阳江海陵岛-缅怀的意思

适用于北京课改版新教材
















北京课改版六年级数学上册

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目录
一 分 数 乘 法 ........................... 3
二 分 数 除 法 ........................... 5
三 百 分 数 ............................. 8
四 解 决 问 题 ........................ 11
五 圆 ............................................. 14
六 扇形统计图 .......................... 20
七 数学百花园 .......................... 21

一 分 数 乘 法
一、分数乘整数
1.分数乘整数的意义。
求几个相同加数的和的简便运算。
2.分数乘整数的计算方法。
用分数的分子与整数相乘的积作分子
,
分母< br>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
不变。当整数与分母能约分时
,
可以 先约分
,
再计
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
算
,
结果不变。
．．
3.分数乘整数的计算方法同样适用于整数
乘分数。
4.一个数乘分数的意义就是求这个数的几
分之几是多少。
5.求一个数的几分之几是多少,可以用乘法
计算,即这个数乘几分之几。
6.单位“1”的量×比较量占单位“1”的几分之
几=比较量。
二、分数乘分数
1.分数乘分数的意义。
求一个分数的几分之几是多少。
2.分数乘分数的计算方法。
用分子和分子相乘的积作分子
,
分母和分母< br>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
相乘的积作分母。计算分数乘分数时,能约分的
．．．．．．．．
应先约分,再计算。
3.分数乘分数的特殊情况。
(1)分数 乘分数的计算方法也适用于小数乘
分数,即先把小数化成分数,再计算。例如,0.5×=
×= 。
(2)分数乘分数,这里的分数也可以是带分

分数乘整数的意义与整数乘法的
意义相同。
易错点:分数与整数相乘时,误将分子与整数约分,这是不对的,一定要注意
是分母与整数约分。
举例:计算×6。
错解:×6=×=
正解:×6=×=



举例:计算×。
错解:×=
正解:×=










易错点:混淆单位“1”的量。
举例:甲数的正好是乙数,这句话中
单位“1”的量是( )。

数,计算时要先把带分数化成假分数。例如,1×
=×=。
4.因数与积的关系。
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个
数;
一个数(0除外)乘大于0且小于1的数,积小
于这个数;
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
三、分数连乘
1.连续求一个数的几分之 几是多少的实际
问题,解题关键是理清每一步中谁是单位“1”
,
谁
．．．． ．．．．．．．．．．．
是谁的几分之几
,
同时明确题中的数量关系。
．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2.一般题目中和“谁”比
,
“谁”就是单位 “1”的
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
量。
．．
( 1)一种是题目里有典型特征的“比”字,“比”
后面的量,即为单位“1”的量。
(2)另 一种是题目中没有“比”字,但是题目中
的两个数量可以看作两数的比较关系,如“占”
“是” “相当于”后面的量即为单位“1”的量。
3.分数连乘的计算方法
:
用分子相乘的 积作
．．．．．．．．．．
分子,用分母相乘的积作分母;如果有整数,用整
数与分子 相乘的积作分子,用分母相乘的积作分
母。计算过程中能约分的,要先约分,再计算。
四、倒数

错解:乙数
正解:甲数















易错点:倒数表示的是乘积是1的
两个数相互依存的关系,不是数值相等
的两个数的数量关系,因此不能把互为
倒数的两个数用等号连接。

举例:写出的倒数。
错解:=。
正解:的倒数是。

1.倒数的意义。
乘积是l的两个数互为倒数。“互为倒数”是
．． ．．
指两个数之间是相互依存的,一个数不能称为倒
数。
例如,×=1,可以说和互为倒数,也可以说
的倒数是,或者说的倒数是。
2.求一个数的倒数的方法。
(1)求真分数、假分数
的倒数:调换分子、分
．．．．．．．．．．．．．
母的位置。
．．．．
(2)求整数
的倒数: 先把整数(0除外)看作分
．．．．．
母是的假分数
,再调换分子、分母的位置。 < br>．．
1
．．．．．
(3)求带分数的倒数:先把带分数化为假分
．．． ．．．．．．
数
,
再求假分数的倒数。
．．．．．．．．．．．
3 .真分数的倒数大于
,
假分数的倒数等于
．．．．．．．．
1
．．． ．．．．．．．
或小于它本身。
．．．．．．．
4. 1的倒数是
,
0没有倒数。
．．．．．
1
．．．．．．．．


二 分 数 除 法

一、分数除法的意义和分数除以整数
1.分数除法的意义。
分数除法 的意义与整数除法的意义相同,都是
除以分数,都可以转化成被除数乘除
已知两个因数的积与其 中的一个因数,求另一个因
数的运算。
2.一个带分数除以整数,先把这个带分数化成
假分数,再按照分数除以整数的计算方法进行计
算。例如,4÷4=×=。
数的倒数。

