生，其中会说英语的人数占全班总人数的五分之三，会说日语的比会说英语的人多3个， 两种语言都不会的人数是两种
语言都会人数的三分之一多1人，求两种语言都会的人数和两种语言都不会 的人数.

答案:
设U=｛全班学生｝，A=｛会说英语的学生｝，B=｛会说日 语的学生｝，设两种语言都会的学生有x人，则两种语言都不会的学生有
人，又由于会英语的有50×< br>∴
x
3
+1
3x
=30人，会说日语的有30+3=33人， 由文氏图可知全班学生人数为50=(30－x)+x+(33-x)+
53
+1，解得x=21，
x
3
+1=8.

19题图
故两种语言都会的有21人，都不会的有8人.

20.已知集合 A=｛x|x-ax+a-19=0｝，B=｛x|x-5x+6=0｝，C=｛x|x+2x-8=0｝且A∩ B≠
2222
，A∩C=，求实数a的值.

答案:
B=｛ 2，3｝，C=｛2，－4｝，∵A∩B≠，A∩C=，∴3∈A，2
时，A=｛x|x-5x+6=0 ｝=｛2，3｝，与2
2
A，－4
2
A.由3∈A得，3-3a+a-19= 0，解得a=5或a=-2.当a=5
22
A矛盾，舍去；当a=-2时，A=｛x|x+2x -15=0｝=｛3，-5｝，符合题意，故a=-2.

A，CA的实数a，b是否存在?若 存在，21.已知集合A=｛x|x2-3x+2=0｝，B=｛x|x2-ax+(a-1)=0｝，C=｛x |x2-bx+2=0｝，问同时满足B
求出a，b所有的值的集合；若不存在，请说明理由.
答案:
∵A=｛x|x
2
-3x+2=0｝=｛1，2｝，又C
= 0｝=｛1，a-1｝，∵B
22.已知A=｛(x，y)|
A，∴把x=1代入x- bx+2=0得b=3，把x=2代入x-bx+2=0得b=3，又B=｛x|(x-1)［x-(a-1)］
22
A，∴a-1≠2且a-1≠1，故满足条件的a、b存在a≠2且a≠3，b=3.即｛ a|a≠2且a≠3｝，｛b|b=3｝.

y3
=m+1｝，B=｛(x，y) |(m-1)x+(m-1)y=15｝，问m取何值时，A∩B=
x2
2
?
答案:
∵A∩B=(x，y)，故要使A∩B=，

y3
m 1

①
即使方程组

x2
无解，显然x≠2.

(m
2
1)x(m1)y15
②< br>
当x≠2时，①变形为y=(m+1)(x-2)+3 ③
把③代入②得2(m-1)x=2m-3m+16 ④
若m-1=0，即m =±1时，④不成立，所以方程组也无解.当x=2时，④变形为2m+3m-20=0，解得m=
∵x ≠2，∴m=
22
22




5
2
或m=-4.
5
2
或m=-4时方程组无解.
综上所述，欲使A∩B=，m取值为±1，
5
2
，－4.

参考答案
【一拖二】
1.U=｛x∈N|0＜x≤10｝=｛1，2，3，4，5 ，6，7，8，9，10｝，A∩B=｛4｝，A∪B=｛1，2，4，5，6，7，8，9，10｝
∴(C
U
A)∩(C
U
B)=C
U
(A∪B)=｛3｝，( C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)=｛1，2，3， 5，6，7，8，9，10｝.
(A∩B)∪C=｛4｝∪｛3，5，7｝=｛3，4，5，7｝.
2.C提示：依选项先运算M∩P，再从图上看，阴影部分是M与P的公共部分，但在S的外部. 3.设54名学生组成的集合为U，会打篮球的学生组成的集合为A，会打排球的学生组成的集合为B，这两 种球都会打的学生组成的集合中
的人数为x，由文氏图知：(36-x)+(40-x)+x+(
1
4
x-1)=54，解得，x=28，故既会打篮球又会打排球的有28人.

3题图
4.D提示：M是数集，N是点集，两者之间没有包含关系，也不可能有公共元素.
5.(1)若A=，则当且仅当B=｛a，b｝满足条件；
(2)若A=｛a｝，则B=｛b｝或B=｛a，b｝；
(3)若A=｛b｝，则B=｛a｝或B=｛a，b｝；
(4)若A=｛a，b｝，则B=｛a｝或B=｛b｝或B=，故共有8对适合题意.
6.∵ A∩B=｛2，3｝，∴(1)若a-1=3，则a=4，此时A=｛2，3｝，B=｛5，7，18｝与条件不 符，舍去；

(2)若a-3a-1=3，则a=-1或a=4(舍去)，由a=-1得 ，A=｛2，-2，3｝，B=｛0，2，3｝，综合知a=-1.
7.A=｛x|y=x+2｝=｛ x|x≥-2｝，B=｛y|y=-x+2x+5｝=｛y|y=-(x-1)+6｝=｛y|y≤6｝，∴A∩ B=｛t|-2≤t≤6｝.
8.∵(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)=｛a，b，c，e，f，g｝，∴A∩B=｛d｝，依题设条件画出文氏图如下 图，∴A=｛b，d｝，B=｛c，d，g｝.
22
2

8题图 9题图
9.在数轴上表示U，A，B如图示，则C
U
A=｛x|1＜x＜2或5＜x ＜7｝∴(C
U
A)∩B=｛x15＜x≤6｝(如图阴影部分).
10.易知B=｛2，3｝，由A∪B=B，知A
又∵(A∩B)∴A=｛2｝或A=｛3｝，
222
B，即A=B或AB，而A≠B，∴AB
当A=｛2｝时，将2代入x- ax+a-19=0，得a-2a-15=0
∴a=-3或a=5，经检验a=-3时，A=｛2，－ 5｝与A=｛2｝矛盾；a=5时，A=｛2，3｝与A=｛2｝矛盾.
当A=｛3｝时，有a-3a-10=0，∴a=5或a=-2.
经检验，a=-2时，A= ｛3，-5｝与A=｛3｝矛盾，a=5时A=｛2，3｝与A=｛3｝矛盾.
故不存在实数a使集合A，B满足已知条件.
11.∵A∩B，∴A∩B≠
2

y2x1
，从而

有解，即ax-(a+2)x+a+1=0①，有 自然数解.
2

yaxaxa
2
当a=0时，方程①为－2 x+1=0，∴x=
1
2
N∴a=0舍去，
当a≠0时，Δ≥0即(a+2 )-4a(a+1)≥0，∴a≤
22
4
3
即-
2323
≤ a≤，∴a=±1或a=0(舍去)，经检验a=±1均满足题意，综合可知，
33
存在整数a =±1，使A∩B
【能力达标检测】
.
1.C提示：A∪B=｛x∈Z|-10≤x≤5｝=｛-10，-9，-8，…，0，1，…，5｝
2.D提示：x=
27
＞
33
，∴x∈A，x是元素，A是集合，故 A，C表示的不对
，n∈Z｝，R=｛x|x=
2nn
，n∈Z｝，Q=｛x|x=
22
2n1k
x=，n∈Z｝=｛x|x=，k∈Z｝=Q.
22
3.C提示：P=｛x|x=
4.C提示：A∩B=｛(x，y)|4x+y=6
3x+2y=7=｛(1，2)｝只有一个元素，又C
5.A提示：由M∩M=｛－3｝知-3 ∈N.
2n12n
，n∈Z｝，2n为偶数，2n+1为奇数，从而P∪R=｛x|x=或
22
A∩B，故C=或C=｛(1，2)｝.
∴a-3=-3或2a-1=-3或a+1=-3，解得a=0或a=-1.
当a=0时，M=｛0，1，-3｝，N=｛-3，-1，1｝与M∩N=｛-3｝矛盾，故a=-1.
6.D提示：举反例，如A=｛3，4，2｝，B=｛1，2｝，C=｛1，4｝显然满足A∪B=A∪ C，但A，B，C都不满足.
7.D提示：f(x)·g(x)＞0等价于f(x)＞0
g(x)＞0或f(x)＜0
g(x)＜0
2

∵g(x)≥0的解集为，∴f(x)＞0
g(x)＞0的解集为.
又f(x)≥0的解集为｛x|1≤x＜2｝，则f(x)＜0的解 集为｛x|x≥2或x＜1｝，g(x)≥0的解集为，则g(x)＜0的解集为R.
∴f(x)＜0
g(x)＜0
x∈R
x≥2或x＜1
x≥2或x＜1.
8.C提示：画出韦恩图

8题图
9.C提示：M∩N=MMN.又M=｛a｝，∴N=｛a｝且a≠0，从而a=1，a=±1. 2
2
10.A提示：C
U
A=｛x|x=-1或x=3｝，B=｛x|x -2x-3=0｝=｛-1，3｝.
11.A提示：由A∪B=｛2，3，5｝知A与B中的元素只能是2，3，5中的数，又x-px+1 5=0中的两根之积为15，从而A=｛3，5｝，而x-5x+q=0
的两根之和为5，∴B=｛2， 3｝.
12.B提示：∵A、B非空且A∩B=，∴A，B无公共元素，∴M=｛A的非空真子集｝∪ ｛｝，N=｛B的非空真子集｝∪｛｝，∴M∩N=｛｝.
22
13.A∩B；A∪B.提示 ：在方程组中，解既要满足第一个方程又要满足第二个方程，即解既属于A又属于B，所以解集为A∩B，对于方 程
(a
1
x+b
1
y+c
1
)(a
2x+b
2
y+c
2
)=0的解，满足a
1
x+b
1
y+c
1
=0或a
2
x+b
2
y+c
2
=0都行，所以解集为A∪B.
14.(A∩C
U
B)∪(B∩C
U
A).提示：依题图看，A中的阴影部分表示为A∩C
U
B，B中的阴影部分表示 为B∩C
U
A，整个阴影部分为两部分的并集.
15.a＜-1或－1＜a＜0或0＜a＜1. 提示：当a≥1时，A=｛-1，|a-1|｝=｛- 1，a-1｝，A∩B=｛a-1｝不满足A∩B=
｛-1，1-a｝，欲使A∩B=
＜a＜0 或0＜a＜1.
16.m＞0提示：A∪R+=R+AR+=｛x|x＞0｝，借助数轴易得m＞0.
A∪B，∴a≤4.从数轴上看，当-2＜a≤4时，A∪B=｛x|x＜4｝成立，当a＜-2时，A ∪B=｛x|-2
，∴a＜1，从而A=
，则1-a≠2且a-1≠-1，即a≠-1且a≠0 ，综合可知a＜1且a≠0且a≠-1，即a的取值范围为a＜-1或－1
17.B=｛x|x＜a｝， A∪B=｛x|x＜4｝，∵B
＜x＜4或x＜a｝≠｛x|x＜4｝，舍去.当a=-2时，B=｛x |x＜-2｝，A∪B=｛x|-2＜x＜4或x＜-2｝≠｛x|x＜4｝，故a=-2舍去，综上可知，a的取值范围为-2＜a≤4.
①

m

yx
2

18.依题意，即

有解，将①代入②得，x=，当m＞0时，x=±< br>2
2


yxm
②
2
2m
2
，y=
m
2
，从而A∩B={(-
2m
2
，m
2
)，
(
2m
2
，
m
2
) };当m=0时，x=0，y=0，∴A∩B=｛(0，0)｝;当m＜0时，x无解，∴A∩B=.
19.设U=｛全班学生｝，A=｛会说英语的学生｝，B=｛会说日语的学生｝，设两种语言都会的学生有x人 ，则两种语言都不会的学生有
人，又由于会英语的有50×
x
3
+1
3x
=30人，会说日语的有30+3=33人，由文氏图可知全班学生人数为50=(30－x)+x +(33-x)+
53
+1，解得x=21，

∴
x
3
+1=8.

19题图
故两种语言都会的有21人，都不会的有8人.
20.B=｛2，3｝，C=｛2，－4｝，∵A∩B≠
A=｛x|x-5x+6=0｝=｛2 ，3｝，与2
2
2
，A∩C=，∴3∈A，2A，－4
2
A.由3∈ A得，3-3a+a-19=0，解得a=5或a=-2.当a=5时，
22
A矛盾，舍去；当 a=-2时，A=｛x|x+2x-15=0｝=｛3，-5｝，符合题意，故a=-2.
A，∴把x=1代入x-bx+2=0得b=3，把x=2代入x-bx+2=0得b=3，又B=｛x |(x-1)［x-(a-1)］
22
21.∵A=｛x|x-3x+2=0｝=｛1，2｝， 又C
=0｝=｛1，a-1｝，∵BA，∴a-1≠2且a-1≠1，故满足条件的a、b存在a≠2且 a≠3，b=3.即｛a|a≠2且a≠3｝，｛b|b=3｝.
， 22.∵A∩B=(x，y)， 故要使A∩B=

y3
m1

①
即使方程组

x2
无解，显然x≠2.