易错点:在除法算式中,易忽略除
数不能为0这个条件。
举例:

无论是分数除以整数,还是分数

二、一个数除以分数
1.一个数除以分数的计算方法。
(1)计算方法:一个数除以分数,等于乘分数的
倒数。
(2)将除法转化成乘法的要点。
①被除数不变。②除号变乘号。③除数变成它
的倒数。
2.被除数与商的规律。 < br>(1)当被除数不等于0时,0<除数<1,商>被除
数。例如,÷>。除数=1,商=被除数。 例如,÷1=
。除数>1,商<被除数。例如,÷<。
(2)当被除数=0,除数≠0时,商=被除数。例
如,0÷=0。
三、分数除法的计算方法
甲数除以乙数
(
0除外
),
等于 甲数乘乙数的倒
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
数。
．．
四、“已知一个数的几分之几是多少,求这个
数”的简单实际问题
1.“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”
的简单实际问题的解题方法。
(1)方程法。
判断:甲数除以乙数,等于甲数乘
乙数的倒数。( )
错解:√
正解:✕
分析:此题错在忽略了除数不能
为0这个条件。










易错点:用算术法解分数除法应
用题时,先找准单位“1”的量,再根据
分数除法的意 义列式解答。易把除法
算式列为乘法算式。
举例:小丽家养了一些兔子,灰兔
有12只,正好是白兔只数的。白兔有
多少只?
错解:12×=9(只)
答:白兔有9只。
正解:12÷=16(只)
①
找出单位“1”,设单位“1”的量为
x
。
②
找出题中的等量关系式。
③
列出方程并解答。
列方程解题的关键是找出题中的等量关系。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
(2)算术法。
①
找出单位“1”。
答:白兔有16只。
②
找出已知量和已知量占单位“1”的几分之

几。
③
列出除法算式并解答。
用算术法解除法应用题的关键是找准已知量
．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．
占单位“1”的几分之几。
．．．．．．．．．．．．
2
.
算术法与方程法的区别。
用算术法 解分数除法的实际问题需要逆向思
考,从“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的
角度去 理解数量关系;用方程法解分数除法的实际
问题,只要根据分数乘法的意义顺向思考,找到等量
关系式列出方程并解答即可,方程法比算术法更易
于理解。
五、分数四则混合运算及简便算法
1
.
分数四则混合运算的运算顺序。
(1)分数四则混合运算的运算顺序和整数四则
混合运算的运算顺序相同。
如果算式 中含有两级运算,要先算乘、除法,后
算加、减法;如果只含有同一级运算,要按照从左到
右的 顺序计算;如果有括号,要先算小括号里面的,
再算中括号里面的,最后算括号外面的。
(2)在计算过程中能约分的要先约分,这样可以
使计算简便。
2
.
整数乘法运算定律在分数四则混合运算中
的运用。
整数乘法运 算定律在分数四则混合运算中同
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
样适用。在分数四则 混合运算中,适合整数乘法运
．．．．
算定律的,使用整数乘法运算定律,可以使计算简
便。
加法结合律:(
a+b
)
+c=a+
(
b+c
)







易错点:同一级运算,按 照从左到
右的顺序计算。带括号的,要先算括号
里面的,再算括号外面的。同级混合运
算(没有括号)要按照从左到右的顺序
计算。
举例:计算×8÷×8。
错解:×8÷×8
=×÷×
=3÷3
=1
正解:×8÷×8
=×××8
=64

乘法交换律:
a×b=b×a

乘法结合律:(
a×b
)
×c=a×
(
b×c
)
乘法分配律:(
a+b
)
c=ac+bc



三 百 分 数

一、百分数的意义及读、写方法
1.百分数的意义
:表示一个数是另一个数的百
．．
分之几的数,叫作百分数。百分数又叫作百分比或百
．．．．．
分率。
．．
2.百分数的写法
:百分数通常不写成分母是10 0
．．
的分数形式,而是在原来分子的后面添上百分号“%”
来表示。写百分数时,百 分号前面的数按整数、小数
的写法来写,在写出的数的后面加百分号。
3.百分数的读法:读百分数时,百分号前面的数
．．
举例:读、写出下面各百分数。
按整数、小数的读法来读,只是在前面加“百分之”。
0.645%读作: ,
二、百分数和分数的联系与区别
1.百分数和分数的联系:都可以表示两个数之
间的倍数关系。
2.百分数和分数的区别。
(1)意义不同,百分数只表示两个数之间的倍数
关系, 不能带单位名称;分数既可以表示具体的数,又
可以表示两个数之间的倍数关系,表示具体的数时
可以带单位名称。
(2)百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分
5%
正解:百分之零点六四五
500%




易错点:百分数只能表示两个数
百分之五百写作: 。
错解:百分之六百四十五
些,以免与数字0混淆。

易错点:读百分数时 ,当百分号前
是小数时,易漏读小数点前面的0,把
小数读成整数。写百分数时,易把分
子写错。

“%”的书写:两个小圈写得要小

数的分子 不能是小数,只能是除0以外的自然数;百
分数不可以约分,分数一般要约分成最简分数。
( 3)应用范围不同,百分数在生产和生活中常用
于调查、统计、分析和比较,分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用。
拓展提高
之间的倍数关系,不能表示具体数量,
不能带单位名称。
举例:
判断:一块布长27%米。
( )
错解:√
1.表示一个数是另一个数的千分之几的数,叫
正解:✕
作千分数,千分数也叫作千分率。与百分数一样,千
分数也有千分号,千分号用“‰”表示。
2.认识成数。
(1)成数的意义。
“成数”广泛应用于工农业生产和日常生活, 用
来表示增减情况。如“今年小麦比去年增产10%”,可
以说成“今年小麦比去年增产一成” 。
(2)成数与百分数的关系。
几成表示十分之几,也就是百分之几十。如“一
成 ”是十分之一,改写成百分数就是10%;“二成”是十
分之二,改写成百分数就是20%;“三成五” 是十分之
三点五,改写成百分数就是35%。
3.认识折扣。
(1)折扣的意义。
正解:5.4%=0.054
“折扣”是指商家降价出售商品,即按原价的百
分之几十或百分之几出售。
(2)折扣与百分数的关系。
易错点:把小数化成百分数,是把
小数点向右移动两位,而不是去掉小








现价=原价×折扣
易错点:把百分数化成小数,去掉
百分号后,把小数点向左移动两位,位
数不够时,用“0 ”补足,易出现漏补“0”
的情况。
举例:把5.4%化成小数。
错解:5.4%=0.54

几折就是原价的百分之几十,几几折就是原价的百分之几十几。如七五折就是75%,九折就是90%。
三、百分数和小数、分数的互化
1.百分数和小数的互化。
(1)百分数化成小数的方法:把百分号去掉,
同时．．．．．．．．．
把小数点向左移动两位
,
位数不够时
,
用“ 0”补足。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
(2)小数化成百分数的方 法:把小数点向右移动
．．．．．．．．
两位
,
同时在后面添上百分号
,
位数不够时
,
用“0”补
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．
足。
．．
2.百分数和分数的互化。
(1)分数化成百分数的方 法:先把分数化成小数,
．．．．．．．．．
除不尽时
,
通常保留三位小数< br>,
再化成百分数。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
(2)百分 数化成分数的方法:先把百分数化成分
．．．．．．．．
数
,
再把能约分的约 成最简分数。分子是小数的百分
．．．．．．．．．．．．．．．
数化成分数,先用分数的基本 性质,把百分数化成分
子是整数的分数,再化简。如12.5%=
四、生活中的百分数
1.求一个数是另一个数的百分之几的实际问
题。
求一个数是另一个数的百分之几的 解题方法
与求一个数是另一个数的几分之几的解题方法相
同,用“一个数÷另一个数”,然后将 计算结果化成百
分数。
2.求百分率。



==。
数点。
举例:把0.0326化成百分数。
错解:0.0326=326%
正解:0.0326=3.26%















出 勤率是百分率的一种,公式本
身应该用百分数的形式表示。如果不
乘100%,公式只是分数形 式,乘100%
既保持数值不变,又是百分数的形
式。
出勤率、成活率、合格率、发 芽
率等最高是100%,完成率、增长率、
利润率等可以超过100%。

拓展提高
1.生活中各种百分率的意义。
发芽率:发芽种子数占试验种子总数的百分之
几。
出米率:出米的质量占稻谷的质量的百分之几。
及格率:及格人数占考试总人数的百分之几。
2.各种百分率的计算方法。