(m
2
1) x(m1)y15
②

当x≠2时，①变形为y=(m+1)(x-2)+3 ③
把③代入②得2(m-1)x=2m-3m+16 ④
若m-1=0， 即m=±1时，④不成立，所以方程组也无解.当x=2时，④变形为2m+3m-20=0，解得m=
∵x≠2，∴m=
22
22




5
2
或m=-4.
5
2
或m=-4时方程组无解.
，m取值为±1，综上所述，欲使A∩B=
【课本习题】
练习P12
5
2
，－4.
1.(1)A∩B=｛5，8｝，A∪B=｛3，4，5，6，7，8｝；
(2)A∩BA，BA∩B，A∪BA，A∪BB，A∩BA∪B.
2.A∩B=｛x|x＜5，且x≥0｝=｛x|0≤x＜5｝.
3.A∩B=.
4.A∪B=｛x|x＞-2｝.
5.A∪B=｛x|x是平行四边形｝.
练习P13
1.A∩B=｛(1，-1)｝，B∩C=，A∩D=｛(x，y)|3x+2y=1｝.
2.A=C，B=D，A∩B=A∩D=C∩B=C∩D=.
3.A∩B=｛3｝，CU(A∩B)=｛1，2，4，5，6，7，8｝.
4.(1)将图中除了A∩B以外的其余部分都画上阴影；

(2)将图中除了A∪B以外的其余部分都画上阴影.
习题1.3
1.A∩B=｛x|x是既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝.
2.

3.A∪B=｛x|x是红星农场的汽车或拖拉机｝.
4.

5.S∩T=T=｛x|x＜1＝，S∪T=S=｛x|x≤3｝.(数轴表示从略)
6.

7.A∩B=｛4｝，A∪B=｛1，2，4，5，6，7，8，9，10｝，
( C
U
A)∩(C
U
B)=｛3｝，(C
U
A)∪(C
U
B)=｛1，2，3，5，6，7，8，9，10｝，
(A∩B)∩C=，
(A∪B)∪C=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝=U.
8.C
U
A=｛b，e，f｝，
C
U
B=｛a，c，f｝，
(C
U
A)∩(C
U
B)=｛f｝，(C
U
A)∪(C
U
B)=｛a，b，c，e，f｝ ，
C
U
(A∩B)=｛a，b，c，e，f｝，
C
U
(A∪B)=｛f｝，
(C
U
A)∩(C
U
B)=C
U
(A∪B)，(C
U
A)∪(C
U
B) =C
U
(A∩B).

§1.4含绝对值不等式的解法
预备知识

abab0

1.不等式的三条基本性质

a bab0


abab0

2.绝对值的意义|x| =x


x

x0



xx0

课本知识导学运用
课本知识诠解
重要提示
1.不等式的三条基本性质
(1)如果a＞b，那么a+c＞b+c；
(2)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；

(3)如果a＞b，c＜0. 那么ac＜bc.即不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变.
2.最基本含绝对值的不等式的解集及几何意义.
(1)|x|＜a(a＞0)的解集为｛x |-a＜x＜a｝，几何意义是表示数轴上到原点的距离小于a的点的集合，从数轴上看，是-a与a中间的部分 .
(2)|x|＞a(a＞0)的解集是｛x|x＞a或x＜-a｝，其几何意义是表示数轴上到原点 的距离大于a的点的集合，从数轴上看，是－a的左侧与
a的右侧部分.
特别注意，|x|＜ a与|x|＞a(a＞0)的解集记忆方法：“小于找中间，大于找两边”.因为不等式对应方程|x|=a(a ＞0)的根为±a，所以|x|
＜a(a＞0)的解集在两根之间，|x|＞a(a＞0)的解集在两根 的两边.
1.学习含绝对值的不等式是解决实际问题的需要.
2.当a≤0时，|x|＜a 的解集为；当a=0时，|x|＞a的解集为{x|x≠0}；当a＞0时，|x|＞a的解集为R.
3.|ax+b|＜c(c＞0)解的含义是{x|ax+b＞-c}∩{x|ax+b＜c＝
4.|ax+b|＞c(c＞0)解的含意x|ax+b＜-c＝∪{x|ax+b＞c}
随笔：

3.|ax+b|＜c与|ax+b|＞c(c＞0)型不等式解法
(1)|ax+b|＜c (c＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组-c＜ax+b＜c，即ax+b＞-c
ax+b＜c，再由不等式的性质求出原不等式的解集；
(2)|ax+b|＞c(c＞0) 型不等式的解法是：先化为ax+b＞c或ax+b＜-c，再进一步利用不等式的性质求出这两个一元一次不等 式的解后，求
它们的并集即为所求的解集.
基础例题点拨
【例题1】解不等式|x-500|≤5.
【解析】由于|x|＜a(a＞0)的解是-a＜ x＜a，故将x-500代替x可得-5≤x-500≤5，不等式两边各加上500，得495≤x≤505， 所以，原
不等式的解集是｛x|495≤x≤505｝.
【思路点拨】在具体求解|ax+b |＜c(c＞0)不等式时，可先将ax+b看作一个整体直接在|x|＜a(a＞0)型不等式的解集中进行替 换，转化为
一元一次不等式组求解.这里要注意要求解的原不等式中带有等号，则替换|x|＜a(a＞ 0)时也应带等号，即|x|≤a(a＞0)的解集为｛x|-a
≤x≤a｝，另外，不等式的最后结果 要写成解集的形式.
【例题2】解不等式|2x+5|＞7.
【解析】由于|x|＞a(a ＞0)的解是｛x|x＞a或x＜-a｝，故用2x+5代替x可得原不等式为2x+5＞7或2x+5＜-7， 整理，得x＜-6或x＞1，
所以，原不等式的解集是｛x|x＜-6或x＞1｝.
【思路点拨】|x|＞a(a＞0)的解集是- a左侧与a右侧的两部分，即是{x|x＞a}与{x|x＜-a}的并集.
【例题3】解不等式|2-x|≥3
【解析】因为|2-x|=|x-2|，故原不等式即为 |x-2|≥3，∴x-2≥3，或x-2≤-3，解得x≥5或x≤-1，所以，原不等式的解集为｛x|x≥ 5
或x≤-1｝.
随笔：


一拖二
拖1解不等式|1-2x|＜3
答案:
原不等式变为|2x-1|＜3，∴－3＜2x-1＜3，两边同时加1，得-2＜2x＜4，
∴－1＜x＜2，故原不等式的解集为{x|－1＜x＜2｝

随笔：

随笔：

【思路点拨】这里为了方便，如果所解|ax+b|＜c与|ax+b|＞c(c＞0)型的不等式中的 a是负数，可先根据绝对值的意义把a化成正数再求
解.当然，也可以不化a为正数，直接求解，但应注 意应用不等式的性质时，不要弄错了x的符号.
【例题4】解不等式组
x2

x1
2

1

23


x(x1)(x3)(x3)
①
②
【解 析】由①去分母得6-3(x+1)≤12-2(x+2)，即6-3x-3≤12-2x-4，∴-x≤5，∴ x≥-5.
又由②去括号得x2-x≥x2-9，∴-x≥-9，∴x≤9.
故原不等式组 的解既要满足①的解x≥-5，同时又要满足②的解x≤9，即-5≤x≤9，所以，原不等式组的解集为｛x| -5≤x≤9｝.
【思路点拨】不等式组的解集应是每一个不等式的解的交集，当不等式含有三个以上 时，求交集可以每两个先求交集，再将其结果与第三
个不等式的解求交集，类推下去，即可得原不等式组 的解.另外，两个不等式的解的交集可借助数轴较易得到.
【例题5】解不等式3≤|8-x|.
【解析】原不等式等价于|x-8|≥3，∴x-8≥3，或x-8≤-3
∴x≥11，或x≤5.
所以，原不等式的解集为｛x|x≥11或x≤5｝.
【 思路点拨】|ax+b|＜c(c＞0)与|ax+b|＞c(c＞0)型不等式含有绝对值的都在不等式的左侧 ，因而遇到绝对值在不等式的右侧时，可根据
a＜bb＞a，a＞bb＜a将绝对值一方变到左侧，但一 定要注意不等式要变号.
【例题6】解关于x的不等式|x-a|＞b(b＞a)
【解析】用x- a代替|x|＞a(a＞0)中的x，得x-a＞b，或x-a＜-b，不等式的两边同加上a，得x＞a+b，
随笔：


拖2解不等式组：
(x2+1)(x-3)≤0
1＞|4-3x| < br>
x3

x30

x3

x3< br>5

答案:
∵x2+1＞0恒成立，∴原不等式组等价于







5
，

|3x 4|0

13x41

33x5

1x
3
3

55
，所以，原不等式组的解集为{x|1＜x＜}.

33
随笔：


随笔：



∴1＜x＜

拖3解关于x的不等式|x-b|＞a
答案:
当a＜0时，∵|x-b|≥0对x∈R恒成立，∴a＜0时，不等式的解为x∈R；
当a=0时，必须有|x-b|＞0，∴x≠b；
当a＞0时，由绝对值的解的公式，得x-b＞a或x-b＜-a，即x＞a+b或x＜b-a. 综上所述，当a＜0时，不等式的解集为｛x|x∈R｝；当a=0时，不等式的解集为｛x|x≠b｝；当 a＞0时，不等式的解集为｛x|x＞a+b或x
＜b-a｝.

或x＜a-b，所以，原不等式的解集为｛x|x＞a+b，或x＜a-b＝｝.
【思路点拨 】对于带字母常数的不等式，一般情况下，都应进行分类讨论，但本题中b＞0已知，故不需讨论，而a的值丝毫 不影响不等
式的解，更无需讨论.
重难点突破
重点·难点·易混点·易错点·方法技巧
重难点
1.重点：|x|＜a与|x|＞ a(a＞0)型不等式的解法以及对|ax+b|＜c(c＞0)转化为-c＜ax+b＜c，|ax+b|＞c (c＞0)转化为ax+b＞c或ax+b＜
-c的理解.
2.难点：对绝对值意义的理解：|x|=x，(x≥0)
-x，(x＜0＝.这是解绝对值不等式的关键.
易混易错点
1.易混点
(1)|x|＞a(a＞0)的解集
初学含绝对值的不等式的解法时，对不等式|x|＞a( a＞0)的解集中是交还是并分不清，往往可能写成


xa
的形式，这是 错误的.因为，
xa

从数轴上看，满足|x|＞a(a＞0)的x有两部分：① x＞a，②x＜-a这两部分都应是原不等式的解，且它们根本没有公共部分，故|x|＞a(a
＞0) 的解集应写成｛x|x＞a｝∪｛x|x＜-a＝=｛x|x＞a或x＜-a＝，符号“∪”与“或”意义相同. 但应注意｛x|x＞a｝与｛x|x＜-a＝之
间只能用符号“∪”，不能用“或”，同理｛x|x＞a 或x＜-a＝中“或”不能用“∪”代替.对于

分，即交集.因而|x|＞a(a＞0)和| ax+b|＞c(c＞0)的解集必须
随笔：


随笔：


拖4解不等式|x|＜2-x

xa
的理解应是两个不等式的 公共部

xa
答案:
当x≥0时，原不等式变为x＜2-x，解得x＜ 1，∴0≤x＜1；当x＜0时，原不等式变为-x＜2-x，∴0＜2恒成立，∴x＜0，综合可
知， 原不等式的解集为｛x|0≤x＜1或x＜0＝，即｛x|x＜1｝.