四 解 决 问 题

一、“求一个数的几分之几(或百分之几)是多少”
的实际问题
1
.
“已知一个部分量是总量的几分之几,求另一个
部分量是多少”的实际问题的解题方法。
( 1)单位“1”的量
-
单位“1”的量
×
一个部分量占单
位“1”的 几分之几
=
另一个部分量。
(2)单位“1”的量
×
(1
-
一个部分量占单位“1”的几
分之几)
=
另一个部分量。
2.
“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个
数”的实际问题的解题方法。
( 1)单位“1”的量
+
单位“1”的量
×
一个数比单位“1”
的量多 的几分之几
=
这个数。
(2)单位“1”的量
×
(1
+< br>一个数比单位“1”的量多的
几分之几)
=
这个数。
3
.< br>“已知一个数比另一个数少几分之几,求这个
数”的解题思路与“已知一个数比另一个数多几分之
几,求这个数”的解题思路相同,只不过在列式时把加
法换成减法。
二、“已知一个数的百分之几(或几分之几)是多

“已知一个部分量占总量的百分之几,求另一个部分量是多少”的
实际问题的解题方法与“已知一个
部分量占总量的几分 之几,求另一
个部分量是多少”的实际问题的解
题方法相同。
“已知一个数比另一个 数多百
分之几,求这个数”的解题方法与
“已知一个数比另一个数多几分之
几,求这个 数”的解题方法相同。


易错点:在解答百分数问题时,
一定要找准单位 “1”,单位“1”的
量未知,可以用除法求出单位“1”
的量。
举例:李强六月份的生活费为

少,求这个数”的实际问题
1
.
简单的“已知一个数的百分之几是多少,求这个
数”的问题的解题方法。
(1)方程法。
255元,比计划节省了15%,节省了多
少钱?
错解:
255×15%=38.25(元)
答:节省了38.25元。
正解: 255÷(1-15%)-255
=300-255
=45(元)
答:节省了45元。
求一个数比另一个数多(或少)
百分之几,实质上就是求两个数 的
差是另一个数(单位“1”)的百分之
几。



< br>易错点:相同的差和不同的标
准量比较,结果不同;两个不同的数
和同一个标准量比较, 结果也不同。
举例:甲数比乙数多25%,乙数
比甲数少( )。(甲、乙两数均不
为0)
错解:25%
正解:20%

易 错点:解答工程问题时,不要
①
找出单位“1”,设单位“1”的量为
x
。
②
找出题中的等量关系。
③
列出方程并解答。
(2)算术法。
①
找出单位“1”。
②
找出己知量和己知量占单位“1”的百分之几。
③
列除法算式解决问题。
2
.
稍复杂的“已知一个数的几分之几是 多少,求这
个数”的问题的解题方法。
(1)找出题中的等量关系,设单位“1”的量为
x
,列出
方程并解答。 < br>(2)找到题中的单位“1”,计算出已知量是单位“1”
的几分之几,根据分数除法的意义列式 解答。
用算术法的解题关键:找准单位“1”,还要看清所
求问题与单位“1”的关系并计算 出已知量是单位“1”的
几分之几。
三、“求一个数比另一个数多(或少)百分之几”的
实际问题
1
.
求甲数比乙数多百分之几的解题方法。

．
(
1
)(
甲数
-
乙数
)
÷
乙数。

．
(2
)
甲数
÷
乙数
-
1。
． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2
.
求乙数比甲数少百分之几的解题 方法。

．
(
1
)(
甲数
-
乙数
)
÷
甲数。

．
(2
)
1
-
乙数
÷
甲数。
． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
认为只要分子是“1”的分数就表示
四、工程 问题
工程问题的解题方法:
1
.
把工作总量看作单位“1”,用工作总量 除以完成
工作的时间,就是工作效率。
2
.
根据数量关系式“工作总量=
工作效率
×
工作时
．．．．．．．．．．．．．
间”解决工程 问题。
．
五、利率和纳税
1
.
利息和利率。
(1)了解储蓄。
1÷
工作效率。
举例:一项工程,甲单独做小
时完成,乙单独做小时完成。如果
两个人合作,几小时可以完成?
错解:
=(时)

①
储蓄的意义:把钱存入银行就是储蓄。
②
储蓄的好处:可以支援国家建设;可以使个人钱
财更安全;可以增加一些收入。
(2)理解本金、利息、利率的意义。
答:小时可以完成。
正解: l÷
=1÷(3+4)
=(时)
答:小时可以完成。