随笔：


是并集，而不是交集.
(2)利用绝对值的定义解不等式时解的舍取
由于|a|=a，a≥0
-a，a＜0，故对含绝对值的不等式也可通过去掉绝对值的符号求 解.这种讨论解绝对值不等式实质上是将其转化为不等式组，因而每讨论

一步，就应该找 讨论的条件与所得结果的公共部分(交集)，最后求每一步交集结果的并集.
2.易错点
(1)含绝对值的双向不等式的解法

|axb|m
对于含绝对值的双 向不等式m＜|ax+b|＜n(0＜m＜n)，一般转化为不等式组

求解，也可直接等价于 m＜ax+b＜n，或-n＜ax+b
|axb|n

＜-m求解.但初学者最易 忽视后一种情形，从而产生错误.特别当m＜0时，m＜|ax+b|＜n应等价于|ax+b|＜n，当m=0 时，m＜|ax+b|＜n
应等价于


|axb|n
.

axb0
【例题7】解不等式5＜|1-2x|≤9
【错解】原不等 式等价于5＜2x-1≤9，∴6＜2x≤10，即3＜x≤5，所以，原不等式的解集为｛x|3＜x≤5｝.
【易错分析】这是双向不等式，应有两种情形.
【正解】原不等式可变为5＜|2x-1|≤ 9，∴5＜2x-1≤9或-9≤2x-1＜-5即6＜2x≤10，或-8≤2x＜-4，∴3＜x≤5，或- 4≤x＜-2，故原
不等式的解集为｛x|-4≤x＜-2，或3＜x≤5｝.
(2)绝对值不等式中含字母常数时，分类讨论才完整
【例题8】解不等式|ax+3|＜2
【错解】原不等式可等价变形为-2＜ax+3＜2，即-5＜ax＜-1 ∴－
拖5解不等式0＜|3-4x|≤2
5
a
＜x＜-
1
a
，所以，原不等式的解集为｛x|-
5
a
＜x＜-
1
a< br>｝.
3

33
x



4x 30
1335

x

x

4
< br>





x或x

答案:
原不等式等价于

44
4444

|4x 3|2

24x32

14x5

1x
5


4

4
所以，原不等式的解集 为{x|
1
4
≤x＜
3
4
或
3
4
＜x≤
5
4
｝.

随笔：


随笔：


随笔：


随笔：


【易错分析】上述解法错在由-5＜ax＜-1，得出x的解时忽视了对字母a的讨论，应分 a＞0，a=0，a＜0三种情形讨论.
【正解】原不等式可化为-2＜ax+3＜2，即-5＜ax＜-1，
51
＜x＜-｝；
aa
15
当a＜0时，解集为｛x|－＜x＜-；
aa
当a＞0时 ，解集为｛x|-

当a=0时，原不等式变为|3|＜2，显然x∈；
【例题9】解关于x的不等式|2x+3|-1＜a(a∈R)
【错解】原不等式可化为|2x+3|＜a+1，
∴-(a+1)<2x+3＜a+1
∴-a-4＜2x＜a-2，∴-
a4a2
＜x＜
22
所以，原不等式的解集为
｛x|-
a4a2
＜x＜｝.
22
a4a2
＜x＜，当a+1≤0，即a≤-1时，
22
.
【易错分析】本题对a的范围没有明确指出，因而将原不等式变为|mx+n|＜a时，应对a进行分类 (即a＞0，a≤0)求解.
【正解】原不等式可化为|2x+3|＜a+1，当a+1＞0，即a＞ -1时，有-a-1＜2x+3＜a+1，∴-
有|2x+3|＜0，
∴x无解，综上可知， 当a＞-1时，原不等式的解集为｛x|-
a4a2
＜x＜＝；当a≤-1时，原不等式的 解集为
22
(3)用不等式表示的集合的交、并、补运算求含参数范围时，“临界值等号的取舍”易出差错.
【例 题10】已知集合A=｛x||2-x|＜5＝，B=｛x||x+a|≥3｝，且A∪B=R，求a的取值范围 .
随笔：


拖6解关于x的不等式|1-2x|＞1-2m(m∈R)
答案:
原不 等式变为|2x-1|＞1-2m，当1-2m＜0，即m＞
当1-2m=0，即m=
1
2
时，∵|2x-1|≥0，∴x∈R；
1
2
时，原不等式成为|2x- 1|＞0，∴｛x|x≠
1
2
｝；
当1-2m＞0，即m＜
12
时，原不等式变为2x-1＞1-2m或2x-1＜－(1-2m)，解得x＞1-m或x＜m， 综合可知：当m＜
1
2
时，原不等式的解
集为｛x|x＞1-m，或x＜m＝ ；当m=
1
2
时，原不等式的解集为｛x|x∈R，且x≠
1
2｝；当m＞
1
2
时，原不等式的解集为｛x|x∈R｝.

随笔：


随笔：


拖7已知a＞b＞0，全集U=R，A=｛x‖x-b|＜a＝，B=｛x‖x-a|＞b｝ 求(C
U
A)∩(C
U
B)
答案:
∵a＞b＞0，∴A =｛x||x-b|＜a｝=｛x|b-a＜x＜b+a｝，B=｛x||x-a|＞b｝=｛x|x-a＞b， 或x-a＜-b｝=｛x|x＞a+b，或x＜a-b｝，
∵U=R，∴C
U
A=｛x |x≥a+b，或x≤b-a｝，C
U
B=｛x|a-b≤x≤a+b｝
又a＞b＞ 0，∴b-a＜a-b＜a+b，∴(C
U
A)∩(C
U
B)=｛a+b｝.

【错解】∵A=｛x|-3＜x＜7｝，B=｛x|x+a≥3，或x+a≤-3｝=｛x| x≥3-a，或x≤-3-a｝
∵A∪B=Ｒ，∴


a33
，解得-4＜a＜0. 
a37
【易错分析】应根据数轴来考虑，采用填补的方法，把不变的集合A固定好 ，让含参数的集合B移动，使它满足已知条件，但特别注意-a-3=-a

或-a+3= 7时也是可以的.为避免这种错误，最好的办法是求出参数范围后，令参数不等式中的等号成立，反代回去看是否 满足题设条件.
【正解】∵A=｛x|-3＜x＜7＝，B=｛x||x+a|≥3｝=｛x|x≥3 -a，或x≤-a-3｝

a33
∵A∪B=R，∴a应满足
< br>，解得-4≤a≤0，即a的取值范围是-4≤a≤0.
a37

方法技巧
1.直接套用公式|ax+b|＜c或|ax+b|＞c(c＞0)解绝对值不等式
【例题11】解下列不等式
(1)
|1
2x1
|2
；
3
(2)
3|x|1

；
|x|22
(3)5＜
9-24x16x
2
≤10
【 解析】(1)原不等式可变为
|
42242
x|
≤2，即
|x|
≤2，∴－2≤
33333
x-
4
3
≤2，
即-6≤2x-4≤6，∴-2≤2x≤10
∴-1≤x≤5.所以，原不等式的解集为｛x|-1≤x≤5｝.
(2)∵|x|+2＞0，故原不等式去分母得6-2|x|＞|x|+2，
∴ 3|x|＜4
随笔：


拖8解不等式
1
4
(3|2-3x|-1)＜
1
2
|3x-2|+2
答案:
原不等式整理为
∴
3
4|2－3x|-
1
4
＜
1
2
|3x-2|+2

19
|3x－2|＜
44
711
∴|3x－2|＜9，∴ －9＜3x-2＜9，解得-＜x＜
33
711
所以，原不等式的解集为{x|-＜x＜｝.

33|3x－2|-|3x－2|＜＋2，即
3
4
1
2
1
4
随笔：


∴|x|＜
4
3
∴-
4
3
＜x＜
4
3
，所以，原不等式的解集为｛x|-
4
3
＜x＜
4< br>3
｝.
(3)原不等式可变为5＜
(3-4x)
2
≤10， 即5＜|3-4x|≤10，∴5＜3-4x≤10或-10≤3-4x＜-5
即2＜-4x≤7或-13≤-4x＜-8，
13
}.
4
71< br>所以，原不等式的解集为｛x|-≤x＜-
42
∴-≤x＜-或2＜x≤
74
1
2
或2＜x≤
13
.
4
a＜mx+n≤ b或-b≤mx+n＜-a来
【思路点拨】将所求不等式进行适当变形整理为|ax+b|＜c或|ax +b|＞c(c＞0)的标准型(最好a也同时变为正)，再直接套用公式求解不易
出错.而对含绝对值 的双向不等式也可化为不等式组求解，但没有直接套用公式a＜|mx+n|≤b(b＞a＞0)

得简单.
2.利用两边平方解绝对值不等式
【例题12】解不等式|3x+1|＞|4-3x|
【解析】∵|3x+1|≥0，|4-3x|≥0
∴不等式两边平方得(3x+1)＞(4-3x)，
即9x+6x+1＞16-24x+9x ，∴30x＞15，∴x＞
∴原不等式的解集为｛x|x＞
22
22
1
2

1
2
｝.
22
【思路点拨】对于不等式两边都只含 有“单项”绝对值的不等式(即形如|ax+b|＞|ax+c|)，依据|x|=x，可将不等式两边同时平方 去掉绝
对值符号(因为绝对值非负，所以两边平方后不等号方向不变)，再转化为一元一次或一元二次不 等式(§1.5)求解.另外，两边平方后可将
右边移至左边，使右边变为零，变形后的左边利用平方差 公式变为积的形式后解不等式，即|f(x)|＞|g(x)|
［f(x)-g(x)］＞0.
f(x)-g(x)＞［f(x)+g(x)］
22
3.利用“零点分段法”解绝对值不等式
含有两个或两个以上绝对值的不等式，常常先将各绝对值内x的系数变为正，再令每一个绝对值等于零， 其根称为零点，这些零点将数轴
分成若干区间，讨论每一个区间内各绝对值的符号求解绝对值不等式.
【例题13】解不等式|5-x|-|2x+3|＞1
【解析】原不等式变为|x-5|-|2x+3|＞1令x-5=0， 2x+3=0得两个“零点”x
1
=5，x
2
=-
x＜-
3
2
，它们将数 轴分成三个区间：x≥5，-
3
2
≤x＜5，
3
2
下面按这 三个区间进行讨论：
. 当x≥5时，原不等式变为x-5-(2x+3)＞1，x-5-2x-3＞ 1，∴－x＞9∴x＜-9，又x≥5，∴x∈
当-
3
2
≤x＜5时，x-5 ＜0，2x+3≥0，故原不等式变为-(x-5)-(2x+3)＞1即-x+5-2x-3＞1，∴－3x＞ -1，∴x＜
13
，又-
32
≤x＜5，故-
3
2
1
.
3
33
当x＜-时，x-5＜0，2x+3＜0，故原不等式变为-( x-5)+2x+3＞1，∴-x+5+2x+3＞1即x＞-7，又x＜-
22
3131综合可知，原不等式的解集为｛x|-≤x＜，或-7＜x＜-＝=｛x|-7＜x＜｝
2323
≤x＜
，∴-7＜x＜-
3
2

【思路点 拨】对于多项含绝对值的不等式，宜采用“零点分段法”，但一定要注意每一步讨论求得的解必须与讨论的前提条 件求公共部分(即
交集)，最后取这些交集的并集.另外还要注意零点的讨论不要遗漏，最后求并集时， 两个解可以合并成一个解的应写出简捷解.如a≤x＜b
或b≤x＜c(a＜b＜c)可合并成a≤x＜ c，而a≤x＜b或b＜x＜c就不能合并成a≤x＜c(因为b的值在a≤x＜b和b＜x＜c中没有哪一个可
取到).
4.利用绝对值定义解绝对值不等式
【例题14】解不等式|3-2x|＞2x-3
【解析】原不等式变为|2x-3|＞2x- 3，当2x-3≥0时，原不等式变为2x-3＞2x-3，显然无解；当2x-3＜0时，|2x-3|＞0， 原不等式在2x-3
＜0条件下恒成立，从而其解为x＜
【思路点拨】|f(x)|＞f(x)
不等式.
拖9解不等式|x-1|+|2-x|＞3+x
3
2
，故原不等式的解集为｛x|x＜
3
2
｝.
f(x)没有意义的范围.掌握这些结论可避免讨论，简解f(x)＜0，|f(x)|≥f(x)f(x)≤0 ，|f(x)|＜f(x)
答案:
原不等式可化为|x-1|+|x-2|＞3+x
令x-1=0，x-2=0得x=1及x=2两个“零点”，它们将数轴分成三个区间，以下按x≤1，1＜x ≤2，x＞2三个区间进行讨论.

当x≤1时，原不等式等价于不等式组


x1


(x1)(x2)3x

x1
化简，整理，得
，解得x＜0.
x0

当1＜x≤2时，原不等式等价于


1x2

1x2
，解得

,∴x∈< br>
x1(x2)3x

x2
.

x 2

x2
当x＞2时，原不等式等价于

，解得
，∴x＞6.
x1x23xx6

将上述三种情况的结果求并集 ，得原不等式的解集为{x|x＜0，或x＞6｝.

随笔：


5.由绝对值不等式的解，求待定字母问题
数学中很多问题都应考虑其逆问题.以 上介绍的都是已知绝对值不等式要求其解，而现在是已知含待定字母的绝对值不等式的解，要求待
定字母 ，其处理方法是将待定字母当成已知，先求出它的解，再由解“对号入座”求待定字母.
【例题15】已知｛x||a-2x|＞b，b＞0｝=｛x|x＜-5，或x＞4｝，求a+b的值.
【解析】由|a-2x|＞b，(b＞0)得|2x-a|＞b∴2x-a＞b或2x-a＜-b，解 得x＞
或x＜
2
ababab
或x＜，即｛x|a-2x|＞b，b＞ 0｝=｛x|x＞
222
ab
＝
2
又∵｛x||a-2x|＞b，b＞0｝=｛x|x＞4或x＜-5＝

ab
4

abab

2
∴｛x|x＞或x＜
＝
=｛x|x＞4或x＜-5｝，比较得

，解得a=-1，b=9，∴a+b=( -1)+9=10
ab
22

5


2< br>22
【思路点拨】准确无误地求出绝对值不等式的解是破题的关键.这种反代问题在解其他不等式 中也屡见不鲜.
名题活题创新探究
例题分析解答
【例题16】(2002年全国高考题)不等式(1+x)(1-|x|)＞0的解集是( ).
A.｛x|0≤x＜1｝B.｛x|x＜0且x≠-1｝
C.｛x|-1＜x＜1｝D.｛x|x＜1且x≠-1｝
【分析】将不等式转化为不等式组求解.
【解析】原不等式可化为


1x0
①或

1|x|0
1
，解不等式(a-3b)x+b-2a＞0.
3
拖10若(a+b)x+(2a-3b)＜0的解为x＜-

ab0

a2b
1
1

答案:
原不等式变为(a+b)x＜3b -2a，依题意知它的解为x＜-,所以

3b2a

，解得

，将其代入(a-3b)x+b-2a＞0，
3
3

b0


ab
得(2b-3b)x+b-2·2b＞0
∴－bx-3b＞0，即-b(x+3)＞0，又b＞0∴－b＜0.
故有x+3＜0，∴x＜-3.

随笔：


拖11若已知集合P=｛x|x-a1
2
，a∈N，x∈Z ｝，Q=｛x│|x|<2a，a∈N，x∈Z｝，求P∩Q(用列举法表示).

答案:
P=｛x|-
1
2
＜x＜2a+
1
2，a∈N，x∈Z＝，Q=｛x|-2a＜x＜2a，a∈N，x∈Z＝，
∴ P∩Q=｛x|0≤x＜2a，x∈Z，a∈N＝=｛0，1，2，3，…，2a-1｝(a∈N).

1x0

x1

x1
②由①解得

1x1
；由②解得

x1
.

1 |x|0|x|1|x|1

综合可知，原不等式的解集为｛x|x＜-1或-1 ＜x＜1＝=｛x|x＜1且x≠-1＝，选D
【例题17】已知集合A，B，其中A=｛x||x-
【分析】先解出集合A，再由数轴得出满足A
【解析】由|x-
1
2
(a+1)|≤
2
1
2
(a-1)｝，B=｛x|2≤x≤3a+1｝，a∈R，求使A
2
B的a的取值范围.
B的条件(不等式组)，从而求出a的范围.
1
2
2
(a+1)2|≤
1
2
(a-1)2，可得-
1
2
(a-1)2≤x-
1
2
(a+1)2≤
1
2
(a-1)，解得
2
图1-4-1

A=｛x|2a≤x≤a+1｝要使AB，如图1-4-1
1

a


23a1
3


利用数轴直观图，得

22a
，解得

a1

a
2
13 a1

0a3



1≤a≤3.故所求实数a的取 值范围为1≤a≤3.
1

2

y|x2x|0
【例题18】求满足不等式组

的整数对(x，y)的个数.
2


y|x1|2
【分析】由|x-2x|≥0及|x-1|≥0先定出y的范围，再求出 整数y的值，进而得关于x的绝对值不等式组，再求出x的整数值.
2
1

y|x
2
2x|

【解析】原不等式组变为

，又| x-2x|≥0，|x-1|≥0
2


2y|x1|
2< br>11

1

y0

y
故有



22
y2

2

2 y0y2

1

2

|x2x|
又y∈ Z，∴y=0或y=1当y=0时，原不等式变为

2
，又x∈Z，


|x1|2
∴x=0或x=2
3

2< br>|x2x|

当y=1时，原不等式变为

2
，由x∈Z 知x=1


|x1|1
故所求的整数对有3个，即(0，0)，(2 ，0)，(1，1).

能力达标检测
1.不等式组的解集为空集的是( ).

2(x3)6

x7
A.

B.


x6
x1


C.

2x10

3x0
D.


< br>4x0

4x70
1
2
＜x＜4，D的解为x＞0.
答案：
B提示：A的解为x＜-1，C的解为
2.不等式|x|＞3的解集为( ).
A.｛x|x＞±3｝B.｛x|x＞3｝
C.｛x|x＜-3且x＞3＝D.｛x|x＞3或x＜-3＝
答案：
D提示：|x|＞a(a＞0)x＞a或x＜-a.

3.与不等式|1-2x|＜3解集同解的不等式是( ).
A.1-2x＜3B.1-2x＞-3
C.-3＜1-2x＜3D.2x-1＞3或2x-1＜-3
答案：
C提示：|ax+b|＜c(c＞0)-c＜ax+b＜c.

4.集合｛x∈N|0＜|x-1|＜3｝的真子集有( )个.
A.16B.15
C.8D.7
答案：
B提示：0＜|x-1|＜3
而真子集个数为24－1=15个.
< br>0＜x-1＜3或-3＜x-1＜0，解得1＜x＜4或-2＜x＜1，又x∈N∴x=2，3，-1，0 ，即集合有4个元素，从
5.设集合A=｛x||x|＞-10｝，B=｛x||x|＜10｝，则下列 结论错误的是( ).
.A∪B=R
C.A∪B=BD.A∩B=B
答案：
C提示：集合A=R，B=｛x|-10＜x＜10＝.

6.已知全 集Ｕ=Ｒ，Ｍ=｛x||x|≥1｝，Ｎ=｛x||x-1|＜2｝，则(CUM)∪(CUN)=( ).
A.｛x|x＜1或x≥3＝B.｛x|x＞3或x≤1｝
C.｛x|x＜-1或x＞3＝D.｛x|x＜-1或-1＜x＜1或x＞3＝
答案：
A提示：M=｛x|x≥1或x≤-1｝，N=｛x||x-1|＜2＝=｛x|-1＜x＜3＝，从而CU
M=｛x|-1＜x＜1＝，C
U
N=｛x|x≥3或x≤-1｝∴(C
U
M)
∪(C
U
N)={x|x≥3或x＜1｝.

7.设不等式|x-m|＜n的解集为｛x|-1＜x＜2｝，则m、n的值分别为( ).
A.1，3B.-1，3
C.-1，-3D.
1
2
，
3
2

答案：
D提示：依题意n＞0，从而|x-m|＜n变为-n＜x-m＜n，∴m-n＜x＜m+n，故有
8.不等式1≤|1-2x|＜2的解集是( ).

mn1
1
，解得m=
2

mn2
，n=
2
.

3
1
2
1
C.｛x|-
2
A.｛x|-
3
2
3
＜x＜0，且1≤x＜
2
＜x＜0，或1≤x＜
1
2
1
＝D.｛x|-
2
＝B.｛x|-
3
＝

2
3
＜x≤0，且1≤x＜＝
2
＜x≤0，或1≤x＜
答案：
B提示：原不等式等价于1≤2x-1＜2或-2＜2x-1≤-1，即2≤2x＜3或-1＜ 2x≤0，∴1≤x＜
3
2
或-
1
2
＜x≤0.

9.不等式|2x-1|＜2-3x的解集为( ).
33
或x＞1＝B.｛x|x＜＝
55
1131
C.｛x|x＜或＜x＜＝D.｛x|-3＜x＜＝
2253
A.｛x|x＜
答案：
B提示：原不等式等价于-(2-3x)＜2x-1＜2-3x ，转化为

解.
10.不等式|x-1|+|x+2|＜5的解集是( ).
A.｛x|-3＜x＜2＝B.｛x|-2＜x＜3＝
C.｛x|-4＜x＜2｝D.｛x| -

2x123x

x1
3
，即

也可根据“零点分段法”讨论求

2x123x

5x 3
5
3
2
＜x＜
7
2
｝
答案：
A提示：原不等式等价于三个不等式组，即
①


x1

2x1

x2
或②

或③

x1x251xx251xx25


x1
,1x2


x2

2x1
，∴-2≤x＜1

3 5
解①得

解②得


x2
解③得

，∴-3＜x＜-2
x3

综合可知，原不等式的解为-3＜x＜- 2或-2≤x＜1或1≤x＜2，即-3＜x＜2.
11.若a＜0，b＞0，则不等式|ax|＜b的解集为( ).
b
＝
a
bbb
C.｛x|x＞-或x＜＝D.｛x|x＜-＝
aaa
A .｛x|-＜x＜＝B.｛x|＜x＜-
b
a
b
a
b
a答案：
B提示：|ax|＜b-b＜ax＜b，又a＜0，∴
b
a
＜x＜ -
b
a
.(不等式两边同除以一个负数，不等号的方向要改变).
，则实数t的取值范围是( ). 12.已知集合A=｛x|x＜-2｝∪｛x|x＞5｝，B=｛ x||x|＜t｝，且A∩B=
A.-2＜t＜5B.-2≤t≤5
C.t≤2D.0＜t≤2
答案：
C提示：∵A∩B=，故分B=和B≠两种情形. 当B=时，t≤0(故排除AB)；当B≠时，t＞0，∴B=｛x|-t＜x＜t＝，又A=
｛x|x
＞5或x＜-2}，

t5

由数轴分析可知

t2
∴0
t0

综合可知t≤0或0＜t≤2，即t≤2.
13.不等式|8-3x|＞0的解集是 ；不等式(x+2)|x-1|≤0的解集是 .
答案：
｛x|x≠
8
｝；｛x|x=1或x≤-2｝提示：∵|8-3x|≥0，∴|8-3x|＞0
3
8-3x≠0，(x+2)|x-1|≤0x+2≤0或|x-1|=0.

14.不等式0＜(3-x)2≤9的解集是 ；不等式1≤|
2
5
x-1|＜4的解集是 .
答 案：
｛x|0≤x＜3或3＜x≤6｝；｛x|5≤x＜
提示：0＜(3-x)2≤90＜|x -3|≤3
25
2
或-
15
＜x≤0｝.
2
0＜x-3≤3或-3≤x-3＜0，
1≤∴3＜x≤6或0≤x＜3；又1≤|
2
5
x-1|＜4
2
5
x-1＜4或-4＜
25
x-1≤-1，即2≤
2
5
x＜5或-3＜
2
5x≤0.
15.不等式|x+5|+|x-2|＞k的解集为R，则实数k的取值范围为；不等式 |x-3|+|4-x|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围
为 .
答案：
k＜7；a＞1提示：|x+5|+|x-2|＞k的解集为R
而|x-3|+|4- x|＜a的解集不是空集
k＜|x+5|+|x-2|的最小值，而由绝对值的几何意义知|x+5|+ |x-2|的最小值为7；
a＞|x-3|+|4-x|的最小值，而|x-3|+|4-x|的最小值 为1.
16.若不等式5-x＞7|x+1|与不等式|2a-3x|＜b(b＞0)的解集相同，则 a+
1
2
b= .
3
答案：
-提 示：5-x＞7|x+1|
8
又由|2a-3x|＜b(b＞0)
1
|x+1 |＜
7
(5-x)
1
-
7
1
(5-x)＜x+ 1＜
7
(5-x)

5x7x7


7x 75x

6x12


8x2
-2＜x＜-
1
4

-b＜3x-2a＜b
2ab2ab
＜x＜，
33
21
，
8

2ab
2


3
依题意有


2ab

1
< br>4

3
∴
a

2ab6
27

，解得a=-

3
16
2ab

4
，b=
1272163
b
.
2161616 8
37
17.已知集合A=｛x||x-|≤｝，B=｛x|m+1≤x≤2m-1｝，当BA 时，求m的取值范围.
22
37737
答案：
A=｛x||x-|≤｝=｛ x|-≤x-≤｝=｛x|-2≤x≤5｝
22222
由于B
当B=
A，下面分两种情况讨论：
时，显然满足BA，此时m+1＞2m-1，∴m＜2；
当B≠时，欲使B

m12

A，则

2m15

m12m 1


m3


m3


m2

∴2≤m＜3
综合可知2≤m＜3或m＜2，即m＜3.
18.已知集合A=｛x|
1
4
(3|x|-1)≤
1
2
(|x|+3)｝，B=｛x||x-a|＜12＝，且A∩B=｛x|-7≤x＜5＝，求实数a的取值范围.
答案：
A=｛x|
1
4
(3|x|-1)≤
1
2
(|x|+3)｝=｛x|3|x|-1≤2|x|+6｝ =｛x||x|≤7｝=｛x|-7≤x≤7｝，B=｛x||x-a|＜12＝=｛x|a-12＜x
＜a+12＝由A∩B=｛x|-7≤x＜5＝通过画数轴可知a-12＜-7且a+12=5，解得a=-7.
19.解不等式|x+7|-|4-3x|+
322
＞0.