计算利息时,易忘记乘存
期。

税收取之于民,用之于民,依法
纳税是每个公民应尽的义务。
税收的种类不同,税率也各不
相同。每种税的税率都是由国家财
政部门规定的。


①
本金的意义:存入银行的钱叫作本金。
②
利息的意义:取款时,银行除归还本金外,还要
多付一些钱,多付的钱叫作利息。
③
利率的意义:利息占本金的百分之几叫作利
率。一般情况下,利率根据计量的期限标 准不同而不
同,表示方法有年利率、月利率和日利率。
(3)存款的方式。
①
活期:可以随时支取,随时存入。
②
定期。
整存整取:一起存入一定钱数,存期到时支取。
零存整取:每月存入一定钱数,存期到时支取。
③
定活两便:存款时不确定存期,一次性存入本
金,随时可以一次性支取。
(4)利息的计算公式。
利息=本金×利率×存期
．．．．．．．．．．．
2.纳税。
(1)纳税的意义。
纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比
率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
(2)税收的用途。
税收是国家收入的主要来源之一。国家用收来的
税款发展经济、 科技、教育、文化和国防等事业,不断
提高人民的物质和文化水平,保卫国家安全。
(3)税收的种类。
税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所
得税等几类。
(4)税收的相关概念。
税款:集体或个人收入中的一部分要上缴给国家,
上缴的钱叫作税款。
应纳税额:缴纳的税款叫作应纳税额。
税率:应纳税额与各种收入(销售额、营业额……)
的比率叫作税率。

(5)应纳税额=应纳税所得额×税率。

五 圆

一、圆的认识
1.圆的意义:到定点的距离等于定长的点的集合叫
作圆。
2.圆的画法。(用圆规画圆的方法)
(1)把带有针尖的脚固定在圆心上。
(2)定好两脚间的距离,即半径。
(3)把装有铅笔的脚旋转一周,就画出一个圆。
直径)决定圆的大小。
(4)用圆规画圆时,应注意以下两点:
①带有针尖的脚不能移动。②两脚间的距离不能
改变。
3.圆的各部分名称及特征。
(1)认识圆各部分的名称。
①认识圆心。
圆心的意义:用圆规画圆时,固定的一点叫作圆心。
圆心的字母表示法:圆心一般用字母
O
表示。
圆心的作用:圆心决定圆的位置。
．．．．．．．．．


判断半径的方法:半径是一端
在圆心,另一端在圆上的线段。



直径是圆内最长的线段。
判断圆的直径的方法:①看是
否通过圆心。②看线段的两端是
②
认识半径。 否都在圆上。
半径和直径都是线段。直径
半径的意义:连接圆心和圆上任意一点的线段叫所在的直线是圆的对称轴。
作半径。 圆的半径和直径都分别相等
必须是在同圆或等圆中。
半径的字母表示法:半径一般用字母
r
表示。


半径的作用:半径决定圆的大小。半径越长,圆越
．．．．．．．．．


大;半径越短,圆越小。




③
认识直径。


圆是由一条曲线围成的封闭
图形,长方形、三角形、正方形都是
由线段围成的封闭图形。



圆心决定圆的位置,半径(或

直径的意义:通过圆心并且两端
．．．．．．
都在圆上的线段叫作直径。
．．．．
直径的字母表示法:直径一般用字母
d
表示。
(2)在同圆或等圆中半径和直径的关系。
在同圆或等圆中
,
半径的长度是 直径的,直径的长
．．．．．．．．
度是半径的2倍。用字母表示为
d=
2< br>r
或
r=
．．．．．．．
。
(3)圆的对称性。
圆是轴对称图形
,直径所在的直线都是圆的对称
．．．．．．．
轴,圆有无数条对称轴 。
．．．．．．．．
拓展提高
1.等圆:两个半径相等的圆叫作等圆,等圆经过平
移可以完全重合。













π是一个固定的数,不随周长
和直径的改变而改变。


易错点:圆周率是一个无限不
循环小数,在实际应用中常常只取
2.同心圆:圆心重合、半径 不相等的圆叫作同心圆。
它的近似值。
3.在同圆或等圆中,半径扩大到原来的几倍,直径
也扩大到原来的几倍;半径缩小到原来的几分之一,直
径也缩小到原来的几分之一。
二、圆的周长
1.圆的周长的认识及计算公式。
(1)圆的周长的意义:围成圆的曲线的长叫作圆的
周长。
(2)圆的周长的测量方法。
①绕绳法。
先把一根绳子绕圆一周,剪去多余的部分 或在重
叠处做好标记,再拉直量出它的长度,就是这个圆的周
长。
②滚动法。
π=3.14。( )
错解:√
正解:✕