答案：
∵
322(21)
2
21
，∴原不等式变形为| x+7|-|3x-4|+
2
－1＞0，该不等式等价于下列三个不等式组：
4

7x

x7

3
(1)或

(2)


(x7)3x4210< br>
x7(3x4)210

4

x

3
或

(3)

x7(3x4)210< br>

x7

解(1)得

2
故(1)式无解；

x6
2

4

7x 

3

解(2)得


x
22< br>
4

4

x

3

解 (3)得


x5
2

2

224
x
；
43
故得-
故得
42
x5
32

综上可知，原不等式的解集为
｛x|-
22
4
＜x≤
4
3
或
4
3＜x＜5+
2
2
＝=｛x|-
22
4
＜x＜5+2
2
｝.
20.设A=｛x||2x-1|≤3｝，B=｛x||x+2|＜1 2｝，求集合C，使其同时满足下列三个条件：
(1)C(A∪B)∩Z；
(2)C中有三个元素；
(3)C∩B≠.
答案：
A=｛x|2x-1|≤3｝=｛x|-1≤x≤2｝，
B=｛x||x+2|＜1｝=｛x|-3＜x＜-1｝
∴(A∪B)∩Z=｛x|-3＜x≤2｝∩Z=｛-2，-1，0，1，2｝
由C(A∪B)∩Z知，C｛-2，-1，0，1，2｝，又C∩B≠，
∴-2∈C，又由于 C中有三个元素，故所有满足三个条件的C是：｛-2，-1，0｝，｛-2，-1，1｝，｛-2，-1，2｝ ，｛-2，0，1｝，｛-2，0，2｝，
｛-2，1，2｝.
21.解关于x的不等式a|x-1|＞2+a.
答案：
当a＞0时，原不等式变为 |x-1|＞
22222
+1，∴x-1＞+1或x-1＜--1，即x＞+2或x＜-；
aaaaa
当a=0时，原不等式变为0·|x-1|＞2，∴x无解；
当


2a0
22
，即-2≤a＜0时，原不等式变为|x-1|＜+1， 由于+1≤0，而|x-1|≥0，∴x无解；
aa

a0
22222< br>+1，∴--1＜x-1＜+1，解得-＜x＜+2.
aaaaa
当a＜-2时，原不 等式变为|x-1|＜

综上可知，当a＞0时，原不等式的解集为｛x|x＜-
集为｛x|-
22
或x＞+2｝；当-2≤a≤0时，原不等式的解集为
aa
；当a＜-2时，原不等式的解
22
＜x＜+2｝.
aa
22.若|x|≤ 1，|y|≤1，且k=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|，求k的最大值和最小值.
答案 ：
∵|x|≤1，|y|≤1，∴-1≤x≤1，-1≤y≤1，从而y+1≥0，-3≤2y-x≤3 ，∴2y-x-4＜0，∴|2y-x-4|=4+x-2y，可见只有x+y的正
负不确定.
当x+y≤0时，k=-(x+y)+y+1+4+x-2y=5-2y，∵-1≤y≤1，∴3≤k≤7
当x+y＞0时，k=x+y+y+1+4+x-2y=2x+5，∵-1≤x≤1，∴3≤k≤7.
综合可知，k的最大值为7，最小值为3.
参考答案
【一拖二】
1.原不等式变为|2x-1|＜3，∴－3＜2x-1＜3，两边同时加1，得-2＜2x＜4，
∴－1＜x＜2，故原不等式的解集为｛x|－1＜x＜2＝

x3
< br>x30

x3

x3
5

2.∵x 2+1＞0恒成立，∴原不等式组等价于






5
，
3
|3x4|013x4133x5
1x


3

所以，原不等式组的解集为｛x|1＜x＜< br>∴1＜x＜
5
，
3
5
｝.
3
3.当a＜0时，∵|x-b|≥0对x∈R恒成立，∴a＜0时，不等式的解为x∈R；
当a=0时，必须有|x-b|＞0，∴x≠b；
当a＞0时，由绝对值的解的公式，得x-b＞a或x-b＜-a，即x＞a+b或x＜b-a. 综上所述，当a＜0时，不等式的解集为｛x|x∈R｝；当a=0时，不等式的解集为｛x|x≠b｝；当 a＞0时，不等式的解集为｛x|x＞a+b或x
＜b-a｝.
4.当x≥0时，原不等式变 为x＜2-x，解得x＜1，∴0≤x＜1；当x＜0时，原不等式变为-x＜2-x，∴0＜2恒成立，∴x＜ 0，综合可知，
原不等式的解集为｛x|0≤x＜1或x＜0｝，即｛x|x＜1｝.
3
33
x



4x30
1335< br>
x

x

4







x或x
5.原不等式等价于

44
4444

|4x3|2

24x32

14x5

1
x
5


4
4
5
｝.
4
1
6.原不等式变为|2x-1|＞1 -2m，当1-2m＜0，即m＞时，∵|2x-1|≥0，∴x∈R；
2
11
当1 -2m=0，即m=时，原不等式成为|2x-1|＞0，∴｛x|x≠｝；
22
11
当1-2m＞0，即m＜时，原不等式变为2x-1＞1-2m或2x-1＜－(1-2m)，解得x＞1-m 或x＜m，综合可知：当m＜时，原不等式的解
22
111
集为｛x|x＞1-m，或 x＜m＝；当m=时，原不等式的解集为｛x|x∈R，且x≠｝；当m＞时，原不等式的解集为｛x|x∈R｝ .
222
所以，原不等式的解集为｛x|≤x＜或＜x≤
7.∵a＞b＞0，∴A= ｛x||x-b|＜a｝=｛x|b-a＜x＜b+a｝，B=｛x||x-a|＞b｝=｛x|x-a＞b，或 x-a＜-b｝=｛x|x＞a+b，或x＜a-b｝，∵U=R，
∴C
U
A=｛x| x≥a+b，或x≤b-a｝，C
U
B=｛x|a-b≤x≤a+b｝
又a＞b＞0 ，∴b-a＜a-b＜a+b，∴(C
U
A)∩(C
U
B)=｛a+b｝.
8.原不等式整理为
∴
1
4
3
4
3
43
4
|2－3x|-
1
4
＜
1
2
|3 x-2|+2
3
4
|3x－2|-
1
2
|3x－2|＜< br>1
4
＋2，即
1
4
|3x－2|＜
9
4

711
＜x＜
33
711
所以，原不等式的解集为｛x|-＜x＜｝.
33
∴| 3x－2|＜9，∴－9＜3x-2＜9，解得-
9.原不等式可化为|x-1|+|x-2|＞3+x
令x-1=0，x-2=0得x=1及x=2两个“零点”，它们将数轴分成三个区间，以下按x≤1， 1＜x≤2，x＞2三个区间进行讨论.
当x≤1时，原不等式等价于不等式组


x1

(x1)(x2)3x

x1
化简，整理，得

，解得x＜0.
x0

当1＜x≤2时，原不等式等价于

< br>1x2

1x2
，解得

,∴x∈

x1(x2)3x

x2
.
当x＞2时，原不等式等价于


x2

x2
，解得

，∴x＞6 .
x1x23xx6


ab0

a 2b
1
1

x＜-,所以

3b2a
，解得

，将其代入(a-3b)x+b-2a＞0，得
3
3

b0


ab
将上述三种情况的结果求并集，得原不等式的解集 为｛x|x＜0，或x＞6＝.
10.原不等式变为(a+b)x＜3b-2a，依题意知它的解为< br>(2b-3b)x+b-2·2b＞0
∴－bx-3b＞0，即-b(x+3)＞0，又b＞0∴－b＜0.
故有x+3＜0，∴x＜-3.
11.P=｛x|-
1
2
＜x＜2 a+
1
2
，a∈N，x∈Z｝，Q=｛x|-2a＜x＜2a，a∈N，x∈Z｝，
∴ P∩Q=｛x|0≤x＜2a，x∈Z，a∈N｝=｛0，1，2，3，…，2a-1｝(a∈N).
【能力达标检测】
1.B提示：A的解为x＜-1，C的解为
2.D提示：|x|＞ a(a＞0)
1
2
＜x＜4，D的解为x＞0.
x＞a或x＜-a.
3.C提示：|ax+b|＜c(c＞0)-c＜ax+b＜c.
4.B提示：0＜|x-1|＜3
集个数为24－1=15个.
5.C提示：集合A=R，B=｛x|-10＜x＜10｝.
6.A提示：M=｛x|x≥1 或x≤-1｝，N=｛x||x-1|＜2｝=｛x|-1＜x＜3｝，从而C
U
M=｛x|- 1＜x＜1｝，C
U
N=｛x|x≥3或x≤-1｝∴(C
U
M)∪(CU
N)=
｛x|x≥3或x＜1｝.
0＜x-1＜3或-3＜x-1＜0，解得 1＜x＜4或-2＜x＜1，又x∈N∴x=2，3，-1，0，即集合有4个元素，从而真子

mn1
1
7.D提示：依题意n＞0，从而|x-m|＜n变为-n＜x-m＜n，∴ m-n＜x＜m+n，故有

，解得m=
2

mn2
8 .B提示：原不等式等价于1≤2x-1＜2或-2＜2x-1≤-1，即2≤2x＜3或-1＜2x≤0，∴1 ≤x＜
，n=
2
3
.
3
2
或-
1
2
＜x≤0.
9.B提示：原不等式 等价于-(2-3x)＜2x-1＜2-3x，转化为


2x123x
x1
3
，即


也可根据“零点分段法”讨论求解 .

2x123x

5x3
5

1 0.A提示：原不等式等价于三个不等式组，即
①


x1
< br>2x1

x2
或②

或③

< br>x1x251xx251xx25


x1< br>,1x2


x2

2x1
，∴-2≤x＜1

3 5
解①得

解②得


x2
解③得

，∴-3＜x＜-2
x3

综合可知，原不等式的解为-3＜x＜- 2或-2≤x＜1或1≤x＜2，即-3＜x＜2.
11.B提示：|ax|＜b
12.C提 示：∵A∩B=
-b＜ax＜b，又a＜0，∴
，故分B=和B≠
b
a
＜x＜-
b
a
.(不等式两边同除以一个负数，不等号的方向要改变).
两种情形.当B=时，t≤0(故排除AB)；当B≠时，t＞0，∴B=｛x|-t＜x＜t＝，又A=｛x| x
＞5或x＜-2}，

t5

由数轴分析可知
t2
∴0
t0

综合可知t≤0或0＜t≤2，即t≤2.
8
｝；｛x|x=1或x≤-2｝提示：∵|8-3x|≥0，∴|8-3x|＞0
3
2515< br>14.｛x|0≤x＜3或3＜x≤6｝；｛x|5≤x＜或-＜x≤0｝.
22
13 .｛x|x≠
提示：0＜(3-x)2≤90＜|x-3|≤30＜x-3≤3或-3≤x-3＜0，
1≤
8-3x≠0，(x+2)|x-1|≤0x+2≤0或|x-1|=0.
∴3 ＜x≤6或0≤x＜3；又1≤|
2
5
x-1|＜4
2
5
x -1＜4或-4＜
2
5
x-1≤-1，即2≤
2
5
x＜5或 -3＜
2
5
x≤0.
15.k＜7；a＞1提示：|x+5|+|x-2| ＞k的解集为R
|x-3|+|4-x|＜a的解集不是空集
k＜|x+5|+|x-2|的最 小值，而由绝对值的几何意义知|x+5|+|x-2|的最小值为7；而
a＞|x-3|+|4-x| 的最小值，而|x-3|+|4-x|的最小值为1.
16.-
3
提示：5-x＞7 |x+1|
8
|x+1|＜
1
7
(5-x)-
1
7
(5-x)＜x+1＜
1
7
(5-x)

5x7x7


7x75x

6 x12


8x2
-2＜x＜-
1
4

又由|2a-3x|＜b(b＞0)-b＜3x-2a＜b
2ab2ab
＜x＜，
33
21
，
8

2ab
2


3
依题意有


2ab

1
< br>4

3
∴
a

2ab6
27

，解得a=-

3
16
2ab

4
，b=
1272163
b
.
2161616 8
37737
17.A=｛x||x-|≤｝=｛x|-≤x-≤
22222
｝=｛x|-2≤x≤5｝

由于B
当B=
A，下面分两种情况讨论：
时，显然满足BA，此时m+1＞2m-1，∴m＜2；
当B≠时，欲使B

m12

A，则

2m15

m12m 1


m3


m3


m2

∴2≤m＜3
综合可知2≤m＜3或m＜2，即m＜3.
18.A=｛x|
1
4
(3|x|-1)≤
1
2
(|x|+3)｝=｛x|3|x|-1≤2|x|+6｝ =｛x||x|≤7｝=｛x|-7≤x≤7｝，B=｛x||x-a|＜12｝=｛x|a-12＜x＜a+1 2｝
由A∩B=｛x|-7≤x＜5｝通过画数轴可知a-12＜-7且a+12=5，解得a=-7.
19.∵
322(21)
2
21
，∴原不等式变形为|x +7|-|3x-4|+
2
－1＞0，该不等式等价于下列三个不等式组：
4

7x

x7

3
(1)或

(2)


(x7)3x4210< br>
x7(3x4)210

4

x

3
或

(3)

x7(3x4)210< br>

x7

解(1)得

2
故(1)式无解；

x6
2

4

7x 

3

解(2)得


x
22< br>
4

4

x

3

解 (3)得


x5
2

2

224
x
；
43
故得-
故得
42
x5
32

综上可知，原不等式的解集为
｛x|-
22
4
＜x≤
4
3
或
4
3＜x＜5+
2
2
＝=｛x|-
22
4
＜x＜5+2
2
｝.
20.A=｛x|2x-1|≤3｝=｛x|-1≤x≤2｝，
B=｛x||x+2|＜1｝=｛x|-3＜x＜-1｝
∴(A∪B)∩Z=｛x|-3＜x≤2｝∩Z=｛-2，-1，0，1，2｝
由C(A∪B)∩Z知，C｛-2，-1，0，1，2｝，又C∩B≠，
∴-2∈C，又由于 C中有三个元素，故所有满足三个条件的C是：｛-2，-1，0｝，｛-2，-1，1｝，｛-2，-1，2｝ ，｛-2，0，1｝，｛-2，0，2｝，
｛-2，1，2｝.
21.当a＞0时，原不等式 变为|x-1|＞
22222
+1，∴x-1＞+1或x-1＜--1，即x＞+2或x＜-；
aaaaa

当a=0时，原不等式变为0·|x-1|＞2，∴x无解； 当


2a0
22
，即-2≤a＜0时，原不等式变为|x -1|＜+1，由于+1≤0，而|x-1|≥0，∴x无解；
aa

a0
22222
+1，∴--1＜x-1＜+1，解得-＜x＜+2.
aaaaa
22
综上可知，当a＞0时，原不等式的解集为｛x|x＜-或x＞+2＝；当-2≤a≤0时，原不等式的 解集为
aa
22
集为｛x|-＜x＜+2｝.
aa
当a＜-2时，原不等式变为|x-1|＜
确定.
当x+y≤0时，k =-(x+y)+y+1+4+x-2y=5-2y，∵-1≤y≤1，∴3≤k≤7
当x+y＞0时，k=x+y+y+1+4+x-2y=2x+5，∵-1≤x≤1，∴3≤k≤7.
综合可知，k的最大值为7，最小值为3.
【课本习题】
练习P16
1.(1)x|-5＜x＜5；(2)x|x＜-10，或x＞10；
；当a＜-2时，原不 等式的解
22.∵|x|≤1，|y|≤1，∴-1≤x≤1，-1≤y≤1，从而y+1≥0，-3≤ 2y-x≤3，∴2y-x-4＜0，∴|2y-x-4|=4+x-2y，可见只有x+y的正负不
7
5
7
(5)x|-4＜x＜4；(6)x|x＜-
2
(3)x|-4 ≤x≤4；(4)x|x≤-
7
；
5
7
，或x＞.
2
31
2.(1)x|x＜-13，或x＞5；(2)x|-≤x≤;
44
1
(3)x|x≤-1，或x≥5;(4)x|＜x＜1；
3
2
(5)x|-＜x＜2；(6)x|x≤-6，或x≥2.
5
，或x≥
习题1.4
1.(1)x|x＞1；(2)x|x≤1 ；
(3)x|-7＜x＜
2
3
；(4)x|-5≤x≤9.
2.(1)x|x≤-21，或x≥21；(2)x|-
1111
＜x＜;
3535
5
2
；
(3)x|5.999＜x＜6.001;(4)x|x≤5，或x≥11.
3.(1)x| -
(3)x|-
111
＜x＜
22
;(2)x|x≤-2，或x≥< br>54
＜x＜7;(4)x|x≤，或x≥4；
33
141073
(5 )x|x＜-，或x＞-；(6)x|-≤x≤
332020
4.(1)x|-b+a＜x＜b +a;(2)x|x＜-b+a，或x＞b+a.

.
§1.5一元二次不等式解法
预备知识
1.一次函数，二次函数的形式及图像的画法.

b
x


a
a0时
2.一元一次不等式的解法ax+b＞0 x＞-



x
b
a0时

a< br>
课本知识导学运用
课本知识诠解
重要提示
1.一元一次不等式 ax+b＞0或ax+b＜0的解集与一次函数y=ax+b的图像及方程ax+b=0的根之间的关系.
如下表：

一次函数y=ax+b的图像
a>0 a<0
< br>2
1.一般地，一元二次方程ax+bx+c=0的解是一元二次函数y=ax+bx+c的图像 与x轴的交点的横坐标，而相应的一元二次不等式ax+bx+c
22

＞0(或＜0 ＝的解集也与一元二次函数y=ax+bx+c的图像有关，当一元二次函数图像与x轴的交点的位置不同时，这 就导致了一元二次不
等式解集的不同情况.
一元一次方程ax+b=0的根
X=x
0
=-
2
b
a

{x|x0
}
{x|x>x
0
}
ax+b>0的解集
ax+b<0的解集
{x|x>x
0
}
{x|x0
}
2.一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+b x+c＜0(a＞0)的解集，可通过一元二次方程的根，再利用一元二次函数的图像
与x轴的相关位置 确定.
如下表:
2
a＞0,Δ=b-4ac

Δ＞0

Δ=0

Δ＜0

一元二次方程ax+bx+c=0的实数根的情况

2
有两个相异实根 有两个相等实根
x
2
=x
2
=-
没有实根
x2=
b
2a

b

2a
x2=
一元二次函数y=ax+bx+c的图像特征

2
b

2a


{x|x≠-
R


R

R



一元二次不等式的解集

ax+bx+c＞0

2
{x|x＜x1或x＞x
2
＝

{x|x≤x
1
或x≥x
2
}

{x|x
1
＜x＜x
2
＝

{x|x
1
≤x≤x
2
}

b
}

2a
ax+bx+c≥0

2
ax+bx+c＜0

2


ax+bx+c≤0

2

b






2 a

特别注意，对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可利用不等式性质先把二次项系 数化为正数，再求解.

3.一元二次不等式的解题步骤：
(1)先判断二次项系数的符号，若为负，化成正数，注意不等号方向要改变；
(2)判断对应的一元二次方程的判别式大于0，等于0或小于0，解方程；
(3)根据一元 二次方程的根，结合变形后不等号的方向，写出不等式的解集，“大于(号)找两边，小于(号)找中间”.
4.因式分解法解一元二次不等式
若一元二次不等式可通过“十字相乘法”、“求根公式”分 解因式，使其一边变为0，另一边变为两个因式积的形式，如a(x-x
1
)(x-x
2
)＞0，
则可根据a的正、负将上不等式转化为一元一次不等式组求解.值得注意的是，两个 一次因式中x的系数必须先变为正数，再求解.
如：(3x-1)(2x+3)＞0x＞
13
或x＜-
32
. (1-3x)(2x+3)＞0必须先变为(3x-1)(2x+3)＜0，从而其解为-
3
2
＜x＜
1
.
3
5.简单分式不等式的解法
对于简单 的分式不等式，一般通过移项，使一边变为0，另一边通过通分再转化为一元二次不等式(组)求解，如：
xa
＞0
xb
xa
(2) ＜0
xb
(1)
(3)
(x-a)(x-b)＞0；
(x-a)(x-b)<0；
xa
≥0
xb
xa
≤ 0
xb

(x-a)(x-b)0



xb0

(x-a)(x-b)0



x-b0
2
(4)
基础例题点拨
【例题1】解不等式-3x+6x＞2.
【解析】原不等式整理，得3x-6x+2＜0，
2
由于Δ=(-6)-4×3×2=12＞0，且方程3x-6x+2=0的解是x1=1-< br>2
22
3333
，x2=1+，所以原不等式的解集是｛x|1-＜x＜1+｝ .
3333
【思路点拨】对于一元二次不等式ax+bx+c＞0中二次项(x2项)系数为 负数时，一定要根据不等式的性质使其转化为正数，同时原不等号
要改变方向后才能求解.否则很容易出 差错.
(x-x
1
)(x-x2)＞0
(x-x
1
)(x -x
2
)＜0
x＞x
2
(大根)或x＜x
1
(小根 )(x1＜x
2

x
1
＜x＜x
2
(即x大于小根 而小于大)(x
1
＜x
2

随笔：

一拖二
拖1x取什么数时，
1
65xx
2
有意义?
2
答案：
由于6-5x-x既是分母，又要开偶次方，因而要使
1
6 5xx
2
有意义，则必须6-5x-x＞0，从而x+5x-6＜0，又因为Δ＝25+2 4
22
＝49＞0，x+5x-6=0的两解为x
1
=-6，x
2< br>=1，∴x+5x-6＜0的解为-6＜x＜1，即当-6＜x＜1时，
22
1
65xx
2
有意义.

【例题2】解不等式-x+2x-3＞0. 2

【解析】原不等式整理，得x-2x+3＜0，这里，Δ=(-2)-4×3=- 8＜0
∴方程x-2x+3=0无实数解，故不等式x-2x+3＜0的解集是，从而原不等式的解集 是
222
22
22
.
2
【思路点拨】这里x-2x+3＜ 0也可通过配方求得其解，即(x-1)+2＜0，而(x-1)≥0，∴(x-1)+2＜0
值得注意 的是不要以为Δ＜0，则一元二次不等式的解集都是
222
.
，一定要考虑二次项系数 的正负及不等号的方向才能确定.事实上，当a＞0
. 且Δ=b-4ac＜0时，ax+bx+c＞0 的解集为R，而ax+bx+c＜0的解集为
解分式不等式
f(x)
＜m时，在不知 分母因式g(x)的正、负时，不能通过去分母使其变为f(x)＜mg(x)求解，因为这样会漏解或解时很繁 .
g(x)
1
2
【例题3】解不等式4x
2
+4x+1＜0.
【解析】因为Δ=4-4×4=0，方程4x+4x+1=0的解是x
1
=x
2
=-
【思路点拨】4x+4x+1＜0
222
22
，所以，不等式 的解集是
2
.
(2x+1)＜0，由于(2x+1)≥0，故(2x+1)＜0无解.
【例题4】x是什么 数时，
【解析】要使
x
2
x-12
有意义?
22212
x
2
x-12
有意义，则必有x+x-12≥0，而这里Δ=1- 4×(-12)=49＞0，x+x-12=0的解是x=-4，x=3，∴x+x-12≥0的
x2
x-12
有意义. 解是x≥3或x≤-4，即当x≥3或x≤-4时，
【思 路点拨】若被开方数是开偶次方，则被开方数必须非负，由此转化为一个一元二次不等式的求解问题.
【例题5】解关于x的不等式(x-a)(x-b)＞0(a＜b).
【解析】原不等式等价 于


x-a0

xa0
或

< br>
xb0

xb0
由


xa 0

xa
得

，又a＜b，∴x＞b.

x b0

xb

xa0

xa
又由

得

，又a＜b，∴x＜a.
xb0xb

综合可知，原不等式的解集为｛x|x＞b或x＜a｝.【思路点拨】因为(x-a)(x-b)＞0，说明x- a与x-b同号，即可以同时为正，也可以同
时为负，换句话说，这两种情形都是可以的，因而结果要取 它们的并集.
【例题6】解下列不等式
(1)4x-4x＞15；(2)14-4x≥x；
(3)x(x+2)＜x(3-x)+1；(4)-x-2x+8≥0.
【解析】(1)整理，得4x-4x-15＞0，
2
2
22
553
，所以原不等式的解集为｛x|x＞或x＜-＝.
222
77
(2)整理，得4x+x-14≤0，∵Δ＞0，方程4x+x-14=0 的解为x=-2，x=，所以原不等式的解集为｛x|-2≤x≤｝.
44
∵Δ=16+4× 4×15=16＞0，方程4x-4x-15=0的两个解是x1=-
22
22
32
，x2=
12
(3)整理，得x+2x＜3x-x+1，即2x-x-1＜0，
∵Δ＞0，方程2x-x-1=0的两解是x
1
=-
(4)整理，得x+2x -8≤0，
∵Δ＞0，方程x+2x-8=0的两解是x1=-4，x=2，所以原不等式的解集是｛ x|-4≤x≤2｝.
【思路点拨】将各不等式先化为“标准式”(即二次项系数为正数，不等号右边 变为0)，再根据Δ＞0，Δ=0，Δ＜0求相应方程的解，进
一步写出原不等式的解集.
2 2
2
2
222
1
2
，x
2
=1，所以原不 等式解集是｛x|-
1
2
＜x＜1｝.