在判断时,圆周长是它直径的
π倍,而不是3.14倍。
举例:
判断:因为一个圆的周长总是
它的直径的3倍多一些,所以

在圆上找一个点并 做好标记。把圆放在直尺上,标
记点对准直尺的0刻度,滚动一周后标记点所对的刻
度就是圆的 周长。
(3)圆周率。
任何一个圆的周长除以它的直径,得到的商是一
个固定的数,这个数叫作圆周率。
圆 周率用希腊字母“π”表示,π是一个无限不循环
小数。π=3.141592653……在实际应用中 ,通常取它的近
似值,即π≈3.14。
(4)圆的周长的计算公式。
①根据圆的周长与直径之间的关系推导圆的周长
的计算公式。
=圆周率 圆的周长=圆周率×直径
．．．．．．．．．．．．．．．
②圆的周长的计算公式的字母表达式。
如果用字母
C
表示圆的周长,
r
表示圆的半径,
d
表
示圆的直 径,那么圆的周长的计算公式为圆的周长
=
圆
计算圆周长的关键是确定半
径。
一个圆的半径增加
a
厘米,周
长就增加2π
a
厘米。
一个圆的直径增加
b
厘米,周
长就增加π
b
厘米。


















理解半圆的周长时,可以结合
半圆的图形来理解。
周率
×
直径=
圆周率
×
半径
×
2,用字母表示为
C=
π< br>d
或
．．．．．

C=
2π
r
。
把圆的面积转化为平行四边
．．．．．．
2
.
圆的周长的计算公式的应用。
(1)已知直径,求周长,根据
C=
π
d
来计算。
．．． ．．．．．
(2)已知半径,求周长,根据
C=
2π
r
来计算。
．．．．．．．．．
拓展提高
1
.
圆的周长与它的半径、直径的关系。
(1)如果圆的半径、直径扩大到 原来的若干倍,那么
它的周长也扩大到原来的若干倍。例如,一个圆的半径
形的面积,体现了转 化的数学思
想。


易错点:周长和面积不是同类
量,无法进行比较。
举例:
判断:半径是2 厘米的圆,它的

扩大到原来的3倍,它的周长也扩大到原来的3倍。
(2)如 果圆的半径、直径缩小到原来的几分之一,那
么它的周长也缩小到原来的几分之一。例如,一个圆的半径缩小到原来的,它的周长也缩小到原来的。
2
.
两个圆的半径之比等于它们的直径之比,也等于
它们的周长之比。 3
.
半圆的周长指的是圆的周长的一半加上一条直
径的长或两条半径的长,半圆的 周长的计算公式是
半
．
．．．．．．．．．．．
C
．
圆．
周长和面积相等。( )
错解:√
正解:✕

圆的面积的大小与半径的长
短有关,因为
S=
π
r



易错点:在计算圆的面积时,
不要把
r
计算成
r×
2,
r
应该是
r×r
。
22
2
=d +d
或
=
π
r+
2
r
。
半圆
． ．
．
π
．．．．．
C
．．．．．．．．
4.圆的周长的 一半是把圆的周长平均分成两
举例:一颗圆形纽扣的半径是
1
.
5厘米,它的 面积是多少?
份,其中一份的长度,圆的周长的一半的计算公式是
C
圆
的周 长的—半
=
π
r
或
C
圆的周长的—半
=
。
错
解:3
.
14
×
1
.
5
=3
.
14
×
3
=
9
.
42(平方2
三、圆的面积
1
.
探究圆的面积的计算方法和公式。
(1)通过正多边形求圆的面积。
在圆内画正多边形,如果把正多形的边数分得越
来 越多,不可求的部分变得越来越少,那么正多边形的
面积就越来越接近圆的面积。通过此种方法,可近似 地
求出圆的面积。
(2)借助方格求圆的面积。
在圆内画小方格,小方格的面积可 以求出,余下的
边边角角的面积不知道怎么求。如果分割得越多,小方
格越来越小,那么可以求 出来的小方格的面积和就越
来越接近圆的面积。通过此种方法,可近似地求出圆的
面积。
厘米)
答:它的面积是9
.
42平方厘米。
正解:

3
.
14
×
1
.
5

2
=
3
.
14
×
2
.
25
=
7
.
065(平方厘米)
答:它的面积是7
.
065平方厘米。

易错点:如果圆的直径扩 大到
原来的
a
(
a
不为0)倍,那么它的面
积就扩大到原来 的
a
倍。
2
举例:大圆直径是小圆直径的

(3)转 化成平行四边形,推导圆的面积计算公式。
4倍,大圆面积就是小圆面积的
(

)倍。
错解:4
①
转化演示。
把圆分成8、16、32……等 份(偶数份),剪开后,用这
些近似的等腰三角形拼一拼,会拼成一个近似的平行
正解:16
四边形。如下图:

圆环的面积实际是两个同心
圆的面积差。
易错点:已知内圆直径和环
16等份:
宽,求外圆直径,应该用内圆直径
加上2个环宽;已知外圆直径和环
32等份:
宽,求内圆直径,应该用外圆直径
减去2个环宽。
越接近直边,拼出来的图形就越接近平行四边形。
8等份:
发现:把圆等分的份数 越多,每一份就越小,曲边就
②
探究拼成的近似平行四边形的底和高与圆的周
长和半径 之间的关系。
举例:在一个直径为6米的圆
形花坛周围铺一条2米宽的环形
小路,这 条小路的面积是多少平方

③
公式推导。
圆的面积
=
平行四边形的面积
=
底
×
高
=×r

=
π
r×r

=
π
r
2

如果用表示圆的面积
,
那么圆 的面积计算公式
．．．
S
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
是π
r
．
。
．
S=
．．．．．
2
.
运用圆 的面积计算公式解决实际问题。
(1)已知圆的半径,可直接运用圆的面积计算公式
2
米?
错解:6+2=8(米)
3.14×(8÷2)-
3.14×(6÷2)=21.98(平方米)
答:这条小路的面积是21.98
平方米。
正解:6+2×2=10(米)
3.14×(10÷2)-
2
2
2
S=
π
r
2< br>求出圆的面积。
(2)已知圆的周长,则圆的面积
S=
π
×
(
C÷
π
÷
2)
。
2

(3)已知 圆的直径,则圆的面积
S=
π
×
(
d÷
2)
。
2
3.14×(6÷2)=50.24(平方米)
答:这条小路的面积是50.24
平方米。
扇形是圆的一部分。
判断一个 图形是不是扇形,主
要看圆心角的顶点在不在圆心上,
如果顶点不在圆心上,就不是扇
形。

2
拓展提高
1
.
如果一个圆的半径(直径或周长 )扩大到原来的
n
倍,那么圆的面积就扩大到原来的
n
2
倍。例如, 若圆
的半径扩大到原来的5倍,则圆的面积就扩大到原来
的5倍,即25倍。
2.
如果一个圆的半径(直径或周长)缩小到原来的
,那么圆的面积就缩小到原来的。例如, 若圆的半
,即
2
径缩小到原来的,则圆的面积就缩小到原来的
。
四、圆环的面积
1
.
圆环的意义:两个半径不相等的同心圆之间的部
分叫作圆环,也叫作环形。
2
.
圆环面积的计算方法:用
R
表示 外圆半径,用
r
表
示内圆半径,用
S
表示圆环的面积,那么圆环的面 积计
．．．
算公式是
S=
π
R-
π
r
．< br>或π
(
R-r
．
)
。
．．．．．．．．
S =
．．．．．．．．
2222
3
.
圆环是轴对称图形,它有无数条对 称轴。通过圆
心的直线都是它的对称轴。
五、扇形
1
.
弧的认识:圆上任意两点之间的部分叫作弧。
2
.
圆心角的认识:顶点在圆心的角,叫作圆心角。
3
.
扇形的意义。
由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图

形,叫作扇形。
4
.
扇形的对称性。
扇形是轴对称图形,只有一条对称轴。
左边探究圆的面积的计算方法,(1)和(2)虽然
都能近似地求出圆的面积,但计算难度大,操作性差 ,且
误差大,不能作为通用的求圆的面积的方法。在剪拼的
过程中,图形的形状虽然改变了,但 面积的大小并没有
改变,因此圆的面积等于拼成的近似平行四边形的面
积。


六 扇形统计图

一、扇形统计图的特点及绘制方法
1.扇形统 计图的意义:用整个圆表示
总数,用圆内大小不等的扇形表示各部分
数量与总数之间的关系。
2.扇形统计图的特点:可以清楚地表
．．．．．．
示出各部分数量与总数之间的关系 。
．．．．．．．．．．．．．．．．





当扇形统计图中有“其他”部分时,要注意
“其他”部分具有不确定性。















3.扇形统计图的绘制方法。
(1)算出各部分数量占总数的百分
比。
(2)算出表示各部分数量所对应的扇
形的圆心角度数。
(3)画一个大小适中的圆,并按照算出
的圆心角的度数在圆里画出各个扇形。

(4)在各个扇形中标明所表示的数量
的名称和所占的百分比,并用不同的颜色
或底 纹把各个扇形区分开,也可以用图例
注明。
(5)写上统计图的名称和制图日期。
二、统计图的选择
1.要清楚地表示出每个项目的具体
数量,一般选择条形统计图。
2.要清楚地反映事物的变化规律,一
般选择折线统计图。
3.要清楚地反映各部分数量与总数
量之间的关系,一般选择扇形统计图。