【例题7】解下列不等式
(1)(5-x)(x+4)＜0；(2)(x+7)(2-x)＞0；
(3)(3x+2)(2x-1)＜0；(4)
【解析】(过程略).
(1)｛x|x＞5或x＜-4｝
(2)｛x|-7＜x＜2｝
拖2解下列不等式：
1
2
x-1(5x+3)≥0.
3x-4
＞0；
2x5
2x-15
(2)≤0
5x 2
(1)
答案：
(1)原不等式等价于


3x40< br>
3x40
或



2x50
< br>2x50
5
2
4
3
5
2
44
 
xx

4

33
解得

或
，即x＞
3

x
5

x
5

2

2

(2)原不等式等价于

或x＜-，所以，原不等式的解集为x│x＞或x＜-.

2x150

2x150
或


5x205x20

15
}

2
15< br>
151515

xxxx

2152< br>
2222
解得

或

，而

无解，由

得-
x
，所以，原不等式的解集是{x│-
525

x
2

x
2

x
2

x
2

5

555

随笔：

拖3解下列不等式：
(1)(x-1)(x
2
-3x+2)＜0
(2)2x
3
-7x
2
-4x＜0

＜x≤
答案：
(1)原不等式等价于不等式组①


x10

x3x20
2
或②


x10

x 3x20
2
，

x1

x1
由①得


1x2
.又由②得
(x1)(x2))1 x2


x1

x1
x1


(x1)(x2)0

x2或x1
综合可知， 原不等式的解集为｛x│1＜x＜2或x＜1｝.

(2)原不等式整理为x(2x-7 x-4)＜0，即x(x-4)(2x+1)＜0，从而可等价于

2

x 0

x0

或


(x4)(2x1)0

(x4)(2x1)0

x0

x0
1

由

得

1
即x

2< br>
(x4)(2x1)0

x4或x
2


x0

x0

又由

，即0＜x＜4 < br>得

1
(x4)(2x1)0
x4



2
综合可知，原不等式的解集为{x│x＜-
(3)｛x|-
1
2
或0＜x＜4｝.

2
3
＜x＜
1
2
｝
(4)｛x|x≥2或x≤-
3
｝
5
【思路点拨】每一个不等式都 转化为两个一元一次不等式组求解，最后结果取两个不等式组的解集的并集.
【例题8】求不等式组

x(x
2
1)(x1)(x
2
x1)
1
的整数解.

2

12x3(x9)
【解析】由 ①得x+x≥x+1，∴x≥1③
又由②得1-2x＞3x-27，即x＜
由③④可得不等式组的解为
1≤x＜
33
28
5
④
28
5
，又x∈Z，∴x=1，2，3，4，5
【思路点拨】将每个不等式 的解求出来，再找它们的公共部分即为不等式组的解，最后求出满足该解的整数.
【例题9】解不等式0＜x-x-2＜4
【解析】原不等式等价于不等式组
2


xx20
1


2

xx24
2
2
由①得Δ=9＞0，方程x-x-2= 0的解是x
1
=-1，x
2
=2，故x-x-2＞0的解集为｛x|x＞2或 x＜-1｝.
又由②得x-x-6＜0，∵Δ=25＞0，
方程x-x-6=0的解是x
3
=-2，x
4
=3，
∴x-x-2＜4的解集为｛x|-2＜x＜3｝.
故原不等式的解集为
｛x|x＞2或x＜-1＝∩｛x|-2＜x＜3＝=｛x|-2＜x＜1＝∪｛x|2【思路点拨】这里是双向不等式，实质上是不等式组，因而应是x-x-2＞0与x-x-2＜4的解集 的交集.
拖4解下列不等式
(1)0＜4x
2
-11x-3＜3
(2)-4＜-
22
2
2
2
22
1
2
x
2
-x-
3
2
＜-2
2


4 x11x30


4x1

(x3))
1,得

2
答案：
(1)原不等式等价于

2



4x11x33

4x11x60
2

不等式①的解集为x│x＜-
1
4
或x＞3；
不等式②的解集为x│
11-21711217

x
88
11217111217

x或3x

. < br>848

所以，原不等式的解集为x│

3

1< br>2
xx4

1

22
(2)原不等式等价于




1
x
2
x
3
2
2

2

2
不等式①的 解集为｛x│-1-
∴原不等式的解集为{x│-1-
拖5解不等式x≤
6
＜ x＜-1+
6
＝，不等式②的解集为｛x|x＜-1-
2
，或x＞-1+2＝
6
＜x＜-1-
2
，或-1+
2
＜x＜-1+
6< br>｝

1
X

答案：
①当x＞0时，此时x
2
≤1，即｛x│-1≤x≤1｝，所以当x＞0时，即｛x│0＜x≤1｝
②当x＜0时，此时x≥1，即解集为｛x│x≤-1｝.
所以，原不等式的解集为{x|0＜x≤1或x≤-1}.

【例题10】解下列不等式：
2
x
2
2x15
x1
(1)＞0；(2)≤0. < br>x2
(x2)(x3)
【解析】(1)原不等式的解集是不等式组

x-10

x-10
与

的解集的并集. 
(x2)(x-3)0

(x2)(x-3)0





x1


x10
由

x|



x|



x |x3


(x2)(x3)0
x2或x3







x10


x1

x|x|


< br>x|2x1




(x2)(x3)0



2x3

得原不等式的解集是｛x|-2＜x＜1或 x＞3｝.

x
2
-2x-150

x
2-2x-150
(2)原不等式的解集是不等式组

与

的解 集的并集.

x-20

x-20
2

< br>
x2x150



x3x5
由

x|



x|



x|2x5






x2


x20
2



x 2x150



x3或x5


x|



x|



x|x3
.
x2
x2






得原不等式的解集是｛x|x≤-3或2＜x≤5｝.
【思路点拨】将原不等式转化为两个不等式组的解集的并集.
重难点突破
重点·难点·易混点·易错点·方法技巧
重难点

1.重点：一元二 次不等式的解法，能根据一元二次方程根的判别式确定一元二次不等式的解集，这是学习其他知识的基础. 2.难点:弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.容易考查的知识点是一元二次不等式及分 式不等式的解集.易混易错点
1.易混点
22
(1)ax+bx+c＞0与ax+bx+c＜0解集的区别和联系
当ax+b x+c=0的两解为x
1
，x
2
且x
1
＜x
2时，ax+bx+c＞0的解集不一定是｛x|x＞x，或x＜x
1
｝，同理，ax+bx +c＜0的解集也不一定是｛x|x1
＜x＜x｝，这是因为课本上给出的一元二次不等式的解集公式都 是二次项系数为正数的前提下得出来的.因而，在解一元二次不等式时，首
先必须将二次项系数变为正数 后(务必注意，改变二次项系数的符号，则一次项和常数项的符号以及不等号的方向都要改变)，再利用不等式的解集公式解改变了不等号方向后的不等式.
当a＞0且Δ＞0时，ax+bx+c＞0的解集 才为｛x|x＞x或x＜x
1
｝(x
1
＜x
2
)，ax+b x+c＜0的解集为｛x|x
1
＜x＜x
2
｝(x
1
＜x< br>2
).这两种不等式
的解集端点数值均为ax+bx+c=0的两解.
2
222
2
2222
(2)含参数的一元二次不等式恒成立的条件
由解集公式知，当a＞0，且Δ＜0时，ax+bx+c＞0的解集为R，因而很多读者认为ax+bx +c＞0恒成立的条件是a＞0且Δ＜0.这是因为
课本在总结解集公式时，已经明确规定了a＞0.因 而ax+bx+c=0中的Δ是存在的.而当a=0时，ax+bx+c＞0变成了bx+c＞0，就没有Δ了.
故ax+bx+c＞0恒成立的条件应当是a＞0且Δ＜0或a=b=0且c＞0，同理ax+bx+c ＜0恒成立的条件是a＜0且Δ＜0或a=b=0且c＜0.
22
22
22
(3)带“=”的分式不等式与不带“=”的分式不等式的解集差别
由于分式的分母不能为零，因而对 于含等号的分式不等式转化为整式不等式时，要注意分母不为零的隐含条件.而不带“=”的分式不等式
在转化过程中由于不涉及等号，故不需考虑分母问题.
2.易错点
(1)忽视二次项系数必须为正数的前提
利用课本上介绍的一元二次不等式的解集公式和因式 分解法解一元二次不等式，其前提必须是二次项系数为正数，忽视这个前提，解题往
往会出错.
【例题11】解不等式(1)(x+5)(3-2x)＞0；(2)-3x+4x+4＜0.
【错解】(1)∵方程(x+5)(3-2x)=0的两根为-5，
(2)因为-3x+4x+4=0的 两解为-
∴-
2
2
3
2
，且(x+5)(3-2x)＞0， ∴x＞
3
2
或x＜-5，故原不等式的解集为｛x|x＜-5或x＞
3
2
｝；
2
3
，2，且-3x+4x+4＜0，
2
2< br>3
＜x＜2故原不等式的解集为｛x|-
2
3
＜x＜2｝.
【易错分析】以上两小题均只注意了不等号的方向而忽视了二次项系数小于零，导致解集出错.解题时应注意先将 二次项系数化为正数，
同时注意不等号的方向要改变.
【正解】(1)原不等式化为(x+5 )(2x-3)＜0，∴-5＜x＜
2
3
2
，故原不等式的解集为｛x|-5 ＜x＜
3
2
｝.
(2)原不等式化为3x-4x-4＞0，分解因式，得( 3x+2)(x-2)＞0，解得x＜-
2
3
或x＞2，所以，原不等式的解集为｛x |x＜-
2
3
，或x＞2｝.
(2)通过去分母解分式不等式
解 分式不等式一般不能通过去分母去解.只有当分母因式的符号可以确定(始终为正或始终为负)时，才可以去分母 .因而解分式不等式，往
往通过移项，使右边变为零，左边再通分转化为整式不等式求解.
【例题12】解下列不等式：
(1)
2x3
＞1(2)≥0
x 32x
【错解】(1)去分母，得2＞x-3，∴x＜5，故原不等式的解集是｛x|x＜5｝；
(2)原不等式等价于(x-3)(2-x)≥0，∴x≥3或x≤2，即原不等式的解集为｛x|x≤ 2或x≥3｝.
【易错分析】对于(1)，由于x-3可能为正，也可能为负，因而去分母后,不等号 的方向未改变,所求的解应有漏解,为避免错误,只能移项,
通分求解.
对于(2)，首先应 将(x-3)(2-x)≥0中二次项系数变为正数，其次应考虑分母2-x不为零的隐含条件.
【正 解】(1)原不等式可化为
2x35x
0
＞0，即＞0，从而等价化为(5- x)(x-3)＞0，即(x-5)(x-3)＜0,∴3＜x＜5,
x3x3x3
拖 6若关于x的不等式mx
2
-mx-1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
答案：由于mx-mx-1＜0对一切x∈R恒成立，则m＜0
2

Δ=(-m)+4m＜0或m=0，
2

m0

m0
由

∴-4＜m＜0
解得

2

4m0

m4m0
又m=0时显然满足，综合可知，所求的实数m的取值范围为-4＜m≤0.
拖7已知集合A=｛x| -2x
2
+3x+2≥0｝，B=｛x|15+2|x|-x
2
≤0｝，求A ∩B.
答案：A＝｛x│-2x+3x+2≥0｝=｛x│2x-3x-2≤0｝=｛x│(x-2) (2x+1)≤0｝=x│-
≥0｝＝｛x│(|x|+3)(|x|-5)≥0｝＝｛x││x│≥5 ｝＝｛x│x≥5或x≤-5｝
∴A∩B＝x│-
22
1
2
≤ x≤2，B＝｛x│15+2|x|-x≤0｝=｛x│x-2|x|-15
22
1
2
≤x≤2∩｛x│x≥5或x≤-5｝＝
所以原不等式的解集为｛x|3＜x＜5｝. (2)原不等式等价于(x-3)(2-x)≥0且2-x≠0即(x-3)(x-2)≤0且x≠2，解得 2＜x≤3.所以原不等式的解集为｛x|2＜x≤3＝.
(3)对含有字母系数的一元二次不等式， 忽视了分类讨论(对两根大小进行比较)，及漏掉“分界点”的情况.

【例题13】解关于x的不等式:56x+ax-a＜0
【错解】原不等式可变为(7x+a )(8x-a)＜0，∴-
22
a
7
＜x＜
a
8
， 即原不等式的解集为｛x|-
a
7
＜x＜
a
8
｝.
【易错分析】不等式(x-x
1
)(x-x
2
)＜0的解为x
1< br>＜x＜x
2
是在x
1
＜x
2
的前提下成立的.而-< br>讨论求解.
【正解】由已知不等式，得(7x+a)(8x-a)＜0，其相应一元二次方程的 两根为x1=-
a
7
与
a
8
a
8
谁大谁小 应由a的正负确定，故要进行分类
a
7
，x2=.
aaaa
＜，此时原不等式的解集为｛x|-＜x＜｝；
7878
aaaa
当a＜0时，->，此时原不等式的解集为｛x|＜x＜-｝； < br>7887
当a＞0时，-
当a=0时，代入原不等式，得x＜0∴x无解，即解集为2
.
方法技巧
1. 利用二次函数图像的直观性解一元二次不等式(或组)
【例题14】解下列不等式：
(1)-6x-x+2≤0; (2)x+5≤4x+1;
(3)x(x-1)>x-2； (4)6x-1-9x＜0. < br>【解析】(1)原不等式化为：6x+x-2≥0,即(3x+2)(2x-1)≥0解得x≤-
拖8解不等式
2
2
22
2
3
或x≥
1
2
,
2823x15x
2
x1x
2
＜0
(15x
2
23x28)
答案：
原不等式可变为＜0
2
(xx1)0

1
15x
2
23x 28
∴＜0，又x-x+1=(x-
2
x
2
x1
2< br>)2+
3
4
＞0恒成立，故原不等式等价于15x-23x-28＜0，即(3 x-7)(5x+4)＜0， ∴-
2
4
5
＜
x＜
7
3
，所以，原不等式的解集为{x│-
4
5
＜x＜
7
3< br>}.

拖9解关于x的不等式：x
2
+(a
2
+a)x+a
3
＞0.
答案：
原不等式整理为(x+a)(x+a
2
)＞0，方程x
2
+(a
2
+a)x+a
3=0的两根为x
1
=-a，x
2
=-a
2
，当x
1
＞x
2
，即-a＞-a
2
，a
2
-a＞0a＞1或a＜0时，不等式解为x＞-a或x＜-a；当x
1
＜x
2
，即 -a＜-a，a-a＜0
-a；
当a=0时，原不等式变为x＞0，∴x≠0.
当a=1时，原不等式变为(x+1)＞0，∴x≠-1.
2
2
222a(a-1)＞0，即
2
a(a-1)＜0，即0＜a＜1时，不等式的解为x＞-a或x ＜
综合可知，当a＞1或a＜0时，原不等式的解集为｛x│x＞-a，或x＜-a＝；当a=0时，不 等式的解集为｛x│x≠0｝；当a=1时，不等式
的解集为{x│x≠-1｝；当0＜a＜1时，不等 式的解集为{x│x＞-a，或x＜-a｝.

2
2
∴原不等式的解集为｛x |x≤-
2
2
3
或x≥
2
1
2
｝
(2)原不等式化为：x-4x+4≤0即(x-2)≤0，解得x=2
∴原不等式的解集为｛x|x=2｝.
(3)原不等式化为x-2x+2＞0
∵Δ＝(-2)-4×2=-4＜0
∴x-2x+2＞0对x∈R恒成立,
∴原不等式的解集为｛x|x∈R｝
(4)原不等式化为：9x-6x+1＞0即(3x-1)＞0，解得3x-1≠0，x≠
∴原不等式的解集为｛x|x≠
22
2
2
2
1
，
3
1
｝
3
【思路点拨】解一元二次不等式首先应将所给不等式化为 标准形式(即二次项系数为正的不等式)，然后看能否求出相应方程的根，能求出
两根的，根据不等式“ 大于零的解两边分，小于零的解夹中间”写出解集，其他情形宜结合相应二次函数的简图写出对应的解集.
2.利用“移项法”解分式不等式
【例题15】解下列分式不等式：
(1)
25x

;
x12(x1)
(2)
x1
＜x
12x
【解析】(1)移项，通分、整理，得

5x
2
x45x
2
x4
≥0，即≤0
2(x1)(x1)2(x1)(x1)
2
∵5x＋x＋4＝5(x＋
179
)2＋
1020
＞0
∴原不等式等价于(x＋1)(x-1)＜0
∴-1＜x＜1
∴原不等式的解集为{x|-1＜x＜1＝.
(2)移项，通分，整理，得
2x
2
1
＞0，可转化为下面两个不等式组：
2x1
拖10解下列不等式：
(1)-3＜4x-4x
2
≤0;
(2)|x
2
-5x+6|＜x2-4.

3
1
22


(2x3)(2x1)0

x

34x4x


4x4x30
答案：
(1)原不等式等价于不等式组

即

2
,解得

,即

22

2
4x(x1)0



4x4x0

4x4x0

x1或x 0
13
＜x≤0或1≤x＜，所以，原不等式的解集为
22
13
x│-＜x≤0或1≤x＜.
22
∴-
22

x5x60

x5x60
与
 (2)原不等式等价于不等式组

的解集的并集.
2222


x5x6x4


(x5x6)x4
2

(x2)(x3)0

x3或x2

x 5x60


x3
由

22
< br>
x2

x5x6x4

5x10

2x3
2


(x2)(x3)0

x 5x60

又由



1
2x3

22
(x2)(2x1)0
x2或x


(x5x6)x4

2

所以，原不等式的解集为 ｛x│x≥3｝∪｛x│2＜x＜3＝=｛x│x＞2｝.


2x
2
10
①



2x10


2x
2
10
或②



2 x10

22
或x


22
不等式组① 的解为


x
1

2

即x＞

2
2


22
x


22
不等式组②的解为-


x
1

2
< br>即-

21
x
.
22
221
或x
.
222
f(x)f(x)
0或0
的形式，再
g(x)g(x)
∴原不等式的解集为｛x|x＞
【 思路点拨】当分式不等式一边不为零时，两边不要同乘含有未知数的分母因式，而应移项通分变为
转化为 等价的不等式组来解.但在明确分母的符号的情况下，也可考虑去分母，转化为整式不等式(组)来解.
3.利用“公式法”解双向的分式不等式
双向的分式不等式m＜
f(x)
＜ n可等价于［f(x)-mg(x)］［f(x)-ng(x)］＜0，转化为整式不等式(组)求解.
g(x)

【例题16】解不等式a＜
1
x
＜b(a＜0,b ＞0)
【解析】原不等式等价于(1-ax)(1-bx)＜0，又a＜0,b＞0
∴-a＞0,-b＜0，则原不等式进一步转化为(-ax+1)(bx-1)＞0
拖11(2003年上海市春季高考题)解不等式组

x
2
6x80



x32


x1
答案：
由x
2
-6x+8＞0 ，解得x＜2或x＞4；由
x3
＞2
x1
得
5x
x 1
＞0，即(x-5)(x-1)＜0，解得1＜x＜5.故原不等式组的解为

x 2或x4
，即1＜x＜2或4＜x＜5


1x5
∴原不等式组的解集为x│1＜x＜2或4＜x＜5

∴x＞
1
b
或x＜
1
a

原不等式的解集为｛x|x＞
1
b
或x＜
1
a
｝.
【思路点拨】本题无论是通过讨论去分母求解，还是通过移项通分转化为不等式组求解都很繁.因而这种 双向的分式不等式求解方法应引
起重视，并注意掌握.
4.利用与已知一元二次不等式同解解题
【例题17】已知不等式ax+bx+2＞0的解集 是｛x|-
2
1
2
＜x＜
1
＝，求a+b的值.
3
11

b


11

a23解一：依题意知a≠0，且-,是方程ax+bx+2＝0的两根，由根与系数的关系得

，
23

2

1

1

23

a
2
解得a=-12,b=-2,∴a+b=-14.
解二 ：依题意知a＜0，且a(x+
1
2
)(x-
1a
)＞0，即ax+
3b
2
x-
a
b
＞0与ax+bx+2＞0比较，得a= -12，b=-2，∴a+b=-14.
2
【思路点拨】有关与已知一元二次不等式同解问题 的主要解法有两种：一是利用一元二次不等式的解与相应方程的根有着密切的联系，由
根与系数的关系求 解；二是利用同解不等式对应系数成比例求解.这里一定要注意的是由已知解必可确定二次项系数的正负.如ax +bx+c＞
0的解为x
1
＜x＜x
2
，则a＜0;ax+bx+c ＜0的解为x＞x
2
或x＜x
1
，则a＜0等.
2
2
5.含参数的一元一次不等式和一元二次不等式的解法
(1)对ax＞b的解集讨论：
当a＞0时，解集为｛x|x＞
b
a
｝;
随笔：

拖12已知不等式ax
2
+bx+c＞0(a≠0)的解集为{x|α＜x＜β＝(0 ＜α＜β＝，求不等式cx
2
+bx+a＜0的解集.
答案：
由已知解的形 式为α＜x＜β可知，不等式ax
2
+bx+c＞0中a＜0，且α、β应是相应方程ax2
+bx+c＝0的两根，由根与系数的关系，
得α+β＝-
b
a
，αβ＝
c
a
，
22
∴b=-a(α+β)，c=a·αβ.代 入不等式cx+bx+a＜0，得aαβx-a(α+β)x+a＜0

又∵a＜0，∴不等式又可化为αβx-(α+β)x+1＜0，
∴(αx- 1)(βx-1)＞0，∵0＜α＜β，∴
2
1

＜
1
< br>，∴x＜
1

或x＞
1

，所以，原不等式cx+b x+a＜0的解集为x│x＜
2
1

或x＞
1

.

随笔：

随笔：


当a＜0时，解集为｛x|x＜
b
a
｝；
当a=0时，不等式变为0×x＞b，若b＜0，则解集为｛x|x∈R｝；若b≥0，则解集为. < br>(2)对ax
2
+bx+c＞0与ax
2
+bx+c＜0(a＞0)解 集的讨论可按Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0三种情形讨论.
(3)对ax
2
+bx+c＞ 0可转化为a(x-x
1
)(x-x
2
)＞0，则依a的正负及x
1
、x
2
的大小进行讨论求解.
【例题18】解关于x的不等式：
(1)a
2
x-1≤a(x-1); (2)(x-2)(ax-2)＞0
【解析】(1)原不等式整理为(a
2
-a)x≤1-a，即a(a-1)x≤1-a.
当a=0时，不等式变为0·x＜1，∴x∈R；
当a=1时，不等式变为0·x≤0，∴x∈R；
当a(a-1)＞0，即a＞1或a＜0时，x≤-
1
a
;
当a(a-1)＜0，即0＜a＜1时，x≥-
1
a
;
综上所知当a=0或a=1时原不等式的解集为R.
当a＞1或a＜0时，原不等式的解集为{x|x≤-
1
a
}
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x≥-
1
a
}.
(2)当a=0时，原不等式变为-2(x-2)＞0,∴x＜2;
当a＜0时，原不等式变为
a(x-2)(x-
22
a
)＞0(x-2)(x-)＜
2a
0
a
＜x＜2;
当a＞0时，原不等式变为
a( x-2)·(x-
2
a
)＞0(x-2)(x-
2
a
)＞0 ;
由于2-
2
a
=2
2(a1)
a
，若0＜a ＜1，则2＜
22
a
,∴原不等式解为x＞
a
或x＜2.若a=1， 则原不等式变为(x-2)2＞0
则2＞
2
a
,∴原不等式的解为
随笔：


拖13(2001年全国高考题)解关于x的不等式
xa
xa
2
＜0(a∈R).
答案：
原不等式等价于(x-a)(x-a
2
)＜0
由于a
2
-a=a(a-1)，∴当a
2
-a＞0，即a＞1或a＜0时，a
2< br>＞a.
∴(x-a)(x-a
2
)＜0的解为a＜x＜a
2
；当a
2
-a＜0，即0＜a＜1时，a＞a
2
，
x≠2，若a＞1，