每种统计图都有各自不同的特点,在选择
时要充分利用它们的特性,以达到更好的展 示
效果。

七 数学百花园

一、黄金螺旋线
1.了解黄金螺旋线。
自然界中存在着许多美丽的图案,鹦鹉螺外壳上
的优美曲线被 称为黄金螺旋线。黄金螺旋线可以用大
小不同的扇形的弧线画出来。
2.明确黄金螺旋线的画法。
(1)画一个边长为1厘米的正方形,以正方形的右
线 进行拍照;在设计方面,有不少设
下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°
计师 从黄金螺旋线中获得了灵感,
的扇形。
创造出了许多优秀的作品。











黄 金螺旋线在生活中应用广
泛。在摄影方面,可利用黄金螺旋
(2)在正方形的右边画一个同样大 小的正方形,以
正方形的左下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半
径画一个90°的扇形。

(3)以组成的长方形的长为边长画—个正方形,以
正方形的左上顶点为圆心, 以这个正方形的边长为半
径画一个90°的扇形。
(4)再以组成的长方形的长为边长画一个 正方形,
以正方形的右上顶点为圆心,以这个正方形的边长为
半径画一个90°的扇形。 (5)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,
以正方形的右下顶点为圆心,以这个正方形的边 长为
半径画一个90°的扇形。
(6)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,
以正方形的左下顶点为圆心,以这个正方形的边长为
半径画一个90°的扇形。
3.观察扇形的半径,发现其中的规律,如下表所示。

扇形
编号

半径
厘米

一

二

三

四

五

六

……

1

1

2

3

5

8

……

第一个扇形的半径:1
第二个扇形的半径:1
第三个扇形的半径:2=1+1(第二个扇形的半径+
第一个扇形的半径)
第四个扇形的半径:3=2+1(第三个扇形的半径+
第二个扇形的半径)
第五个扇形的半径:5=3+2(第四个扇形的半径+
第三个扇形的半径)
第六个扇形的半径:8=5+3(第五个扇形的半径+

第四个扇形的半径)
由此得出规律:从第三个扇形起,每个扇形的半径
都是它前面两个相邻扇形的半径之和,所以,第七个扇
形的半径=第六个扇形的半径+第五个扇形的半 径
=8+5=13(厘米)。
4.验证规律是否正确。
方法一:画出半径是13厘米的扇形,刚好符合黄金
螺旋线的画法。(画图略)
方法 二:观察图形发现,从第三个正方形起,每个正
方形的边长都是它前面两个相邻正方形的边长之和,所以每一个扇形的半径都是它前面两个相邻扇形的
半径之和。
由此得出:规律正确。
5.根据发现的规律,将这串数继续写下去。
1、1、2、3、5、8、13、21、34、 55、89、144、
233……这个数列就是著名的“斐波那契数列”。
拓展提高
斐波那契数列,从第8项开始,每相邻两项的比值
都接近0.618,≈0.618,≈0.618, ≈0.618,
≈0.618……0.618为黄金分割数。
二、铁链的长度
1.明确解题思路。
一个铁环,内直径是8厘米,外直径是10厘米。把
10个这样 的铁环连成一条铁链,求拉直后有多长,就是
用10个铁环的长度减去铁环连接处重复计算部分的
长度。
2.计算铁环连接处的长度。
≈0.618,






通过用不同的方法探索铁链
拉直后的长度,认识解决问题的多
样性。

铁环的内直径为8厘米,外直径为10厘米,因此每
个铁环的壁厚=(外直径- 内直径)÷2=(10-8)÷2=1(厘
米),所以两个铁环连接处的长度是2厘米,也就是重合部分的长度为2厘米。
3.探究铁链长度的求法。
(1)用第一个铁环的长度依次加上增加的长度。
①
发现:第一个铁环的长度是10 厘米,增加一个铁
环后,因为有2厘米的连接处是重合部分,需要减去2
厘米,所以增加的长度 是8厘米。增加几个铁环,长度
就增加几个8厘米,由此可以推出,
n
个铁环连在一起
拉直后的长度的计算公式为10
+
(
n-
1)
×
8 。
②
当
n=
10时,10
+
(10
-
1 )
×
8
=
82(厘米),所以10个
铁环连在一起拉直后的长度为8 2厘米。
(2)用铁环的总长度减去连接处的长度。
①
发现:第一个铁环的长度是 10厘米,每增加一个
铁环,就增加一个2厘米的连接处,增加几个铁环,就增
加几个2厘米的 连接处,用铁环的总长度减去连接处
的长度,就是几个铁环连在一起拉直后的长度,所以,
n< br>个铁环连在一起拉直后的长度的计算公式为10
n-
(
n-
1)
×
2。
②
当
n=
10时,10
×
10
-
(10
-
1)
×
2
=
82(厘米),所以10个
铁环连在一起拉直后的长度为82厘米。